新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第9章　§9.4　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（原卷版）

§9.4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)梳理1．分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．2．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．如表為5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)．()(2)事件A和B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個(gè)事件互不影響．()(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．()(4)在2×2列聯(lián)表中，若|ad－bc|越小，則說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng)．()教材改編題1．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游．若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是()A．均值 B．方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．回歸分析2．如表是2×2列聯(lián)表，則表中a，b的值分別為()y1y2合計(jì)x1a835x2113445合計(jì)b4280A.27,38 B．28,38C．27,37 D．28,373．已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝________的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．題型一列聯(lián)表與χ2的計(jì)算例1(1)為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：男女合計(jì)喜歡ab73不喜歡c25合計(jì)74則a－b－c等于()A．7B．8C．9D．10(2)為加強(qiáng)素質(zhì)教育，使學(xué)生各方面全面發(fā)展，某學(xué)校對(duì)學(xué)生文化課與體育課的成績(jī)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：體育課不及格體育課及格合計(jì)文化課及格57221278文化課不及格164359合計(jì)73264337在對(duì)體育課成績(jī)與文化課成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到χ2的值為()A．1.255 B．38.214C．0.0037 D．2.058思維升華2×2列聯(lián)表是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別．跟蹤訓(xùn)練1某次國(guó)際會(huì)議為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，在如表“性別與會(huì)外語(yǔ)”的2×2列聯(lián)表中，a＋b＋d＝________.會(huì)外語(yǔ)不會(huì)外語(yǔ)合計(jì)男ab20女6d合計(jì)1850例2甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)．為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司在甲、乙兩城之間長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．跟蹤訓(xùn)練2為了減少自身消費(fèi)的碳排放，“綠色消費(fèi)”等綠色生活方式漸成風(fēng)尚．為獲得不同年齡段的人對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況，某地研究機(jī)構(gòu)將“90后與00后”作為A組，將“70后與80后”作為B組，并從A，B兩組中各隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝四挲g段認(rèn)知情況合計(jì)知曉不知曉A組(90后與00后)7525100B組(70后與80后)4555100合計(jì)12080200附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(1)若從樣本內(nèi)知曉“綠色消費(fèi)”意義的120人中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法隨機(jī)抽取16人，問應(yīng)在A組、B組中各抽取多少人？(2)能否依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)“綠色消費(fèi)”意義的認(rèn)知情況與年齡有關(guān)？題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用例3體育運(yùn)動(dòng)是強(qiáng)身健體的重要途徑，《中國(guó)兒童青少年體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案(2020－2030)》(下面簡(jiǎn)稱“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”)中明確提出青少年學(xué)生每天在校內(nèi)參與不少于60分鐘的中高強(qiáng)度身體活動(dòng)的要求．隨著“體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案”的發(fā)布，體育運(yùn)動(dòng)受到各地中小學(xué)的高度重視，眾多青少年的體質(zhì)健康得到很大的改善．某中學(xué)教師為了了解體育運(yùn)動(dòng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的影響情況，現(xiàn)從該中學(xué)高三年級(jí)的一次月考中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生，調(diào)查他們平均每天的體育運(yùn)動(dòng)情況以及本次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，得到如表數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)成績(jī)(分)[30，50)[50，70)[70，90)[90，110)[110，130)[130，150]人數(shù)(人)2512535030015050運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的人數(shù)(人)104514520010743約定：平均每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于60分鐘的為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”，數(shù)學(xué)成績(jī)排在年級(jí)前50%以內(nèi)(含50%)的為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”．(1)求該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的65%分位數(shù)；(2)請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)高三年級(jí)本次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)”是否與“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”相關(guān)．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)數(shù)學(xué)成績(jī)不達(dá)標(biāo)人數(shù)合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)人數(shù)運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)人數(shù)合計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計(jì)圖等一起考查，這類問題的求解往往按各小題及提問的順序，一步步進(jìn)行下去，是比較容易解答的，考查單純的獨(dú)立性檢驗(yàn)往往用小題的形式，而且χ2的公式一般會(huì)在原題中給出．跟蹤訓(xùn)練3某網(wǎng)紅奶茶品牌公司計(jì)劃在W市某區(qū)開設(shè)加盟分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的5個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格，記x表示在5個(gè)區(qū)域開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這x個(gè)分店的年收入之和．x(個(gè))23456y(十萬元)2.5344.56(1)該公司經(jīng)過初步判斷，可用經(jīng)驗(yàn)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)如果該公司最終決定在該區(qū)選擇兩個(gè)合適的地段各開設(shè)一個(gè)分店，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，第一分店每天的顧客平均為30人，其中5人會(huì)購(gòu)買該品牌奶茶，第二分店每天的顧客平均為80人，其中20人會(huì)購(gòu)買該品牌奶茶．依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩個(gè)店的顧客下單率有無差異．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)；χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，x0.1＝2.706.課時(shí)精練1．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()2．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是()A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，則我們可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病D．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量χ2的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大3．為了考察某種中成藥預(yù)防流感的效果，抽樣調(diào)查40人，得到如下數(shù)據(jù)：藥物流感患流感未患流感服用218未服用812下表是χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，若由此認(rèn)為“該藥物預(yù)防流感有效果”，則該結(jié)論出錯(cuò)的概率不超過()A．0.05B．0.1C．0.01D．0.0054．(多選)為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的2×2列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2≈9.616.參照附表，下列結(jié)論正確的是()附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”B．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”C．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”D．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”5．(多選)根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝2.974，依據(jù)表中給出的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中的小概率值和相應(yīng)的臨界值，作出下列判斷，正確的是()α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析變量x與y相互獨(dú)立B．根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析變量x與y不相互獨(dú)立C．變量x與y相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1D．變量x與y不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.16．為考查某種營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)的影響，選取部分兒童進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)100個(gè)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表，由表可知下列說法正確的是()營(yíng)養(yǎng)品身高合計(jì)有明顯增長(zhǎng)無明顯增長(zhǎng)食用a1050未食用b3050合計(jì)6040100參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.a＝b＝30B．χ2≈12.667C．從樣本中隨機(jī)抽取1名兒童，抽到食用該營(yíng)養(yǎng)品且身高有明顯增長(zhǎng)的兒童的概率是eq\f(3,5)D．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該營(yíng)養(yǎng)品對(duì)兒童身高增長(zhǎng)有影響7．如表是對(duì)于“喜歡運(yùn)動(dòng)”與性別是否有關(guān)的2×2列聯(lián)表，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2≈________(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位)．喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)合計(jì)男402868女51217合計(jì)4540858．一項(xiàng)研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：注意力穩(wěn)定注意力不穩(wěn)定男生297女生335則χ2＝________(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)，依據(jù)概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)________該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對(duì)于性別沒有顯著差異(填拒絕或支持)．9．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.001xα3.8416.63510.82810．某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，A，B在實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．(1)求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；(2)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法是否有關(guān)，請(qǐng)說明理由．優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法20乙培育法10合計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82811．在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)．現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)30100計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”()附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.001 B．0.05C．0.0