高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一篇 第5講 幾何概率 理 湘教版

第5講幾何概率A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，則含有麥銹病種子的概率是 ()．A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001解析設(shè)事件A為“10mL小麥種子中含有麥銹病種子”，由幾何概率的概率計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(10,1000)＝0.01，所以10mL小麥種子中含有麥銹病種子的概率是0.01.答案C2.(·巫山二模)如圖的矩形長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，由此我們可以估計(jì)出陰影部分的面積約為 ()．A.eq\f(16,5) B.eq\f(21,5) C.eq\f(23,5) D.eq\f(19,5)解析由幾何概率的概率公式，得eq\f(S,10)＝eq\f(138,300)，所以陰影部分面積約為eq\f(23,5)，故選C.答案C3．(·福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于 ()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析S△ABE＝eq\f(1,2)|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|.故所求概率P＝eq\f(S△ABE,S矩形ABCD)＝eq\f(1,2).答案C4．(·遼寧)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為 ()．A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析設(shè)出AC的長度，先利用矩形面積小于32cm2求出AC長度的范圍，再利用幾何概率的概率公式求解．設(shè)AC＝xcm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面積小于32cm2即為x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5．(·長沙模擬)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)x，cosx的值介于0至eq\f(1,2)之間的概率為________．解析根據(jù)題目條件，結(jié)合幾何概率的概率公式可得所求的概率為P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)6．(·江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．解析設(shè)A＝{小波周末去看電影}，B＝{小波周末去打籃球}，C＝{小波周末在家看書}，D＝{小波周末不在家看書}，如圖所示，則P(D)＝1－eq\f(\f(1,2)2π－\f(1,4)2π,π)＝eq\f(13,16).答案eq\f(13,16)三、解答題(共25分)7．(12分)如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)Q，求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率．解弦長不超過1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，事件A＝{弦長超過1}．由幾何概率的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).∴弦長不超過1的概率為1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).8．(13分)已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx＋n.(1)設(shè)集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為m和n，求函數(shù)y＝mx＋n是增函數(shù)的概率；(2)實(shí)數(shù)m，n滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1，))求函數(shù)y＝mx＋n的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率．解(1)抽取的全部結(jié)果所含元素有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10個元素．設(shè)使函數(shù)為增函數(shù)的事件為A，則A包含的元素有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6個，所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m，n滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的區(qū)域如圖所示，要使函數(shù)的圖象過一、二、三象限，則m＞0，n＞0，故使函數(shù)圖象過一、二、三象限的(m，n)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜年幱安糠?，∴所求事件的概率為P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為 ()．A.eq\f(4－π,2) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4) D.eq\f(π－2,4)解析設(shè)正方形邊長為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接正方形的面積，即為π－2，則陰影區(qū)域的面積為2π－4，所以所求概率為P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2).答案B2．(·大連、沈陽聯(lián)考)若利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個不等的隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等實(shí)數(shù)根的概率為 ()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等實(shí)數(shù)根，則需滿足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(a，b)的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等實(shí)數(shù)根”的可能結(jié)果為圖中陰影部分(不包括邊界)．由幾何概率公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).故選B.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)3．(·武漢一模)有一個底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點(diǎn)O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為________．解析確定點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離小于等于1的點(diǎn)的集合為，以點(diǎn)O1，O2為球心，1為半徑的兩個半球，求得體積為V＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，圓柱的體積為V＝Sh＝3π，所以點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為V＝1－eq\f(\f(4π,3),3π)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)4．(·煙臺二模)已知正三棱錐S－ABC的底邊長為4，高為3，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是________．解析三棱錐P－ABC與三棱錐S－ABC的底面相同，VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC就是三棱錐P－ABC的高小于三棱錐S－ABC的高的一半，過高的中點(diǎn)作一平行底面的截面，這個截面下任取一點(diǎn)都符合題意，設(shè)底面ABC的面積為S，三棱錐S－ABC的高為h，則所求概率為：P＝eq\f(\f(1,3)Sh－\f(1,3)×\f(1,4)S×\f(1,2)h,\f(1,3)Sh)＝eq\f(7,8).答案eq\f(7,8)三、解答題(共25分)5．(12分)(·巫溪調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中b，c是某范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，分別在下列條件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”發(fā)生的概率．(1)若隨機(jī)數(shù)b，c∈{1,2,3,4}；(2)已知隨機(jī)函數(shù)Rand()產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的范圍為{x|0≤x≤1}，b，c是算法語句b＝4*Rand()和c=4*Rand()的執(zhí)行結(jié)果.（注：符號“*”表示“乘號”）解由f(x)＝x2＋bx＋c知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c≤4，,c≤3.))(1)因?yàn)殡S機(jī)數(shù)b，c∈{1,2,3,4}，所以共等可能地產(chǎn)生16個數(shù)對(b，c)，列舉如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．事件A：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c≤4，,c≤3))包含了其中6個數(shù)對(b，c)，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，即事件A發(fā)生的概率為eq\f(3,8).(2)由題意，b，c均是區(qū)間[0,4]中的隨機(jī)數(shù)，點(diǎn)(b，c)均勻地分布在邊長為4的正方形區(qū)域Ω中(如圖)，其面積S(Ω)＝16.事件A：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c≤4，,c≤3))所對應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的梯形(陰影部分)，其面積為S(A)＝eq\f(1,2)×(1＋4)×3＝eq\f(15,2).所以P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(\f(15,2),16)＝eq\f(15,32)，即事件A發(fā)生的概率為eq\f(15,32).6．(13分)甲、乙兩艘船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達(dá)．甲、乙兩船?？坎次坏臅r間分別為4小時與2小時，求有一艘船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率．解甲比乙早到4小時內(nèi)乙需等待，甲比乙晚到2小時