2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)、許昌、平頂山高三第二次（1月）學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)、許昌、平頂山高三第二次（1月）學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．3．已知是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．5．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．7．已知函數(shù)，，若對(duì)，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．9．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤10．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，，則_______.14．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于，若三角形的面積等于，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______.15．展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)________.16．已知向量，，若滿(mǎn)足，且方向相同，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C：于點(diǎn)P，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)．圓心不在y軸上的圓M與直線(xiàn)l，PF，x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線(xiàn)E．（1）求曲線(xiàn)E的方程；（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)E相切于點(diǎn)，過(guò)Q且垂直于的直線(xiàn)為，直線(xiàn)，分別與y軸相交于點(diǎn)A，當(dāng)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度最小時(shí)，求s的值．18．（12分）在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，依據(jù)評(píng)分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù)，滿(mǎn)分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來(lái)分析，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02419．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）當(dāng)m=7時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．20．（12分）如圖，在直角中，，通過(guò)以直線(xiàn)為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（）.點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.22．（10分）（某工廠(chǎng)生產(chǎn)零件A，工人甲生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，工人乙生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為．己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠(chǎng)帶來(lái)的效益分別為10元、5元、2元.（1）試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠(chǎng)帶來(lái)的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞；（2）為鼓勵(lì)工人提高技術(shù)，工廠(chǎng)進(jìn)行技術(shù)大賽，最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽．決賽規(guī)則是：每一輪比賽，甲乙各生產(chǎn)一件零件A，如果一方生產(chǎn)的零件A品級(jí)優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產(chǎn)的零件A品級(jí)一樣，則兩方都不得分，當(dāng)一方總分為4分時(shí)，比賽結(jié)束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時(shí)，最終甲獲勝的概率．①寫(xiě)出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1．考點(diǎn)：程序框圖．2．C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，再由模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

先利用對(duì)稱(chēng)得，根據(jù)可得，由幾何性質(zhì)可得，即，從而解得漸近線(xiàn)方程.【詳解】如圖所示：由對(duì)稱(chēng)性可得：為的中點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，所以，故而由幾何性質(zhì)可得，即，故漸近線(xiàn)方程為，故選B.本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的知識(shí)，考查了雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，由題意得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4．C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.5．D【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，所以，即，，即，，故選D.6．D【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出，再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù)，然后由模的定義計(jì)算模．【詳解】，．故選：D．本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題．7．D【解析】

先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于正無(wú)窮；對(duì)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)題意，對(duì)，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問(wèn)題，屬綜合困難題.8．C【解析】

求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線(xiàn)方程的漸近線(xiàn)方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線(xiàn)的方程.【詳解】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為可得雙曲線(xiàn)即為的漸近線(xiàn)方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線(xiàn)的方程為.故選：C本題主要考查了求雙曲線(xiàn)的方程，屬于中檔題.9．C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C10．A【解析】

投影即為，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

利用已知條件畫(huà)出幾何體的直觀(guān)圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀(guān)圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．12．C【解析】

化簡(jiǎn)得到，，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案為:.本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.14．【解析】

由題得直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程得：，設(shè)點(diǎn)，則有，由，且解出，進(jìn)而求解出離心率.【詳解】由題知，直線(xiàn)的方程為，代入消得：，設(shè)點(diǎn)，則有，，而，又，解得：，所以離心率.故答案為：本題主要考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算與離心率的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力15．【解析】

變換，根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故答案為：.本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16．【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算．注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時(shí)，滿(mǎn)足題意，時(shí)，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時(shí)要注意驗(yàn)證方向相同這個(gè)條件，否則會(huì)出錯(cuò)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1），（2）．【解析】

根據(jù)題意設(shè)，可得PF的方程，根據(jù)距離即可求出；點(diǎn)Q處的切線(xiàn)的斜率存在，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，求，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的方程為，所以F的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳AM與x軸、直線(xiàn)l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為，點(diǎn)，則直線(xiàn)PF的方程為，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程為，，設(shè)，，，由知，點(diǎn)Q處的切線(xiàn)的斜率存在，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以，．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，即AB取得最小值此時(shí)．本題考查了直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．18．（1）見(jiàn)解析；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”（3）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20，這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，比較后可得；（3）由于性別對(duì)結(jié)果有影響，因此用分層抽樣法．【詳解】解：（1）優(yōu)秀合格總計(jì)男生62228女生141832合計(jì)204060（2）由于，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”.（3）由（2）可知性別有可能對(duì)是否優(yōu)秀有影響，所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生，這樣得到的結(jié)果對(duì)學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會(huì)比較符合實(shí)際情況.本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣的性質(zhì)．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．屬于中檔題．19．（1），（2）【解析】試題分析：用零點(diǎn)分區(qū)間討論法解含絕對(duì)值的不等式，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得出，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，只需m+4≤3，得出的范圍.試題解析：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：，或，或，解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．20．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）先算出的長(zhǎng)度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）可得為直線(xiàn)與平面所成的角，要使其最大，則應(yīng)最小，可得為中點(diǎn)，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由題意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴與平面所成的角是，∴最大時(shí)，即，點(diǎn)為中點(diǎn).，，，，，，，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值為.本題考查線(xiàn)面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.21．（1）或；（2）或.【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析：（1）等價(jià)于或或，解得：或.故不等式的解集為或.（2）因?yàn)椋核?，由題意得：，解得或.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．22．（1）乙的技術(shù)更好，見(jiàn)解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；（2）①直接根據(jù)概率的意義可得P0，P8；②設(shè)每輪比賽甲得分為，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差數(shù)列，根據(jù)可得答案.【詳