復(fù)數(shù)的概念 講義-高一年級下冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

7.1復(fù)數(shù)的概念

一、復(fù)數(shù)的概念

1、問題導(dǎo)入

【問題1】必+1=。在實數(shù)集R中無解，你能設(shè)想一種方法，使這個方程有解嗎？

預(yù)設(shè)回答：找出新的數(shù)，使得這個數(shù)的平方加1等于0

【問題2】：要進行數(shù)系的再一次擴充要解決什么問題？怎么解決？

偉大的數(shù)學(xué)家歐拉引入一個新數(shù)。叫做虛數(shù)單位。

并規(guī)定產(chǎn)=-1且i可以與實數(shù)進行四則運算，進行運算時加法和乘法運算律仍成立。

【問題3］：現(xiàn)在大家是不是可以解出方程必+1=0呢？

預(yù)設(shè)回答：x-i,x--i

2、⑴復(fù)數(shù)

①定義：形如。+歷的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a,bGR,i叫作虛數(shù)單位，a叫作復(fù)數(shù)的實部力叫作

復(fù)數(shù)的虛部

②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即復(fù)數(shù)z=a+bi（a力GR）.

（2）復(fù)數(shù)集

①定義：全體復(fù)數(shù)組成的集合叫作復(fù)數(shù)集.

②表示：通常用大寫字母C表示.。=1+瓦卜力€尺｝

③實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R_C

二、復(fù)數(shù)的分類

（實數(shù)6=0

復(fù)數(shù)（a+歷,［純虛數(shù)a=0

虛數(shù)厚0人行電耗〃

〔〔非純虛數(shù)存0

三、兩個復(fù)數(shù)相等

〃+bi=c+di當(dāng)且僅當(dāng)a=G〃=d（注意：虛數(shù)不能比較大?。?/p>

【例1J請說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)，還是純虛數(shù).

①2+3i；②—3+gi；(§X/2+i；④兀；⑤一4i;@0.

［例2］下列復(fù)數(shù)中，滿足方程f+10=0的是（）

A.±10B.+V10C.dVlOiD.±10i

【例3】z=(m2-5m+6)+(m2-8m+15)z,i為虛數(shù)單位，zn為實數(shù).

(1)當(dāng)z為純虛數(shù)時，求加的值；

⑵當(dāng)z為實數(shù)時，求機的值；

［例4］已知x2—丁+2盯i=2i,求實數(shù)無、y的值.

【例5】已知z；=-3-4z,z2=（"?-3"7-l）+（"2-"7-61，且zi=Z2,則實數(shù)加=,n=.

［例6］已知M={1,（%2—2加）+（加+%一2）i},P={—l,l,4i},若MUP=P，求實數(shù)機的值

四、復(fù)平面

復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6dR)可以用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的

一個點Z來表示，如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a,

縱坐標(biāo)是6,復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,6)表示.

這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)

平面，無軸叫作實軸，y軸叫作虛軸.顯然，實

軸上的點都表示實數(shù)；虛軸上的點除原點外都

表示純虛數(shù).

每一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有唯一的一個點與它對應(yīng).反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點都有

唯一的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合是一一對應(yīng)的

——對應(yīng)

⑴復(fù)數(shù)z=a+bi(a力eR)------------------>復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)；

一一對應(yīng)—>

⑵復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6GR)------------------>平面向量OZ=(a,b).

—>—>

(3)復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6GR)對應(yīng)的向量為0Z,則0Z的模叫作復(fù)數(shù)z的?；蚪^對值，記

作團,且

|z|=|a+勿]^yja2+b2.

【例7】在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z=(療一相一2)+(源-3??+2)i對應(yīng)點：(1)在虛軸上，求實數(shù)

m的取值范圍.

(2)在第二象限,求實數(shù)m的取值范圍

【例8】已知復(fù)數(shù)z=a+3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且|z|=2,則復(fù)數(shù)z等于()

A.-1+V3iB.l+V3i

C.-1+451或1+45]D.-2+M5i

【例9】設(shè)z為純虛數(shù)，且|z—1|=|—l+i|,求復(fù)數(shù)z.

【例10】已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且|z|<4,求實數(shù)a的取值范圍.

【例11】在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)zi=^+坐KZ2=—1,Z3=T—坐，對應(yīng)的向量短1，反2,023,

并求出各復(fù)數(shù)的模，同時判斷各復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面上的位置關(guān)系.

【例12］下列命題中：

①若z=a+Z?i,則僅當(dāng)〃=0,厚0時z為純虛數(shù)；

②若⑵-Z2>+（Z3—Z2）2=0,貝ljZ1=Z2=Z3；

③x+yi=l==y=1；

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

課后練習(xí)

1.復(fù)數(shù)4—3〃一。勺與復(fù)數(shù)4+40相等，則實數(shù)〃的值為（）

A.1B.1或一4C.-4D.0或一4

2.復(fù)數(shù)+2），為虛數(shù)，則實數(shù)x滿足（）

A.^=~2B.%=-2或

C.洋—2D.-4且*:—2

3.復(fù)數(shù)z=〃2—廬+3+|〃|?3、b￡R）為實數(shù)的充要條件是（）

A.a<0B.〃<0且。=一/?

C.〃>0且〃處D.〃>0且〃=|/?|

4.若2+山=/?一工其中〃，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=〃+Z?i的模等于（）

A.1B.2C.小D.5

5.以31—也的虛部為實部，以一3+也，的實部為虛部的復(fù)數(shù)是（）

A.3-3iB.3+餡C.—也+的D.也+也i

V2

6.已知復(fù)數(shù)z=〃一萬（〃，brR,。<0）,滿足|z|=l,復(fù)數(shù)z的實部為叩，則復(fù)數(shù)z的虛部為

（）

A乎B.-號號D.

7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對應(yīng)的點位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.已知復(fù)數(shù)z=(〃2—2〃)+(次一〃一2)i對應(yīng)的點在虛軸上，貝lj()

A.存2或存1且存1

C.a=OD.Q=2或。=0

9.如果復(fù)數(shù)z滿足條件z+|z|=2+i,那么z=()

3333

A.—^+iB'TD.^+z

10.在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的3個頂點A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2。~2+

i,0,則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.3—iB.-1+3;

C.3+iD.~3~i

11.復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點在第二象限，它的模為3,實部是一小，則2=.

-->-->-->

12.已知。為坐標(biāo)原點，OZi對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一3+4i,OZ2對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i(aGR).若OZi

與次2共線，求