第6章 單元質(zhì)量測(cè)評(píng)- 2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第六章單元質(zhì)量測(cè)評(píng)

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.如圖，在平行四邊形N8切中，點(diǎn)￡是邊切的中點(diǎn)，點(diǎn)方是力￡的中點(diǎn)，

則茄=（）

2.的三個(gè)內(nèi)角4B,。所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,6,c,設(shè)向量p=（a+c,

力），q=kb—a,c—a）.若0〃q,則角。的大小為（）

JIJIJI2n

A.-B.-C.-D.-

6323

3.已知a+已=（2,-8）,a—6=（—8,16）,則a與6之間的夾角的余弦值

為（）

6363,635

6565~6513

4.在。中，三個(gè)內(nèi)角N,B,。所對(duì)邊分別為a,b,c,若（力一c）sin8=

2csi11。且a=，T5,COST4=-|,則的面積等于（

A.望B.739C.3713D.3

5.在直角梯形力皿中，AB//CD,ADLAB,N8=45°,AB=2CD=2,〃為腰

8C的中點(diǎn)，則始?掰9=（）

A.1B.2C.3D.4

-RD—＞

6.平行四邊形力皿中，|/引=3,若＜+:-=＜，則MC=()

\BA\\BC\\BD\

A.2小B.3^/3C.4^/3D.3

、一＞一

—“Ba曰ABAC-ABAC1

7.已知非零向量4?與/。茜足?BC=O,且二-----=-,則nr

I總UC\)\~AB\\AC\

△力的形狀是（）

A.三邊均不相等的三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.以上均有可能

8.設(shè)兩個(gè)向量a=（4+2,I—cos,a）和6=（E，^+sinaL其中A,勿,

A

。為實(shí)數(shù)，若a=2A則一的取值范圍是（）

a

A.[—6,1]B.[4,8]

C.（—8,1]D.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得3分）

9.如圖，在梯形N皿中，AB//CD,\AB\=2\7D\,“與劭相交于點(diǎn)0,則

下列結(jié)論正確的是（）

——］一

A.AD-AC=--AB

B.AB+BC+CD+DA=Q

C.\~0A+20C\=0

一2一,1―

D.0A=-CD+-CB

oo

10.已知圖中NROC+2N80C=18O°,16Ml=|%|,BC//OA,尸為圖中的陰

影中（含邊界）任意一點(diǎn)，并且如下列命題正確的是（）

\-------"----/-7c

A.OWx+y^l

B.k|+|y|<^2+y

C.x+y<2

D.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)R使得y=l

11.對(duì)任意的兩個(gè)向量a,b,定義一種向量運(yùn)算a*6=

（a,力是任意的兩個(gè)向量）.對(duì)于同一平面內(nèi)的向量

當(dāng)a,6共線時(shí)

a,b,c,e,下列結(jié)論正確的是（）

A.a^b=b^a

B.4（a*Z?）=（4a）*6（4eR）

C.（a+6）*c=a*c+薜c

D.若e是單位向量,則|a*e|W|a|+l

12.圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦

圖”），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，該圖形是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中

間的一個(gè)小正三角形拼成的一個(gè)大正三角形，如圖2所示，若AB=7,DE=2,則

（）

-----------------

圖2

A.BD=3B.49=5

△力劭的面積為摩

C.cosXABD=-D.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量a=(2,1),b=(1,—2).若ma-\-nb=(9,一8)(勿，z?GR),

則m—〃的值為.

14.設(shè)。在△加。的內(nèi)部，點(diǎn)〃￡分別為邊力C,8C的中點(diǎn)，且1茄+2茄|=

1,則|江+2而+3而=.

15.已知AB=AC=4,.點(diǎn)。為四延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2,連接

CD,則△80C的面積是,cos/BDC=.

16.△/回是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a,b滿足m=2a,AC=2a

+b,則下列結(jié)論中正確的是(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

①a為單位向量；②6為單位向量；③④入〃茄；⑤(4a+b),訪

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)

程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)設(shè)|a|=|引=1,|3a—2引=3,求13a+引的值.

18.(本小題滿分12分)在中，角力，B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

3

cos0==.

~~?9

(1)若％?。=5，求△力呢的面積;

(2)設(shè)向量x=[2sing,^/3J,尸[cos8,cos/,且x〃y,求sin(8一/)的值.

19.(本小題滿分12分)已知|a||引=m，a?力=-5,c=xa+(1

—x)b.

(1)當(dāng)人，c時(shí)，求實(shí)數(shù)x的值；

(2)當(dāng)|c|取最小值時(shí)，求向量a與c的夾角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)設(shè)a,6是不共線的兩個(gè)非零向量.

(1)若%=2a—6,0B=3a+b,0C=a—3b,求證：A,B,。三點(diǎn)共線;

②若8&+姑與局+2力共線，求實(shí)數(shù)A的值；

（3）若BC=2a—3b,CD=2a—kb,且/,C,。三點(diǎn)共線，求女的

值.

21.（本小題滿分12分）一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km

到達(dá)8地，然后向。地飛行.設(shè)。地恰好在/地的南偏西60°方向上，并且N,C

兩地相距2000km,求飛機(jī)從8地到。地的位移.

22.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形如W是等腰

梯形，A（6,0）,以1,班），點(diǎn)〃滿足加=］如，點(diǎn)夕在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），

如圖.

⑴求的余弦值;

（2）是否存在實(shí)數(shù)A,使（如一九如，。/,若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)幾

的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第六章單元質(zhì)量測(cè)評(píng)

時(shí)間：120分鐘嚎滿分：150分

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.如圖，在平行四邊形/皿中，點(diǎn)￡是邊切的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是力￡的中點(diǎn)，

則孫上（）

I)E

C

答案B

解析因?yàn)槭切艿闹悬c(diǎn)，所以"=/￡,因?yàn)辄c(diǎn)￡是邊切的中點(diǎn)，所以龐

]~A1-A->-A-A]->->]—>—>—>]—>]—>—>3

=.DC=;AB,所以BF=AF—AB=]AE—AB=.(AD+陶—AB=-(AD+~AB)~AB=~~

乙乙乙乙乙乙±.

1

AB+-AD.故選B.

2.△/回的三個(gè)內(nèi)角4B,。所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,6,c,設(shè)向量p=(a+c,

右)，q={b—a,c—a).若p"q,則角。的大小為()

JIJIJI2兀

A.-B.-C.-D.~r~

6323

答案B

2Ii2_2

解析p//g(a+c)(c-a)—b(b~a)=0,即c~a—19+ab=0=>~~~口J

1JI,

=-=cosGV0<6<JT,C=~.B.

乙u

3.已知a+b=(2,-8),a-Z>=(-8,16),則a與力之間的夾角的余弦值

為()

6363,635

6565~6513

答案B

解析由a+b=(2,—8),a~b=(—8,16),得a=(―3,4),6=(5,—

a,b63

12),所以|a|=5,b\=13,a,/>=-63,故cos[a,b)\a\|Z>|=-65'

4.在△/阿中，三個(gè)內(nèi)角4B,。所對(duì)邊分別為a,b,c,若(6—c)sin8=

2csinCMa=y[10,cos/="|,則△/回的面積等于()

A.勺6.739C.3713D.3

答案A

解析由正弦定理，得（5—。）?b=2c,得存一be—2c2=0,得力=2c或力=

5A/39

—c(舍去).由a=l)+c~2bccosA,得c=2,貝UZ?=4.由cos/=7矢口，sin/=+—.

oo

所以5kl6csinR=:X4X2X^^=吟2故選A.

Z乙oZ

5.在直角梯形/閱9中，ABHCD,ADLAB,N6=45°,AB=2CD=2,〃為腰

的中點(diǎn)，則用?切=()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析由已知得N閱9=135。，所以防?礪=(赤+岳)?A+CD)

—ff———f-、歷、尼、歷

=MB?MC+MB-CD+BA?MC+BA?6P=^-X^-Xcosl80°+^-X1Xcosl35°

亞oo

+2X-^-Xcos45°+2XIXcosO0=2.

6.平行四邊形中，|忘=3,若g-+3=q,貝力力=()

\BA\\BC\\BD\

A.273B.3/C.4^/3D.3

答案B

—>—>―?

解析因?yàn)榕c+耳=丹，所以四邊形/皿為菱形，即NNW=120°,

\BA\\~BC\\1D\

因?yàn)镮法|=|茄I=3,所以|粉=3回.

,一一田ABACfABAC1

7.已知非零向量N6與Ad商足~^+-^?BC=Q,且=-----則

U忘\AC\JUB\\AC\

△力理的形狀是（）

A.三邊均不相等的三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.以上均有可能

答案C

（f-、

ABAC一

解析,/=?比'=0,...角力的平分線所在的向量與式垂直，

kl^l\AC\）

―>—>

ABAC11JI

△力8C為等腰三角形.又二-?—―=5，.'.cos力=5，?,.4=7.故△力8c為等邊三

謝崩

角形.

8.設(shè)兩個(gè)向量a=（4+2,1一cos,a）和6=[加，^+sinaL其中A,m,

A

a為實(shí)數(shù)，若a=2A,則一的取值范圍是（）

Hl

A.[—6,1]B.[4,8]

C.（-8,1]D.

答案A

A+2=2必，

解析由a=2b,得2,.

~—cosa=ffl+n2sina,

A=2ffl—2,

所以M.

一/=cosci+2sinci,

又cos2a+2sina=—sin?。+2sina+1=—（sina—1）2+2,所以一

2Wcos?。+2sinQW2.所以一2W2—mW2.將A2=（2/一2）?代入上式，得一

2W（2加—2尸一后2,解得*辰2,所以《=物/=2一1一6,1].

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分）

9.如圖，在梯形N四中，AB//CD,\AB\=2\~CD\,“與劭相交于點(diǎn)。，則

下列結(jié)論正確的是（

—一1一

A.AD~AC=_,AB

B.AB+BC+CD+DA=0

C.\~OA+2OC\=0

—2—1—

D.OA=~CD+-CB

oo

答案ABC

-?->--?]->,

解析對(duì)于A,AD-AC=CD=-^AB,A正確；對(duì)于B,利用向量的線性運(yùn)算

COCD1"—*——

可知，B正確；對(duì)于C,由于方=7^=3，所以如+20。=0,故|以+2%|=0,C

AUAbN

-2-2-—>2_~>—>—>2->->4-2

正確；對(duì)于D,OA=-CA=-{CD+DA)=~{CD+DC+CB+BA)=-{CB+2CI))=~CD+-

ouuuou

~CB,D錯(cuò)誤.故選ABC.

10.已知圖中N/〃C+2N80C=180°,|筋|=|而I，BC//0A,尸為圖中的陰

影中(含邊界)任意一點(diǎn)，并且茄=卷+嬴；下列命題正確的是()

A.OWx+y^l

B.kl+|y|<^2+y

C.x+y<2

D.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得y=l

答案ACD

解析當(dāng)點(diǎn)?在加上時(shí)，|x|=|y|,x+y=0,當(dāng)點(diǎn)夕在△出C內(nèi)時(shí)，,

x<0,0<y<l,：.0<x+y<l,當(dāng)點(diǎn)尸在線段以上時(shí)，y=l,—xG[0,1],:.A,C

正確；對(duì)于B,y=l,xG(—1,0)時(shí)，|引+|引〉系+/,故B錯(cuò)誤；對(duì)于D,如

圖，點(diǎn)P可以是線段以上任意一點(diǎn)，都使尸1,故D正確.故選ACD.

11.對(duì)任意的兩個(gè)向量a,b,定義一種向量運(yùn)算a*b=

a?b,當(dāng)a,力不共線時(shí),

(a,力是任意的兩個(gè)向量).對(duì)于同一平面內(nèi)的向量

Ia-b\,當(dāng)a,A共線時(shí)

a,b,c,e,下列結(jié)論正確的是()

A.a^b=b^a

B.4(a*b)=(4a)*b(幾GR)

C.(a+b)*c=a*c+步c

D.若e是單位向量,則|a*e|W|a|+l

答案AD

解析當(dāng)a,力共線時(shí)，a^b=|a—b\=|b-a\=b^a,當(dāng)a,力不共線時(shí)，濟(jì)b

=a,b=b,a=b^a,故A正確；當(dāng)4=0,Z;W0時(shí)，4(a*6)=0,(4a)*6=|0

一引#0,故B不正確；當(dāng)a+6與c共線時(shí)，則存在a,6與c不共線，(a+，)*c

=\a+b—c\^a,c+b*c,故C不正確；當(dāng)e與a不共線時(shí)，|a*e\=

a?e\<\a\,|e|〈|a|+l,當(dāng)e與a共線時(shí)，設(shè)a=ue,u?R,|a*e|=|a~e\

=|ue~e|=|u—11<|u|+1,故D正確.故選AD.

12.圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”(又稱“趙爽弦

圖”)，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，該圖形是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中

間的一個(gè)小正三角形拼成的一個(gè)大正三角形，如圖2所示，若AB=7,DE=2,則

()

圖1圖2

A.BD=3B.49=5

C.cosXABD=-D.△力劭的面積為一

答案ABD

解析設(shè)BD=x,則49=2+x在△力劭中，ZADB=180°-60°=120°,

并由余弦定理可得初=4力+初一BD*cosZADB,即49=(2+4+/—2(2

+x)x?[—整理得x?+2x—15=0,解得x=3(—5舍去)，所以劭=3,AD=

管，所以△/劭的面積S=^AB?麻inN力劭=；X7X3X，^=粵士故選ABD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma-\-nb=(9,一8)(勿，〃CR),

則m—〃的值為.

答案一3

解析由向量a=(2,1),6=(1,—2),得加a+〃6=(2%+〃，m—2n)=(9,

12必+〃=9,f必=2,

—8),則《解得《故/一〃=—3.

777—2/7=-8,[〃=5,

14.設(shè)。在△力8。的內(nèi)部，點(diǎn)〃￡分別為邊NC,8C的中點(diǎn)，且|赤+2茄|=

1,則|升+2防+3而=.

答案2

解析如圖所示,易知應(yīng)+2防+3而=|筋+而+2(而+辦|=|2赤+4而

=2\OD+2OE\=2.

15.已知△NBC,AB=AC=^,6。=2.點(diǎn)。為N6延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2,連接

CD,則△EOC的面積是,cos/BDC=

答案半邛

解析在△力優(yōu)1中,AB=AC=^,BC=2,由余弦定理得cos/ABC=~2AB?BC

42-p22—421\[151

=7>則sinZABC=sinZCBD=^—,所以SASDC=-BD-BCsinZCBD

_V15.因?yàn)锽D=BC=2,所以/8DC=；NA8C,則cosNMC=lcosXABC-\~l

一2

VTo

4,

16.△48。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a,力滿足病=2a,AC=2a

+b,則下列結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

①a為單位向量；②6為單位向量；③a，6；@b//~BC-,@（4a+Z?）1.BC.

答案①④⑤

解析'：AB=2a,AC=2a+b,：.a=^AB,6=訪又△46c是邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，口=1,|引=2,①正確，②，③錯(cuò)誤；由b=BC,知b//~BC,④正

確；4a+b=2AB+~BC=AB+AC,（4a+b）?訪=（花+法?訪=—2+2=0,

A（4a+Z>）±BC,⑤正確.故①④⑤正確.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)

程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）設(shè)|a|=|引=1,|3a—2引=3,求13a+引的值.

解解法一：‘.,I3a—2引=3,.*.9a2—12a,Z>+4Z?2=9.

又|a|=|引=1,a?b=\.

o

/.|3a+Z?|2=（3E+6）2=9才+6〃?Z?+Z?2=9+6X^+1=12.

o

/.|3a+b\=2y[3.

解法二：設(shè)3=（荀，%）,6=（屈，%）.

*.*\a,\—\b\=1,—:+元="+"=L

\*3a~2b=(3%-2",3%—2%),

/.|3a~2b\=yj~3%—2丁~3%—2%~^=3.

.,1

??荀蒞十%%=§?

/.3a+b\=7_3否+蒞~H-3%+%~%=個(gè)9+1+6X；=2^/5.

18.(本小題滿分12分)在△/阿中，角4B,。的對(duì)邊分別為ab,c已知

cosC=~5

~->9

⑴若力?竊=5，求△力%的面積;

(2)設(shè)向量x=\2siv^,

,y=lcosftcos-1,且x〃y,求sin（8一力）的值.

~A-A99

解(1)由％,。=5，得abcosC=5.

3Q15

又因?yàn)镃OSC=E，所以助—-=.

52coscV2

4

又。為△力笈的內(nèi)角，所以sinC=m

5

所以△/氏7的面積S=1■助sinC=3.

BB

⑵因?yàn)閤//y,所以2sin5cos5=M^COS8

即sirrff=M5cos8

因?yàn)閏os歷^0,所以tan8=4.

JI

因?yàn)榉綖槿切蔚膬?nèi)角，所以

0

ll?2兀?2n

所以A-\-C=&,所以A——C.

oo

sinfy-JJI

所以sin(^-A)=sin

1#14旦34—3寸

~sinC—^~COSC--X--2X--1Q

19.(本小題滿分12分)已知||引=/，a?b=~5,c=xa+(1

—x)b.

(1)當(dāng)。_Lc時(shí)，求實(shí)數(shù)x的值；

(2)當(dāng)㈤取最小值時(shí)，求向量a與。的夾角的余弦值.

解(1)/.b?c=b?\_xa+(1—b]=xb?a+(1—l/=xX(—5)

+(l—x)X5=0,

解得x=；.

(2)|c\2=|xa+(1—b\2=xa+2x(\—x)a?b+(l—x)2l)

=lQx—10x(1—x)+5(x—1)2=25/—20x+5=25(x—1^+1.

當(dāng)￡=|時(shí)，|C「有最小值小即1C|有最小值1.

23

此時(shí)，c=Ma+￡b

55

a,c=a?\~a+-b\=~a4-|a?Z>=-1x10+f-X(—5)=1,

(55J5555

設(shè)向量a,c的夾角為d,當(dāng)|c1取最小值時(shí)，向量a與c的夾角的余弦值

〃a,c1yib

as討至-r而-10'

20.(本小題滿分12分)設(shè)a,6是不共線的兩個(gè)非零向量.

⑴若5=2a—A~0B=3a+b,OC=a-3b,求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

⑵若8a十處與屆+28共線，求實(shí)數(shù)N的值；

⑶若病=a+A^=2a—36,~CD=2a-kb,且4C,。三點(diǎn)共線，求次的

值.

解(1)證明：因?yàn)椴?防一?=a+2b,7c=OC-~OA=-a-2b,

所以"一近又因?yàn)?為公共點(diǎn)，所以N,B,。三點(diǎn)共線.

8=Ak,

(2)設(shè)8a+Ab=A(Na+28),4?R,則

,k=24，

A=4,k=—4,

解得I,_O或I1—o所以實(shí)數(shù)次的值為±4.

兒—-2,42,

(3)AC=AB+BC=(a+Z?)+(2a—3Z?)=3a~2b,

因?yàn)?C,〃三點(diǎn)共線，所以而與方英線.

從而存在實(shí)數(shù)〃使PCD,