專題15 隔板法模型

1例1．2020年高考強(qiáng)基計(jì)劃中，北京大學(xué)給了我校10個(gè)推薦名額，現(xiàn)準(zhǔn)備將這10個(gè)推薦名額分配給高三理科的6個(gè)班級(jí)，這6個(gè)班級(jí)每班至少要給一個(gè)名額，則關(guān)于分配方案的種數(shù)為()A．462B．126C．210D．132例2．不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為()例3．有30個(gè)完全相同的蘋(píng)果，分給4個(gè)不同的小朋友，每個(gè)小朋友至少分得4個(gè)蘋(píng)果，問(wèn)有多少種不同的分配方案？()A．680B．816C．1360D．1456例4．從A、B、C、D4個(gè)班級(jí)中選10人組成衛(wèi)生檢查小組，每班至少選一人，每班人數(shù)的不同情況有A．42B．56C．84例5．把9個(gè)完全相同的口罩分給6名同學(xué)，每人至少一個(gè)，不同的分法有種A．41B．56C．156例6．方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解共有組A．165B．120C．38例7．把16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù)，則共有多少種放法()A．18B．28C．36例8．把座位號(hào)為1、2、3、4、5、6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為()例91）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？2例101）求方程x1+x2+x3+x4=5的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.例11．現(xiàn)有5本書(shū)和3位同學(xué)，將書(shū)全部分給這三位同學(xué).（1）若5本書(shū)完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書(shū)，共有多少種分法？（2）若5本書(shū)都不相同，共有多少種分法？（3）若5本書(shū)都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書(shū)，共有多少種分法？例121）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，共有多少種放法？（注：最后結(jié)果需用數(shù)字作答）例13．將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有種放法.（用數(shù)字作答）例14．方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).例15．現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有種不同分配方案.例16．小紅同學(xué)去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇（可以有糖果不被選擇單價(jià)均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有種.例17．10個(gè)相同的小球放在三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒中，每盒至少1個(gè)，有種方分法.例18．將3個(gè)1，11個(gè)0排成一列，使得每?jī)蓚€(gè)1之間至少隔著兩個(gè)0，則共有種不同的排法.例19．24個(gè)志愿者名額分給3個(gè)學(xué)校，則每個(gè)學(xué)校至少有1個(gè)名額且學(xué)校名額互不相同的分法有種.例20．在5月6日返校體檢中，學(xué)號(hào)為i（i=1,2,3,4,5）的五位同學(xué)的體重增加量f(i)是集合{1kg,1.5kg,2kg,2.5kg,3kg,3.5kg}中的元素，并滿足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)，則這五位同學(xué)的體重增加量所有可能的情況有種1例1．2020年高考強(qiáng)基計(jì)劃中，北京大學(xué)給了我校10個(gè)推薦名額，現(xiàn)準(zhǔn)備將這10個(gè)推薦名額分配給高三理科的6個(gè)班級(jí)，這6個(gè)班級(jí)每班至少要給一個(gè)名額，則關(guān)于分配方案的種數(shù)為()A．462【解析】將10個(gè)名額分為6份，即從9個(gè)分段中選擇5個(gè)段分開(kāi)，且不分順序，共有N=C=126種方案.故選：B.例2．不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為()【解析】不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)將12個(gè)相同小球放入三個(gè)盒子，允許有空盒的放法種數(shù). 現(xiàn)在在每個(gè)盒子里各加一個(gè)相同的小球，問(wèn)題等價(jià)于將15個(gè)相同小球放入三個(gè)盒子，沒(méi)有空盒的放法種數(shù)，則只需在15個(gè)小球中形成的空位（不包含兩端）中插入兩塊板即可，因此，不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為C1=91.故選：C.例3．有30個(gè)完全相同的蘋(píng)果，分給4個(gè)不同的小朋友，每個(gè)小朋友至少分得4個(gè)蘋(píng)果，問(wèn)有多少種不同【解析】先給每個(gè)小朋友分三個(gè)蘋(píng)果，剩余18個(gè)蘋(píng)果利用“隔板法”，18個(gè)蘋(píng)果有17個(gè)空，插入三個(gè)“板”，共有C7=680種方法.故選：A.例4．從A、B、C、D4個(gè)班級(jí)中選10人組成衛(wèi)生檢查小組，每班至少選一人，每班人數(shù)的不同情況有2【解析】將10個(gè)人排成一排，然后從中間形成的9個(gè)空中選3個(gè)，分別放入一個(gè)隔板，即可將10個(gè)人分為4個(gè)部分，且每部分至少1個(gè)人，由此可得每班人數(shù)的不同情況有=84種.故選C.例5．把9個(gè)完全相同的口罩分給6名同學(xué)，每人至少一個(gè)，不同的分法有種【解析】問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為將9個(gè)完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一個(gè)，求其方法數(shù).事實(shí)上，只需在上述9個(gè)完全相同的口罩所產(chǎn)生的8個(gè)“空檔”中選出5個(gè)“空檔”插入檔板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．故有C=56種.故選：B例6．方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解共有組【解析】如圖，將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數(shù)目依次是x1、x2、x3、x4，顯然滿足x1+x2+x3+x4=12，故(x1,x2,x3,x4)是方程x1+x2+x3+x4=12的一組解，反之，方程x1+x2+x3+x4=12的每一組解都對(duì)應(yīng)著一種在12個(gè)球中插入隔板的方式，故方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解的數(shù)目為=165，故選：A.例7．把16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù)，則共有多少種放法()【解析】3根據(jù)題意，16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù)，先在1號(hào)盒子里放1個(gè)球，在2號(hào)盒子里放2個(gè)球，在3號(hào)盒子里放3個(gè)球，則原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的10個(gè)小球，放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問(wèn)題，將剩下的10個(gè)球排成一排，有9個(gè)空位，在9個(gè)空位中任選2個(gè)，插入擋板種不同的放法，即有36個(gè)不同的符合題意的放法；故選：C.例8．把座位號(hào)為1、2、3、4、5、6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為()【解析】因?yàn)槊咳酥辽僖粡?，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，又分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，然后再分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，有A=24種，所以不同的分法種數(shù)為10×24=240,故選：B例91）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？【解析】（1）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個(gè)不同的箱子，故不同的方法共有=1560（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個(gè)相同的箱子，故不同的方法共有（種）4（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，則采用插板法，在5個(gè)空中插入3塊板，則不同的方法共有C=10（種）（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，故可以首先每個(gè)箱子放入1個(gè)小球，還剩下2個(gè)小球，則這2個(gè)小球，只有兩種結(jié)果，即兩個(gè)在一個(gè)箱子中，或兩個(gè)小球分別在一個(gè)箱子中，故只有2種放法.例101）求方程x1+x2+x3+x4=5的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程.【解析】（1）若定義f:(x1,x2,x3,x4)→(y1,y2,y3,y4)，其中yi=xi+1(i=1,2,3,4)，則f是從方程x1+x2+x3+x4=5的非負(fù)整數(shù)解集到方程y1+y2+y3+y4=9的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程y1+y2+y3+y4=9正整數(shù)解得個(gè)數(shù)是C=56從而方程x1+x2+x3+x4=5的非負(fù)整數(shù)解得個(gè)數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過(guò)安檢口有4種情況：從1個(gè)安檢口通過(guò)，從2個(gè)安檢口通過(guò)，從3個(gè)安檢口通過(guò)，從4個(gè)安檢口通過(guò)。從1個(gè)安檢口通過(guò)共有：C.A=96種方案；從2個(gè)安檢口通過(guò)，可能有1個(gè)安檢口通過(guò)1人，另一個(gè)安檢口通過(guò)3人有：C.A.A=288種方案；從2個(gè)安檢口通過(guò)，可能每一個(gè)安檢口都通過(guò)2人有：=144種方案；從3個(gè)安檢口通過(guò)，可能有2個(gè)安檢口各通過(guò)1人，有1個(gè)安檢口通過(guò)2人有：C.A.A=288種方案；從4個(gè)安檢口通過(guò)共有：A=24種方案，所以這4個(gè)旅客進(jìn)站的不同方案有：96+288+144+288+24=840種.例11．現(xiàn)有5本書(shū)和3位同學(xué)，將書(shū)全部分給這三位同學(xué).（1）若5本書(shū)完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書(shū)，共有多少種分法？（2）若5本書(shū)都不相同，共有多少種分法？（3）若5本書(shū)都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書(shū)，共有多少種分法？【解析】（1）根據(jù)題意，若5本書(shū)完全相同，將5本書(shū)排成一排，中間有4個(gè)空位可用，在4個(gè)空位中任選2個(gè)，插入擋板，有C=6種情況，即有6種不同的分法；（2）根據(jù)題意，若5本書(shū)都不相同，每本書(shū)可以分給3人中任意1人，都有3種分法，（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5本書(shū)分成3組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有10+15=25種分組方法；②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3名學(xué)生，有A=6種情況，則有25×6=150種分法.例121）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，共有多少種放法？（注：最后結(jié)果需用數(shù)字作答）【解析】（1）按照最左端排誰(shuí)分兩類：①排甲：其余5個(gè)人作全排列，有A=120種，②排乙：最右端不排甲有A種，其余四人作全排列有A種，故共有AA=96種，由分類計(jì)數(shù)原理共有120+96=216種；（2）分步完成：①將A，B捆在一起當(dāng)作一個(gè)元素與除C的3個(gè)元素一起作全排列，有AA種，6②將C插入到已經(jīng)排好的排列中，讓A，C不相鄰，有A種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有AAA=192種；（3）四個(gè)不同的小球編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，說(shuō)明恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，有CA=144種不同的放法.例13．將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有種放法.（用數(shù)字作答）【解析】根據(jù)題意，將6個(gè)小球排成一排，排好后有5個(gè)可用的空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，插入擋板，共有C=10種情況，可以將6個(gè)小球分成4組，依次放入4個(gè)不同的盒子中即可，所以共有10中不同的放法.例14．方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).【解析】問(wèn)題中的x、y、z看作是三個(gè)盒子，問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為把10個(gè)球放在三個(gè)不同的盒子里，有多少種方法.將10個(gè)球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個(gè)球.隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的9個(gè)空內(nèi).:共有C=36種.故答案為：36例15．現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有種不同分配方案.【解析】由3班最多2個(gè)名額，3班有2、或1個(gè)，或0個(gè)名額三種情況.（1）、當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.種分法.2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.相當(dāng)于將9個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有C=28種分法.（3）、當(dāng)3班沒(méi)有分得名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的10個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.相當(dāng)于將10個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有C=36種分法.所以一共有21+28+36=85種不同的分配方案.故答案為：85.例16．小紅同學(xué)去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇（可以有糖果不被選擇單價(jià)均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有種.【解析】把7元看作7個(gè)相同的小球，四種糖果看作是四個(gè)盒子，問(wèn)題變?yōu)榘?個(gè)小球放到4個(gè)盒子中，允許有空盒，因此補(bǔ)充4個(gè)小球，共11個(gè)小球，分到四個(gè)盒子中，用插隔板方法，共有方法數(shù)為C1=120.故答案為：120.例17．10個(gè)相同的小球放在三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒中，每盒至少1個(gè)，有種方分法.【解析】依據(jù)題意，10個(gè)相同的小球放在3個(gè)盒中，每盒至少1個(gè)，可轉(zhuǎn)化為將10個(gè)相同小球分成三組，每組至少可將10個(gè)小球排成一列，進(jìn)而在排除兩端的9個(gè)空位中，選取2個(gè)，插入隔板即可，由組合公式可得共有C=36種分法.故答案為：36.例18．將3個(gè)1，11個(gè)0排成一列，使得每?jī)蓚€(gè)1之間至少隔著兩個(gè)0，則共有種不同的排法.【解析】解：符合條件的排列中，3個(gè)1將11個(gè)0分成四段，設(shè)每一段分別有x1,x2,x3,x4個(gè)0，則x1≥0，x2≥2，x3≥2，x4≥0因此原問(wèn)題等價(jià)于求方程x1+x2’+x3’+x4=7的自然數(shù)解的