高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習精講精練(新高考地區(qū))9.7事件的相互獨立性和條件概率(精練)(原卷版+解析)

9.7事件的相互獨立性和條件概率【題型解讀】【題型一相互獨立事件的概率】1.(2023·華師大二附中高三練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A：出現(xiàn)的點數(shù)為質(zhì)數(shù)，事件B：出現(xiàn)的點數(shù)不小于3，則事件A與事件B（

）A．相互獨立 B．對立 C．互斥但不對立 D．概率相等2.甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為（

）A． B． C． D．13.(2023·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習）重慶的8月份是一段讓人難忘的時光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應(yīng)，在政府的主導(dǎo)與支持下，各大電商平臺也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務(wù)，用戶在平臺上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺進行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區(qū)在隔離期間主要使用的電商平臺有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺并不能準時送達，根據(jù)統(tǒng)計三家平臺的準點率分別為，，，各平臺送貨相互獨立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點了一份配送貨，則至少有兩家準點送到的概率為（

）A． B． C． D．4.(2023·河南高三月考一個電路如圖所示，，，，，，，為7個開關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．5．自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山看日出，登頂游客中外地游客占，外地游客中有乘觀光車登頂，本地游客中有乘觀光車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元6.(2023·全國高三課時練習）年月日晩，中國女排在世錦賽小組賽第三輪比賽中，又一次以的比分酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對手日本女排，沖上了熱搜榜第八位，令國人振奮！同學(xué)們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎？其規(guī)則是：每場比賽采用“局勝制”（即有一支球隊先勝局即獲勝，比賽結(jié)束）．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以或取勝的球隊積分，負隊積分；以取勝的球隊積分，負隊積分．已知甲、乙兩隊比賽，甲隊每局獲勝的概率為．(1)如果甲、乙兩隊比賽場，求甲隊的積分的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)如果甲、乙兩隊約定比賽場，求兩隊積分相等的概率．【題型二條件概率】1.(2023·四川模擬）2022年6月14日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個粽子，其中兩個蜜棗餡，三個豆沙餡，王華隨機拿了兩個粽子，若已知王華拿到的兩個粽子為同一種餡，則這兩個粽子都為蜜棗餡的概率為(

)A． B． C． D．2.(2023·武昌模擬）如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（）A． B． C． D．3．(2023·石家莊模擬）甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A=“三個人去的景點各不相同”，B=“甲去了第一個景點”，如果甲、乙、丙互不相識，求．4.(2023·臨沂二模）已知隨機事件A，B，，，，求，.【題型三全概率公式】1.(2023·唐山二模）某種電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率都是．從開關(guān)第一次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是，那么第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是____________．2.袋中有10個大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個，白球7個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到紅球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（Ⅲ）第二次摸到紅球的概率.3．(2023·高三課時練習）盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的．第一次比賽時，從中任意取出了3個來用，用完后仍放回盒中（新球用后成了舊球）．第二次比賽時再從盒中取出3個來用，求第二次取出的3個球均為新球的概率．4.(2023·廣東高三模擬）今年中國共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強愛國主義情懷，某區(qū)組織了黨史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三所學(xué)校回答一道有關(guān)紅色革命根據(jù)地建立時間的問題，已知甲校回答正確這道題的概率為，甲、丙兩所學(xué)校都回答正確這道題的概率是，乙、丙兩所學(xué)校都回答正確這道題的概率是.若各學(xué)?；卮疬@道題是否正確是互不影響的.(1)若規(guī)定三個學(xué)校都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三所學(xué)校中至少1所學(xué)?；卮鹫_這道題的概率；(2)若規(guī)定三所學(xué)校需要搶答這道題，已知甲校搶到答題機會的概率為，乙校搶到的概率為，丙校搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率.【題型四貝葉斯公式】1.(2023·山東·高密三中高三階段練習）有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2?3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1?2?3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第1臺車床加工的概率為___________.2．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）（多選）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為B．第二次抽到3號球的概率為C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種3.(2023·濟北中學(xué)高三月考）設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種工件，每個車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%，35%，40%，它們的次品率依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從這批工件中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲車間生產(chǎn)的概率．（精確到0.01）4.2022年北京冬奧會的志愿者中，來自甲、乙、丙三所高校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名.(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率；(2)先從三所高校中任選一所，再從這所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率.9.7事件的相互獨立性和條件概率【題型解讀】【題型一相互獨立事件的概率】1.(2023·華師大二附中高三練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A：出現(xiàn)的點數(shù)為質(zhì)數(shù)，事件B：出現(xiàn)的點數(shù)不小于3，則事件A與事件B（

）A．相互獨立 B．對立 C．互斥但不對立 D．概率相等答案：A【解析】拋擲骰子可能得到的點數(shù)為1，2，3，4，5，6，其中質(zhì)數(shù)為2，3，5，所以，故，所以A與B相互獨立．故選：A2.甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為（

）A． B． C． D．1答案：C【解析】設(shè)“甲獨立地破解謎題”為事件，“乙獨立地破解謎題”為事件，“謎題被破解”為事件，且事件相互獨立，則，故選：C3.(2023·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習）重慶的8月份是一段讓人難忘的時光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應(yīng)，在政府的主導(dǎo)與支持下，各大電商平臺也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務(wù)，用戶在平臺上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺進行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區(qū)在隔離期間主要使用的電商平臺有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺并不能準時送達，根據(jù)統(tǒng)計三家平臺的準點率分別為，，，各平臺送貨相互獨立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點了一份配送貨，則至少有兩家準點送到的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為各平臺送貨相互獨立，互不影響，所以有兩家準點送到的概率為,有三家準點送到的概率為，則至少有兩家準點送到的概率為.故選：B.4.(2023·河南高三月考一個電路如圖所示，，，，，，，為7個開關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．答案：A【解析】電路由上到下有3個分支并聯(lián)，開關(guān)所在的分支不通的概率為，開關(guān)所在的分支不通的概率為，開關(guān)，，所在的分支不通的概率為，所以燈亮的概率是.故選：A.5．自5月初，麓山之巔觀日出在抖音走紅后，每天都有上千人披星戴月登頂岳麓山看日出，登頂游客中外地游客占，外地游客中有乘觀光車登頂，本地游客中有乘觀光車登頂，乘觀光車登頂?shù)钠眱r為20元.若某天有1200人登頂觀日出，則觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是（

）A．4800元 B．5600元 C．6400元 D．7200元答案：C【解析】從登頂觀日出的人中任選一人，他是乘觀光車登頂?shù)母怕蕜t觀光車營運公司這天的登頂觀日出項目的營運票價收入是元）故選：C．6.(2023·全國高三課時練習）年月日晩，中國女排在世錦賽小組賽第三輪比賽中，又一次以的比分酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對手日本女排，沖上了熱搜榜第八位，令國人振奮！同學(xué)們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎？其規(guī)則是：每場比賽采用“局勝制”（即有一支球隊先勝局即獲勝，比賽結(jié)束）．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以或取勝的球隊積分，負隊積分；以取勝的球隊積分，負隊積分．已知甲、乙兩隊比賽，甲隊每局獲勝的概率為．(1)如果甲、乙兩隊比賽場，求甲隊的積分的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)如果甲、乙兩隊約定比賽場，求兩隊積分相等的概率．【解析】（1）隨機變量的所有可能取值為、、、，，，，，所以的分布列為所以數(shù)學(xué)期望.（2）記“甲、乙兩隊比賽兩場后，兩隊積分相等”為事件，設(shè)第場甲、乙兩隊積分分別為、，則，、，因兩隊積分相等，所以，即，則，所以．【題型二條件概率】1.(2023·四川模擬）2022年6月14日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個粽子，其中兩個蜜棗餡，三個豆沙餡，王華隨機拿了兩個粽子，若已知王華拿到的兩個粽子為同一種餡，則這兩個粽子都為蜜棗餡的概率為(

)A． B． C． D．答案：A【解析】由題意，設(shè)事件為“取出兩個粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個粽子都為蜜棗餡”，則(A)，，．故選：A．2.(2023·武昌模擬）如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知，事件共有=120個基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個，含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個，共6個.含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個，含4，3，2的同理也有2個.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個，含5，3，1的也有上述4個，共24個，=.故選C.3．(2023·石家莊模擬）甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A=“三個人去的景點各不相同”，B=“甲去了第一個景點”，如果甲、乙、丙互不相識，求．答案：【解析】甲去了第一個景點，則有1個景點可選，乙丙能在三個景點中選擇，可能性為種，所以甲去了第一個景點的可能性為種，因為三個人去的景點不同的可能性為種，所以.4.(2023·臨沂二模）已知隨機事件A，B，，，，求，.答案：【解析】由條件概率公式得：．．【題型三全概率公式】1.(2023·唐山二模）某種電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率都是．從開關(guān)第一次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是，那么第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是____________．答案：【解析】記第一次閉合后出現(xiàn)紅燈為事件，則第一次出現(xiàn)綠燈為事件，第二次閉合后出現(xiàn)紅燈為事件，出現(xiàn)綠燈為，，，，所以．故答案為：．2.袋中有10個大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個，白球7個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到紅球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（Ⅲ）第二次摸到紅球的概率.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）求出基本事件的總數(shù)和隨機事件中基本事件的個數(shù)，從而可得所求的概率．（Ⅱ）第一次摸到紅球后，還余下個紅球和個白球，同（Ⅰ）可求概率．（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到紅球的概率．【詳解】設(shè)事件：第一次摸到紅球；事件：第二次摸到紅球，則事件：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次從10個球中摸一個共10種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共3種，所以.（Ⅱ）第一次摸到紅球的條件下，剩下的9個球中有2個紅球，7個白球，第二次從這9個球中摸一個共9種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共2種.所以.（Ⅲ）.所以第二次摸到紅球的概率.3．(2023·高三課時練習）盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的．第一次比賽時，從中任意取出了3個來用，用完后仍放回盒中（新球用后成了舊球）．第二次比賽時再從盒中取出3個來用，求第二次取出的3個球均為新球的概率．【解析】設(shè)A表示第二次取出3個球均為新球，為第一次取出3球中有i個新球，i＝0，1，2，3，則，，，，，，，，所以．4.(2023·廣東高三模擬）今年中國共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強愛國主義情懷，某區(qū)組織了黨史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三所學(xué)校回答一道有關(guān)紅色革命根據(jù)地建立時間的問題，已知甲?；卮鹫_這道題的概率為，甲、丙兩所學(xué)校都回答正確這道題的概率是，乙、丙兩所學(xué)校都回答正確這道題的概率是.若各學(xué)?；卮疬@道題是否正確是互不影響的.(1)若規(guī)定三個學(xué)校都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三所學(xué)校中至少1所學(xué)?；卮鹫_這道題的概率；(2)若規(guī)定三所學(xué)校需要搶答這道題，已知甲校搶到答題機會的概率為，乙校搶到的概率為，丙校搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率.答案：(1)(2)【解析】(1)記甲、乙、丙3校獨自答對這道題分別為事件，，，分別設(shè)甲、乙、丙3校答對這道題的概率分別為，，，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此，，是相互獨立事件由題意可知，，，解得，.所以，乙答對這道題的概率為，丙答對這道題的概率為.甲、乙、丙三所學(xué)校中至少1所學(xué)校回答正確為事件，則概率為，其反面是三所學(xué)校都回答錯誤，即則三所學(xué)校中至少1所學(xué)?；卮鹫_的概率為；(2)若規(guī)定三所學(xué)校需要搶答這道題，則這個問題回答正確設(shè)為事件，得到搶答機會分別是事件，，，則，，，，，，則這個問題回答正確的概率為.【題型四貝葉斯公式】1.(2023·山東·高密三中高三階段練習）有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2?3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1?2?3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第1臺車床加工的概率為___________.答案：【解析】記為事件“零件為第（）臺車床加工，為事件“任取一個零件為次品”，則所以所以.故答案為：.2．(2023·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）（多選）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為B．第二次抽到3號球的概率為C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種答案：AB【解析】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，對于A，在第一次抽到2號球的條件下，則2號球放入2號盒子內(nèi)，因此第二次抽到1號球的概率為，A正確；對于B，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到3號球的事件為，，B正確；對于C，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到1號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到1號球的事件為，，第