等差數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)題

第四章數(shù)列

4.2.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1.若等差數(shù)列｛斯｝滿足"2=20,45=8,則田=（）

A.24B.23

C.17D.16

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，"=發(fā)二黑=無型=-4,則4=。2-〃=20-（-4）=24,故選:A.

5—25—2

2.在等差數(shù)列｛4｝中，4+/+為=9,a4+a5+a6=21,則%的值是（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】B

【解析】：｛%｝是等差數(shù)列，...4+%+4=34=9，%=3，4+。5+。6=3。=21,

4=7,

/.%=2a5—%=2x7—3=11.故選：B.

3.《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢

時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得

幾何?”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和

與后3人所得之和相等，問各得多少錢?”則第2人比第4人多得錢數(shù)為（）

A.9錢B.V錢C.1?錢D.2錢

6333

【答案】D

【解析】設(shè)從前到后的5個(gè)人所得錢數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為4,公差為d的等差數(shù)列伍“｝,

則有4+。2=。3+。4+%，4+。2+。3+。4+。5=5,

4+8d=0,

解得則%-4=-21=g,故選：D.

4+2d=L

4.若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且％=工，%=工，貝ijcos%)=()

62

A1B6

22

C.--D.--

22

【答案】C

,.a,-a.7i7i10萬

【解析】"=—=—.%0=4+1ir>i'=—，

2663

10乃41(萬、1u小

cos%。=cos—=cos-^-=cos乃+§)=-/,故選：C.

r\1

5.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)6=3,且滿足則｛%｝中最小

2n—3

的一項(xiàng)是（）

A.a2B.%

D.a5

【答案】B

G14M

【解析】因?yàn)閍“+1=-E%+2〃-l(〃eN*),所以f+1,

2n-3''2n.—12〃-3

4

又q=3,所以_%_=一3,所以數(shù)列是首項(xiàng)為-3,公差為1的等差數(shù)列,

2-32/7-3

所以2"3=_3+（〃_1）=〃_4，即4,=（2〃-3）（〃一4）,

所以q=3,a2=-2,4=-3,當(dāng)〃24時(shí)，之。，

所以｛4｝中最小的一項(xiàng)是巴?故選：B.

二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）

6.下列命題正確的是（）

A.給出數(shù)列的有限項(xiàng)就可以唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

B.若等差數(shù)列｛%｝的公差d>0,則｛q｝是遞增數(shù)列

C.若a,從c成等差數(shù)列，則可能成等差數(shù)列

abc

D.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛4+24+）也是等差數(shù)列

【答案】BCD

【解析】A選項(xiàng)：給出數(shù)列的有限項(xiàng)不一定可以確定通項(xiàng)公式；

B選項(xiàng)：由等差數(shù)列性質(zhì)知d>（）,｛%｝必是遞增數(shù)列；

C選項(xiàng)：a=h=c=l時(shí)，L=L=1=1是等差數(shù)列，而a=l,8=2,c=3時(shí)不成立；

abc

。選項(xiàng)：數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列公差為4,所以

an+2a“+]=q+（〃-l）d+2。]+2nd=3q+（3〃-l）d也是等差數(shù)列；故選:BCD

7.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=18,。5=12,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d=-2B.a1=22

C.%+%=30D.A=0

【答案】ACD

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4，

則%=%+3d=18+3d=12,解得d=—2.

所以q=20,4+。4=。2+%=30,4］=a】+10d=20-10x2=0,

故選：ACDo

8.在數(shù)列｛4,｝中，若片一=P（〃22,〃GN*.p為常數(shù)），則稱｛4｝為“等方差數(shù)列”

下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）

A.若｛4｝是等差數(shù)列，則｛4｝是等方差數(shù)列

B.｛（-1）"｝是等方差數(shù)列

C.若｛%｝是等方差數(shù)列，貝I｛%,,｝（%eN*）次為常數(shù)）也是等方差數(shù)列

D.若｛。“｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列

【答案】BCD

［解析］對于A,若｛%｝是等差數(shù)列，如an=n,

則片一。3=〃2-（〃一1）2=2〃-1不是常數(shù)，故｛%｝不是等方差數(shù)列,故A錯(cuò)誤；

對于B,數(shù)列［（一1）"｝中，端一“3=［（-1）"］2-［（-1）”了=0是常數(shù)，

：.｛（—1）"｝是等方差數(shù)列，故B正確；

對于C,數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)列舉出來是，卬,%，…，4，…，aik>"?

數(shù)列｛他,｝中的項(xiàng)列舉出來是，ak,a2k,4*，,

(吭-a；)=(心-<i)=儂+3-4+2)=…=(娘一)=P,將這，個(gè)式子累加得

aa+a_6f+-<3+，，+a*<3=a

(k+t~k)(k+2*+l)(^+3L2)'(2*2i-l)^>-'-2k=kp,

，4,用)一嫌=切"為常數(shù))是等方差數(shù)列，故C正確；對于D,???｛4｝

是等差數(shù)列，4T=。，則設(shè)a“=辦+，〃，???｛%｝是等方差數(shù)列，

:.cTn-a^_|=(a“+41])4=(1〃+/77+~〃+1+/加)4=26/2〃+(2/77+1)4是常數(shù)，故

2/=0,故d=0,所以(2加+")"=0,。：-43=()是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.

三、填空題(共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分)

9.將數(shù)列｛2”1｝與｛3"-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛a“｝,則”“=.

【答案】6n-5

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛2〃一1｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛3〃一2｝是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，

所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛4｝是以I為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，

所以a,尸6n-5

故答案為：小=6n-5

10.已知數(shù)列｛a,,｝中，6=2，%=1，若，為等差數(shù)列，則《9=.

【答案】0

111

【解析】因?yàn)?2,—紊7=5/

2

所以113)..1,2「故69=0.故答案為：0

-------=--------+-------^xl6=-4--=1

Q1g+1生+1433

11.若數(shù)列｛q｝滿足：?！??！?[=5〃，％=1,則%020=.

【答案】5049.

【解析】an+an+1=5〃=>an_x+=5〃-5.兩式相減,得an+l-an_x=5.

%+4=5=。2=4.故%020是首項(xiàng)為4,公差為5的等差數(shù)列的第101（）項(xiàng)，

故4020=4+（1010-1）x5=5049.故答案為：5049.

四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

12.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,且+=2/+2〃，nwN".

（1）求。2，。3的值；

（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）4=6;%=15；（2）證明見解析，4=2/一〃.

【解析】（1）由已知，a,=1,且〃a“+i+=2"+2〃，

得4-24=4,則。2=2卬+4,又％=1,所以々=6,

由2a3-3a2=12,得2a3=12+3g,所以4=15.

（2）由已知“%一（〃++得一J'=2,即上—-i=2,

n[n+l）n+1n

所以數(shù)列｛2｝是首項(xiàng);=1,公差d=2的等差數(shù)列，

則組=1+2（〃—1）=2〃—1,所以=2〃2一”.

13.在①對任意〃>1滿足S.M+S,T=2(S.+1)；②S,”1-2=S“+%；③

s“=〃%+i-〃(〃+D-這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中?問題：己知數(shù)列｛4｝的

前〃項(xiàng)和為3，。2=4,,若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；若

數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列，說明理由.

【答案】答案見解析

【解析】若選擇條件①：因?yàn)閷θ我狻?gt;1,〃eN*，滿足5川+S?,1=2(S?+1),

所以5?+,-SH=Sn-S?_,+2,即an+l-a?=2,

因?yàn)闊o法確定外的值，所以4-4不一定等于2，

所以數(shù)列｛4｝不一定是等差數(shù)列.

若選擇條件②:由S向一2=S“+a“，則S向一S“—a“=2,即%-%=2,

因?yàn)樯?4,所以6=2,所以數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列，公差為2，

因此數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2〃.

若選擇條件③：因?yàn)镾“=〃4+]+,所以S,_|(“N2,〃eN*),

兩式相減得，an=nan+i-(n-l)a?-2n,(n>2),即。7一。“=2(〃N2),

又S]=電—2,即。2-4=2,所以—〃〃=2,〃￡N"，

又。2=4,a2-a1=2,所以q二2,

所以數(shù)列｛q｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

所以=2+2（〃-1）=2〃.

14.已知數(shù)列｛4｝滿足4=-5,且a“+2a,i=(-2)"-3(n>2K?eM).

(1)求見，。3的值；

(2)設(shè)2