第6章空間向量與立體幾何【過關測試】-2021-2022學年高二數(shù)學單元復習（蘇教版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

2021-2022學年高二數(shù)學單元復習過過過【過關測試】

第6章空間向量與立體幾何

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知a=(i,-3,2)平行的一個向量的坐標為()

A.(1,3,2)B.(-1,—3,2)C.(-1,3,-2)D.(1,-3,-2)

【答案】C

【解析】設與1=(1,-3,2)平行的一個向量為5,則由共線定理得足日=4G.

所以當彳=-1時，5=(-1,3,-2).

故選C.

2.已知Afii=(2,—1,3),AC=(-1,4,-2),<40=(5,-6,A),若A,B,C,。四點共面，則實

數(shù)；1為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】-.-A,B,C，。四點共面，

.?.存在實數(shù)W,n,使得而=心麗+〃正,

2m-n=5m=2

〈—m+4〃=—6,解得<〃=-1,

3777-2n=A2=8

故選D.

3.已知三棱錐O—/WC,點、M,N分別為43,OC的中點，且礪=4,OB=b,OC=c,用2,b,c

表示麗，則MM等于()

1-111

A.—(b+c—3)B.—(5+h—c)C.—(a—b+c)D.—(c—u—b)

2222

【答案】D

【解析】由題意知=

1—.1—.—.

=-OC——(OA+OB)

22

OA=a,OB=b,OC=c

——?1-

MN=-(c-b-c)

故選D.

4.在正四面體ZMfiC中，點O是AABC的中心，DO=xDA+yDB+zDC,貝lj()

A.x=y=z=—B.x=y=z=—C.x=y=z=—D.x=y=z=1

432

【答案】B

【解析】當O,A,B，C四點共面時，DO=xDA+yDB+zDC,

滿足的充要條件：x+y+z=l：

當X=y=Z=，時，滿足!+』+!=1,所以礪+J麗+'0。，

3333333

故選B.

5.設x,ysR,向量M=(x,1,1),6=(1,y,1),c=(2,-4,2),ELal.c,bile,貝！Jx+y的值

為()

A.一1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】va±c,

=2x-4+2=0?解得x=l.

?/b//cf

1=22

/.b=Ac9*y=-42,解得2=—,y=—2.

1=22

:.x+y=-1.

故選A.

6.已知向量a=(1,0,1),6=(2,0,-2),若(%+■)?(4+防)=2,貝必等于()

321

A.1B.-C.-D.-

555

【答案】D

【解析】向量4=(1,0,1),5=(2,。,—2),

所以以+B=(2+2,0,k-2),1+防=(22+1,0,一2左+1),

又(ka+加?("+kb)=2,

所以(人+2)(2左+1)+伏一2)(—2%+1)=2,

解得左=1.

5

故選D.

7.如圖，在平行六面體A8C￡>-AB|G〃中，己知=AD=b,4A；=dS則用向量b,1可表示

【答案】D

【解析】BD^=BA+AD+DD^=-a+b+c,

故選D.

8.如圖，4?是OO的直徑，R4垂直于OO所在平面，C是圓周上不同于A,3兩點的任意一點，且他=2,

PA=BCf,則二面角A-3C-尸的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】:他是?O的直徑，R4垂直于0O所在平面，C是圓周上不同于A,8兩點的任意一點，

且他=2,PA=BC=6

AC^BC,AC=4AB'-BC-=\，

以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系,

P(0,0,也),B5,1,0),C(0,1,0),

方=(百/，-揚，PC=(O,1,-V3),

設平面PBC的法向量/i=(x,y,z),

,,,[n?PB=y/3x+y-y/3z=0,廠

則＜_J,取z=l,得力=(0,61),

n?PC=y-v3z=0

平面ABC的法向量而=(0,0,1),

設二面角A—8C—尸的平面角為。，

則cos，=""""=J_,...6=60。，

\m\^n\2

，二面角A—8C—P的大小為60。，

故選C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知直線/的一個方向向量為d=(%J,3),平面a的一個法向量為5=(-2,〃[)，則()

A.若///a,則一〃=3B.若/J_a,則2〃?一〃=3

C.若〃/a,貝！|〃zn+2=0D.若/_La,貝!|?in+2=0

【答案】AD

【解析】若/〃a,則&JLB,即有小B=0,即—2〃?+〃+3=0,

即有2M一”=3,故A正確，C錯誤；

若/_La，則方//5,即有石=

可得—2=A,m，n=A>1=3/1-

解得2=4，"=—6，n=—,

33

則〃曲+2=-2+2=0,故5錯誤，。正確.

故選AD.

10.正方體48C￡)-AB|GA中，E、F、G、”分別為CQ、BC、CD、8片的中點，則下列結(jié)論正確

的是()

(|

?>

A.Bfi1BCB.平面AEFC平面A41A￡>=A"

C.AH"面AEFD.二面角E-AF—C的大小為工

【答案】BC

【解析】以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

設正方體棱長為1,則A(l,0,0),E(0,1,；),P(g,1,0).B?,1,1),G(0,g,0),

H(l,1,：),A?,0,1),8(1,1,0),C(0,1,0),

...不7=(0,I,_1),AF=(-1,I,0),FE=(-1,0,I),AD'=(-1,0,1),BC=(-1,0,0),

——1

B]G=(-1?——,—1),

AD^=2FEfAD,//EF,

平面4戶與平面ADD^A,的交線為ADt,故5正確；

■,BtGBC=l^0.BQ與8c不垂直，故A錯誤；

m-AF=Q

設平面AE77的法向量為沅=(x,y,z),則，

慶?而=0

1c

——x+y=0

2,令y=l可得加=(2,1,2),

---x+—z=0

22

A”，?玩=o+i-i=o,.?.4”//平面越尸，故c正確;

平面AfiCZ)的一個法向量為為=(0,0,1),

m-n22

/.cos<rn.ii>=

所II利3^13

7

設二面角七—AF—C的大小為e,貝l」cos，=—,故O錯誤.

3

故選BC.

11.在空間四邊形。48c中，E、F分別是。4、8c的中點，P為線段砂上一點，且=設麗=d,

OB=b,OC=c,則下列等式成立的是（）

11111

B+

A.2-2-6-6-6-

11111

.

c.a++Dar

=一

a3-3-3-3-6-c

【解析】?:E、I分別是。4、的中點,

?1.OF=-{OB+OC)=-OB+-OC=-~b+-~c,故A正確，

22222

EF=OF-OE=-T>+-~c--a,

222

?;PF=2EP，

:.EP=-EF.FP=-EF,

33

即EP-—EF=—(—b+—c——a)=—■-a+—Z?+—c,故5正確,

33222666

FP=--EF=--(-fe+-c--J)=-ci--fe--c,故C錯誤，

33222333

OP=OE+EP=-a--a+-~b+-~c=-a+-l>+-~c,故￡)正確.

2666366

故選ABD.

12.空間直角坐標系中，O為坐標原點，A(1,0,0),8(1,2,0),C(0,0,1),,0,1),￡(5,

6,-4),則()

A.AE=4AB-3AC

B.A,B,C,￡四點共面

C.向量。方是平面反C的法向量

D.OE與平面ABE所成角的余弦值為運

154

【答案】BC

【解析】時于A，因為荏=(4,6,-4),而=(0,2,0),而=(-1,0,1),4醺-3/=(3,8,-3),

所以A錯；

對于5,因為荏=3通-4；記，所以說、AB,而共面，所以A、B、C、E四點共面，所以5對：

對于C,因為歷=(1,0,1),ABOD=0,ACOD=0,所以而是平面ABC的法向量，所以C對;

對于。，山A知福i=(0,2,0),AE=(4,6,-4),OE=(5,6,-4),令歡=(1,0,1),

因為A而戊=0,ABm=0,所以慶是平面⑷陽的法向量,

|反?所|11

所以OE與平面ABE所成角的正弦值為

[國.|向一岳.血一V154

所以OE與平面ME所成角的余弦值為‘仁工叵，所以。錯.

VV154154

故選BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量1=(1,1,0),5=(-1,0,2),且%+5與2a互相垂直，則A=

【答案】-

5

【解析】??,向量M=(1,1,0),b=(-1,0,2),

.,.妨+5=(&-1,k,2),

2a-b=[3,2,-2),

ka+b2d-b互相垂直,

..(%+b)?(2值一切=3(左一1)+2左一4=0,

解得人=2.

5

故答案為：--

5

14.已知向量方=(0,-1,1),6=(4,1,0),|而+昨回且>1>0,則；1=

【答案】3

(解析】?.=(0,-1,1),b=(4,1,0),.,.而+方=(4,1-A.2),

.-.16+(2-1)2+/12=29(2>0),

.,.A=3,

故答案為：3.

15.已知兩點A(l,2,3),8(2,1,2),P(l,1,2)點。在直線OP上運動，則當說;。豆取得最小值時,

。點的坐標.

【答案】4tJ)

333

【解析】設。。，y,z)

?/Ad,2,3),(2,1,2),尸(1,1,2).

則由點0在直線OP上可得存在實數(shù)；I使得麗=2麗=(2,A,22)

則Q。，A,22)

QA=(l-A,2-2,3-22),QB=(2-A,1-2,2-22)

QA-QB=(1-2)(2-A)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)=2(322—82+5)

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當幾=3時，取得最小值-2此時。點的坐標為：

33333

故答案為：(士士。)

333

16.給出下列命題:

①直線/的方向向量為a=(l,-1,2),直線加的方向向量方=(2,1,-1),則/與加垂直;

②直線/的方向向量1=(0,1,-1),平面夕的法向量萬=(1,-1,-1),WiJ/±?；

③平面a、尸的法向量分別為4=(0,1,3),%=(1,0,2),則a//￡；

④平面a經(jīng)過三點A(l,0,-1),B(0,1,0),C(-l,2,0),向量萬=(1,",f)是平面a的法向量,

則“+1=1.

其中真命題的是—.(把你認為正確命題的序號都填上)

【答案】①④

【解析】對于①，"=(1,-1,2),b=(2,1,-1),

=1x2-lxl+2x(-1)=0.

a.Lb

???直線/與根垂直，①正確；

對于②，a=(0,1,-1),n=(y,-1,-1),

.o.M?萬=0x1+1x(-1)+(-1)x(-1)=0,

/.a±n1:.lIla或lua,②錯誤；

對于③，馬=(0,1,3),n2=(1,0,2),

/.I與〃2.不共線，

/.a///不成立，③錯誤；

對于④，???點A(l,0,-1),8(0,1,0),C(-l,2,0),

=1,1),BC=(-1,1,0),

向量為=(1,〃，f)是平面a的法向量，

卜?福二0

U.5C=0

則〃+看=1,④正確.

綜上，以上真命題的序號是①④.

故答案為：①④.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知：a=(%,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),allb,bLc,求:

(1)a?6,c;

(2)&+C與5+d所成角的余弦值.

【答案】(1)Va//h,

x41

—=—=一，

-2y-1

解得x=2,y=-4,

故1=(2,4,1),5=(-2,-4,-1),

又因為5_L^,所以5吃=0,即—6+8—z=0,解得z=2,

故C=(3,-2,2)；

(2)由(1)可得&+^=(5,2,3),b+c=(\,-6,1),

設向量1+^與5+E所成的角為6,

5-12+32

則cose=

X/38-738

18.如圖，四棱柱ABCD-A與CQ的底面的8為正方形，OR1■平面AB8，AAt=4,AB=2,點、E

在CG上，且GE=3EC.

（I）求證：A.C1DE；

（II）求直線CQ與平面瓦）E所成角的正弦值；

（III）求平面與平面A3D夾角的余弦值.

【答案】（I）證明：以。為原點，D4QCOA所在的直線為初軸的正方向建立空間直角坐標系,

4B

則8(2,2,0),E(0,2,I),0(0,0,0),A/2,0,4),C(0,2,0),

所以詼=(0,2,1),BE=(-2,0,1),^C=(-2,2,-4),

設平面￡>3E的一個法向量為元=(x,y,z),

,.,,DE-n=0,(2y+z=0.,

所r以4__.>即ai>令z=2,則nx=l,y=—l,

BEn=0[?2x+z=0

所以為=(1,-1,2),所以卒=(-2,2,-4)=-2(1,-1,2)=-2fi,

所以ACL平面3￡)E，DEu平面BDE,所以AC_LOE.

(II)解：0.(0,0,4),所以西=(0,0,4),

由⑴平面OBE的一個法向量為元=(1,-1,2),

L

設直線DDtj平面BDE所成角的為6，

所以直線DD,與平面型所成角的正弦值sin0=|cos</7,西〉|=潟?=品瀉.

(III)解：由己知Db\為平面ABD的一個法向量，目.力瓦=(0,0,4),

由(I)平面。跖的一個法向量為元=(1,-1,2),

所以cos〈￡)R,>i〉=8廣=-^>

4763

IlI圖可得平面BDE與平面ABD夾角的余弦值為—?

3

19.如圖，平面A8CD_L平面4)￡尸，其中A3。為矩形，ADEF為梯形，AF//DE,AFYFE,

AF=AD=2DE=2.

(I)求證：瓦'_L平面84F;

(II)若二面角的平面角的余弦值為Y-,求AB的長.

【答案】(I)證明：?.?平面ABCD_L平面且ABCD為矩形，

.?.R4_L平面

又￡Fu平面:.BALEF,

又AF_L￡F且AF0|BA=A,

二。_1平面曲下：

(n)解：設AB=t-

以尸為原點，AF,尸E所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系尸-早z.

則尸(0,0,0),A(-2,0,0),E(0,石，0),。(-1,上,0),8(-2,0,t),

DF=(1,-B0),BF=(2,0,-t).

平面ASb,.?.平面鉆產(chǎn)的法向量可取而=(0,1,0).

設法=(x,y,z)為平面的法向量，

則2e=X-回=0,取y=l,可得元=(GI,雪.

n?BF=2x-tz=0t

*:cos<m,n>=加"=—,得t=6,

\m\^n\4

/.AB=y/3.

c

20.如圖所示，在三棱柱中，CC|_L平面48C,ACA.BC,AC=BC=2,CC,=3,點。,

E分別在棱A4,和棱CG上，且4)=1，CE=2,點M為棱44的中點.

(1)求證：￡///平面。B|E；

(2)求直線與平面力與E所成角的正弦值.

【答案】(1)證明：建系如圖，C(0，0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),G(°，。，3),

4(2,0,3),B,(0,2,3),0(2,0,I),E(0,0,2),M(1,1,3),

啊=(1,1,0),麗=(2,-2,-2),ED=(2,0,-1),

令為=(1,—1,2),

因為麗?為=0,EDn=0,

所以力=(1,-1,2)為平面DB.E的法向量，

因為卻0?克=0,GM仁平面DB|E，

所以￡M//平面

(2)解：由(1)知通=(-2,2,0),萬=(1,-1,2)為平面OB|E的一個法向量,

設AS與平面力8避所成角為。，

所以sin。=|cos<AB,ri>|=',

\AB\-\n\3

所以直線旗與平面叫E所成角的正弦值為冬

21.如圖，在三棱錐中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.

(1)證明：POJ.平面ABC；

(2)若點M在棱上，且二面角M-A4-C為30。，求PC與平面小”所成角的正弦值.

【答案】（1）證明：連接80,

?：AB=BC=2^,O是AC的中點,

.-.BOA.AC,且30=2,

又PA=PC=PB=AC=4,

:.PO^AC,PO=24,

貝UPB1=PO2+BO2,

則PO工OB,

平面MC；

(2)建立以O坐標原點，OB,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標系如圖:

A(0,-2.0),P(0,0,273),C(0,2,0),8(2,0,0),

BC=(-2,2,0),

設AA/=；IBC=(-2/1,22.0),0<2<l

則洶=加-麗=(-2/l,22,0)-(-2,-2.0)=(2-2/l,24+2,0),

則平面的法向量為麗=(1,0,0),

設平面MR4的法向量為萬=(x,y,z),

貝ij而=(O,-2,-2揚，

則為?麗=-2y-2Gz=0,ii-AM=(2-2A)x+(2A+2)y=0

令z=l,則尸-百，x=('+D&，

1-2

即”=(.+1)6,—百，1),

1-2

???二面角M—R4—C為30。，

m-n

.-.COS30°=1

IIInI邛

(7+1)百

即]-4

2

.回2+1+3.]

解得4=，或2=3(舍)，

3

則平血MPA的法向量M=(2g,-6，1)，

PC=(0,2,-2我，

-26-26,4也上

PC與平面PAM所成角的正弦值sin0=|cos<PC,n>|=|----------1=-----