黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

初二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．考試時間120分鐘．2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列各式是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【詳解】解：A、最簡二次根式，符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、，不是最簡二次根式，不符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足下列兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．2.下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把四個選項中的二次根式化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行選擇即可．【詳解】A．，與是同類二次根式，故正確；B．，與不是同類二次根式，故錯誤；C．，與不是同類二次根式，故錯誤；D．，與不是同類二次根式，故錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．3.下列條件下，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：A、，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；B、，設(shè)，，，，，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；C、，，，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；D、，，，，，不是直角三角形，選項說法正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4.直角三角形的兩邊長分別為6和10，那么它的第三邊的長度為（）A.8 B.10 C.8或 D.10或【答案】C【解析】【分析】分別以10為直角邊、10為斜邊兩種情況按勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)10為直角邊時，斜邊=；當(dāng)10為斜邊時，另-條直角邊==8．故選C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理和分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．5.下列運算正確的是（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減法、二次根式的乘法法則、二次根式的除法法則依次進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、不能合并，所以A選項錯誤；B、原式=，所以B選項錯誤；C、原式=，所以C選項正確；D、原式=，所以D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運算，再合并即可．6.菱形的對角線長分別是,則這個菱形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積公式：菱形面積=ab（a、b是兩條對角線的長度）可得到答案．【詳解】菱形的面積：故選：B．【點睛】此題主要考查了菱形的面積公式，關(guān)鍵是熟練掌握面積公式．7.如圖、在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側(cè)作正方形、面積分別記為，，．若．則圖中陰影部分的面積為（）A.6 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是由勾股定理得出是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得出，再根據(jù)可得出的值，即可求解．【詳解】解：由勾股定理得：，即，，，由圖形可知，陰影部分的面積為，陰影部分的面積為，故選：B．8.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF．則EF的最大值與最小值的差為（）A.1 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EFAG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，∵AM＝DM＝DC＝2，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝2，在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴ANAC，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EFAG，易知AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，∴AG的最大值為2，最小值為，∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為．故選：C．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點是證明∠ACD=90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．9.實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡－＋b的結(jié)果是()A.1 B.b＋1C.2a D.1－2a【答案】A【解析】【詳解】由數(shù)軸可得：a?1<0，a?b<0，則原式=1?a+a?b+b=1故選：A10.我們規(guī)定：對于任意的正數(shù)，的運算“”為當(dāng)時，；當(dāng)時，，其他運算符號意義不變，按上述規(guī)定，計算的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)新定義當(dāng)時，；當(dāng)時，即可解答．【詳解】解：∵當(dāng)時，，∴，∵當(dāng)時，，∴，∴，故選．【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，涉及二次根式的性質(zhì)和加減運算，明確新定義運算的法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，滿分21分）11.函數(shù)的自變量的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：且．故答案為：且．【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍的求法，一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．12.如圖，在平行四邊形中，兩點均在對角線上．要使四邊形為平行四邊形，在不添加輔助線的情況下，需要增加的一個條件是__________（寫出一個即可）．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】連接BD交AC于點O，由平行四邊形性質(zhì)可得到OB=OD，要證明四邊形BEDF為平行四邊形，只需要OE=OF即可，故添加的條件只要能證明OE=OF即可．【詳解】如圖，連接BD交AC于點O，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OB=OD，OA=OC，

若AE=CF，則有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形，

故答案為：AE=CF．答案不唯一．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．即①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．13.在中，，，的對邊分別為a，b，c，有以下5個條件：①；②；③；④；⑤．其中能判斷是直角三角形的是__________（填序號）．【答案】②③④⑤【解析】【分析】本題考查了直角三角形的判定，根據(jù)所給的條件，結(jié)合勾股定理逆定理、三角形內(nèi)角和定理對選項一一判定即可．【詳解】解：①，設(shè)，則，，∵∴，則，，，故①不是直角三角形．②，設(shè)，，，則，，則，故②為直角三角形．③∵，設(shè)，則，，∴，故③為直角三角形．④化簡為：，則：，故④為直角三角形，⑤，∵，∴，∴，故⑤為直角三角形，故答案為：②③④⑤.14.如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是________．【答案】【解析】【分析】利用勾股定理求出的長進(jìn)而求出的長，再根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，由勾股定理得，∴，∵數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，∴a的值是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，正確利用勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．15.如圖，將矩形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點G處，折痕為，若則的值為_______【答案】【解析】【分析】本題主要考查矩形與折疊、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．連接，由折疊可知，，由可得，進(jìn)而得到，則，設(shè)，則，在中，利用勾定理建立方程，求解即可．【詳解】∵四邊形為矩形，，∴，由折疊可知，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故答案為：．16.等腰中，，垂足為點，且，則等腰底角的度數(shù)為_______．【答案】或或【解析】【分析】分點是頂角頂點、點是底角頂點、在外部和在內(nèi)部三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計算．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)點是頂角頂點時，，，，，，在中，；②如圖2，當(dāng)點是底角頂點，且在外部時，，，，，；③如圖3，當(dāng)點是底角頂點，且在內(nèi)部時，，，，，；故答案為：或或．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．17.如圖，正方形中，，與直線l所夾銳角為，延長交直線l于點，作正方形，延長交直線l于點，作正方形，延長交直線l于點，作正方形，…，依此規(guī)律，則線段______．【答案】【解析】【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索、正方形的性質(zhì)、解直角三角形；利用正方形的性質(zhì)得到，，求出，從而可得，同理得到，利用此變化規(guī)律得到，然后代入計算即可．【詳解】解：四邊形是正方形，，，∵與直線l所夾銳角為，，，，同理可得：，，．．．．．．∴，∴故答案為：．三、解答題（本題共69分）18.（1）（2）（3）先化簡再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算，分式的化簡求值；（1）先算除法和乘法，再算加減即可；（2）先化簡各項，再合并同類二次根式即可；（3）先化簡分式，再代入求值即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式當(dāng)時，原式．19.在四邊形中，，．（1）求．（2）求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積；

（1）利用勾股定理求出的長度，在中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，可得；

（2）根據(jù)四邊形的面積計算即可求解．【小問1詳解】在中，由勾股定理得：在中，，，，∴是直角三角形，．【小問2詳解】四邊形的面積．20.觀察下列各式及驗證過程：，驗證；，驗證：；，驗證：.（1）按照上述三個等式及其驗證過程的基本思路，猜想________；（2）按照上述三個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗證；（3）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用自然數(shù)n表示的等式，并進(jìn)行驗證.【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）——（3）均根據(jù)題中各式的驗證過程仿寫即可.詳解】解：（1）.（2）猜想.驗證.（3）.驗證：.【點睛】本題考查了二次根式，屬于模仿題型，理解題中各式的求解方法是解題的關(guān)鍵.21.今日，A城氣象局測得沙塵暴中心在A城的正西方向240千米的B處，以每時12千米的速度向北偏東60度方向移動，距沙塵暴中心150千米的范圍為受影響區(qū)域．（1）A城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？（2）若A城受這次沙塵暴的影響，遭受影響的時間有多長？【答案】（1）受影響，理由見解析（2）15小時【解析】【分析】（1）過點作，垂足為，在中，由題意可知，由此可以求出的長度，然后和150比較大小即可判斷城是否受到這次沙塵暴的影響；（2）如圖，設(shè)點，是以為圓心，為半徑的圓與的交點，根據(jù)勾股定理可以求出的長度，也就求出了的長度，然后除以沙塵暴的速度即可求出遭受影響的時間．【小問1詳解】解：過點作，垂足為，在中，由題意可知，，，城將受這次沙塵暴的影響；【小問2詳解】設(shè)點，是以為圓心，為半徑的圓與的交點，連接，，由題意得，，城受沙塵暴影響的時間為：（小時），答：城將受到這次沙塵暴的影響，影響的時間為15小時．【點睛】此題考查了直角三角形中的角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理的應(yīng)用，當(dāng)然首先正確理解題意，把握好題目的數(shù)量關(guān)系是解決問題的前提．22.如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE≌△DOF（ASA），進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，設(shè)BE=x，則

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵23.綜合與實踐情景再現(xiàn)：我們動手操作：把正方形沿對角線剪開就分剪出兩個等腰直角三角形，把其中一個等腰直角三角形與正方形重新組合在一起，圖形變得豐富起來，當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)時，問題也隨旋轉(zhuǎn)應(yīng)運而生．如圖①把正方形沿對角線剪開，得兩個等腰直角三角形和．（1）問題呈現(xiàn)我們把剪下的兩個三角形一個放大另一個縮小拼成如圖②所示的圖形①若點P是平面內(nèi)一動點，，則線段的取值范圍是___________．②直接寫出線段與的關(guān)系是___________．（2）我們把剪下的其中一個三角形放大與正方形組合如圖③④⑤所示，點E在直線上，交直線于M．①當(dāng)點E在上時，如圖③所示，求證：；②當(dāng)點E在的延長線時，如圖④所示，則線段具有的數(shù)量關(guān)系為___________；當(dāng)點E在的延長線上時，如圖⑤所示，則線段具有的數(shù)量關(guān)系為___________；問題拓展（3）在（2）的條件下，連接，當(dāng)，其他條件不變，則線段的長為___________．【答案】（1）；且（2），，（3）1或4【解析】【分析】（1）①根據(jù)點P是平面內(nèi)一動點，，可知點P在以A點為圓心，以1為半徑的圓上，從而可得點P在上時，有最小值，點P在的延長線上，有最大值，分別進(jìn)行求解即可；②證明即可得出結(jié)論；（2）①過點F作，交的延長線于點G，證明即可得出結(jié)論；②過點F作，交的延長線與點N，證明即可得出結(jié)論；③過點F作于點H，證明即可得出結(jié)論；（3）連接，根據(jù)和（2）中的三種情況進(jìn)行分類討論即可．【小問1詳解】解：①∵點P是平面內(nèi)一動點，，∴點P在以A點為圓心，以1為半徑的圓上，∴點P在上時，有最小值，，點P在的延長線上，有最大值，，，②∵和是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，故答案為：；且．【小問2詳解】解：①如圖3，過點F作，交的延長線于點G，連接，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，∵四邊形是正方形，，又，∴四邊形是矩形，∴∴∴，又∵∴∴四邊形是正方形，，，．②如圖4，過點F作，交的延長線與點N，∵，，是等腰直角三角形，，，，又，，在和中，，，，同理①可得四邊形是正方形，，．③如圖5，過點F作于點H，，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，同②可得四邊形是正方形，，．小問