新教材高中數(shù)學第1章集合與常用邏輯用語1.5.1全稱量詞與存在量詞課件

1.5.1

全稱量詞與存在量詞課標定位素養(yǎng)闡釋1.通過已知的數(shù)學實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.2.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義,并能判斷其真假.3.體會全稱量詞與存在量詞在數(shù)學命題中的應用.4.培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

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自主預習·新知導學一、全稱量詞與全稱量詞命題【問題思考】給出下列語句:(1)3x+2是無理數(shù);(2)x有算術平方根;(3)對一切無理數(shù)x,3x+2還是無理數(shù);(4)所有實數(shù)x都有算術平方根.1.以上語句(1)(2)是命題嗎?提示:語句(1)(2)中含有變量x,無法判斷它們的真假,所以(1)(2)不是命題.2.比較語句(1)和(3),(2)和(4),它們之間有什么關系?提示:語句(3)在(1)的基礎上,用短語“一切”對變量x進行限定;語句(4)在(2)的基礎上,用短語“所有”對變量x進行限定.3.以上語句(3)(4)是命題嗎?你能判斷它們的真假嗎?提示:(3)(4)是能判斷真假的語句,是命題;(3)是真命題,(4)是假命題.4.填表:5.做一做:下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是(

)①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù);②所有的偶數(shù)都是合數(shù);③三角形的內(nèi)角和是180°.A.0 解析:命題①②含有全稱量詞,命題③可以敘述為“任意一個三角形的內(nèi)角和都是180°”,故三個都是全稱量詞命題.答案:D二、存在量詞與存在量詞命題【問題思考】給出下列語句:(1)x>5;(2)x是有理數(shù);(3)存在實數(shù)x,使x>5;(4)至少有一個實數(shù)x,使x是有理數(shù).1.以上語句(1)(2)是命題嗎?提示:不是.2.比較語句(1)和(3),(2)和(4),它們之間有什么關系?提示:語句(3)在(1)的基礎上,用短語“存在”對變量x的取值進行限定;語句(4)在(2)的基礎上,用短語“至少有一個”對變量x的取值進行限定.3.以上語句(3)(4)是命題嗎?若是命題,你能判斷它們的真假嗎?提示:(3)(4)是命題,都是真命題.4.填表:5.做一做:下列命題是存在量詞命題的是(

)A.一元二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱B.正方形都是平行四邊形C.不相交的兩條直線是平行直線D.存在實數(shù)大于等于3答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)“有理數(shù)全是實數(shù)”是全稱量詞命題.(√)(2)同一個全稱量詞命題的表述是唯一的.(×)(3)“全等三角形的面積相等”是存在量詞命題.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

全稱量詞命題與存在量詞命題的判定【例1】

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題:(1)凸多邊形的外角和等于360°;(2)有些實數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(3)對任意實數(shù)a,b,若a>b,則(4)有些三角形不是直角三角形;(5)負數(shù)的平方是正數(shù);(6)若x>0,則x+2>2.分析:判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,關鍵有兩點:一是是否具有兩類命題所要求的量詞或形式;二是根據(jù)命題的含義判斷指的是全體,還是全體中的個別元素.解:(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”,是全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有些”,故是存在量詞命題.(3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱量詞命題.(4)含有存在量詞“有些”,故是存在量詞命題.(5)省略了全稱量詞“所有”或“都”,是全稱量詞命題.(6)省略了全稱量詞“所有”,可以改寫為“對所有實數(shù)x,若x>0,則有x+2>2”,是全稱量詞命題.反思感悟1.判斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題,關鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞.2.同一個全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同.【變式訓練1】

給出下列四個命題:①有理數(shù)是實數(shù);②矩形都不是梯形;③?x,y∈R,x2+y2≤1;④凡是三角形,都有內(nèi)切圓.其中是全稱量詞命題的是

.(填序號)

解析:在④中含有全稱量詞“凡是”,為全稱量詞命題.③為存在量詞命題.又①的實質(zhì)是:所有的有理數(shù)都是實數(shù),②的實質(zhì)是:所有的矩形都不是梯形,故①②④為全稱量詞命題.答案:①②④探究二

全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷【例2】

用量詞符號“?”“?”表示下列命題,并判斷其真假.(1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式;(2)有一個實數(shù)x,使(3)平行四邊形的對角線互相平分;(4)至少有一個集合A,滿足A?{1,2,3}.解:(1)?x∈R,x能寫成小數(shù)形式,因為無理數(shù)不能寫成小數(shù)形式,所以該命題是假命題.所以該命題是假命題.(3)?x∈{x|x是平行四邊形},x的對角線互相平分,由平行四邊形的性質(zhì)可知此命題是真命題.(4)?A∈{A|A是集合},A?{1,2,3}.存在A={3},使A?{1,2,3}成立,所以該命題是真命題.反思感悟全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)對于全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,需要對集合M中的每個元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假,只需在M中找到一個x,使p(x)不成立.(2)對于存在量詞命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,只需在M中找到x,使p(x)成立,要判斷它為假,需要判斷“?x∈M,p(x)不成立”.【變式訓練2】

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷其真假.(1)對任意x∈N,2x+1是奇數(shù);(2)?x,y為正實數(shù),使x2+y2=0;(3)在平面直角坐標系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應一點P;(4)存在一組m,n的值,使m-n=1.解:(1)是全稱量詞命題,因為對任意x∈N,2x+1都是奇數(shù),故該命題是真命題.(2)是存在量詞命題,因為x2+y2=0時,x=y=0,所以不存在x,y為正實數(shù),使x2+y2=0,故該命題是假命題.(3)是全稱量詞命題,由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系中的點的對應關系,知該命題是真命題.(4)是存在量詞命題,當m=4,n=3時,m-n=1成立,故該命題是真命題.探究三

利用全稱量詞命題、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍【例3】

已知命題p:?x∈R,使x2+2x+2-a=0為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.解:因為p為真命題,即方程x2+2x+2-a=0有實根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即實數(shù)a的取值范圍為a≥1.將本例中的條件“?x∈R,x2+2x+2-a=0”改為“?x∈R,x2+2x+2-a>0”,其他條件不變,求實數(shù)a的取值范圍.解:由?x∈R,x2+2x+2-a>0為真命題,得函數(shù)y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的圖象在x軸上方,即1-a>0,得a<1.所以實數(shù)a的取值范圍為a<1.反思感悟利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時,常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題,最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理.(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時,常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題,最終借助根的判別式或函數(shù)等相關知識來處理.易

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析對量詞理解不到位致錯【典例】

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.(1)矩形有一個外接圓;(2)非負實數(shù)有兩個平方根.錯解:(1)存在量詞命題.(2)存在量詞命題.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)誤認為含有存在量詞“有一個”,(2)誤認為含有存在量詞“有兩個”,即判斷為存在量詞命題.正解:(1)可以改寫為“所有的矩形都有一個外接圓”,是全稱量詞命題.(2)可以改寫為“所有的非負實數(shù)都有兩個平方根”,是全稱量詞命題.防范措施1.全稱量詞命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題,存在量詞命題就是陳述在某集合中有(存在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題,是對某集合一些元素的限定,而不是對結(jié)論的限定.2.注意對全稱量詞命題和存在量詞命題概念的理解,培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).【變式訓練】

用全稱量詞或存在量詞表述下列命題:(1)有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式;(2)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°;(3)有一個實數(shù)乘任意一個實數(shù)都等于0.解:(1)任意一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式.(2)所有n邊形的內(nèi)角和都等于(n-2)·180°.(3)存在一個實數(shù)x,它乘任意一個實數(shù)都等于0.隨

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習1.下列語句不是全稱量詞命題的是(

)A.任何一個實數(shù)乘零都等于零B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.高一(1)班絕大多數(shù)同學都是團員D.所有二次函數(shù)的圖象都開口向上解析:“高一(1)班絕大多數(shù)同學都是團員”,即“高一(1)班有的同學不是團員”,是存在量詞命題.答案:C解析:當