3.4基本不等式青年教師大賽獲獎(jiǎng)示范課公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

3.4基本不等式學(xué)習(xí)規(guī)定1.理解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用不等式解決簡(jiǎn)樸的最大(最小)值問題.一、引入探究問題下圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一種風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個(gè)圖案中找出某些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？一、引入探究問題下圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一種風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個(gè)圖案中找出某些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ABCDEFGHab設(shè)AE=a,BE=b,則正方形ABCD的面積是________，這4個(gè)直角三角形的面積之和是_________，a2+b22ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立二、新課結(jié)論：

文字?jǐn)⑹鰹?

兩數(shù)的平方和不不大于或等于它們積的2倍。普通地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立特別地，若a>0，b>0，則≥普通我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.二、新課普通我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法執(zhí)果索因幾何意義：半徑不不大于半弦如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點(diǎn)AC=a,CB=b,過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連AD,BD,則CD=＿＿,半徑為＿＿二、新課對(duì)基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究基本不等式：注意：（1）不等式使用的條件不同；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；（3）叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；均值不等式二、新課練習(xí)：a,b均為正數(shù)，證明不等式總結(jié)：不等式鏈練習(xí)2：若，則（）（1）（2）（3）B練習(xí)1：設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中恒成立的

。例1：(1)用籬笆圍成一種面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y）m.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10.

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短最短的籬笆是40m.結(jié)論1.兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值三、例題例1：(2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一種矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？三、例題解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2=18/2=9得

xy≤81當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時(shí)，等號(hào)成立

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，

菜園面積最大，最大面積是81m2結(jié)論2.兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值解實(shí)際問題的思路：1、對(duì)的理解題意，設(shè)變量時(shí)，普通可把欲求最大（?。┑淖兞恳暈楹瘮?shù)；2、建立有關(guān)函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）問題；3、在允許的范疇內(nèi)，求出最大（?。┲?；4、根據(jù)實(shí)際問題寫出答案.最值定理：若x、y皆為正數(shù)，則（1）當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最

大值_______；（2）當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，

x+y有最

小值_______.注意：①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和為定值或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.一“正”二“定”三“相等”和定積最大，積定和最小三、例題注：應(yīng)用此不等式核心是配湊和一定或積一定21四、練習(xí)2.當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為

，此時(shí)x=

。思考：當(dāng)x<0時(shí)體現(xiàn)式又有何最值呢？3.x>-1,當(dāng)x取什么值時(shí),的值最小?最小值是

多少?1.已知x>0，y>0，(1).若xy=36，則x+y的最小值是____，此時(shí)x=___，y=___；(2).若x+y=18，則xy的最大值是____，此時(shí)x=___，y=___；(3).若x+2y=4，則xy的最大值是____，此時(shí)x=___，y=___；22112668199例求函數(shù)的最小值構(gòu)造積為定值，運(yùn)用基本不等式求最值思考：求函數(shù)的最小值例2、已知,求函數(shù)的最大值.變式:已知,求函數(shù)的最大值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算構(gòu)造，應(yīng)用不等式一、復(fù)習(xí)兩個(gè)不等式：得：練習(xí).(08浙江)a≥0,b≥0,且a+b=2,則()C構(gòu)造和為定值，運(yùn)用基本不等式求最值例已知，求的最大值

練習(xí)：已知且，則最大值是多少？2、(04重慶）已知?jiǎng)txy的最大值是

。練習(xí)：1、當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為

，此時(shí)x=

。21

3、若實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A、B、C、D、本節(jié)小結(jié)一、不含有“正值”條件時(shí)，需將其轉(zhuǎn)化為正值；二、不含有“定值”條件時(shí)，需將其構(gòu)造成定值條件；（構(gòu)造：互為相反數(shù)、互為倒數(shù)）三、不含有“相等”條件時(shí)，需進(jìn)行適宜變形或運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求值域；把握平均值不等式成立的三個(gè)條件

優(yōu)化：p844、p8511、p84例5p81例2優(yōu)化：p84例2、3、p85、10A.(0,1]B.(0,4]C.[4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)[9，+∞）CA二、練習(xí)二、練習(xí)01.下列函數(shù)中,最小值為2的是()B小結(jié):創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理配湊因式是慣用的解題技巧，配湊的成因在于獲得定值.二、練習(xí)3例1.某工廠要建造一種長(zhǎng)方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的的造價(jià)為120元,如何設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，則水池的寬為,水池的總造價(jià)為y元，根據(jù)題意，得

因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元三、例題一份印刷品，規(guī)定排版面積（矩形）為432平方厘米。它的左、右兩邊都留有4厘米的空白，上、下底部都留3厘米的空白（如圖）。問長(zhǎng)寬各設(shè)計(jì)成多少厘米時(shí)，用紙最??？并求出此時(shí)紙的面積。3cm4cm二、練習(xí)m)修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用y(單位:元)2.某學(xué)校為了教職工的住房問題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費(fèi)為2388元/m2，且每層的建筑面積相似，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費(fèi)用相似都為445元/m2，后來每增高一層，其建筑費(fèi)用就增加30元/m2.