高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))4.1三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式(精練)(原卷版+解析)

4.1三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式【題型解讀】【題型一扇形面積公式與弧度制】1.(2023·安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°，半徑為cm，則扇形的面積為______cm2．2．(2023·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為，則其面積是______．3．(2023·浙江浙江·二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.4.(2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.5.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）炎炎夏日，在古代人們乘涼時(shí)習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長(zhǎng)C最小時(shí)，BD的長(zhǎng)度為___________.6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（

）A． B． C． D．【題型二三角函數(shù)的定義】1.(2023·北京高三模擬）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（）A． B． C． D．2.(2023·安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．(2023·安徽合肥市·合肥一中）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后交單位圓于，則的值為（）A． B． C． D．4．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角和角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．5．(2023·重慶·高三開學(xué)考試）若，則下列三角函數(shù)值為正值的是（

）A． B． C． D．6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型三同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用】1.(2023·寧夏·固原一中一模）若，且在第四象限，則（

）A． B． C． D．2．(2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則___________．3．(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南益陽(yáng)·一模）已知，則（）A． B． C． D．5.(2023·廣東廣州·三模）已知，若，則的值為（

）A． B． C． D．【題型四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】1.(2023·寧夏）已知（

）A． B． C． D．2.(2023·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)）若則（

）A． B． C． D．3.(2023·廣西南寧）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．成立的條件是角是銳角B．若（），則C．若（），則D．若，則5.(2023·寧夏中衛(wèi)·一模）已知，則（

）A． B． C． D．6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知是角終邊上一點(diǎn)，求，，的值；（2）已知，求下列各式的值：①；②．4.1三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式【題型解讀】【題型一扇形面積公式與弧度制】1.(2023·安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°，半徑為cm，則扇形的面積為______cm2．答案：．【解析】扇形的圓心角為144°，半徑為，所以扇形的面積為．故答案為：．2．(2023·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為，則其面積是______．答案：【解析】由條件可知，弧長(zhǎng)，等邊三角形的邊長(zhǎng)，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對(duì)的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：3．(2023·浙江浙江·二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.答案：120【解析】由題意得：扇形的弧長(zhǎng)為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：1204.(2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.答案：##【解析】由題意可知，圓的半徑為，即，又，所以為正三角形，∴，所以扇形的面積是.故答案為：5.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）炎炎夏日，在古代人們乘涼時(shí)習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長(zhǎng)C最小時(shí)，BD的長(zhǎng)度為___________.答案：【解析】設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立，所以.又，所以，所以，故.故答案為：6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，如圖所示，由正弦定理得，所以，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對(duì)應(yīng)的圓心角為，則弓形的面積為，外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，則月牙形的面積為.故選：A．【題型二三角函數(shù)的定義】1.(2023·北京高三模擬）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得：.所以.故選：D2.(2023·安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，即，所以.故選：D.3．(2023·安徽合肥市·合肥一中）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后交單位圓于，則的值為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意得(為銳角)∵為銳角，∴，∴故選：B4．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角和角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】角和角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則，．．故選：C．5．(2023·重慶·高三開學(xué)考試）若，則下列三角函數(shù)值為正值的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，所以ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：C【解析】因?yàn)榻堑诙笙藿?所以，所以，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．7.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.【題型三同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用】1.(2023·寧夏·固原一中一模）若，且在第四象限，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵，且在第四象限，∴，∴．故選：D．2．(2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則___________．答案：【解析】解：．故答案為：3．(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知條件可知，點(diǎn)在直線上，則，，所以，.故選：B.4．(2023·湖南益陽(yáng)·一模）已知，則（）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，所以故選：D.5.(2023·廣東廣州·三模）已知，若，則的值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】將兩邊平方得：2sinxcosx=-<0,所以，又因?yàn)?gt;０，所以，2x,又因?yàn)閟in2x=-,所以cos2x=-=-.故選：D.【題型四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】1.(2023·寧夏）已知（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，故選：D2.(2023·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)）若則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋?，故選：B.3.(2023·廣西南寧）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．答案：D【解析】,故選：D4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．成立的條件是角是銳角B．若（），則C．若（），則D．若，則答案：CD【解析】由誘導(dǎo)公式二，知時(shí)，，