高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)知識(shí) 高頻考點(diǎn) 解題訓(xùn)練）指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案

第七節(jié),指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)知iR要打牢強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分掌握程度

1JICHUZHISHIYAIII

［知識(shí)能否憶起］

一、根式

1.根式的概念

根式的概念符號(hào)表示備注

如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根-------―n>\且〃CN*

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù),

的零的〃次方根是零

負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根有兩個(gè),這

土船(a>0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根

兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)

2.兩個(gè)重要公式

a,〃為奇數(shù),

(1)y[a，，=aa

|H|=「〃為偶數(shù);

-aa<

(2)(船)"=自(注意a必須使笛有意義).

二、有理數(shù)指數(shù)累

1.幕的有關(guān)概念

⑴正分?jǐn)?shù)指數(shù)累：片§?(a〉0,m,〃GN*,且〃>1)；

(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴：a—4='=」一(a>0,m,〃CN*,且〃>1)；

nm

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉等于的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒(méi)有意義.

2.有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)

(1)aa=a+s{a>Q,r,s￡Q)；

⑵g')s=a's(a>0,r,s￡Q)；

⑶(ab)'=d6(GO,b>0,_r￡Q).

三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=a(a>09且〃#1)

0<a<l

圖象

XX

圖象特征在A■軸上方,過(guò)定點(diǎn)(0,1)

定義域R

值域(0,+8)

性單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)

質(zhì)當(dāng)x>0時(shí)，3

函數(shù)值變化

當(dāng)水0時(shí)，o<xi；

規(guī)律當(dāng)X0時(shí),於1；當(dāng)x>0時(shí),0<八1

當(dāng)x=0時(shí)，y=l

［小題能否全?。?/p>

1.(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)［(-2)6］，一(一1)°的結(jié)果為()

A.-9B.7

C.-10D.9

解析：選B原式=(24-1=7.

2.(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=，T=亍的定義域是()

A.(一8,0］B.［0,+8)

C.(—8,0)D.(—8,+8)

解析:選A?.?1一2'20,...后0.

3.已知函數(shù)/1(x)=4+ai的圖象恒過(guò)定點(diǎn)產(chǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(1,5)B.(1,4)

C.(0,4)D.(4,0)

解析：選A當(dāng)x=l,時(shí)，/(X)=5.

4.若函數(shù)y=(#一3a+3)?a'是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.

解析：?.?a*—3a+3=l,；.a=2或a=l(舍).

答案：2

5.若函數(shù)y=(1—1)、在(一8,十8)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一

2

解析：由題意知0〈才一i〈i,gpi<a<2,

得一"血〈a<—1或

答案：（一4，-1）U（l,m）

L分?jǐn)?shù)指數(shù)累與根式的關(guān)系：

分?jǐn)?shù)指數(shù)事與根式可以相互轉(zhuǎn)化,通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為

幕的運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

2.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按O〈a<l

和a>l進(jìn)行分類討論.

.■■高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分|掌握程度

.hM.GAOPINKA0D1ANYAOTONGGUAN］_______________\______________\

指數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

占典題導(dǎo)入

［例1］化簡(jiǎn)下列各式（其中各字母均為正數(shù)）.

yja?ti1

⑵閶。"+0.L+嗡.|—3"。+和

a-—

［自主解答］(1)原式=—“；…

⑵原式=（敏+言+圜一|一3+凈,100+》3+*100.

會(huì)由題悟法

指數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要注意與其他代數(shù)式的化簡(jiǎn)規(guī)則相結(jié)合，遇到同底數(shù)基相乘或

相除，可依據(jù)同底數(shù)基的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行，一般情況下，宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)

指數(shù)幕.對(duì)于化簡(jiǎn)結(jié)果，形式力求統(tǒng)一.

贏以題試法

1.計(jì)算:

①既一吐1尸；

(1)(0.027)--2+

3

0.1!atT'g

解：⑴原式=(磊)十(-1)0+管馬

10,5

=—■—49+--1=—45.

OO

13

小后T42,423333

⑵原式=Fr?與?0一萬(wàn)?傷5

=景，）

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

占典題導(dǎo)入

［例2］（2012?四川高考）函數(shù)尸a-a（a>0,且aWl）的圖象可能是（）

［自主解答］法一：令/=，-4=0,得x=l,即函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)（1,0）,符合條件

的只有選項(xiàng)C.

法二：當(dāng)於1時(shí)，y=a'-a是由y=a'向下平移a個(gè)單位，且過(guò)（1,0）,排除選項(xiàng)A、B；

當(dāng)0〈水1時(shí)，y=a*—a是由尸H向下平移a個(gè)單位，因?yàn)?〈水1,故排除選項(xiàng)D.

［答案］C

3由題悟法

1.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、

對(duì)稱變換得到其圖象.

2.一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.

3以題試法

2.(1)(2012?北京模擬)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2*與尸的圖象之間的關(guān)系是

()

A.關(guān)于y軸對(duì)稱B.關(guān)于x軸對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱

(2)方程2'=2—x的解的個(gè)數(shù)是.

解析：(1)；尸［1)=2-',.?.它與函數(shù)y=2'的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(2)方程的解可看作函數(shù)尸2、和y=2-x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分

別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖).

由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解.

J5ii~2\*

答案：(DA(2)1

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

公典題導(dǎo)入

［例3］已知函數(shù)/Xx)=(|)「則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)

間為.

［自主解答］令t=|x1-a,則/'(x)=(|),

不論a取何值，t在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又尸仔是單調(diào)遞減的，

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0］,

單調(diào)遞減區(qū)間是［0,+8).

［答案］(-8,0］［0,+8)

，-?-->-一---題--多--變----------------------------------S

9

在本例條件下，若*x)的最大值等于『則a=.

解析：由于f(x)的最大值是*且,=(§7，

所以g(x)=|x|—d應(yīng)該有最小值一2,

從而a=2.

答案：2

出由題悟法

求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等

相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同

增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決.

3以題試法

3.（1）（2012?福州質(zhì)檢）已知a=2°”,6=0.4%c=0.4°\貝U（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

⑵（2012?上海高考）已知函數(shù)/U）=el（a為常數(shù)）.若/V）在區(qū)間［1,+8）上是

增函數(shù)，則a的取值范圍是________.

解析：（1）由0.2<0.6,0.4〈1,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.4°2>0.4°6,即力c；因?yàn)?/p>

a=2“2>l,b—0.4°2<1,所以a>6.綜上，a>b>c.

（2）結(jié)合函數(shù)圖象求解.因?yàn)閥=e"是R上的增函數(shù)，所以f（x）在［1,+8）上單調(diào)遞增，

只需u=|x-a］在［1,+8）上單調(diào)遞增，由函數(shù)圖象可知aWL

答案：（DA（2）（-8,1］

高分障礙要破除攻重點(diǎn)I補(bǔ)短板I得滿分I掌握程度

（.AOIIX/H\N（.MY\-）POCHl：__________J1_______J

“題型技法點(diǎn)撥——快得分”系列之（二）

換元法解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題

1-3

［常規(guī)解法］尸&'一（3,+1=［?’｝一（3'+匚2

2--+-4-

_

因?yàn)?,2］,所以;W（；）W8.

當(dāng)書）'=1時(shí)，當(dāng)（5=8時(shí)，%x=57.

3

所以函數(shù)y的值域?yàn)镃，57.

［答案］57

------------［高手支招］------------------------------------------------------

1.解答本題可利用換元法，即令￡=（，,,把函數(shù)化為y=d—t+i,其中re8,

然后求在這個(gè)閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最大值和最小值即可確定函數(shù)的值域.

2.對(duì)于含a'、濟(jì)的表達(dá)式，通?？梢粤?=a'進(jìn)行換元，但換元過(guò)程中一定要注意新

元的范圍，換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關(guān)系.

［巧思妙解］因?yàn)閤G［-3,2］,若令力=町則8.則y=t2-t+l=^-0'!

I3「3

當(dāng)1=5時(shí)為iu=w；當(dāng)「=8時(shí)，％ax=57.答案為W，57.

針對(duì)訓(xùn)練

若（X水1,函數(shù)？=3、+2/—1在上的最大值是14,則a的值為.

解析:令方=a*（0〈水1）,

則原函數(shù)化為尸（什1）2-2（=0）.

因?yàn)?〈水1,［—1,1］,所以t=a^a,1,

此時(shí)/V）在「a,上為增函數(shù).

_適

所以/、（。3=《）=（［+1）-2=14.

所以（—+1）=16,

所以或a=1.

又因?yàn)閍>0,所以a=；.

答案：I

解題訓(xùn)練要高效抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

A級(jí)全員必做題

i.下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的是()

A.y=-5xB.

C.y=y曲-1D.y=y]l-2'

解析：選B一xGR,尸(；)'的值域是正實(shí)數(shù)集，

的值域是正實(shí)數(shù)集.

2.已知/■(必=2,+27若f(a)=3,則f(2a)等于()

A.5B.7

C.9D.11

解析：選B由f(a)=3得2"+2-"=3,

兩邊平方得22"+2-2"+2=9,

即*+2f=7,故f(2a)=7.

3.函數(shù)f(x)=2'T的圖象是()

解析：選B一，XI.

.?.根據(jù)分段函數(shù)即可畫出函數(shù)圖象.

4.已知f(x)=3i(2WxW4,6為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,D,則f(x)的值域()

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[1,+8)

解析：選C由/U)過(guò)定點(diǎn)⑵1)可知6=2,因/"(入)=3'7在[2,4]上是增函數(shù)，可知C

正確.

5.(2012?深圳診斷)設(shè)函數(shù)f(x)=a-'(a>0,且aWl)，*2)=4,則()

A.A-2)>A-1)B./(-l)>/,(-2)

C.AD>A2)D.A-2)>/(2)

解析：選A，."(2)=4,二a一°=4,a=；,

.Mx)=尚*=2'，是偶函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2*是增函數(shù)，.—0時(shí),

f(x)是減函數(shù)，???『(一2)>〃一1).

6.若(2/1)》(瘍+卬-1及，則實(shí)數(shù)卬的取值范圍是()

解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)/=或的定義域?yàn)閇0,+8),且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等

‘2皿+120,

式等價(jià)于,加,十0一120,

2⑺+1>薪+加—1，

解2///+120,得/〃2—；；

解in+勿一120,

得辰—---或卬》乂”~；

解2〃/+1>/+加-1,即石一m—2<0,得一1〈欣2.

綜上所述，加的取值范圍是寫工W成2.

7X+8X-

-3)4H)4^、/F0=—?

解析：原式=(B|xl+2|x21—(翡=2.

答案：2

8.已知正數(shù)a滿足廿一2a—3=0,函數(shù)f(x)=a",若實(shí)數(shù)必、〃滿足『(加〉/'(/?),貝！I加、

n的大小關(guān)系為.

解析：Va2—2a—3=0,.，.a=3或a=-l(舍).

函數(shù)/1(x)=a*在R上遞增，由f(勿)得">〃.

答案：ni>n

9.若函數(shù)f(x)=a“i(a>0,aWl)且Al)=9.則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：由f⑴=9得a?=9,；.a=3.因此f(x)=32*T,

又?.?4(：=12>—41的遞減區(qū)間為(-8,2],的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,2].

答案：(一8,2]

10.求下列函數(shù)的定義域和值域.

⑴y=(；)2x一系⑵尸l—1.

解：(1)顯然定義域?yàn)镽.

V2%-X2=-(A—1)2+1<1,

且尸Q)為減函數(shù).

故函數(shù)了=(；)2x-y的值域?yàn)?°°j.

(2)由32X-'-1^0,得32129=3-2，

：y=3'為增函數(shù)，一2,

即9—(，

此函數(shù)的定義域?yàn)橐蝗?8),

由上可知

即函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8).

11.函數(shù)f(x)=a'(a>0,且a#l)在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大會(huì)。的值.

解：當(dāng)給1時(shí),F(x)=H為增函數(shù)，在［1,2］上，F(xiàn)(x)坡大=-(2)=才,九小=，'⑴

.\a'—a=~.BPa(2a—3)=0.

33

"=0(舍)或^=5>1.a=^.

當(dāng)0<5<1時(shí)，F(xiàn)(x)=a、為減函數(shù)，

在［1,2］上，F(xiàn)(x)最大=f(l)=&F(x)最小=f(2)=，.

/.a—a2=-1.a(2a—1)=0,

???a=0(舍)或a二號(hào).

1、3

綜上可知，a=5或a='.

12.函數(shù)y=lg(3—4x+f)的定義域?yàn)閬y當(dāng)天0獷時(shí)，求/—3X4、的最值.

解：由3-4x+f>0,得>>3或x<l,

.,."={x|x>3,或x<l},

f(x)=-3X(2丁+2'+2=—3(2'—上)+!|.

?；x>3或x<l,二2">8或0<2'<2,

當(dāng)2'=，，即x—1og、時(shí)，f(x)最大，

OO

最大值為百f(x)沒(méi)有最小值.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.(2013?紹興一中模擬)函數(shù)f(x)=aE(a>0,aKl)的值域?yàn)閇1,+~),則

4)與/U)的關(guān)系是()

A.A-4)>/(DB.A-4)=AD

C.X-4XA1)D.不能確定

解析：選A由題意知a>l,又/(—4)=a,Al)=a',由單調(diào)性知a3>a]f(—4)>f(l).

2.(2012?衡水模擬)已知函數(shù)f(x)=|2-1|,a<Kc,且f(a)>f(c)>f(6),則下列結(jié)

論中，一定成立的是.

①a<0,僅0,c<0；②水0,6>0,c>0；

③2r②；@2"+2e<2.

解析：畫出函數(shù)F(x)=12'-l|的圖象(如圖)，

由圖象可知，水0,。的符號(hào)不確定，c>0.rt/

故①?錯(cuò)；1/

?."(a)=|2fHe)=---------5

A|2°-1|>|2(-1|,即1-2">2'—1,二二:-二二j......-

故2"+2'<2,④成立；

又2"+2°>2*氏.-.2s+c<l,

a+c<0,-a>c,2-a>2,,③不成立.

答案：④

3.已知函數(shù)f{x}=-4x+3.

(1)若a=-l,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/Xx)有最大值3,求a的值.

解：(1)當(dāng)a=~~l時(shí)，F(xiàn)(x)-x"—4x+3,

y=g)在R上單

由于f(x)在(一8,—2)上單調(diào)遞增，在［—2,+8)上單調(diào)遞減，而

調(diào)遞減,

所以/"(X)在(一8,—2)上單調(diào)遞減，在［-2,十8)上單調(diào)遞增，

即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是［—2,+8),遞減區(qū)間是(一8,-2).

(2)令夙x)=a/—4x+3,由于f(x)有最大值3,所以為(x)應(yīng)有最小值

-1,因此必有

a>0,

'12a—16解得a=L

4a-L

即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.

|敖怖備選題

1.已知實(shí)數(shù)a,2滿足等式I”,下列五個(gè)關(guān)系式:

3

①0〈伙a；②a〈伙0；③0<a。；④伙a<0；⑤a=b

其中不可能成立的關(guān)系式有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B函數(shù)％=圖與片曲的圖象如圖,

由&)=(；)得水從°或。<伙a或a=b=0.

2.求函數(shù)y—ax—2a—\(a>0,aWl)的單調(diào)區(qū)間和值域.

解：y=(a*—1尸一2(a>0,aWl),設(shè)u=H.

?.?y=(〃-1)2—2在u￡［l,+8)時(shí)是關(guān)于〃的增函數(shù)，在〃￡(—8,1)時(shí)是關(guān)于〃

的減函數(shù)，

???當(dāng)/21時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)性與u=a'的單調(diào)性相同；當(dāng)堂<1時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)性與

〃=￡的單調(diào)性相反.

若a>1,a'210：1=x<0,

工在［0,+8)上,函數(shù)尸產(chǎn)—2H—1是增函數(shù)；

在(一8,0)±,函數(shù)夕=及-2/-1是減函數(shù).

若0<水1,a"<l=x>0,

???在(0,+8)上，函數(shù)y=/-2d'-l是增函數(shù)；

在(一8,0］±,函數(shù)尸/入—2H—1是減函數(shù).

?.?a'〉0,...函數(shù)值域是［-2,+8).

第八節(jié)Z對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)費(fèi)打牢強(qiáng)雙基固本源得基礎(chǔ)分掌握程度

1IICHUZHISHIYAIII

［知識(shí)能否憶起］

1.對(duì)數(shù)的概念

(1)對(duì)數(shù)的定義：

如果H=/V(a>0且，#1),那么數(shù)x叫做以a為底A'的對(duì)數(shù)，記作x=logN其中且叫

做對(duì)數(shù)的底數(shù)，上叫做真數(shù).當(dāng)5=10時(shí)叫常用對(duì)數(shù).記作x=lgN，當(dāng)d=e時(shí)叫自然對(duì)數(shù),

記作x=lnN.

(2)對(duì)數(shù)的常用關(guān)系式(a,b,c,d均大于0且不等于1)：

①log/=。.

②log“a=L

③對(duì)數(shù)恒等式：alogW=q

④換底公式：］ogj?=：og，”

logca

推廣log〃8=,o］log力?log/,c?log<d=logM

(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：

如果a>0,且aWl,〃>0,A>0,那么：

①1og"("?A)=logJ/+log〃A'；

M

②log.,T=log“〃一log.〃M

IN

③log,"=〃log,J/(〃￡R)；

?log，加ogM

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

⑴把尸log&x(a>0,aHl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+8).

(2)函數(shù)y=log/(a>0,aWl)是指數(shù)函數(shù)y=a*的反函數(shù)，函數(shù)y=a"與y=logaX(a>0,

aW1)的圖象關(guān)于尸=」對(duì)稱.

［小題能否全取］

1.（教材習(xí)題改編）設(shè)"=3y=log2*,x>l},6=jy|y=（；）",則4nA為（）

A.（0,{JB.&+8）

D.（0,2）

解析：選C：4=3y>0｝，B=

：.AC\B^

2.函數(shù)y=log〃(3x—2)(a>0,aWl)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4則/點(diǎn)坐標(biāo)是(）

A.(0,$B.傳

C.(1,0)D.(0,1)

解析：選C當(dāng)x=l,時(shí)y=0.

3.函數(shù)尸lg|x|()

A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增

B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減

D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

解析：選By—lg|x|是偶函數(shù)，由圖象知在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上

單調(diào)遞增.

4.(2012?江蘇高考)函數(shù)f(x)=<1二五>嬴的定義域?yàn)?

解析：由1—21og6X20,解得log6*W；=0<xW/,故所求定義域?yàn)?0,乖］.

答案：(0,乖］

5.(2012?北京高考)已知函數(shù)f(x)=lgx,若f(a?=1,則/V)+f(/)=.

解析：由f(ab)—1得ab=10,于是f(a)+f⑹—lga2+lg爐=2(lga+lgb)—21g(ah)

=21g10=2.

答案：2

1.在運(yùn)用性質(zhì)log“"=〃log,,M時(shí)，要特別注意條件，在無(wú)；1/>0的條件下應(yīng)為log/

=〃log/M（〃GN*,且〃為偶數(shù)）.

2.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律：

當(dāng)a>l且6>1,或0<a<l且0〈伙1時(shí)，log“6〉0；

當(dāng)a>l且0〈伙1,或0〈水1且6>1,時(shí)，log力<0.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性：

在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于0,所以對(duì)數(shù)函數(shù)尸log.x的定義域應(yīng)為{x!x>0}.對(duì)

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0〈a〈l和a>l進(jìn)行

分類討論.

■"■高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得技高分I掌握程度

.hi,GAOPINKAOD1ANYAOTONGGUANJ_________J__________）

?a-對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

古典題導(dǎo)入

［例1］求解下列各題.

⑴Jig^-1lgA/8+lg^/245=；

乙Wo

(2)若2"=5"=初，且1+；=2,則勿=.

ab

［自主解答］(l)Jlg11g^8+1g^245

I431

=］X(51g2—21g7)—7X51824--(lg5+21g7)

=1lg2—1g7—21g2+1lg5+lg7

=|lg2+|lg5=|lg(2X5)=2-

⑵由2'=5"=必得a=log2勿，b=log5/n,

.*.-+7=log^+log5=log10.

abffiw

.'?log卅10=2，UPin=10.

解得(,:m〉0).

［答案］(1)|⑵板

3由題悟法

對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的常用思路

(1)先利用'幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，使基的底數(shù)最簡(jiǎn),

然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化

為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、某再運(yùn)算.

務(wù)以題試法

1.化簡(jiǎn)：(1)lgy+lg70—1g3—\/lg23—lg9+1；

⑵

3

/70______________

解：(1)原式=1=一一W.3—21g3+1

=lg10-

=1一|lg3—l|=lg3.

(2)原式=H------)S-2'°X2-"

'g4--[5

=(二應(yīng)出

Ilg15J

3

2,

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

占典題導(dǎo)入

［例2］(1)(2012?煙臺(tái)調(diào)研)函數(shù)尸ln(l—x)的圖象大致為()

(2)(2012?新課標(biāo)全國(guó)卷)當(dāng)0<懸時(shí)，4\log?x,則a的取值范圍是()

B?售I

C.（1,鏡）D.訴2）

［自主解答］(1)由1一入>0,知水1,排除選項(xiàng)A、B；設(shè)1=1—才(水1),因?yàn)閆=l—x

為減函數(shù)，而尸InZ為增函數(shù)，所以y=ln(l—x)為減函數(shù)，可排除D選C.

(2)法一：構(gòu)造函數(shù)F(x)=4"和g(x)=logax,當(dāng)a〉l時(shí)不滿足條

件，當(dāng)0<a<l時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)在(0,3上的圖象，可知，/(})〈(；)，火)劭

即2Qog",則a>乎，所以a的取值范圍為隹，1)邛卡

法二：TO〈啟3，???1<4'W2,??.logaX>4">l,...Od排除選項(xiàng)C,D；取x=

I，則有,=2,lo晟=1,顯然4'<log"不成立，排除選項(xiàng)A.

［答案］(DC(2)B

?》一題多變

若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁?x-lTGog/在x￡(l,2)內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解析：設(shè)f(x)=(x—I)——(x)=log-x,要使當(dāng)(1,2)時(shí),不等式析一Dylog#恒

成立，只需/i(x)=(x—1產(chǎn)在(1,2)上的圖象在E(x)=log,x圖象的下方即可.

當(dāng)0<水1時(shí)，顯然不成立；

當(dāng)臥1時(shí)，如圖,

要使王仁(1,2)時(shí)f(x)=(x—1)'的圖象在五(x)=log/的圖象下

方,只需f(2)W2(2),即(2—D'WlogZ

又即loga2>l.

所以l〈aW2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2］.

答案：(1,2］

&由題悟法

1.對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)

間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解.

2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題的求解，常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合

法求解.

務(wù)以題試法

(y,xwi,

2.已知函數(shù)F(X)={1則尸”1—X)的大致圖象是()

logT^r,x>l,

—x)為減函數(shù)，且y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y=F(l—x)為增函數(shù)，且y<0.

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

占典題導(dǎo)入

［例3］己知函數(shù)f(*)=log」(aV+2x+3).

(1)若/"(x)定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；

(2)若/'(1)=1,求/i(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使/Xx)的最小值為0?若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理

［自主解答］(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,

所以ax'+2x+3>0對(duì)任意xCR恒成立.

顯然a=0時(shí)不合題意，

a>0,a>0,解得a〉〈.

從而必有即，

/〈o,4一12/0,O

即a的取值范圍是弓，+8).

(2)因?yàn)閒(l)=L所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=—1,

這時(shí)f(x)=logi(—/+2^+3).

由――>0得一1<水3,即函數(shù)定義域?yàn)?-1,3).

令g(x)=—/+2x+3.

則g(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減.

又y=logix在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃才)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

⑶假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f(x)的最小值為0,

則力(x)=af+2>+3應(yīng)有最小值1,

a〉0,

因此應(yīng)有<3a-1解得

-----=1,

a

故存在實(shí)數(shù)a=%吏f(x)的最小值為0.

3由題悟法

研究復(fù)合函數(shù)y=log"(x)的單調(diào)性(最值)時(shí)，應(yīng)先研究其定義域，分析復(fù)合的特點(diǎn)，

結(jié)合函數(shù)u=f(x)及尸log“u的單調(diào)性(最值)情況確定函數(shù)y=logj(x)的單調(diào)性(最值)(其

中a>0,且aWl).

務(wù)以題試法

3.已知f(x)=logos'—1)(a>0且a#l).

(1)求f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解：(1)由/-1>0得/>1,當(dāng)a〉l時(shí)，x〉0；

當(dāng)0<a<l時(shí)，K0.

...當(dāng)a>10寸，f(x)的定義域?yàn)?0,+8)；

當(dāng)0<水1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?-8,0).

(2)當(dāng)a>l時(shí)，設(shè)0〈小〈如則l<axKax2,

故0<,小一l<a至一1,

log”(axi-1)<log"(ax2-1).

f(xi)〈fix).

故當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

類似地，當(dāng)0<水1時(shí)，f(x)在(一8,0)上為增函

數(shù).

西?解題訓(xùn)練要高效抓速度|抓規(guī)范|拒絕限高手低|掌握程度

4級(jí)全員必做題

i.函數(shù)尸qr二x+的定義域?yàn)?)

A.(0,8]B.(2,8]

C.(-2,8]D.[8,+8)

fx+2W10,

解析：選C由題意可知，1一lg(x+2)20,整理得lg(x+2)WlglO,則，八人

2/0,

解得一2<x<8,故函數(shù)尸產(chǎn)1+一的定義域?yàn)?-2,8].

2.(2012?安徽高考)(logz9)?(log34)=()

11

叮B-2

C.2D.4

反土二'*n/In\/[八1g91g421g321g2

解析：選D(卜取9)?(l°gM)=適工*年=五萬(wàn)><1/=4.

3.若函數(shù)p=F(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且dWl)的反函數(shù)，且f(2)=1,則f(x)=()

A.log2xB.

C.log^^rD.2，L2

解析：選Af(x)=1og&x,Vf(2)=1,logrt2=l.a=2.

/.f{x)=log2X.

4.(2011?天津高考)已知a=log23.6,6=logt3.2,c=log，i3.6,則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>ai>cD.c>a>b

2

解析：選Ba=log23.6=log[3.6=logil2.96,

y=logu(x>0)是單調(diào)增函數(shù)，而3.2<3.6<12.96,

a>c>b.

5.(2013?安徽名校模擬)函數(shù)產(chǎn)=生置-的大致圖象是()

ABCD

解析：選c由于嗎券=-號(hào)，所以函數(shù)尸號(hào)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知函數(shù)圖象先增后減，結(jié)合選項(xiàng)可知選C.

6.已知函數(shù)/'(x)=log1|x-l|,則下列結(jié)論正確的是()

A./(-^|<A0)<A3)

B./(0)<^-^|</(3)

C.A3X^-￡(<A0)

D.A3)<A0)<^-^

解析:選C依題意得/1(3)=10皮2=—1<0,10或2<(一上)=10“即一1<(一g

<0,又f(0)=logl=0,因此有f(3)〈Hf(0).

(b~\

------,a<b,

a

7.(2012?長(zhǎng)安一中質(zhì)檢)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a,b,若的則

a+1、

b,

lb

lg10ooo｛；)7=____.

解析：..Tg10000=lg1O'=4,Q-2=4,

??.lg10000?針2=昔1=*

答案"

8.函數(shù)尸log1(f—6x+17)的值域是.

解析：令￡=/一6葉17=(x-3尸+828,y=lo$為減函數(shù)，所以有10班《104

=-3.

答案：(-8,-3]

9.函數(shù)f(x)=log?x(a>l)在區(qū)間［a,2a］上的最大值與最小值之差為；，則a等于

解析：：a>l,

*,.f{x)=log.x在［a,2a］上為增函數(shù).

log“2a-log“a=；,解得a=4.

答案：4

10.計(jì)算下列各式.

(Dig25+lg2?lg50+(1g2)北

N—g9+1啊+lg8-1宜1000

⑵lg0.3?lg1.2

解：(D原式=(lg2)2+(l+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+l)lg2+21g5=(1+

Dlg2+21g5=2(lg2+lg5)=2.

2—21g3+1??g3+31g2—|

V

(2)原式=一~+21g2-

+21g2-

J

+21g2-=~2'

11.說(shuō)明函數(shù)尸log/x+l的圖象，可由函數(shù)y=log2X的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得

到.并由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解：作出函數(shù)尸log/的圖象，再作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形得到函

數(shù)y=log/x|的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)、:T/

y=log/Ix+11的圖象(如圖所示).：

由圖知I,函數(shù)y=log/x+l|的遞減區(qū)間為(-8,-1),遞增區(qū)間

為(-1,+8).

12.若f(x)=*—x+8,且『(log2a)=6,log2/(a)=2(a^l).

⑴求f(10g2X)的最小值及對(duì)應(yīng)