新高考數(shù)學(xué)二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）20 累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式（含解析）

素養(yǎng)拓展20累加、累乘、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、累加法形如SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個式子兩邊分別相加，可得：SKIPIF1<0=1\*GB3①若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．二、累乘法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個式子兩邊分別相乘，可得：SKIPIF1<0三、構(gòu)造法1.第一種形式：形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)且SKIPIF1<0）型的遞推式（1）若SKIPIF1<0時，數(shù)列{SKIPIF1<0}為等差數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0時，數(shù)列{SKIPIF1<0}為等比數(shù)列；（3）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，數(shù)列{SKIPIF1<0}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)SKIPIF1<0，展開移項整理得SKIPIF1<0，與題設(shè)SKIPIF1<0比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0兩式相減并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．求出SKIPIF1<0的通項再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出SKIPIF1<02.第二種形式：形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推式（1）當SKIPIF1<0為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：當SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0時，由遞推式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為第一種形式，求出SKIPIF1<0，再用累加法便可求出SKIPIF1<0（2）當SKIPIF1<0為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項公式求出SKIPIF1<0的通項整理可得SKIPIF1<0法二：當SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0時，由遞推式得：SKIPIF1<0——①，SKIPIF1<0，兩邊同時乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0——②，由①②兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在轉(zhuǎn)化為第一種形式便可求出SKIPIF1<0法三：遞推公式為SKIPIF1<0（其中p，q均為常數(shù)）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入輔助數(shù)列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0再應(yīng)用類型第一種形式的方法解決．（3）當SKIPIF1<0為任意數(shù)列時，可用通法：在SKIPIF1<0兩邊同時除以SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在轉(zhuǎn)化為累加法，求出SKIPIF1<0之后得SKIPIF1<0．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通項公式.【分析】利用累加法以及等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0適合上式，所以SKIPIF1<0.【典例2】已知數(shù)列{an}，a1=1，(n【答案】an＝SKIPIF1<0【分析】由題得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，再利用累乘法求解.【詳解】∵(n＋1)an+1＝nan，，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0(n≥2)．以上各式相乘，得SKIPIF1<0.∵an＝SKIPIF1<0(n≥2)又a1＝1滿足上式，∴an＝SKIPIF1<0(n∈N*)．【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【分析】(1)構(gòu)造等比數(shù)列求通項；【詳解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型訓(xùn)練1-刷真題】一、單選題1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定SKIPIF1<0除去SKIPIF1<0，其他項都在SKIPIF1<0范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到SKIPIF1<0，累加可求出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，累加可求出SKIPIF1<0，再次放縮可得出SKIPIF1<0．【詳解】∵SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，依次類推可得SKIPIF1<0由題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上：SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進行合理變形放縮.2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】顯然可知，SKIPIF1<0，利用倒數(shù)法得到SKIPIF1<0，再放縮可得SKIPIF1<0，由累加法可得SKIPIF1<0，進而由SKIPIF1<0局部放縮可得SKIPIF1<0，然后利用累乘法求得SKIPIF1<0，最后根據(jù)裂項相消法即可得到SKIPIF1<0，從而得解．【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0根據(jù)累加法可得，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，由裂項求和法得：所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：A．【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到SKIPIF1<0的不等關(guān)系，再由累加法可求得SKIPIF1<0，由題目條件可知要證SKIPIF1<0小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到SKIPIF1<0的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到SKIPIF1<0，最后由裂項相消法求得SKIPIF1<0．二、解答題3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用和與項的關(guān)系得到當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,進而得：SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0，檢驗對于SKIPIF1<0也成立，得到SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到SKIPIF1<0，進而證得.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，顯然對于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練2-刷模擬】1.累加法一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前n項和的公式即可得出答案.【詳解】解：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當n=1時也成立故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時也符合，∴數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0.故選C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．31 C．22 D．23【答案】B【分析】根據(jù)題意利用累加法求解即可【詳解】因為數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先把SKIPIF1<0，利用累加法和裂項相消法可求答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0個式子相加可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0符合題意，所以SKIPIF1<0.故選：D.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的第100項為（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】直接用累加法求解即可．【詳解】解：由題意，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上99個式子累加得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：B．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】運用累加法求得SKIPIF1<0的通項公式，再運用裂項相消法求和即可.【詳解】解：當SKIPIF1<0時，由累加法可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．6065 B．6064 C．4044 D．4043【答案】B【分析】先由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再利用裂項抵消法進行求解.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，n=1成立則SKIPIF1<0.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】試題分析：在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選A.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7【答案】A【分析】由所給表達式SKIPIF1<0，結(jié)合累加法可求得SKIPIF1<0的通項公式；進而求得SKIPIF1<0的表達式，因為SKIPIF1<0取正整數(shù)，利用最低點附近的SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值．【詳解】因為SKIPIF1<0，所以由遞推公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，等式兩邊分別相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減,在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選:SKIPIF1<0.二、填空題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中最大項的數(shù)值為．【答案】10【分析】利用累加法，求出SKIPIF1<0是一個二次函數(shù)類型的數(shù)列，通過二次函數(shù)的最值求解即可【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，數(shù)列{SKIPIF1<0}中最大項的數(shù)值為10.故答案為：10.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用累加法和等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式直接求通項即可.【詳解】因為數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，也滿足上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<012．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前100項的和為.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根據(jù)累加法求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，然后利用裂項求和進行求解.【詳解】由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<013．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均不為零，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】變換得到SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用累加法計算得到答案.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符合該式，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】100【分析】先裂項，然后由累加法可得.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0=9，即SKIPIF1<0=9，解得n=100故答案為：100三、解答題15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為2.數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0取得最小值時SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即得；（2）利用裂項求和法結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，累加可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0取最小值時，SKIPIF1<0的值為2.（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0顯然SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.16．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，然后利用累加法求出SKIPIF1<0即可得證；（2）SKIPIF1<0，利用分組求和法和錯位相減法可得答案.【詳解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，??，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，①∴SKIPIF1<0，②錯位相減，②﹣①，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.17．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0，利用累加法求數(shù)列通項公式，注意驗證SKIPIF1<0；（2）由題設(shè)得SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的奇偶性分別求出對應(yīng)前n項和即可.【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0SKIPIF1<0，檢驗知：當SKIPIF1<0時上式也成立，故SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時SKIPIF1<0滿足上式，此時SKIPIF1<0；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第SKIPIF1<0個圖形包含SKIPIF1<0個小正方形.

(1)求出SKIPIF1<0；(2)歸納出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求SKIPIF1<0的表達式；(3)求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)41(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)圖形中小正方形排列規(guī)律可得；（2）先對已知的前幾個圖形中小正方形個數(shù)作差（后一個減去前一個），從而找出規(guī)律，進而歸納出SKIPIF1<0，然后利用累加法求出SKIPIF1<0；（3）根據(jù)SKIPIF1<0的特點，利用裂項相消法求和，進而證出不等式.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式相加得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也適合SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.19．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）設(shè)各項都為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由遞推關(guān)系，根據(jù)累加法求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）由條件可得SKIPIF1<0，利用錯位相減法求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【詳解】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以上各式分別相加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗SKIPIF1<0符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.20．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在數(shù)列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項之間，都插入SKIPIF1<0個相同的數(shù)SKIPIF1<0，組成數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由條件證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，利用累加法求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）數(shù)列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0項，由此確定前SKIPIF1<0項的值，再分組，結(jié)合等比求和公式可求得答案.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為首項為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也滿足該關(guān)系，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0；（2）數(shù)列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0項，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02.累乘法一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】通過累乘法可求出SKIPIF1<0，再利用遞推式求出SKIPIF1<0，進而答案可求.【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．n【答案】D【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，再利用累乘法計算可得；【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)），則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】結(jié)合遞推式特征，利用累乘法算出SKIPIF1<0，進而可得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，后由累乘法可得答案.【詳解】注意到SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.故選：B5．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數(shù)SKIPIF1<0為（

）A．20 B．19 C．21 D．22【答案】A【分析】由題意利用累乘法可得SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0即可得解.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故所求SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：A.【點睛】本題考查了累乘法求數(shù)列通項的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.二、填空題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)累乘法求出當SKIPIF1<0時的通項公式，并驗證SKIPIF1<0也滿足，從而得到SKIPIF1<0的通項公式.【詳解】因為數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也滿足SKIPIF1<0，所以，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<07．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為．【答案】SKIPIF1<0【分析】將SKIPIF1<0變?yōu)镾KIPIF1<0，利用累乘法即可求得答案.【詳解】由題意知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<08．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則通項SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩式相減，可得出SKIPIF1<0，再由累乘法計算即可得出答案.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0①，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累乘得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.三、解答題9．（2023·浙江金華·校考三模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，代入等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式進而求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，利用累乘法求出SKIPIF1<0.【詳解】（1）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為等差數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù).所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時也符合.所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.10．（2023春·山東臨沂·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項為1，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再根據(jù)累乘法可求出SKIPIF1<0；（2）根據(jù)錯位相減法可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也符合，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.11．（2023春·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列，求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公比為q，由題意列式求得q，再結(jié)合已知可得SKIPIF1<0，即可求得答案；（2）由已知求得SKIPIF1<0的通項公式，可得SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0的表達式，再用裂項求和法證明結(jié)論.