新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題12 運(yùn)用空間向量研究立體幾何問(wèn)題（1）（解析版）

專(zhuān)題12運(yùn)用空間向量研究立體幾何問(wèn)題（1）1、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為1．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0距離為2，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖，

SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面ACC1A1，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為1，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，過(guò)B作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于D，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，由直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0距離為2，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離也為1，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.2、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1【詳解】（1）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線(xiàn)為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不在同一條直線(xiàn)上，SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<03、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為等邊三角形，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0②，由①②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線(xiàn)分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量分別為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0平面角為SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．4、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)（文））如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，SKIPIF1<0，點(diǎn)F在AC上，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)證明：平面SKIPIF1<0平面BEF；(3)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)SKIPIF1<0.【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，由SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

（2）由（1）可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（3）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又由（2）知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因此SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，即有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.

5、【2022年全國(guó)甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．【解析】(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，所以AD所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，BD=3則A(1,0,0),B(0,3則AP=(?1,0,設(shè)平面PAB的法向量n=(x,y,z)則有{n→?則cos?所以PD與平面PAB所成角的正弦值為55

6、【2022年全國(guó)乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．【解析】(1)因?yàn)锳D=CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因?yàn)锳D=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE；又因?yàn)镈E,BE?平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)連接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因?yàn)镋F?平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC當(dāng)EF⊥BD時(shí)，EF最小，即△AFC的面積最小.因?yàn)椤鰽BD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因?yàn)椤螦CB=60°，所以△ABC是等邊三角形，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1，BE=3因?yàn)锳D⊥CD，所以DE=1在△DEB中，DE2+B以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E?xyz，則A1,0,0,B0,設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=則n?AD=?x+z=0n?又因?yàn)镃?1,0,0,F0,所以cosn設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為θ0≤θ≤所以sinθ=所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為437、【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱ABC?A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A【解析】(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)點(diǎn)則VA?解得?=2所以點(diǎn)A到平面A1BC的距離為(2)取A1B的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)锳A又平面A1BC⊥平面ABB1A且AE?平面ABB1A1，所以在直三棱柱ABC?A1B1C由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，又AE,BB1?平面ABB1所以BC,BA,BB1兩兩垂直，以由（1）得AE=2，所以AA1=AB=2，則A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A則BD=(1,1,1)，BA設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量m=(x,y,z)，則{可取m=(1,0,?1)設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量n=(a,b,c)，則{可取n=(0,1,?1)則cos?所以二面角A?BD?C的正弦值為1?(12)2=32.

8、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，(1)證明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值．【解析】(1)證明：連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，連接OA、PD，因?yàn)镻O是三棱錐P?ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO?平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA?△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//又OE?平面PAC，PD?平面PAC，所以O(shè)E//平面(2)解：過(guò)點(diǎn)A作Az//因?yàn)镻O=3，AP=5，所以O(shè)A=A又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，則AD=4，AB=43所以AC=12，所以O(shè)23,2,0，B43,0,0，則AE=33,1,3設(shè)平面AEB的法向量為n=x,y,z，則n?AE=33x+y+32設(shè)平面AEC的法向量為m=a,b,c，則m?AE=33a+b+32所以cos設(shè)二面角C?AE?B為θ，由圖可知二面角C?AE?B為鈍二面角，所以cosθ=?4故二面角C?AE?B的正弦值為11題組一、線(xiàn)面角1-1、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)記SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)SKIPIF1<0的方向向量和平面SKIPIF1<0的法向量，根據(jù)向量夾角公式求兩向量的夾角余弦，由此可得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值.【詳解】（1）記SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，連接SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn).所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即四邊形ADEF為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）在BC上取一點(diǎn)G，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知四邊形AGCD為矩形，從而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0底面ABCD，所以AG，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面PBC的一個(gè)法向量，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0.1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，D為棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若直線(xiàn)FG與平面BCD所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由已知可得SKIPIF1<0，所以E、F、B、G四點(diǎn)共面，再證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即可證明；(2)以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0,求出SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，由向量的夾角公式建立方程即可求解.【詳解】（1）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以E、F、B、G四點(diǎn)共面，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故AD的長(zhǎng)SKIPIF1<0.1-3、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，E是CD的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，G是SKIPIF1<0的重心．(1)求證：SKIPIF1<0平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，求直線(xiàn)AG與平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）證明：連接AG并延長(zhǎng)交PD于H，∵G為SKIPIF1<0的重心，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面PCD，SKIPIF1<0平面PCD，∴SKIPIF1<0平面PCD．（2）連接PG并延長(zhǎng)交AD于O，顯然O為AD的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．取BC中點(diǎn)M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OM，OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則PO=2，于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面PBD的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不妨取z=1，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AG與平面PBD所成角的正弦值為SKIPIF1<0題組二、面面角2-1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形中位線(xiàn)定理結(jié)合已知條件可得四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，再由線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0.（2）解：以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.取平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，由圖可知SKIPIF1<0為銳角，則SKIPIF1<0故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.2-2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）將SKIPIF1<0補(bǔ)全為矩形SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量積，證明SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量，計(jì)算夾角余弦的絕對(duì)值，可得所求.【詳解】（1）證明：過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，即SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以平行四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.2-3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體ABCDEF中，A，B，C，D四點(diǎn)共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AF⊥平面ABCD，SKIPIF1<0．(1)求證：CD⊥平面ADF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和勾股定理得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，再利用線(xiàn)面垂直的判定即可證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的坐標(biāo)，分別求出平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)锳F⊥平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CD⊥AF，AD⊥AF．因?yàn)锳F∥CE，所以CE⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CE⊥CD．所以在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即CD⊥AD．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以CD⊥平面SKIPIF1<0．（2）由（1）得CD⊥AD，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上，D到直線(xiàn)AC的距離為1，由SKIPIF1<0，AF⊥平面SKIPIF1<0，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角標(biāo)系．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0．所以平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0題組三、線(xiàn)面角與面面角的綜合3-1、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，在直四棱柱ABCD-SKIPIF1<0中，底面ABCD為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為線(xiàn)段SKIPIF1<0上一點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0與平面ABCD的夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求直線(xiàn)BE與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖：SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3-2、（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，D為AC的中點(diǎn)，AB=BC=2，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且滿(mǎn)足：三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為60°，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）在三棱柱SKIPIF1<0中，由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AD=DC，∴SKIPIF1<0，同時(shí)在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面ABC，∵SKIPIF1<0平面ABC，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取BC的中點(diǎn)O，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則b=0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<01、（2022·山東青島·高三期末）如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，M為BC中點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）求證：面SKIPIF1<0面PDB；（2）若兩條異面直線(xiàn)AB與PC所成的角為45°，求面PAM與面PBC夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】(1)根據(jù)給定條件證明SKIPIF1<0，再結(jié)合線(xiàn)面垂直性質(zhì)推理作答.(2)以SKIPIF1<0點(diǎn)為原點(diǎn)，射線(xiàn)DA，DC，DP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.（1）矩形SKIPIF1<0中，M為BC中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0點(diǎn)為原點(diǎn)，射線(xiàn)DA，DC，DP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的余弦值SKIPIF1<02、（2022·山東德州·高三期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若直線(xiàn)AC與平面SKIPIF1<0所成角的大小為30°，求銳二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）60°【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，再根據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再結(jié)合直棱柱性質(zhì)即可證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）先通過(guò)線(xiàn)面角證明SKIPIF1<0，再通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將銳二面角SKIPIF1<0表示轉(zhuǎn)化為求向量的夾角，即向量法求二面角.（1）證明：取SKIPIF1<0中點(diǎn)D，連結(jié)CD，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.（2）連結(jié)AD，由（1）知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線(xiàn)AC與平面SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.以A為原點(diǎn)，AB，AC，SKIPIF1<0所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0得法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量.設(shè)二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以銳二面角SKIPIF1<0的大小為60°.3、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形ABCD是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求a的值；(3)在（2）的條件下求直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由線(xiàn)線(xiàn)垂直證SKIPIF1<0平面PBC，再證平面SKIPIF1<0平面PBC；（2）以C為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量法求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角余弦值，進(jìn)而由二面角SKIPIF1<0的余弦值建立方程，解得a的值；（3）由向量法求得SKIPIF1<0，即可求得直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的