中考數(shù)學一輪大單元復(fù)習1.3核心考點突破訓(xùn)練：二次根式的應(yīng)用(原卷版+解析)

1.3突破訓(xùn)練：二次根式應(yīng)用類型體系類型1：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用典例：（2022·四川省蒲江縣蒲江中學八年級期中）若直角三角形的邊長分別是3，m，5．(1)求m；(2)求的值．鞏固練習1．（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）．A． B． C． D．無法確定2．（2022·上海外國語大學附屬大境初級中學八年級期中）已知，則二次根式化簡后的結(jié)果為（

）．A． B． C． D．3．（2022·上海市淞誼中學八年級期中）當時，化簡__________．4．（2022·北京市順義區(qū)第五中學八年級期中）化簡：______，______．5．（2022·山東棗莊·八年級期中）當時，化簡的結(jié)果是______．6．（2022·山東棗莊·八年級期中）如果，則________．7．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡_____．8．（2022·重慶市珊瑚初級中學校八年級期中）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式：的值為_____．9．（2022·河南·鄭州市第四十七初級中學八年級期中）當時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當時，求的值．10．（2022·福建漳州·九年級期中）求代數(shù)式，，如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)______的解法是正確的；(2)化簡代數(shù)式，（其中）；(3)若，直接寫出的取值范圍．11．（2021·山東·德州市第五中學八年級期中）閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡∶解∶隱含條件，解得：∴∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡【類比遷移】（2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：類型2：二次根式的規(guī)律探究問題典例：（2022·河南平頂山·八年級期中）觀察以下等式：觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第個等式：用含的式子表示，并證明這個結(jié)論？鞏固練習1．（2022·安徽宿州·七年級期中）圖是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形演化而成的．若圖中的，按此規(guī)律繼續(xù)演化，則線段的長為___________

2．（2022·北京市育英中學八年級期中）小桃桃根據(jù)學習“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．以下為小桃桃的探究過程，請補充完整：具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：___________；（2）應(yīng)用運算規(guī)律化簡：___________．3．（2022·山西臨汾·九年級期中）閱讀與思考閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：法國數(shù)學家愛德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項的表達式，創(chuàng)造出了檢驗素數(shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問題．“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個數(shù)可以表示為，其中．（說明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）任務(wù)：(1)盧卡斯數(shù)列中的第1個數(shù)___________，第2個數(shù)___________；(2)盧卡斯數(shù)列有一個重要特征：當時，滿足．請根據(jù)這一規(guī)律寫出盧卡斯數(shù)列中的第6個數(shù)．4．（2022·福建莆田·八年級期中）閱讀下列解題過程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過程，請計算.(3)利用這一規(guī)律計算：.5．（2022·四川·射洪中學九年級期中）閱讀材料：像這種兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．在進行二次根式運算時，利用有理化因式可以化去分母中的根號．解答下列問題：(1)的有理化因式是；(2)觀察下面的變形規(guī)律，請你猜想：，，，‥‥‥，(3)利用上面的方法，請化簡：6．（2022·山東濟南·八年級期中）觀察下列等式，解答后面的問題：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……(1)根據(jù)以上的規(guī)律，寫出第10個等式；(2)利用上面的規(guī)律比較大?。憨仼仯ㄌ睿尽ⅲ蓟颍剑?；(3)計算：++…+．7．（2022·廣東·肇慶市頌德學校八年級期中）先觀察下列等式，再回答下列問題：①；②；③．(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗證；(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式；(3)請利用上述規(guī)律來計算（仿照上式寫出過程）．8．（2022·湖南永州·八年級期末）觀察下列各式及其化簡過程：，．(1)按照上述兩個根式的化簡過程的基本思路，將化簡；(2)化簡；(3)針對上述各式反映的規(guī)律，請你寫出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．9．（2022·北京通州·八年級期中）根據(jù)學習“數(shù)與式”的經(jīng)驗，通過由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．以下是探究過程，請補充完整．(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1．．特例2．，特例3．，特例4．，特例5．___________．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：__________．(3)證明你的猜想．10．（2022·福建省漳州第一中學八年級期中）觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：；，驗證：；，驗證：(1)仿照上述三個等式的變形，對下列式子進行變形：____________，____________．(2)根據(jù)上述規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)且）表示的等式，并加以驗證．11．（2022·北京昌平·八年級期中）小石根據(jù)學習“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填寫運算結(jié)果）；(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：____________；(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運算規(guī)律：①化簡：____________；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為____________．12．（2022·安徽宿州·八年級期中）小麗根據(jù)學習“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是小麗的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例：特例：特例：特例：______填寫一個符合上述運算特征的例子；(2)觀察、歸納，得出猜想.如果為正整數(shù)，用含的式子表示上述的運算規(guī)律為：______；(3)證明你的猜想；(4)應(yīng)用運算規(guī)律化簡：______.類型3：應(yīng)用二次根式求面積典例：（2022·陜西·西安市五環(huán)中學八年級期末）如圖，在中，，，，垂足分別為點、．(1)求的度數(shù)．(2)若的面積為，，求的長．鞏固練習1．（2022·山西呂梁·八年級期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個小正方形，則留下陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇江蘇·八年級期中）如圖，在矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為2和4，則圖中陰影部分的面積是______________．3．（2022·山西省運城市實驗中學九年級期中）如圖，將矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬都等于，中間矩形的寬為4，將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，若底面三角形的面積為8，則圖中的值為__________．4．（2022·福建龍巖·九年級期中）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊、、求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現(xiàn)有周長為9的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為_______．5．（2022·上海寶山·八年級期中）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長為、、，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為，，時，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．6．（2022·山東淄博·八年級期末）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，則其中三角形的面積．此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，如果設(shè)，那么其三角形的面積，這個公式便是海倫公式，也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，，則此三角形的面積為______．7．（2022·江西贛州·八年級期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個面積分別為和的正方形木板．(1)截出的兩塊正方形木料的邊長分別為________，________．(2)求剩余木料的面積．(3)如果木工想從剩余的木料中截出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，最多能截出________塊這樣的木條．8．（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，在中，，，以為一條邊向三角形外部作正方形，已知正方形的面積是45，求的周長．9．（2022·湖南永州·八年級期末）閱讀：若等邊三角形的邊長為a，則此三角形的面積．(1)運用：現(xiàn)將邊長分別為，，，的等邊三角形的面積分別記作，，，，計算，；(2)推導(dǎo)：邊長為的等邊三角形的面積記作，邊長為的等邊三角形的面積記作，其中n是正整數(shù)，通過計算，可以得出：（用含n的代數(shù)式表示）；(3)拓展：在（2）的條件下，若，求n的值．10．（2022·江蘇·蘇州市振華中學校八年級期中）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶約約曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為，，，記，那么三角形的面積在中，已知，，．(1)如圖，利用秦九韶公式求的面積；(2)如圖，的兩條角平分線，交于點，求點到邊的距離．11．（2022·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；…(1)請你直接寫出______，______；(2)請用含有（為正整數(shù)）的式子填空：______，______；(3)在線段、、、…、中，長度為正整數(shù)的線段共有______條．(4)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘以，分母就變成了4，請仿照這種方法求的值；類型4：二次根式的混合運算典例：（2022·安徽宿州·八年級期末）計算：(1)；(2)．鞏固練習1．（2022·廣東·陽江市實驗學校八年級期中）計算：2．（2022·四川瀘州·八年級期末）計算：．3．（2022·上海市曹楊第二中學附屬學校八年級期中）計算：．4．（2022·四川瀘州·八年級期末）計算：．5．（2022·廣東·東莞市中堂中學七年級期中）計算：．6．（2022·上海金山·八年級期末）計算：．7．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級期中）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．8．（2022·貴州·遵義市新蒲新區(qū)天立學校九年級期中）先化簡，再求值，其中.9．（2022·福建莆田·八年級期中）計算：(1)(2)10．（2022·廣東·石門中學八年級期末）計算：(1)；(2)．11．（2022·廣東·高明市西安中學八年級期末）計算：(1)；(2)．12．（2022·四川·雅安中學八年級期中）計算(1)(2)（）（）13．（2022·河南平頂山·八年級期中）計算：(1)(2)(3)1.3突破訓(xùn)練：二次根式應(yīng)用類型體系類型1：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用典例：（2022·四川省蒲江縣蒲江中學八年級期中）若直角三角形的邊長分別是3，m，5．(1)求m；(2)求的值．解：（1）當邊長為m的邊是直角邊時，則；當邊長為m的邊是斜邊時，則；∴的值為或；（2）解：當時，原式；當時，原式；綜上所述，的值為或．鞏固練習1．（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）．A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷出及的符號，再把原式進行化簡即可．【詳解】解：∵由圖可知：，∴，，∴原式，故選：A．【點睛】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)題意得出a的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·上海外國語大學附屬大境初級中學八年級期中）已知，則二次根式化簡后的結(jié)果為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：由題意可得：∴∵∴∴故選：D【點睛】此題考查了二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．3．（2022·上海市淞誼中學八年級期中）當時，化簡__________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及題目給出的x與y的關(guān)系進行化簡即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·北京市順義區(qū)第五中學八年級期中）化簡：______，______．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】解：，，故答案為：；．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，會利用二次根式的性質(zhì)正確化簡是解答的關(guān)鍵．5．（2022·山東棗莊·八年級期中）當時，化簡的結(jié)果是______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可進行解答．【詳解】解：，∵，∴原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義，性質(zhì)和運算法則．6．（2022·山東棗莊·八年級期中）如果，則________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，從而得到，，再代入，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡_____．【答案】##【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點的位置，求得，，，進而化簡二次根式即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的符號，二次根式的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2022·重慶市珊瑚初級中學校八年級期中）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式：的值為_____．【答案】【分析】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，最后根據(jù)整式加減運算法則計算即可．【詳解】解：由圖可知，，∴，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置比較大小，整式的加減運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點在數(shù)軸上的位置得出，．9．（2022·河南·鄭州市第四十七初級中學八年級期中）當時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當時，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)-2【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求出答案．（3）根據(jù)的范圍判斷與的符號，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)進行化簡即可求出答案．【詳解】（1）原式，，∵，∴，∴原式，故小亮的解法錯誤，故答案為：小亮．（2），故答案為：．（3）∵，，，∴原式，．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．10．（2022·福建漳州·九年級期中）求代數(shù)式，，如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)______的解法是正確的；(2)化簡代數(shù)式，（其中）；(3)若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)小芳(2)3(3)【分析】（1）由知，據(jù)此可得，從而作出判斷；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡、代入求值即可得；（3）分三種情況，化簡等號左邊，再求出相應(yīng)值，合并即可．【詳解】（1）解：，，則，所以小芳的解法是正確的，故答案為：小芳；（2），；（3）當時，，解得：；當時，；當時，，解得：，綜上，的取值范圍是：．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．11．（2021·山東·德州市第五中學八年級期中）閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡∶解∶隱含條件，解得：∴∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡【類比遷移】（2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：【答案】（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件判斷出的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡可得；（2）由a，b在數(shù)軸上的位置判斷出、，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可得；（3）由三角形的三邊關(guān)系得出，，，再利用二次根式的性質(zhì)化簡可得．【詳解】解：（1）隱含條件，解得：∴∴原式；（2）觀察數(shù)軸得隱含條件：，，∴，∴原式；（3）由三角形的三邊關(guān)系可得隱含條件：，，，∴，，∴原式．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系等知識點．類型2：二次根式的規(guī)律探究問題典例：（2022·河南平頂山·八年級期中）觀察以下等式：觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第個等式：用含的式子表示，并證明這個結(jié)論？解：（1）寫出第6個等式：；故答案為：；（2）寫出你猜想的第個等式：，證明：左邊右邊，．故答案為：．鞏固練習1．（2022·安徽宿州·七年級期中）圖是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形演化而成的．若圖中的，按此規(guī)律繼續(xù)演化，則線段的長為___________

【答案】【分析】利用勾股定理依次求出，，，可總結(jié)出，由此可解．【詳解】解：，由勾股定理可得：，，，可知，，故答案為：．【點睛】本題主要考查勾股定理、二次根式的性質(zhì)，通過計算推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京市育英中學八年級期中）小桃桃根據(jù)學習“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．以下為小桃桃的探究過程，請補充完整：具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：___________；（2）應(yīng)用運算規(guī)律化簡：___________．【答案】

【分析】（1）分析所給的等式的形式進行總結(jié)即可；（2）利用（1）中的規(guī)律進行求解即可．【詳解】解：（1）特例特例特例用含的式子表示為：，故答案為：；（2）．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次根式混合運算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出規(guī)律．3．（2022·山西臨汾·九年級期中）閱讀與思考閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：法國數(shù)學家愛德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項的表達式，創(chuàng)造出了檢驗素數(shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問題．“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個數(shù)可以表示為，其中．（說明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）任務(wù)：(1)盧卡斯數(shù)列中的第1個數(shù)___________，第2個數(shù)___________；(2)盧卡斯數(shù)列有一個重要特征：當時，滿足．請根據(jù)這一規(guī)律寫出盧卡斯數(shù)列中的第6個數(shù)．【答案】(1)2，1(2)【分析】（1）根據(jù)定義代入數(shù)據(jù)進行計算即可求解；（2）根據(jù)題意，當時，滿足，分別求得，即可求解．【詳解】（1）解：依題意得，，，故答案為：，；（2）當時，滿足，，，，．【點睛】本題考查了零次冪，二次根式的加減，新定義運算，理解題意，正確的計算是解題的關(guān)鍵．4．（2022·福建莆田·八年級期中）閱讀下列解題過程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過程，請計算.(3)利用這一規(guī)律計算：.【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）分子分母同時乘以有理化因式即可求解；（2）分子分母同時乘以有理化因式即可求解；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律進行計算即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，平方差公式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川·射洪中學九年級期中）閱讀材料：像這種兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．在進行二次根式運算時，利用有理化因式可以化去分母中的根號．解答下列問題：(1)的有理化因式是；(2)觀察下面的變形規(guī)律，請你猜想：，，，‥‥‥，(3)利用上面的方法，請化簡：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意及二次根式的乘法即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題干中的例子，直接猜想求解即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論將式子化簡變形求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，∴的有理化因式是，故答案為：；（2），，，‥‥‥，，故答案為：（3）．【點睛】題目主要考查二次根式的混合運算及二次根式的化簡，分母有理化，熟練掌握二次根式的化簡是解題關(guān)鍵．6．（2022·山東濟南·八年級期中）觀察下列等式，解答后面的問題：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……(1)根據(jù)以上的規(guī)律，寫出第10個等式；(2)利用上面的規(guī)律比較大?。憨仼仯ㄌ睿尽ⅲ蓟颍剑?；(3)計算：++…+．【答案】(1)(2)＞(3)【分析】（1）根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求出答案．（2）根據(jù)題意給出規(guī)律即可求出答案．（3）根據(jù)題意給出的規(guī)律進行化簡后即可求出答案．【詳解】（1）解：（1）根據(jù)題意可知：＝1．故答案為：＝1．（2）∵）＝，∴∴＞，故答案為：＞．（3）解：∵，原式＝＝＝．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意給出的運算規(guī)律，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（2022·廣東·肇慶市頌德學校八年級期中）先觀察下列等式，再回答下列問題：①；②；③．(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗證；(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式；(3)請利用上述規(guī)律來計算（仿照上式寫出過程）．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律進行計算即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（3）先變形為原式，再根據(jù)得出的規(guī)律進行計算即可．【詳解】（1）∵①，②，③，∴，理由：；（2）由（1）可知，；（3）【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)字的變化類等知識點，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南永州·八年級期末）觀察下列各式及其化簡過程：，．(1)按照上述兩個根式的化簡過程的基本思路，將化簡；(2)化簡；(3)針對上述各式反映的規(guī)律，請你寫出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】（1）將31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先將7分解成，計算第二層根式，再將35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；（3）將等式兩邊同時平方即可求出答案．【詳解】（1）（2）（3）兩邊平方可得：∴，【點睛】本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì)及配方法的應(yīng)用，讀懂題中的配方法并明確二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．9．（2022·北京通州·八年級期中）根據(jù)學習“數(shù)與式”的經(jīng)驗，通過由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．以下是探究過程，請補充完整．(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1．．特例2．，特例3．，特例4．，特例5．___________．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：__________．(3)證明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）利用前面的4個特例得到等式左邊的的被開方數(shù)由1和分數(shù)組成，其中分數(shù)的分母為序號數(shù)的平方，分子為序號數(shù)的2倍加1，等式右側(cè)的分數(shù)的分母為序號數(shù)，分子為序號數(shù)加1，寫出第5個特例即可求解；（2）利用（1）中的規(guī)律用序號數(shù)表示等式的左右兩邊即可；（3）先把被開方的式子通分，再把分子寫成完全平方的形式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】（1）解：特例5.；故答案為：；（2）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：，故答案為：；（3）證明：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關(guān)鍵．也考查了數(shù)字規(guī)律型問題的解決方法．10．（2022·福建省漳州第一中學八年級期中）觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：；，驗證：；，驗證：(1)仿照上述三個等式的變形，對下列式子進行變形：____________，____________．(2)根據(jù)上述規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)且）表示的等式，并加以驗證．【答案】(1)，(2)，理由見解析【分析】（1）觀察題目所給等式，找出題中規(guī)律直接寫出結(jié)果即可；（2）歸納總結(jié)出規(guī)律即可．【詳解】（1）解：；驗證：，；驗證：，故答案為：，．（2）解：證明：左式右式．【點睛】本題主要考查了實數(shù)運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)的運算法則以及根據(jù)題意找出一般性規(guī)律．11．（2022·北京昌平·八年級期中）小石根據(jù)學習“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填寫運算結(jié)果）；(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：____________；(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運算規(guī)律：①化簡：____________；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為____________．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)①；②【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以寫出例5；（2）根據(jù)（1）中特例，可以寫出相應(yīng)的猜想；（3）根據(jù)（2）中的猜想，對等號左邊的式子化簡，即可得到等號右邊的式子，從而可以解答本題；（4）①②根據(jù)（2）中的規(guī)律即可求解．【詳解】（1）解：，故答案是：；（2），故答案是：；（3）證明：左邊，又右邊，左邊右邊，成立；（4）①，故答案是：；②，根據(jù)，得，解得：，（舍去），，故答案是：．【點睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)已知等式總結(jié)一般規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解題．12．（2022·安徽宿州·八年級期中）小麗根據(jù)學習“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是小麗的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例：特例：特例：特例：______填寫一個符合上述運算特征的例子；(2)觀察、歸納，得出猜想.如果為正整數(shù)，用含的式子表示上述的運算規(guī)律為：______；(3)證明你的猜想；(4)應(yīng)用運算規(guī)律化簡：______.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析；(4)【分析】根據(jù)所給的特例的形式進行求解即可；分析所給的等式的形式進行總結(jié)即可；對的等式的左邊進行整理，即可求證；利用中的規(guī)律進行求解即可.【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2）解：特例特例特例用含的式子表示為：，故答案為：；（3）解：等式左邊右邊，故猜想成立；（4）解：.故答案為：.【點睛】本題主要考查二次根式混合運算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出規(guī)律.類型3：應(yīng)用二次根式求面積典例：（2022·陜西·西安市五環(huán)中學八年級期末）如圖，在中，，，，垂足分別為點、．(1)求的度數(shù)．(2)若的面積為，，求的長．解：（1）四邊形是平行四邊形，且，，，，，，．（2）解：四邊形是平行四邊形，且，，的面積為，且，，即，解得，又，，，解得，．鞏固練習1．（2022·山西呂梁·八年級期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個小正方形，則留下陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)小正方形的面積得到邊長即可得到大正方形的邊長，根據(jù)陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣兩個小正方形的面積即可得出答案．【詳解】解：∵兩個小正方形的面積為15和6，∴兩個小正方形的邊長為，，∵大正方形的邊長為：+，∴陰影部分的面積＝（+）2﹣6﹣15＝15+2××+6﹣6﹣15＝6（cm2），故選：A．【點睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，根據(jù)小正方形的面積得到邊長，進而得到大正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇江蘇·八年級期中）如圖，在矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為2和4，則圖中陰影部分的面積是______________．【答案】##【分析】根據(jù)兩個正方形的面積求出兩個正方形的邊長分別是和2，再根據(jù)陰影部分的面積等于矩形的面積減去兩個正方形的面積進行計算．【詳解】由相鄰兩個正方形的面積分別為2和4，得到邊長為和2，則陰影部分面積．故答案為：．【點睛】本題考查了由正方形的面積表示出正方形的邊長，再進一步表示矩形的長．3．（2022·山西省運城市實驗中學九年級期中）如圖，將矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬都等于，中間矩形的寬為4，將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，若底面三角形的面積為8，則圖中的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)圍成的三棱柱的底面三角形是等腰三角形，，利用等腰三角形的性質(zhì)可求得a的值【詳解】根據(jù)題意可知圍成的三棱柱的底面三角形是等腰三角形，不妨設(shè)等腰三角形底邊上的高為，∴，且三角形的面積為8，∴，即，解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查了幾何體的展開圖，等腰三角形的面積公式，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵4．（2022·福建龍巖·九年級期中）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊、、求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現(xiàn)有周長為9的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為_______．【答案】【分析】先求出a、b、c的值，再代入所給的面積公式計算即可．【詳解】解：∵，，∴，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，二次根式的化簡，根據(jù)比的性質(zhì)，求出三角形各邊長，再運用公式計算是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海寶山·八年級期中）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長為、、，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為，，時，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出，然后求出，再根據(jù)二次根式比較大小的方法，即可．【詳解】∵三角形的三邊長為、、，記，面積，∴當三角形的三邊長分別為，，時，，∴面積，∵，，∴，∴，∵介于整數(shù)和之間，∴．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出，；掌握二次根式比較大小的方法．6．（2022·山東淄博·八年級期末）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，則其中三角形的面積．此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，如果設(shè)，那么其三角形的面積，這個公式便是海倫公式，也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，，則此三角形的面積為______．【答案】【分析】先求出p的值，再根據(jù)海倫公式求三角形的面積即可．【詳解】解：，三角形的面積=．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，考查學生的計算能力，掌握（a≥0，b≥0）是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江西贛州·八年級期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個面積分別為和的正方形木板．(1)截出的兩塊正方形木料的邊長分別為________，________．(2)求剩余木料的面積．(3)如果木工想從剩余的木料中截出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，最多能截出________塊這樣的木條．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）由正方形的面積可得邊長分別為，再利用二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解；（2）先求矩形的長和寬，再用矩形的面積減去兩個正方形的面積，即可求解；（3）求剩余的木料的長和寬，即可求解．（1）解：根據(jù)題意得：截出的兩塊正方形木料的邊長分別為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得：矩形的長為，寬為，∴剩余木料的面積；（3）解：根據(jù)題意得：從剩余的木料的長為，寬為，∵，∴能截出2×1=2塊這樣的木條．故答案為：2【點睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的化簡和運算，矩形的面積公式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，在中，，，以為一條邊向三角形外部作正方形，已知正方形的面積是45，求的周長．【答案】【分析】先根據(jù)正方形的面積求出，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)三角形周長公式計算即可．【詳解】解：因為正方形的面積是45，所以．因為，，所以，所以的周長．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，勾股定理，以及二次根式的加減，求出和的長是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·湖南永州·八年級期末）閱讀：若等邊三角形的邊長為a，則此三角形的面積．(1)運用：現(xiàn)將邊長分別為，，，的等邊三角形的面積分別記作，，，，計算，；(2)推導(dǎo)：邊長為的等邊三角形的面積記作，邊長為的等邊三角形的面積記作，其中n是正整數(shù)，通過計算，可以得出：（用含n的代數(shù)式表示）；(3)拓展：在（2）的條件下，若，求n的值．【答案】(1)，(2)(3)6【分析】（1）按照公式直接代入數(shù)據(jù)即可得到答案；（2）把和分別代入，再相減，化簡求得最后式子；（3）根據(jù)兩個式子的值相等，列出方程，化簡解一元二次方程，最后還要考慮是否符合題意．【詳解】（1）解：，；故答案為：，（2）故答案為：（3），又，，，，即，經(jīng)檢驗不合題意，舍去，所以．【點睛】本題屬于創(chuàng)新應(yīng)用題目，主要考查了化簡計算能力，解一元二次方程的能力，解題關(guān)鍵是計算化簡要準確，熟練掌握解一元二次方程．10．（2022·江蘇·蘇州市振華中學校八年級期中）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶約約曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為，，，記，那么三角形的面積在中，已知，，．(1)如圖，利用秦九韶公式求的面積；(2)如圖，的兩條角平分線，交于點，求點到邊的距離．【答案】(1)15(2)1.5【分析】（1）由秦九韶公式可得的值，再由求解．（2）連接，作于點，由角平分線的性質(zhì)可得點到三角形三邊的距離相等，通過求解．【詳解】（1）（2）連接，作于點，點為的角平分線交點，點到，，的距離相等，長度為，設(shè)，則【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，通過題干中秦九韶公式及通過添加輔助線求解．11．（2022·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；…(1)請你直接寫出______，______；(2)請用含有（為正整數(shù)）的式子填空：______，______；(3)在線段、、、…、中，長度為正整數(shù)的線段共有______條．(4)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘以，分母就變成了4，請仿照這種方法求的值；【答案】(1)10，(2)，(3)44(4)18【分析】（1）認真閱讀新定義，根據(jù)已知寫出答案即可；（2）認真閱讀新定義，根據(jù)已知內(nèi)容歸納總結(jié)即可；（3）通過分析數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)當邊長正好是根號下一個正整數(shù)的平方時，出現(xiàn)的就是正整數(shù)．分析2022最接近哪個正整數(shù)的平方．（4）化簡整理后求值即可．【詳解】（1）解：由題意可得，，，故答案為：10，（2）由題意可得，，故答案為：，（3）解：線段、、、…、的長分別是、、、、...、．長度為正整數(shù)的數(shù)字分別是1、2、3、4、5、....、a，∵，，∴，∴線段、、、…、中，長度為正整數(shù)的線段共有44條．故答案為：44．（4）；【點睛】本題考查了數(shù)學中的閱讀能力，以及對新定義的理解，還有二次根式的化簡，關(guān)鍵是理解新定義和有關(guān)二次根式的化簡運算．類型4：二次根式的混合運算典例：（2022·安徽宿州·八年級期末）計算：(1)；(2)．解：（1）；（2）鞏固練習1．（2022·廣東·陽江市實驗學校八年級期中）計算：【答案】【分析】先計算二次根式的除法運算，再計算二次根式的加減運算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握“二次根式的混合運算的運算順序”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川瀘州·八年級期末）計算：．【答