人教高中數(shù)學A版必修一 第四章　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)總結(jié) 習題課內(nèi)容

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末復習課23456789101112131415161718192021222324252627Thankyouforwatching!章末整合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)專題一專題二專題三專題四專題五專題一

指數(shù)與對數(shù)的運算問題例1計算下列各式的值:專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五分析:(1)利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化和換底公式;(2)利用指數(shù)的運算性質(zhì)和整體代入.專題一專題二專題三專題四專題五歸納總結(jié)指數(shù)與對數(shù)的運算是指數(shù)、對數(shù)應用的前提,也是研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基礎,不僅是本章考查的重點,也是高考的重要考點之一.進行指數(shù)式的運算時,要注意運算或化簡的先后順序,一般應將負指數(shù)轉(zhuǎn)化為正指數(shù)、將根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式后再計算或化簡,同時注意冪的運算性質(zhì)的應用;對數(shù)運算要注意對數(shù)運算性質(zhì)的正用與逆用,注意對底數(shù)的轉(zhuǎn)化、對數(shù)恒等式以及換底公式的靈活運用,還要注意對數(shù)運算與指數(shù)運算之間的關系及其合理地轉(zhuǎn)化.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓練1設a=log0.20.3,b=log20.3,則(

)A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab

D.ab<0<a+b答案:B專題一專題二專題三專題四專題五專題二

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應用

專題一專題二專題三專題四專題五答案:D專題一專題二專題三專題四專題五例4畫出函數(shù)y=log4(x2-2x+1)的圖象.分析:先要找出這個函數(shù)所對應的基本初等函數(shù),然后利用圖象變換向目標靠攏.解:先對函數(shù)解析式進行化簡,可得y=log2|x-1|.可直接利用描點法畫出y=log2x的圖象,而后畫出關于y軸的對稱變換得到y(tǒng)=log2|x|,再將整個函數(shù)圖象向右平移一個單位長度.過程如下:專題一專題二專題三專題四專題五例5若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍為(

)A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案:A專題一專題二專題三專題四專題五歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù).它們的圖象與性質(zhì)始終是高考考查的重點.由于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1,x∈R),對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)的圖象與性質(zhì)都與a的取值有密切聯(lián)系,冪函數(shù)y=xα的圖象與性質(zhì)與α的取值有關,因此,在a,α的值不確定時,要對它們進行分類討論,利用圖象可以快捷、直觀地解決比較大小、求根等計算煩瑣問題.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五答案:B專題一專題二專題三專題四專題五變式訓練3已知a=log2e,b=ln2,c=,則a,b,c的大小關系為(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b解析:因為c==log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因為y=ln

x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.綜上可知,c>a>b.故選D.答案:D專題一專題二專題三專題四專題五專題三

分類討論思想在解題中的應用例6比較logx(2x)與logx(3-2x)的大小.專題一專題二專題三專題四專題五歸納總結(jié)分類討論思想即對問題中的參數(shù)不能一概而論,需要按一定的標準進行分別闡述,在分類討論中要做到“不重復,不遺漏”.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓練4已知函數(shù)f(x)=loga(x+3)在區(qū)間[-2,-1]上總有|f(x)|<2,求實數(shù)a的取值范圍.解:當-2≤x≤-1時,有1≤x+3≤2,由|f(x)|<2,∴-2<f(x)<2,即-2<loga(x+3)<2恒成立,若a>1,0=loga1≤loga(x+3)≤loga2,此時有l(wèi)oga2<2,專題一專題二專題三專題四專題五專題四

數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用例7若方程mx-x-m=0(m>0,m≠1)有兩個不同的實數(shù)解,則m的取值范圍是(

)A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞)解析:方程mx-x-m=0有兩個不同的實數(shù)解,即函數(shù)y=mx與y=x+m的圖象有兩個不同的公共點.顯然,當m>1時,兩圖象有兩個不同的交點;當0<m<1時,兩圖象只有1個交點,故m的取值范圍是(1,+∞).答案:A專題一專題二專題三專題四專題五歸納總結(jié)1.數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面,其應用大致分為兩種情形:借助于形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系,或者是借助于數(shù)的準確性和嚴密性來闡明形的某種屬性.2.在解決數(shù)學問題時,如果把抽象的數(shù)學問題用圖形加以刻畫使其理解更直觀,解答更快捷,但要注意形離開了數(shù)難入微,因此兩者形影不離,相互補充.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓練5設方程lgx+x=3的實數(shù)解為x0,則x0所在的一個區(qū)間是(

)A.(3,+∞) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:由lg

x+x=3得lg

x=3-x.分別畫出方程lg

x=3-x兩邊對應的函數(shù)圖象,如圖所示.由圖知它們的交點x0在區(qū)間(2,3)內(nèi).答案:B專題一專題二專題三專題四專題五專題五

函數(shù)與方程的思想在解題中的應用例8設函數(shù)f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.分析:先轉(zhuǎn)化為f(-1)f(1)≤0,再結(jié)合函數(shù)的圖象解不等式.解:因為函數(shù)f(x)在-1≤x≤1上存在一個零點,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓練6已知f(x)=log2(4x+1)-kx,g(x)=f(x)-a.(1)當f(x)是偶函數(shù)時,求實數(shù)k的值;(2)設k=2,若函數(shù)g(x)存在零點,求實數(shù)a的取值范圍.分析:(1)根據(jù)題意,由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)-f(-x)=0,即[log2(4x+1)-kx]-[log2(4-x+1)+kx]=0,變形分析可得答案;(2)若k=2,則f(x)=log2(4x+1)-2x,由零點的定義分析可得方程f(x)=a有解,分析函數(shù)f(x)的值域可得答案.專題一專題二專題三專題四專題五

習題課

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應用1.指數(shù)式與對數(shù)式的取值范圍提示:(0,+∞)(2)形如log2x,lnx,的對數(shù)式,自變量取值和代數(shù)式的取值范圍分別是什么?提示:①自變量的取值范圍,即為對應函數(shù)的定義域(0,+∞);②代數(shù)式的取值范圍,即為對應函數(shù)的值域R.2.已知a>0,a≠1,則a2>a3與loga2>loga3是否一定成立?提示:不一定.當0<a<1時,成立;當a>1時,a2<a3,loga2<loga3.3.填空:指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性指數(shù)函數(shù)f(x)=ax,對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1).①當0<a<1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;②當a>1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.4.做一做(1)(2019天津,文5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,則a,b,c的大小關系為(

)A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(3)方程22x+1-2x-3=0的解為

.

解析:(1)a=log27>log24=2.b=log38<log39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故選A.(2)設t=x+1,因為0<x<8,所以1<t=x+1<9.所以所求函數(shù)的值域為(-2,0).(3)令2x=t>0,則方程22x+1-2x-3=0轉(zhuǎn)化為2t2-t-3=0,探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式例1

解下列關于x的不等式:(4)已知log0.72x<log0.7(x-1),求x的取值范圍.分析:(1)先將

化為2-x-5,16化為24,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)討論a的取值范圍,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(3)根據(jù)參數(shù)a的取值范圍,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(4)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及定義域列出不等關系求解.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練∴-x-5≤4,∴x≥-9.故原不等式的解集為{x|x≥-9}.(2)當0<a<1時,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.當a>1時,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.綜上所述,當0<a<1時,不等式的解集為{x|x≥-6};當a>1時,不等式的解集為{x|x≤-6}.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(4)因為函數(shù)y=log0.7x在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù),解得x>1.故x的取值范圍是(1,+∞).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.解指數(shù)不等式問題時需注意的三點(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論.(2)形如ax>b的不等式,注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式,再借助y=ax的單調(diào)性求解.(3)形如ax>bx的形式利用函數(shù)圖象求解.2.解簡單的對數(shù)不等式,需要注意兩點(1)首先注意對數(shù)函數(shù)的定義域,即真數(shù)的取值范圍的限制;(2)要根據(jù)底數(shù)與1的大小關系,分析函數(shù)的單調(diào)性,進而將對數(shù)值大小關系轉(zhuǎn)化為真數(shù)的大小關系;若底數(shù)中含有參數(shù),需要對參數(shù)進行分類討論.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:原不等式可化為a2x+1>a-(x-5),即a2x+1>a5-x.①當0<a<1時,函數(shù)y=ax單調(diào)遞減,故由不等式可得2x+1<5-x,探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義加以證明;(2)求函數(shù)f(x)的值域.解:(1)f(x)在定義域上是增函數(shù).證明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)為R上的增函數(shù).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.本題第(2)小題是指數(shù)型函數(shù)求值域.解答時一定要關注指數(shù)3x的取值范圍是(0,+∞).2.證明指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時,一般是利用定義來解決.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;(3)證明f(x)>0.(1)解:因為要使函數(shù)有意義,需2x-1≠0,即x≠0,所以函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).所以f(-x)=f(x),又由(1)知函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于y軸對稱,故f(x)是偶函數(shù).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(3)證明:當x>0時,2x>1,所以2x-1>0.又因為x3>0,所以f(x)>0.當x<0時,0<2x<1,所以-1<2x-1<0.又因為x3<0,所以f(x)>0.所以當x∈(-∞,0)∪(0,+∞)時,f(x)>0.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

(1)求f(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.分析:此函數(shù)是由y=logau,u=復合而成的,求函數(shù)的性質(zhì)應先求出定義域,再利用有關定義,去討論其他性質(zhì).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解得x>1或x<-1.所以函數(shù)的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞),關于原點對稱.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟1.對于類似于f(x)=logag(x)的函數(shù),利用f(-x)±f(x)=0來判斷奇偶性比較簡便.2.對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性應按照復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則來判斷:設y=logaf(x)(a>0,且a≠1),首先求滿足f(x)>0的x的取值范圍,即函數(shù)的定義域.假設f(x)在定義域的子區(qū)間I1上單調(diào)遞增,在子區(qū)間I2上單調(diào)遞減,則(1)當a>1時,函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與內(nèi)層函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同,即y=logaf(x)在I1上單調(diào)遞增,在I2上單調(diào)遞減;(2)當0<a<1時,函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與內(nèi)層函數(shù)f(x)的單調(diào)性相反,即y=logaf(x)在I1上單調(diào)遞減,在I2上單調(diào)遞增.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練延伸探究本例已知條件不變,求f(x)>0時x的取值范圍.解得x<-1,即x的取值范圍是(-∞,-1).綜上,當a>1時,x的取值范圍是(1,+∞),當0<a<1時,x的取值范圍是(-∞,-1).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練因忽略對底數(shù)的討論而致錯典例

已知函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,4]上的最大值與最小值的差是1,求a的值.錯解因為函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,4]上的最大值是loga4,最小值是loga2,以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:錯解中誤以為函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù).探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練正解:(1)當a>1時,函數(shù)y=logax在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù),防范措施在解決底數(shù)中包含字母參數(shù)的對數(shù)函數(shù)問題時,要注意對底數(shù)進行分類討論,一般分a>1與0<a<1兩種情況.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練已知函數(shù)f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2+6,則a的值為(

)解析:當a>