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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.2.在中,角、、所對的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.3.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限4.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球,從中任取3個編號不同的球,則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.5.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.6.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.7.如圖所示,網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該幾何體的體積為()A.2 B. C.6 D.88.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.9.的展開式中含的項的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.8010.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.11.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.812.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)14.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,則_____.15.若函數(shù),則的值為______.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點,P(異于原點O)為y軸上的一個定點.若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線段的中點,平面,,為線段上一點(不與端點重合).(1)若,(ⅰ)求證:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實數(shù)滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請說明理由.18.(12分)已知變換將平面上的點,分別變換為點,.設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.19.(12分)[選修45:不等式選講]已知都是正實數(shù),且,求證:.20.(12分)新高考,取消文理科,實行“”,成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率;(2)請根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.21.(12分)已知,且滿足,證明:.22.(10分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.2.D【解析】
利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第一象限,故選D.【點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為.4.B【解析】
由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5.D【解析】
利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出λ,由d∈[1,2],能求出實數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時,實數(shù)λ取最大值為λ.故選D.【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.6.C【解析】
先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀,以及四棱錐的高,再由體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知,該四棱錐為斜著放置的四棱錐,四棱錐的底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,四棱錐的高為2,所以該四棱錐的體積為.故選A【點睛】本題主要考查幾何的三視圖,由幾何體的三視圖先還原幾何體,再由體積公式即可求解,屬于??碱}型.8.B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.9.B【解析】
展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到,由二項式的通項,可得解【詳解】由題意,展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到,所以的展開式中含的項的系數(shù)為.故選:B【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.12.D【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計算公式計算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)模的求法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數(shù)為.14.81【解析】
設(shè)數(shù)列的公比為,利用等比數(shù)列通項公式求出,代入等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,因為,由等比數(shù)列通項公式可得,,解得,由等比數(shù)列通項公式可得,.故答案為:【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進(jìn)而計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.16.【解析】分析:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長.詳解:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,
∴t=,∴|OP|=.故答案為點睛:本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查差角的正切公式,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(ⅰ)證明見解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)連接交于點,連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由此能證明PC∥平面(ii)推導(dǎo)出,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解;(2)設(shè),求出平面的法向量,利用向量法求解.【詳解】(1)(?。┳C明:連接交于點,連接,,因為為線段的中點,所以,因為,所以因為∥所以四邊形為平行四邊形.所以又因為,所以又因為平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如圖,在平行四邊形中因為,,所以以為原點建立空間直角坐標(biāo)系則,,,所以,,,平面的法向量為設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,設(shè)平面和平面所成的銳二面角為,則所以銳二面角的余弦值為(2)設(shè)所以,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得,因為直線與平面所成的角的正弦值為,所以解得所以存在滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明,考查銳二面角的余弦值的求法,考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系等知識,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.18.(1)(2)1或6【解析】
(1)設(shè),根據(jù)變換可得關(guān)于的方程,解方程即可得到答案;(2)求出特征多項式,再解方程,即可得答案;【詳解】(1)設(shè),則,,即,解得,則.(2)設(shè)矩陣的特征多項式為,可得,令,可得或.【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.19.見解析【解析】試題分析:把不等式的左邊寫成形式,利用柯西不等式即證.試題解析:證明:∵,又,∴考點:柯西不等式20.(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】
(1)分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測值,對照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對新高考了解的概率,中老年對新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計中青年22830老年81220總計302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【點睛】本題考查概率、獨立性檢驗及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.21.證明見解析【解析】
將化簡可得,由柯西不等式可得證明.【詳解】解:因為,,所以,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【點睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用,相對不難,注意已知條件的化簡
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