復數(shù)的概念 講義-高一年級下冊數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

7.1復數(shù)的概念

一、復數(shù)的概念

1、問題導入

【問題1】必+1=。在實數(shù)集R中無解，你能設想一種方法，使這個方程有解嗎？

預設回答：找出新的數(shù)，使得這個數(shù)的平方加1等于0

【問題2】：要進行數(shù)系的再一次擴充要解決什么問題？怎么解決？

偉大的數(shù)學家歐拉引入一個新數(shù)。叫做虛數(shù)單位。

并規(guī)定產=-1且i可以與實數(shù)進行四則運算，進行運算時加法和乘法運算律仍成立。

【問題3］：現(xiàn)在大家是不是可以解出方程必+1=0呢？

預設回答：x-i,x--i

2、⑴復數(shù)

①定義：形如。+歷的數(shù)叫作復數(shù)，其中a,bGR,i叫作虛數(shù)單位，a叫作復數(shù)的實部力叫作

復數(shù)的虛部

②表示方法：復數(shù)通常用字母z表示,即復數(shù)z=a+bi（a力GR）.

（2）復數(shù)集

①定義：全體復數(shù)組成的集合叫作復數(shù)集.

②表示：通常用大寫字母C表示.。=1+瓦卜力€尺｝

③實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，即R_C

二、復數(shù)的分類

（實數(shù)6=0

復數(shù)（a+歷,［純虛數(shù)a=0

虛數(shù)厚0人行電耗〃

〔〔非純虛數(shù)存0

三、兩個復數(shù)相等

〃+bi=c+di當且僅當a=G〃=d（注意：虛數(shù)不能比較大小）

【例1J請說出下列復數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)，還是純虛數(shù).

①2+3i；②—3+gi；(§X/2+i；④兀；⑤一4i;@0.

［例2］下列復數(shù)中，滿足方程f+10=0的是（）

A.±10B.+V10C.dVlOiD.±10i

【例3】z=(m2-5m+6)+(m2-8m+15)z,i為虛數(shù)單位，zn為實數(shù).

(1)當z為純虛數(shù)時，求加的值；

⑵當z為實數(shù)時，求機的值；

［例4］已知x2—丁+2盯i=2i,求實數(shù)無、y的值.

【例5】已知z；=-3-4z,z2=（"?-3"7-l）+（"2-"7-61，且zi=Z2,則實數(shù)加=,n=.

［例6］已知M={1,（%2—2加）+（加+%一2）i},P={—l,l,4i},若MUP=P，求實數(shù)機的值

四、復平面

復數(shù)z=a+歷(a,6dR)可以用直角坐標平面內的

一個點Z來表示，如圖所示，點Z的橫坐標是a,

縱坐標是6,復數(shù)z=a+bi可用點Z(a,6)表示.

這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作復

平面，無軸叫作實軸，y軸叫作虛軸.顯然，實

軸上的點都表示實數(shù)；虛軸上的點除原點外都

表示純虛數(shù).

每一個復數(shù)在復平面內都有唯一的一個點與它對應.反過來，復平面內的每一個點都有

唯一的一個復數(shù)與它對應.復數(shù)集C和復平面內所有的點構成的集合是一一對應的

——對應

⑴復數(shù)z=a+bi(a力eR)------------------>復平面內的點Z(a,b)；

一一對應—>

⑵復數(shù)z=a+bi(a,6GR)------------------>平面向量OZ=(a,b).

—>—>

(3)復數(shù)的模：復數(shù)z=a+bi(a,6GR)對應的向量為0Z,則0Z的模叫作復數(shù)z的?；蚪^對值，記

作團,且

|z|=|a+勿]^yja2+b2.

【例7】在復平面內，若復數(shù)z=(療一相一2)+(源-3??+2)i對應點：(1)在虛軸上，求實數(shù)

m的取值范圍.

(2)在第二象限,求實數(shù)m的取值范圍

【例8】已知復數(shù)z=a+3i在復平面內對應的點位于第二象限，且|z|=2,則復數(shù)z等于()

A.-1+V3iB.l+V3i

C.-1+451或1+45]D.-2+M5i

【例9】設z為純虛數(shù)，且|z—1|=|—l+i|,求復數(shù)z.

【例10】已知復數(shù)z=3+ai,且|z|<4,求實數(shù)a的取值范圍.

【例11】在復平面內作出復數(shù)zi=^+坐KZ2=—1,Z3=T—坐，對應的向量短1，反2,023,

并求出各復數(shù)的模，同時判斷各復數(shù)對應的點在復平面上的位置關系.

【例12］下列命題中：

①若z=a+Z?i,則僅當〃=0,厚0時z為純虛數(shù)；

②若⑵-Z2>+（Z3—Z2）2=0,貝ljZ1=Z2=Z3；

③x+yi=l==y=1；

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

課后練習

1.復數(shù)4—3〃一。勺與復數(shù)4+40相等，則實數(shù)〃的值為（）

A.1B.1或一4C.-4D.0或一4

2.復數(shù)+2），為虛數(shù)，則實數(shù)x滿足（）

A.^=~2B.%=-2或

C.洋—2D.-4且*:—2

3.復數(shù)z=〃2—廬+3+|〃|?3、b￡R）為實數(shù)的充要條件是（）

A.a<0B.〃<0且。=一/?

C.〃>0且〃處D.〃>0且〃=|/?|

4.若2+山=/?一工其中〃，i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=〃+Z?i的模等于（）

A.1B.2C.小D.5

5.以31—也的虛部為實部，以一3+也，的實部為虛部的復數(shù)是（）

A.3-3iB.3+餡C.—也+的D.也+也i

V2

6.已知復數(shù)z=〃一萬（〃，brR,。<0）,滿足|z|=l,復數(shù)z的實部為叩，則復數(shù)z的虛部為

（）

A乎B.-號號D.

7.在復平面內，復數(shù)z=sin2+icos2對應的點位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知復數(shù)z=(〃2—2〃)+(次一〃一2)i對應的點在虛軸上，貝lj()

A.存2或存1且存1

C.a=OD.Q=2或。=0

9.如果復數(shù)z滿足條件z+|z|=2+i,那么z=()

3333

A.—^+iB'TD.^+z

10.在復平面內，平行四邊形ABCD的3個頂點A,B,C對應的復數(shù)分別是1+2。~2+

i,0,則點D對應的復數(shù)是()

A.3—iB.-1+3;

C.3+iD.~3~i

11.復數(shù)Z對應的點在第二象限，它的模為3,實部是一小，則2=.

-->-->-->

12.已知。為坐標原點，OZi對應的復數(shù)為一3+4i,OZ2對應的復數(shù)為2a+i(aGR).若OZi

與次2共線，求