第08講二次函數(shù)（知識精講真題練模擬練自招練）

第08講二次函數(shù)（知識精講+真題練+模擬練+自招練）

U【考綱要求】

1.二次函數(shù)的概念常為中檔題.主要考查點的坐標(biāo)、確定解析式、自變量的取值范圍等；

2.二次函數(shù)的解析式、開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等是中考命題的熱點；

3.拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面較廣，而且這些內(nèi)容的綜合題一

般較難，在解答題中出現(xiàn).

?【知識導(dǎo)圖】

二次函數(shù)的概念

實

二二次函數(shù)的圖象

際

次一0)~=ar」+聲0)

問

函

數(shù)

題|yNa(N~~/i)2+*(a/0).y=aT2+far+c(aWO)

1-日函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)

用函數(shù)觀點看

一元二次方程

最大面積是多少

【考點梳理】

考點一、二次函數(shù)的定義

一般地，如果（a、b、c是常數(shù)，a*0）,那么y叫做x的二次函數(shù).

考點二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

<..,2\

歹=ax2+bx+c（aW0）的圖象是一條拋物線，頂點為"一.

、2。4a,

2.當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線的開口向下.

3.①|(zhì)a|的大小決定拋物線的開口大小.|a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大.

②c的大小決定拋物線與y軸的交點位置.c=0時，拋物線過原點；c>0時，拋物線與y軸交于正半

軸；c<0時，拋物線與y軸交于負(fù)半軸.

③ab的符號決定拋物線的對稱軸的位置.當(dāng)ab=O時，對稱軸為y軸；當(dāng)ab>0時，對稱軸在y軸左

側(cè)；當(dāng)ab<0時、對稱軸在y軸的右側(cè).

y^a(x+h)2+k的圖象，可以由歹=狽2的圖象移動而得至IJ.

將y向上移動k個單位得：y-ax2+k.

將y=ax?向左移動h個單位得：y-a(x+h)2.

將y=ax2先向上移動k(k>0)個單位，再向右移動h(h>0)個單位，即得函數(shù)歹=a(x—")2+左的圖象.

5.幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

y=ax2x=o(y軸)(0,0)

y=ax'+左x=0(y軸)(o,

當(dāng)a>0時k)

y=a(x-h)2開口向上x=A仍，0)

當(dāng)a<0時

y=a(x-A)2+￡x=A(h,k)

開口向下

b4ac-b2

y-ar+bx+c

2a(2a4a)

考點三、二次函數(shù)的解析式

：y=ax2+bx+c(a^O).

若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為丁=。/+云+。，將己知條件代入，求出a、

b、c的值.

2.交點式(雙根式)：^=tz(x-xl)(x-x2)(a0).

若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)為(X-0),(x2,0),設(shè)所求二次函數(shù)為

y^a(x-x.)(x-x2),將第三點(m,n)的坐標(biāo)(其中m、n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系

數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

：y=a(x-h)2+k(a0).

若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為

y=a(x-h)2+k,將己知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

：y=a(x-x])(x-x2)+m(a0).

若已知二次函數(shù)圖象上兩對稱點(XI,m),(x〃m),則可設(shè)所求二次函數(shù)為

y=a(x-x])(x-x2)+m(a^0),將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式.

考點四、二次函數(shù):av+6+c(aW0)的圖象的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系

1.開口方向：a>0時，開口向上，否則開口向下.

2.對稱軸：-2>0時?，對稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)-2<0時.，對稱軸在y軸的左側(cè).

2a2a

3.與x軸交點：4ac>0時，有兩個交點；〃一4ac=0時，有一個交點；/一4。。<0時，沒有交

點.

考點五、二次函數(shù)的最值

1.如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），

2

anb,4ac-b

即當(dāng)x=----時，y岳值=--------

2a最值4a

iWxWx”那么，首先要看一2是否在自變量的取值范圍AWXWXZ內(nèi).

2a

①若在此范圍內(nèi)，貝h

“八一4ac-h2「”…b\

當(dāng)a>0時,yM=—一此時,彳=一廠，

=ax

歹最大值]+。（此口寸，ax：-\-bxx+c>ax；+bx2+c）；

當(dāng)aVO時，y最大值=4a；qb（此時,》=_4）,

V最小值=ax：+如+c（此時，ax：+如+c<ax1+bx2+c）.

②若不在此范圍內(nèi)，則：

當(dāng)y隨x的增大而增大時，y最大值=ax；+bx2+c（此時，x=x2）,

N最小值=ax：+bx]+c（此時,x=x）；

當(dāng)y隨x的增大而減小時，歹最大值=ax；+如+c（此時，》=%），

V最小值=ax2+云2+c（此時，x=x?）.

考點六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)>=4』+岳r+e（4wO）,當(dāng)尸=0時，得到一元二次方程a?+Ax+c=o（awO）,那么一元

二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二

次方程根的情況.

（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時④紇>o,則方程有兩個不相等實根；

（2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時4=32_4紀(jì)=0,則方程有兩個相等實根;

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與X軸沒有交點，這時4=62-4戈<0,則方程沒有實根.

-—【典型例題】

題型一、應(yīng)用二次函數(shù)的定義求值

例1.已知拋物線y=(m-1)x2+mx+m2-4的圖象過原點，且開口向上.

(1)求m=,并寫出函數(shù)解析式；

(2)寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及對稱軸.

【思路點撥】

(1)直接根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知mT>0,m--4=0,解之即可得至l」m=2,即y=x?+2x；

(2)y=x2+2x=(x+1)--I直接可寫出頂點坐標(biāo)及對稱軸.

【答案與解析】

(1)?.?拋物線丫=(m-1)x?+mx+mJ4的圖象過原點，且開口向上，

且m2-4=0,

解得tn=±2,而m>l,

m=2,

y=X2+2X；

(2)Vy=x2+2x=(x+1)2-1,

?二頂點坐標(biāo)為(T,T),對稱軸為x=T.

【總結(jié)升華】

主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點.

用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟是：

(1)寫出函數(shù)解析式的一般式，其中包括未知的系數(shù)：

(2)把自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組.：

(3)解方程(組)求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)解析式.

【變式】已知拋物線y=(機一l)/+3x+加2一1過原點，求團

【答案】

解：由題意得加2-1=0,，m=±l.

又：mTWO,:.mWl,取m=T.

題型二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用

例2.已知點M(-2,5),N(4,5)在拋物線y=ax2+6x+c,則拋物線的對稱軸為.

【思路點撥】

M(-2,5),N(4,5)兩點縱坐標(biāo)相等，根據(jù)拋物線的對稱性，對稱軸為兩點橫坐標(biāo)的平均數(shù).

【答案】x=l；

【解析】因為M(-2,5),N(4,5)兩點縱坐標(biāo)相等，所以M,N兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

所以拋物線的對稱軸為直線x=l.

【總結(jié)升華】拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩點是關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的兩點.拋物線的對稱性：當(dāng)拋物線

上兩點縱坐標(biāo)相等時，對稱軸為兩點橫坐標(biāo)的平均數(shù).

【變式1】如圖，已知二次函數(shù)歹=一^/+云+。的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,-6)兩點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連結(jié)BA、BC,求aABC的面積.

【答案】

(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入歹=一；刀2+bx+c

導(dǎo)：1—2+26+c=0

c=-6

解得《b=4

c=-6

1,

，這個二次函數(shù)的解析式為歹=—二一+4x—6

4

(2)?.?該拋物線對稱軸為直線x=--------=4

2x(—；)

，點C的坐標(biāo)為(4,0)

，AC=OC-OA^4-2=2

,"SMBC=—xACxOB=—x2x6=6.

22

【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線尸-3尸3與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線

*V+ZIY+C經(jīng)過A、C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側(cè)).

(1)求拋物線的解析式及點B坐標(biāo);

(2)若點M是線段BC上一動點，過點\1的直線EF平行y軸交x軸于點F,交拋物線于點E.求ME長的最

大值；

(3)試探究當(dāng)ME取最大值時，在拋物線x軸下方是否存在點P,使以M、F、B、P為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

【答案】

解：(1)當(dāng)y=0時，-3x-3=0,x=T

AA(-1,0)

當(dāng)x=0時,y=-3,

AC(0,-3),

.1-b+c=0.jb=-2

c=-3c=-3

拋物線的解析式是：y=x2-2x-3.

當(dāng)y=0時，x-2x-3=0,

解得：X|=-l,X2=3

AB(3,0).

(2)由(1)知B(3,0),C(0,-3)直線BC的解析式是：y=x-3,

設(shè)M(x,x-3)(0WxW3),則E(x,x-2x-3)

39

ME=(x-3)-(x“-2x-3)=-x+3x=-(x--)+

24：

39

.?.當(dāng)x=±時，ME的最大值為

24

(3)答：不存在.

9「31533

111(2)知ME取最大值時ME二一,E(—,---),M(-,--)

42422

33

AMF--,BF=0B-0F--.

22

設(shè)在拋物線x軸下方存在點P,使以P、MF、B為頂點的四邊形是平行四邊形,

則BP〃MF,BF〃PM.

33

AP(0,--)或P2(3,-一)

l222

33

當(dāng)Pi(0,--)時,由(1)知y=x'2x-3=-3W—-

22

；.P,不在拋物線上.

3

當(dāng)P,(3,--)時,由(1)知y=x"-2x-3=0#——

22

.??P不在拋物線上.

綜上所述：拋物線x軸下方不存在點P,使以P、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形.

題型三、求二次函數(shù)的解析式

例3.拋物線yual+bx+c的頂點為(2,3),且與x軸的兩個交點之間的距離為6,求拋物線解析式.

【思路點撥】

已知了拋物線的對稱軸方程和拋物線與x軸兩交點間的距離，可求出拋物線與x軸兩交點的坐標(biāo)：然后用

待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，

【答案與解析】

解：；拋物線的頂點為(2,3),

拋物線的對稱軸為直線x=2.

又；拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為6,

根據(jù)拋物線的對稱性知拋物線與x軸交點為(7,0),(5,0).

設(shè)拋物線為y=a(x—2)2+3,

,/過點(T,0),

a(-l-2)2+3=0.

1

??Cl——.

3

/.拋物線解析式為y=—；(x—2)2+3.

??145

即尸——X2+—X+-.

333

【總結(jié)升華】求二次函數(shù)解析式選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê苤匾梢怨?jié)省時間.

【變式】請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)(aWO)的圖象同時滿足下列條

件：①開口向下；②當(dāng)x<2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>2時，y隨x的增大而減小.這樣的二次函

數(shù)的解析式可以是.

【答案】由①知a<0,由②知拋物線的對稱軸為直線x=2,因此解析式滿足-2=2,且a<0即可.

2a

答案：y=-/+4x-5(答案不唯一)

題型四、二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的關(guān)系

例4.已知二次函數(shù)y=ar?+bx+c(aH0)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc>0；②b<a+c；③

4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(mWl的實數(shù)).其中正確的結(jié)論有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【思路點撥】

由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋

物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

【答案】B；

【解析】由圖象可知aVO,b>0,c>0,a-b+c<0,a+b+c>0,由對稱性知，當(dāng)x=2時函數(shù)值大于零，

：.4a+2b+c>0,由對稱性知9a+3b+c<0,且----=1,

2a

9b

.*?-----F3b+c<0,2c<3b.

2

把b=-2a代入a+b>m(am+b)中可驗證此項正確，故③④⑤正確.

【總結(jié)升華】數(shù)形結(jié)合是解此類題的關(guān)鍵.難度較大，要求有很強的邏輯推理能力.

【變式】如圖所示的二次函數(shù)丁=62+bx+c的圖象中，張凱同學(xué)觀察得出了下面四條信息：

(1)b2-4ac>0；(2)c>l；(3)2a一伙0；(4)a+田c簿堡的有()

A.2個B.3個C.4個D.1個

【答案】D.(2)錯了.

題型五、求二次函數(shù)的最值

例5.二次函數(shù)丁=/+10X一5的最小值為（）

A.-35B.-30C.-5D.20

Aac-b2

【思路點撥】直接套用求函數(shù)最值的公式即可，即yr小

4a

【答案】B；

【解析】

解析1：配方法化成頂點式來解，y=x2+10x-5=（x+5）2-30.

因此當(dāng)x=-5,加小=一30.

解析2：用頂點坐標(biāo)公式：-2=一_12_=—5,

2a2x1

4ac-b24xlx（-5）-102“

-------=--------------=-30.

4a4x1

【總結(jié)升華】求二次函數(shù)的最值有兩種方法：一是用配方法化成頂點式，頂點縱坐標(biāo)即為最值，二是用頂

點坐標(biāo)公式處二匕］來求.

、2a4a?

題型六、二次函數(shù)綜合題

例6.如左圖所示，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同.正常水位時，大孔

水面寬度AB=20米，頂點M距水面6米（即＞10=6米），小孔頂點N距水面4.5米（即NC=4.5米）.當(dāng)水

位上漲剛好淹沒小孔時，借助右圖中的直角坐標(biāo)系，求此時大孔的水面寬度EF.

【思路點撥】先求出大孔所在拋物線解析式，再由EF所在高度求出相應(yīng)寬度EF.

【答案與解析】

解：設(shè)拋物線解析式為歹=。犬+6.

依題意得，B(10,0)在圖象上，

aX102+6=0,解得a=-0.06.

y=-0.06%2+6.

當(dāng)y=4.5時，一0.06X?+6=4.5,

解得x=±5，

DF=5,EF=10,即水面寬度為10米.

【總結(jié)升華】解決二次函數(shù)在物體運動或拋物線建筑方面的應(yīng)用題，先求拋物線解析式，然后再具體問題

具體分析(即要求橫向?qū)挾日铱v向條件，要求縱向高度找橫向條件)，充分體現(xiàn)了函數(shù)建模思想.

【變式1】如圖所示，足球場上守門員在0處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運

動員乙在距0點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M,距地面約4米高，球落地后又一次彈

起。據(jù)實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度

的一半.

(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式。

(2)足球第一次落地點C距守門員多少米？(取46弋7)

(3)運動員乙要搶到第二個落地點D,他應(yīng)再向前跑多少米？(取2、%-5)

【答案】

(1)如圖所示，設(shè)第一次落地時，拋物線的表達式為y=a(x—6尸+4.由已知當(dāng)x=0時，y=l.

即1=36。+4,a=--.

12

1.

*??表達式為y=---(x-6)4*+4.

⑵令y=0,--^（X-6）2+4=0.

二（x-6）2=48.

解得玉=46+6心13,/=-4有+6<0（舍去）.

，足球第一次落地距守門員約13米.

⑶如圖所示，第二次足球彈出后的距離為CD,

根據(jù)題意得CD=EF（即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位）,

1,

2=——（X-6）2+4,

12

解得玉=6-2#，x2=6+2>/6.

CD=|X,-X2|=4A/6^10.

BD=13-6+10=17（米）.

答：他應(yīng)再向前跑17米.

【變式2]已知關(guān)于x的一元二次方程（"?-2）x2-（??=0.（其中勿為實數(shù)）,

（1）若此方程的一個非零實數(shù)根為4，

①當(dāng)F/時，求卬的值；

②若記，"（左+!）-2左+5為y,求y與卬的關(guān)系式；

k

（2）當(dāng)而<2時，判斷此方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.

4

【答案】

解：（1）4為（加-2）/一（初一1）%+加=0的實數(shù)根,

/.（加一2）k2一（加一1）%+=0.X

①當(dāng)k初時，

???k為非零實數(shù)根，

，mWO,方程※兩邊都除以m,得（〃[一2）加一（加—1）+1=0.

整理，得加2_3m+2=0.

解得zn,=1,m2=2.

;（w-2）x2-（77?-l）x+zw=0是關(guān)于x的一元二次方程，，mW2.

/.m=1.

②??,k為原方程的非零實數(shù)根，

?、將方程※兩邊都除以k,得（相-2）A-（加-1）+”=0.

k

整理，得〃7%+!）-2k="7-1.

k

/.y=m（k+：）—24+5=加+4.

（2）解法*：A=[-（m-1）]2-4m（m-2）=-3m2+6w+1=-3W（/H-2）+1.

當(dāng),<勿<2時，m>0,w-2Vo.

4

>0,-3ni（m-2）+\>l>0,A>0.

/.當(dāng)L</〃V2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

4

解法二：直接分析,時，函數(shù)y=（〃?一2）--（加一1）1+機的圖象,

4

V該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，

?,?該拋物線必與x軸有兩個不同交點.

???當(dāng)叫V2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

4

解法三：△=［一（加-I）］2-4〃2。72-2）=-3/7?2+6掰+1=-3（加一1）2+4.

結(jié)合△=-3（77?-1）2+4關(guān)于m的圖象可知，（如圖）

1，7

當(dāng)上<z?Wl時，—<A^4；

416

當(dāng)\<m<2時，1<AV4.

，當(dāng)如V2時，A>0.

4

:.當(dāng)時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

4

一.選擇題（共3小題）

1.（2018?上海）下列對二次函數(shù)的圖象的描述，正確的是（）

A.開口向下

B.對稱軸是y軸

C.經(jīng)過原點

D.在對稱軸右側(cè)部分是下降的

【分析】/、由。=1>0,可得出拋物線開口向上，選項4不正確；

B、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸為直線》=工，選項8不正確：

2

C、代入x=0求出y值，由此可得出拋物線經(jīng)過原點，選項C正確：

D、由。=1>0及拋物線對稱軸為直線》=工，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出當(dāng)時，y隨x值的增大

22

而增大，選項。不正確.

綜上即可得出結(jié)論.

【解答】解：A,Va=l>0,

，拋物線開口向上，選項N不正確；

B、；-_^_=A,

2a2

.??拋物線的對稱軸為直線x=L,選項8不正確；

2

C>當(dāng)x=0時，y=^-x=Q,

???拋物線經(jīng)過原點，選項C正確；

D,-：a>0,拋物線的對稱軸為直線》=工，

2

.?.當(dāng)寸，y隨x值的增大而增大，選項。不正確.

2

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析四個選項的正誤

是解題的關(guān)鍵.

2.（2016?上海）如果將拋物線y=/+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）

A.y—（x-1）2+2B.y—（x+1）2+2C.y—^+XD.y—^+i

【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

【解答】解：???拋物線y=f+2向下平移1個單位，

???拋物線的解析式為y=f+2-1,即產(chǎn)/+1.

故選：C.

【點評】主要考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析

式求得平移后的函數(shù)解析式.

3.（2021?上海）將函數(shù)產(chǎn)=4『+公+。（aWO）的圖象向下平移兩個單位，以下錯誤的是（）

A.開口方向不變B.對稱軸不變

C.夕隨x的變化情況不變D.與y軸的交點不變

【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，對稱軸不變，。不變，拋物線的增減性不變.

【解答】解：A,將函數(shù)yuaf+bx+c（aWO）的圖象向下平移兩個單位，。不變，開口方向不變，故不符

合題意.

B、將函數(shù)^=°/+樂+。（a￥O）的圖象向下平移兩個單位，頂點的橫坐標(biāo)不變，對稱軸不變，故不符合題

，顯、?

C、將函數(shù)y=a/+bx+c（aWO）的圖象向下平移兩個單位，拋物線的開口方向不變，對稱軸不變，則y隨

x的變化情況不變，故不符合題意.

D、將函數(shù)夕=公2+瓜+。"WO）的圖象向下平移兩個單位，與y軸的交點也向下平移兩個單位，故符合題

Jit.

息.

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意：拋物線平移后的形狀不變，

開口方向不變，頂點坐標(biāo)改變.

二.填空題（共2小題）

4.（2020?上海）如果將拋物線向上平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是y=，+3.

【分析】直接根據(jù)拋物線向上平移的規(guī)律求解.

【解答】解：拋物線y=/向上平移3個單位得到y(tǒng)=x2+3.

故答案為：y—x~+3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故〃不變，所以求平移后

的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

5.（2017?上海）已知一個二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點坐標(biāo)為（0,-1）,那么這個二次函數(shù)的解析式

可以是”=a-1.（只需寫一個）

【分析】根據(jù)頂點坐標(biāo)知其解析式滿足1,由開口向上知據(jù)此寫出一個即可.

【解答】解：?.?拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,-1）,

該拋武線的解析式為-1,

又：二次函數(shù)的圖象開口向上，

；.a>0,

,這個二次函數(shù)的解析式可以是y=2x2-1,

故答案為：y=2?-1.

【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握拋物線的頂點式是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題）

6.(2022?上海)在平面直角坐標(biāo)系方分中，拋物線y=[2+6x+c過點/(-2,-1),8(0,-3).

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)平移拋物線，平移后的頂點為P("?,〃)(?7>0).

i.如果&。命=3,設(shè)直線X=A,在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢，求左的取值范

圍；

ii.點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點0,且/8PQ=120°,求點尸的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)點48的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)/.根據(jù)三角形面積求出平移后的拋物線的對稱軸為直線x=2,開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出

答案；

2

ii.P(w,^-m-3),證出8P=PQ,由等腰三角形的性質(zhì)求出乙BPC=60°,由直角三角形的性質(zhì)可求

出答案.

【解答】解：(1)將4(-2,-1),8(0,-3)代入夕=12+版+“得：

2

[-l=2-2b+c

1~3=c

解得：(b=0,

Ic=-3

二拋物線的解析式為-3.

2

(2)i.-：y=ljc2-3,

2

拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,-3),

即點8是原拋物線的頂點，

???平移后的拋物線頂點為尸(加，〃),

???拋物線平移了|，川個單位，

X3|w|=3,

2

Vw>0,

??〃?=2,

即平移后的拋物線的對稱軸為直線x=2,

???在”=左的右側(cè)，兩拋物線都上升，原拋物線的對稱軸為y軸，開口向上，

???心2；

ii,把P(小，/7)代入'=>1^-3,

2

:.P(m,~2^-

由題意得，新拋物線的解析式為尸/(x-m)2+〃=/x2-mx+m2-3,

：.Q(0,m2-3),

,:B(0,-3),

222222l4,P2=222224,

：.BQ=m,Bp=m+(ym-3+3)=m--1-mQm+[(ym-3)-(m-3)]=m-^m

：.BP=PQ,

?：PB=PQ,PC±BQ,

...BC=1_8Q=X?2,NBPC=L/BPQ=LX120°=60°,

2222

工in2

.,.tan/8PC=tan60°2_^=rr；

PC|m|v

，加=2我或加=-2日（舍），

2

/.?=—m-3=3,

2

二尸點的坐標(biāo)為（2愿，3）.

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象

上點的坐標(biāo)特征，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握

待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?上海）已知拋物線了=亦2+。（“W0）經(jīng)過點尸（3,0）、Q（1,4）.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點/在直線P0上，過點/作軸于點8,以N8為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形/8C.

①當(dāng)。與4重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo).

【分析】(1)尸(3,0)、Q(1,4)代入y=a/+c即可得拋物線的解析式為y=-工好+且；

22

(2)①過C作于，，交y軸于G,4與0(1,4)重合時，/8=4,GH=\,由△/BC是等腰直

角三角形，得CH=AH=BH=LiB=2,C到拋物線對稱軸的距離是CG=1；

2

②過C作C//J■月8于//,先求出直線尸0為y=-2"6,設(shè)/(w,-2〃?+6),則4?=-2加+6,yc=-

m+3,xc—-(-m+3-機)—2m-3,將C(2m-3,-m+3)代入y=-工？+9解得5=工或〃?=3(與

222

P重合，舍去)，即可求出C(-2,1).

2

【解答】解：(1)P(3,0)、Q(1,4)代入y=af+c得：

a=

(O=9a+c,解^2

I4=a+c9

C=7T

...拋物線的解析式為：y=-4+旦；

22

(2)①過C作于，，交y軸于G,如圖：

當(dāng)“與°(1,4)重合時，AB=4,GH=\,

：△NBC是等腰直角三角形，

.?.△ZCW和△8CH也是等腰直角三角形，

;.CH=AH=BH=LB=2,

2

:.CG=CH-GH=\,

而拋物線N=-12+2的對稱軸是y軸(x=。),

22

??.C到拋物線對稱軸的距離是CG=1：

②過C作于"，如圖:

設(shè)直線P0解析式為少=h+6,將尸(3,0)、Q(1,4)代入得:

[0=3k叱解得付-2,

I4=k+b\b=6

直線PQ為y=-2x+6,

設(shè)4（〃z,-2加+6）,則48=|-2加+6],

：.CH=AH=BH=1AB=\-m+3],

2

當(dāng)-m+330,yc=-加+3時，xc=-（~加+3-m）=2m-3,

將C（2〃?-3,-加+3）代入y=-工2+旦得：

22

-m+3=-▲（2〃？-3）2+—,

22

解得“=>1或"1=3（與尸重合，舍去），

'.m——,2m-3--2,-m+3——,

22

：.C（-2,5）

2

當(dāng)-m+3V0,yc=-〃?+3時，xc=m-（〃？-3）=3,

C（3,-m+3）,由尸（3,0）可知加=3,

此時/、B、C重合，舍去,

：.C(-2,A)

2

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及解析式、對稱軸、等腰直角三角形、一次函數(shù)等知識，解題的

關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示C的坐標(biāo).

8.(2020?上海)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-L+5與x軸、y軸分別交于點/、B(如圖).拋物

2

線歹=4f+以(oWO)經(jīng)過點/.

(1)求線段48的長；

(2)如果拋物線夕=af+bx經(jīng)過線段N8上的另一點C,且8C=遙，求這條拋物線的表達式；

(3)如果拋物線^=°/+隊的頂點。位于△/OB內(nèi)，求a的取值范圍.

【分析】(1)先求出48坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)點C(w,-XM+5),則8c=近_制|,進而求出點C(2,4),最后將點/,C代入拋物線解析式

22

中，即可得出結(jié)論；

(3)將點/坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b=-10”，代入拋物線解析式中得出頂點。坐標(biāo)為(5,-

25a),即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)針對于直線y=-1+5,

2

令x=0,y=5,

：.B(0,5),

令y=0,則-1+5=0,

2

Ax=10,

：.A(10,0),

：.AB=yJ52+102=5^5；

(2)設(shè)點設(shè)(m,--L/H+5),

2

?B(0,5),

?，?BC={.2+(-^-m+5_5)2=^^-|加I，

?:BC=屏,

.?.2ZL|加尸返，

2

，團=±2,

???點C在線段上，

??〃?=2,

：.C(2,4),

將點/(10,0),C(2,4)代入拋物線y="2+bx(。￥0)中，得［l00a+10b=0,

I4a+2b=4

，1

..，

b=t

.?.拋物線y=--kr2+-^r；

42

(3):?點/(10,0)在拋物線^=辦2+云中，得100a+106=0,

:.b=-10a,

.?.拋物線的解析式為〉=分2-\Qax=a(x-5)2-25a,

.?.拋物線的頂點。坐標(biāo)為(5,-25a),

將x=5代入y=-1+5中，得夕=-_Lx5+5=a,

222

?.?頂點。位于△/O8內(nèi)，

/.0<-25a<$,

2

二-J^<a<0；

10

【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點間的距離公式，拋物線的頂點坐標(biāo)的求

法，求出點。的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

9.(2019?上海)在平面直角坐標(biāo)系中(如圖)，已知拋物線-2x,其頂點為Z.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點力的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線y=/-2x的“不動點”的坐標(biāo)；

②平移拋物線夕=X2-2X,使所得新拋物線的頂點8是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C,

且四邊形。/8C是梯形，求新拋物線的表達式.

1

O1x

【分析】（1）Va=l>0,故該拋物線開口向上，頂點4的坐標(biāo)為（1,-1）;

（2）①設(shè)拋物線“不動點”坐標(biāo)為（f,則f=P-2l,即可求解；②新拋物線頂點8為“不動點”，

則設(shè)點8（m,加），則新拋物線的對稱軸為：x=m,與x軸的交點C（機，0）,四邊形O/8C是梯形，則

直線x=，W在y軸左側(cè)，而點4（1,-1）,點8（機，m）,則加=-1,即可求解.

【解答】解：（1）Va=l>0,

故該拋物線開口向上，頂點N的坐標(biāo)為（1,-1）,

當(dāng)x>l,y隨x的增大而增大，當(dāng)x<l,y隨x增大而減??；

（2）①設(shè)拋物線“不動點”坐標(biāo)為（/,/）,則片理-27,

解得：f=0或3,

故"不動點"坐標(biāo)為（0，0）或（3,3）；

②當(dāng)OC〃/8時，

?.?新拋物線頂點8為“不動點”，則設(shè)點3（〃?，m）,

，新拋物線的對稱軸為：x=m,與x軸的交點C（加，0）,

:四邊形O/8C是梯形，

.,.直線、=加在y軸左側(cè)，

?：BC與04不平行，

J.OC//AB,

又；點”（1,-1）,點8Cm,m）,

m--19

故新拋物線是由拋物線-2x向左平移2個單位得到的；

當(dāng)08〃/C時，

同理可得：拋物線的表達式為：y=(x-2)2+2=X2-4x+6,

當(dāng)四邊形0/8C是梯形，字母順序不對，故舍去，

綜上，新拋物線的表達式為：y=(x+l)2-i.

【點評】本題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到二次函數(shù)基本知識、梯形基本性質(zhì)，此類新定義題目，通常

按照題設(shè)順序，逐次求解即可.

10.(2016?上海)如圖，拋物線y=a/+bx-5(aWO)經(jīng)過點4(4,-5),與x軸的負(fù)半軸交于點8,與

y軸交于點C,且。。=508,拋物線的頂點為點D

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)聯(lián)結(jié)/8、BC、CD、DA,求四邊形Z8C。的面積：

(3)如果點E在y軸的正半軸上，且NBE0=4BC,求點E的坐標(biāo).

【分析】(1)先得出C點坐標(biāo)，再由0C=5B。，得出8點坐標(biāo)，將N、8兩點坐標(biāo)代入解析式求出a,

b；

(2)分別算出△/8C和△4CD的面積，相加即得四邊形/8C。的面積；

(3)由NBEOn/NBC可知，tan/8E0=tanN/8C,過C作邊上的高C”,利用等面積法求出CH,

從而算出tan/MC,而80是已知的，從而利用tan/8EO=tan//8C可求出EO長度，也就求出了E點

坐標(biāo).

【解答】解：(1):?拋物線產(chǎn)=蘇+反-5與y軸交于點C,

：.C(0,-5),

；.0C=5.

：OC=5O8,

：.0B=\,

又點8在x軸的負(fù)半軸上，

：.B(-1,0).

?.?拋物線經(jīng)過點/(4,-5)和點B(-1,0),

.Ji6a+4b-5=-5,解得卜=1,

Ia~b_5=0lb=-4

.?.這條拋物線的表達式為y=x2-4x-5.

（2）由y=x2-4x-5,得頂點。的坐標(biāo)為（2,-9）.

連接/C,

\,點4的坐標(biāo)是（4,-5）,點C的坐標(biāo)是（0,-5）,

又SAXBC=^X4X5=10,SAXCO=1X4X4=8,

22

:?S四邊形ABCD=Sa4BE~S&4CD=18.

（3）過點。作CH_L/8,垂足為點

,/SJBC=/XABXCH=10,（-j/+（o+5）2=5近,

:.CH=2近,

在中，/BHC=90°,8c=V^,8//=五。2-CH2=3近，

.?.tan/C8〃=qi=2.

BH3

:在RTZXBOE中，NBOE=9Q°,tanZBEO=^-,

E0

"：NBEO=NABC,

二地上，得EO=3,

E032

.,.點E的坐標(biāo)為（0,3）.

2

【點評】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積求法、等積變

換、勾股定理、正切函數(shù)等知識點，難度適中.第（3）問，將角度相等轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的正切函數(shù)值相等是

解答關(guān)鍵.

11.（2018?上海）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）.已知拋物線y=-」"2+6x+c經(jīng)過點/（-1,0）和

點3（0,互），頂點為C,點。在其對稱軸上且位于點C下方，將線段。C繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)

2

90°,點C落在拋物線上的點尸處.

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求線段。的長；

（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點。的位置，這時點尸落在點E的位置，如果點例在y軸上，且

以。、D、E、M為頂點的四邊形面積為8,求點用的坐標(biāo).

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式：

（2）利用配方法得到丁=-1（x-2）2+1,則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點坐標(biāo)和拋物線的對稱軸為直

線x=2,如圖，設(shè)CO=f,則。（2,旦一