概率(06-09全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編)

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編

第十一章《概率統(tǒng)計(jì)》

一、選擇題（共11題）

1.（安徽卷）在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的

概率為

解：在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得個(gè)三角形，要得直角非箏型三角形，則每

24

個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)（即正方體的一邊與過(guò)此點(diǎn)的一條面對(duì)角線），共有24個(gè)，得r，故C。

2.（福建卷）在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出

3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于

解析：在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同。從中摸出3個(gè)球,

至少摸到2個(gè)黑球的概率等于2=空李^=2,選A。

或7

3.（湖北卷）甲：A1、A2是互斥事件；乙：A］、A2是對(duì)立事件，那么

A.甲是乙的充分但不必要條件B.甲是乙的必要但不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

解：兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，反之不成立。故選B

4.（江蘇卷）某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x,y,10,11,9.已知這

組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則Ix—yI的值為

（A）1（B）2（C）3（D）4

【思路】本題考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法

【正確解答】由題意可得：x+y=20,（xT0）2+（y-10）2=8,解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)?/p>

不要直接求出x、y,只要求出設(shè)x=10+t,y=10-t,,一丁|=2卜］=4,選D

5.（江蘇卷）右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器。接收器與信

號(hào)源在同個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接信號(hào)源

收到信號(hào)。若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組,

將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中

每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到

信號(hào)的概率是

48

(A)(B)—(C)-(D)

45361515

【思路點(diǎn)撥】本題主要考查平均分組問(wèn)題及概率問(wèn)題.

【正確解答】將六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組,共有a1G=15種結(jié)果,五個(gè)接收

器能同時(shí)接收到信號(hào)必須全部在同一個(gè)串聯(lián)線路中，有C：C\C：=8種結(jié)果，這五個(gè)接收

O

器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是5,選D

【解后反思】概率問(wèn)題的難點(diǎn)在于分析某事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果及其表示方法，而運(yùn)用概

率部分的性質(zhì)、公式求某事件概率只是解決問(wèn)題的工具而己

6.（江西卷）將7個(gè)人（含甲、乙）分成三個(gè)組，一組3人，另兩組2人，不同的分組數(shù)

為a,甲、乙分到同一組的概率為p,則a、p的值分別為（）

5454

A.a=105p=——B.a=105p=——C.a=210p=——D.a=210p=——

21212121

解：選A,a=742.=IO5,甲、乙分在同一組的方法種數(shù)有

2!

C】C2c2

(1)若甲、乙分在3人組，有555=3種

2!

255

(2)若甲、乙分在2人組，有C；=10種，故共有25種，所以P=*=3

510521

7.（江西卷）袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4

個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為

廠2廠1廠3廠4廠2廠3廠1廠4「103「4「2

'-4C8CI2C16<-4<-8C12C16

A，B.-------------------------J

「10

C40C40^40C40

解：依題意，各層次數(shù)量之比為4:321,即紅球抽4個(gè)，藍(lán)球抽3個(gè)，白球抽2個(gè)，黃球

抽一個(gè)，故選A

8.（四川卷）從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)

不能被3整除的概率為

,、19,、38

(A)——(C)—（D）

5454

解析：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被

3整除。所有的三位數(shù)有A：-烈=648個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有｛1,

4,7｝、被3除余2的有｛2,5,8）,被3整除的有｛3,6,9.0｝,若要求所得的三位數(shù)被3

整除，則可以分類(lèi)討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有2A；=12個(gè)；②若三

個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無(wú)數(shù)字0,共有用-#=18個(gè)；③若三

組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0,有。卜。卜。；乂；=162個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字,

第三組中取0,有=36個(gè)，這樣能被3整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被3整除

的數(shù)有420個(gè)，所以概率為——=—,選B。

64854

9.(四川卷)甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校

學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分

別抽取學(xué)生

(A)30人，30人，30人(B)30人，45人，15人

(C)20人，30人，10人(D)30人，50人，10人

解析：甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某

方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取

學(xué)生30人，45人，15人,選B.

10.(重慶卷)為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5

歲一18歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：

解析：根據(jù)該圖可知，組距為2,得這100名學(xué)生中體重在［56.5,64.5)的學(xué)生人數(shù)所占的頻

率為(0.03+0.05+0.05+0.07)X2=0.4,所以該段學(xué)生的人數(shù)是40,選C.

U.(重慶卷)某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店

有195家。為了掌握各商店的營(yíng)業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本。若采用分層抽

樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是

(A)2(B)3(C)5(D)13

解：各層次之比為：30:75:195=2:5:13,所抽取的中型商店數(shù)是5,故選C

二、填空題(共9題)

12.(福建卷)一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0,兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)

面上標(biāo)以數(shù)2,將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是

解析：一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0,兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)

以數(shù)2。將這個(gè)小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為？0,1,2,4,則

Cc；+CC+c；C3p6=2)=寫(xiě)薩L,

%=0)=%=1)

c：c：4而一屋

P(&=4)=簿=々，

c6c636

13.（湖北卷）接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80,現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至

少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為。（精確到0.01）

解：P=C5x（0.80）3x（0.20）2+Csx（0.80）4x0.20+（0.80）5=0.94

14.（湖南卷）某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有40人，乙班50人.現(xiàn)分

析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校

數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是分.

解析：某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有40人，乙班50人.現(xiàn)分析兩個(gè)班

的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模

40x90+50x81

興趣班的平均成績(jī)是=85分.

90

15.（全國(guó)II）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民

的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了

樣本的頻率分布直方圖（如右圖）.為了分析居

民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要

從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作

進(jìn)一步調(diào)查，則在［2500,3000）（元）月收入

段應(yīng)抽出人.

解析:由直方圖可得［2500,3000）（元）月收入段共有10000x0.0005x500=2500人

按分層抽樣應(yīng)抽出2500x坦-=25人

10000

16.（山東卷）某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量

為160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150,那么該學(xué)校的教師人數(shù)是.

解：抽取教師為160-150=10人，所以學(xué)校教師人數(shù)為2400X°d=150人。

160

17.（上海卷）兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本.將它

們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是（結(jié)果用分?jǐn)?shù)

表示）.

解：分為二步完成：1）兩套中任取一套，再作全排列，有C；P4種方法；2）剩下的一套

全排列，有乙種方法；所以，所求概率為：。；竺=今；

18.（上海卷）在一個(gè)小組中有8名女同學(xué)和4名男同學(xué)，從中任意地挑選2名同學(xué)擔(dān)任交通

安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學(xué)的概率是（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）。

解：在一個(gè)小組中有8名女同學(xué)和4名男同學(xué)，從中任意地挑選2名同學(xué)擔(dān)任交通安全宣傳

2

志愿者，那么選到的兩名都是女同學(xué)的概率是P='C=二14.

的33

19.（四川卷）設(shè)離散型隨機(jī)變量J可能取的值為1,2,3,4。P^=k）=ak+b（k=l,

2,3,4）。又J的數(shù)學(xué)期望EJ=3,則a+b=

解：設(shè)離散性隨機(jī)變量為可能取的值為1,2,3,4,尸傳=上)=或+1僅=1,2,3,4),所以

(a+b)+(2a+b)+(3a+h)+(4a+b)^\,即10。+4匕=1,又占的數(shù)學(xué)期望E4=3,

貝ij(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3,a=^,b=0,：.

,1

a+b=—.

10

20.(上海春)同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級(jí)的平均

分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級(jí)的平均分將提高.這兩個(gè)事實(shí)可以用

數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：若有限數(shù)列外,滿(mǎn)足為4%4…4冊(cè)，則

__________________________________________________________(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示).

解：如果在有限數(shù)列》,中，按順序去掉一些高分J?！?；,那么有不

ir---------------5—------------------------(KM<A)

JWJC如果在有限數(shù)列

中，按順序去掉一些低分■?一?”???,那么有不等關(guān)系

Ji*。尸*%**?*/(14.㈤

■一?■.從而應(yīng)填

?K，與K-BIt

三、解答題(共27題)

21.(安徽卷)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配

方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑?，F(xiàn)有芳香度分別為0,

1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同

的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用J表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。

(I)寫(xiě)出J的分布列：(以列表的形式給出結(jié)論，不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程)

(II)求4的數(shù)學(xué)期望EJ。(要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或說(shuō)明道理)

22.(安徽卷)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配

方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑?，F(xiàn)有芳香度分別為0,

1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同

的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。

(I)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；

(II)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；

解：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A,“所選用的兩種不同

的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B

2

(I)芳香度之和等于4的取法有2種：(0,4)、(1,3),故P(A)=不。

(II)芳香度之和等于1的取法有1種：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1種：(0,2),

故P⑻=1一(春+專(zhuān))=*

23.(北京卷)某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)；

方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是a,Ac,且三門(mén)課程考試是否及格

相互之間沒(méi)有影響.

(I)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率；

(II)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.(說(shuō)明理由)

解：設(shè)三門(mén)考試課程考試通過(guò)的事件分別為A,B,C,相應(yīng)的概率為a,b,c

(1)考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格的事件可表示為ABe+AFc+^BC+ABC,設(shè)其概率

為Pi,貝ijP尸ab(1—c)+a(1—b)c+(1—a)be+abc=ab+ac+be—2abc

設(shè)在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格的概率為則P2=』ab+,ac+'bc

333

11]222

(2)P)—P2=(ab+ac+bc—2abc)—(—ab+—acH-be)=—ab+—ac+—be-2abe

333333

22

=—(ab+ac+bc—3abc)=—(ab(1-c)+ac(1—b)+bc(1—a))>0

33

.?.PAPZ即用方案一的概率大于用方案二的概率.

24.(北京卷)某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)；

方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是0.5,0.6,0.9,且三門(mén)課程考試是

否及格相互之間沒(méi)有影響.求：

(I)該應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率；

(II)該應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率.

解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,

則P(4)=0.5,尸⑻=06尸(C)=0.9.

(I)應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率

Pi=P(A?B?C)+P(A?B?C)+P(A?B?Q+P(A?B-C)

=0.5X0.6X0.1+0.5X0.6X0.9+0.5X0.4X0.9+0.5X0.6X0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.

(II)應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率

111

P2=-P(A?B)+-P(B，C)+-P(A-C)

11

=-X(0.5X0.6+0.6X0.9+0.5X0.9)=-X1.29=0.43

33

25.(福建卷)每次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6).

(I)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)不同的概率；

(II)連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)之和為6的概率；

(III)連續(xù)拋擲5次，求向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3次的概率。

本小題主要考查概率的基本知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分12分。

解：(I)設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則尸(4)=絲2=*.

6x66

答：拋擲2次，向上的數(shù)不同的概率為3.

6

(II)設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”。

?.?向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5種,

答：拋擲2次，向上的數(shù)之和為6的概率為

26.(廣東卷)某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布如下:

X678910

p00.20.30.30.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為短

⑴求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率

(H)求J的分布列

解：(I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率為P(7)=0.2x0.2=0.04；

(II)j的可能取值為7、8、9、10

PC=7)=0.04=8)=2x0.2x0.3+0.32=0.21

=9)=2x0.2x0.3+2x0.3x0.3+0.32=0.39

P(J=10)=2x0.2x0.2+2x0.3x0.2+2x0.3x0.2+0.22=0.36

J分布列為

478910

p0.040.210.390.36

(III)g的數(shù)學(xué)希望為Eg=7X0.04+8X0.21+9X0.39+10x0.36=9.07.

27.（湖北卷）在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布

7V（7O,1OO）?已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名。

（I）、試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

（II），若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中（x（））=P（x<Xo）

X。0123456789

1.20.88490.88690.8880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015

1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177

1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.9319

1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767

2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817

2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正態(tài)分布，對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率

統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解：（I）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為因?yàn)樽?N（70,100）,由條件知,

90-70,不

P(J290)=1—P(^<90)=l-F(90)=l-(P-------)=1-62)=1-0.9772=0.228.

這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%,因此,

12

參賽總?cè)藬?shù)約為-------七526（人）。

0.0228

（II）假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則P（42x）=l—P"4）=1—F（90）=l—①（上X—?dú)v7X0）=

—=0.0951,即①（士四）=0.9049,查表得士衛(wèi)解得x=83.1.

5261010

故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。

28.（湖北卷）某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工至

多參加了其中一組。在參加活動(dòng)的職工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占

10%。登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的,，且該組中，青年人占50%,中年人占40%,

4

老年人占10%。為了了解各組不同的年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿(mǎn)意程度，現(xiàn)用分層抽

樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本。試確定

（I）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（II）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。

本小題主要考查分層抽樣的概念和運(yùn)算，以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解：（I）設(shè)登山組人數(shù)為x,游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、

x40%+3幼x10%+3xc

則有=47.5%,=10%，解得b=50%,c=10%.

4x4x

故a=100%—50%—10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、

50%、10%。

3

（II）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為200x—x40%=60（人）；抽取的中年人數(shù)為

4

33

200x—x50%=75（人）；抽取的老年人數(shù)為200x—x10%=15（人）。

44

29.（湖南卷）某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門(mén)對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（筒稱(chēng)安檢）.若安檢不合格,

則必須進(jìn)行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)

立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5,整改后安檢合格的概率是0.8,計(jì)算（結(jié)果精確

到0.01）:

（I）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；

（II）平均有多少家煤礦必須整改；

（HI）至少關(guān)閉一家煤礦的概率.

解：（I）.每家煤礦必須整改的概率是1—0.5,且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的.

所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是尸?=或X（1-0.5）2X0.53=3=0.31.

（II）.由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)J服從二項(xiàng)分布B（5,0.5）.從而g的數(shù)學(xué)期望是

EJ=5x0.5=2.5,即平均有2.50家煤礦必須整改.

（III）.某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被

關(guān)閉的概率是B=（l-0-5）x（l-0⑻=0.1,從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9.由題意，每家

煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是P3=1-0.95RR

30.（江西卷）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球，1個(gè)紅球的箱子

中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出2個(gè)紅

球可獲得獎(jiǎng)金50元，現(xiàn)有甲，乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令g表示甲，乙

摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額。求：

（1）g的分布列

（2）&的的數(shù)學(xué)期望

解:⑴J的所有可能的取值為0,10,20,50,60.

(2尸二衛(wèi)

P收二=0)=9

101000

1/9、2918243

產(chǎn)優(yōu)==10)：=——X(——)+

10101010121000

11818

P&二=20)

101021000

919

產(chǎn)優(yōu)==50)

10'102-1000'

1_1

=60)

一-10009

分布列為

g010205060

7292431891

P

10001000100010001000

(2)EJ=0x7-2^9+102x4^3^+20x-1^8-+50x^9-+60x—1!—=3.3(元)

10001000100010001000

31.(江西卷)某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子

中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球獲得二得獎(jiǎng)；摸出兩個(gè)紅球獲得

一等獎(jiǎng).現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次.求

(1)甲、乙兩人都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；

(2)甲、兩人中至少有一人獲二等獎(jiǎng)的概率.

解：(1)片=

918118262

(2)方法一:XH---x——H---x——=-----

10102101021000

1c191,19262

方法：:---b2x—x-------x2x——x——

21010101010101000

,93+2x2]262

方法三:1------X

81010101010；1000

32.(遼寧卷)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18

萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為1、已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次

623

調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是p(0<p<l),設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,

記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，片取0、1、2時(shí)，一年

后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量《、$分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投

資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).

(I)求。、芻的概率分布和數(shù)學(xué)期望后芻、E4;

(II)當(dāng)E。＜E瘋時(shí)，求p的取值范圍.

【解析】⑴解法1:。的概率分布為

由題設(shè)得4?5(2,p)，則4的概率分布為

百012

P(1-P)22p(l-p)P2

故芻的概率分布為

41.31.250.2

P(1-P)22P(1-P)P2

所以5的數(shù)學(xué)期望為

22

E(^2=1.3X(1-/?)+1.25X2/?(1-p)+0.2xp~=—p-0.17?+1.3.

解法2:。的概率分布為

,623

設(shè)4,表示事件”第i次調(diào)整，價(jià)格下降”(i=l,2),則

P(J=0尸P(4)P&=(l-p)2;

P(J=1)=P(4)尸(42)+P(AJP(4)=2p(l—p);

P優(yōu)=2)=P(4)P(42)=p2

故芻的概率分布為

41.31.250.2

P(1-P)22p(l-p)P2

所以4的數(shù)學(xué)期望為

222

E(^2=1.3x(l-/?)+1.25x2p(l-p)+0.2xp=-p-O.lp+1.3.

(II)由￡。<七&,得:

~p—0.lp+1.3>1.18=>(p+0.4)(/?—0.3)<0=—0.4<p<0.3

因0〈p〈l,所以E。<E&z時(shí),p的取值范圍是0<p<0.3.

【點(diǎn)評(píng)】本小題考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí),考查同學(xué)們運(yùn)用概率

知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

33.(遼寧卷)甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為

0.6,且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒(méi)有影響，求：

(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；

(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率.

本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生

運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

解：(I)甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C；x0.6x0.4=0.48

乙班參賽同學(xué)中恰有一名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C；x0.6x04=0.48

故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)幾個(gè)的概率為

P=0.48x0.48=0.2304

(II)解法一：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為0.44=0.0256,

故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為

P=1-0.0256=0.9744

解法二：甲、乙兩班參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率為C：x0.6x04=0.1536

甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有2名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C：x0.62x0.42=0.3456

甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C；X0.62X0.42=0.3456

甲、乙兩班4同學(xué)參賽同學(xué)成績(jī)都及格的概率為0.64=0.1296

故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為

P=0.1536+0.3456+0.3456+0.1296=0.9744

34.(全國(guó)卷DA、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)

組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，

服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱(chēng)該試驗(yàn)組為甲類(lèi)組。設(shè)每只小白鼠服用

21

A有效的概率為一，服用B有效的概率為一。

32

(I)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類(lèi)組的概率；

(H)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用g表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類(lèi)組的個(gè)數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解：(1)設(shè)A表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只"，i=0,l,2,

Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只"，i=0,l,2,

依題意有:P(A,)=2x|x|=*P(A2)=|x|=I.P(B0)=|x|=I，

P(BJ=2X：1,所求概率為:P=P(B°?A|)+P(B()?A2)+P(B1?A2)

1414

-X-+-X-144

4949+2X9=9

32

(n)€的可能值為0,1,2,3且&?B(33.P(g=0)=(|)=Iff,P(g=1)=C3'X^X(1)=^|,

2

P(I=2)=C3X?)2X?=墨，P(；=3)=(#=贛

&的分布列為:10123

1251008064

P729243243729

35.(全國(guó)卷I)A、B是治療同種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)

組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中,

服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱(chēng)該試驗(yàn)組為甲類(lèi)組。設(shè)每只小白鼠服用

21

A有效的概率為一，服用B有效的概率為一。

32

(I)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類(lèi)組的概率；

(II)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類(lèi)組的概率。

解：(1)設(shè)A表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只"，i=0,l,2,

Bi表示事件"?個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只"，i=0,l,2,

174224111

=,

依題意有:P(At)=2x-x-=-P(A2)=39P(B。后得=不

P(Bi)=2x|1,所求概率為:P=P(BoA)+P(B(yA2)+P(B「A2)

1414144

4X9+4X9+2X99

(II)所求概率為:P=1—(1—?jiǎng)?wù)=黑

36.(全國(guó)ID某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件.-用戶(hù)在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)?/p>

每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二

等品，其余為一等品.

(I)用f表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求f的分布列及f的數(shù)學(xué)期望；

(H)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶(hù)就拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品，求這批

產(chǎn)品級(jí)用戶(hù)拒絕的概率.

解(1.)J=0,1,2,3

P（^°）=§*f-10108-509

P(八＞)GC?；GC；+屋C；?C咕；金50

—2)=*詈+導(dǎo)曰端P-3)哈哈福

所以自的分布列為

0123

924152

P

50505050

924152

J的數(shù)學(xué)期望E(^)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.2

50505050

15217

(2)P(^2)=^=2)+P(^3)=-+-=-

本題主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,難度對(duì)于民族地區(qū)學(xué)生較大

37.(全國(guó)ID某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶(hù)在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿?/p>

箱中任意出取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，

其余為一等品。

(I)求取6件產(chǎn)品中有1件產(chǎn)品是二等品的概率。

(II)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶(hù)就拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品

被用戶(hù)拒絕的概率。

解：設(shè)A表示事件“第二箱中取出i件二等品"，i=0,1；

片表示事件“第三箱中取出i件二等品"，i=0,1,2；

(1)依題意所求的概率為

々=%"。)+尸(4出)=玖4)尸(綜)+尸(4產(chǎn)出)咯魯+^^^=!|

C：C；12_7

(2)解法一:所求的概率為6=1-24?為)-6=1-cf"cf~25~50

解法二：所求的概率為

P2=P(AIB,)+P(A0-B2)+P(AlB2)=P(AI)P(B,)+P(A0)P(B2)+P⑷P(3)

=GCj-C'GGCl=U

c；ClClClClCl50

38.(山東卷)袋中裝著標(biāo)有數(shù)學(xué)1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按

3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用￡表示取出的3個(gè)小

球上的最大數(shù)字，求：

(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)隨機(jī)變量￡的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率.

解：(I)解法一：”一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為4,

則尸(A)/C；C；C=2

Go3

解法二：”一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上

有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為8,則事件A和事件8是互斥事件，因?yàn)?/p>

12

所以P(A)=1—P(B)=1-

(II)由題意J有可能的取值為：2,3,4,5.

.5=

%=2)=*￡尸心

do二TP

c〉c；+c〉c；3.p江一5)=C；C+CC=8.

P《=4)10，(“)一一15,

所以隨機(jī)變量€的概率分布為

￡2345

1238

P

30151015

因此￡的數(shù)學(xué)期望為

Lcl?2,3u813

E￡=2X----F3X—F4X.+5x——=—

301510153

(III)”一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為C,則

2313

P(C)=P("s=3"或，=4")=P("￡=3")+P("￡=4")=—+—=—

39.(山東卷)盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡

片被抽出的可能性都相等，求：

(I)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；

(II)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念；

(III)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.

解：(I)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的