2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)期末綜合測試含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE1單元綜合測試五(期末綜合測試)時間：120分鐘分值：150分一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i－1)的模為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2【答案】B【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模．∵z＝eq\f(1,i－1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(－\f(1,2)2＋－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2).故選B.2．已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則z·eq\o(z,\s\up6(－))的值為()A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r(3)【答案】A【解析】∵z＝2－i，∴eq\x\to(z)＝2＋i，∴z·eq\x\to(z)＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b∈R)”，其反設(shè)正確的是()A．a(chǎn)、b至少有一個不為0B．a(chǎn)、b至少有一個為0C．a(chǎn)、b全不為0D．a(chǎn)、b中只有一個為0【答案】A【解析】對“全為0”的否定是“不全為0”4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ac)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋zc＝1【答案】A【解析】由類比推理可知，方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.5．閱讀如下程序框圖，假如輸出i＝4，那么空白的推斷框中應(yīng)填入的條件是()A．S<8B．S<9C．S<10D．S<11【答案】B【解析】本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)．依據(jù)循環(huán)要求有i＝1，S＝0；i＝2，S＝2×2＋1＝5；i＝3，S＝2×3＋2＝8；i＝4，S＝2×4＋1＝9，此時結(jié)束循環(huán)，故應(yīng)為S<9.6．對a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，大前提x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))，小前提所以x＋eq\f(1,x)≥2.結(jié)論以上推理過程中的錯誤為()A．大前提B．小前提C．結(jié)論D．無錯誤【答案】B【解析】小前提錯誤，應(yīng)滿意x>0.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出s的值是()A．1B．2C．3D．7【答案】C【解析】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)．i＝1，s＝1→s＝1＋(1－1)＝1，i＝2→s＝1＋(2－1)＝2，i＝3→s＝2＋(3－1)＝4，i＝4→輸出s.8．甲、乙兩人各進(jìn)行1次射擊，假如兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.7，則其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率是()A．0.49B．0.42C．0.7D．0.91【答案】B【解析】兩人都擊中概率P1＝0.49，都擊不中的概率P2＝0.09，∴恰有一人擊中的概率P＝1－0.49－0.09＝0.42.9．將正奇數(shù)按如圖所示規(guī)律排列，則第31行從左向右的第3個數(shù)為()135717151311919212325272931A．1915B．1917C．1919D．1921【答案】B【解析】如題圖，第1行1個奇數(shù)，第2行3個奇數(shù)，第3行5個奇數(shù)，歸納可得第31行有61個奇數(shù)，且奇數(shù)行按由大到小的依次排列，偶數(shù)行按由小到大的依次排列．又因為前31行共有1＋3＋…＋61＝961個奇數(shù)，則第31行第1個數(shù)是第961個奇數(shù)即是1921，則第3個數(shù)為1917.10．已知x>0，y>0，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2－2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4 D．－4<m<2【答案】C【解析】x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝4，y＝2時取等號．∴m2－2m<8，即m2－2m－8<0，解得－2<二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11．i是虛數(shù)單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用a＋bi的形式表示，a，b∈R)．【答案】4－4i【解析】i＋2i2＋3i3＋4i4＋5i5＋6i6＋7i7＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i.12．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入m的值為2，則輸出的結(jié)果i＝______.【答案】4【解析】本題考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)．i＝1，A＝2，B＝1；i＝2，A＝4，B＝2；i＝3，A＝8，B＝6；i＝4，A＝16，B＝18；此時A<B，則輸出i＝4.13．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x)＝eq\f(1＋fx－2,1－fx－2)，若f(1)＝2＋eq\r(3)，則f(2009)＝________.【答案】2＋eq\r(3)【解析】∵f(x)＝eq\f(1＋fx－2,1－fx－2)，∴f(x－2)＝eq\f(1＋fx－4,1－fx－4).代入得f(x)＝eq\f(1＋\f(1＋fx－4,1－fx－4),1－\f(1＋fx－4,1－fx－4))＝eq\f(2,－2fx－4)＝－eq\f(1,fx－4).∴f(x)＝f(x－8)，即f(x)的周期為8.∴f(2009)＝f(251×8＋1)＝f(1)＝2＋eq\r(3).14．古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21，…，叫做三角數(shù)，它有肯定的規(guī)律性，則第30個三角數(shù)減去第28個三角數(shù)的值為________．【答案】59【解析】設(shè)數(shù)1,3,6,10,15,21，…各項為a1，a2，a3，…，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，即數(shù)列{an＋1－an}構(gòu)成首項為2，公差為1的等差數(shù)列．利用累加法得a28＝a1＋(2＋3＋…＋28)，a30＝a1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)，∴a30－a28＝29＋30＝59.15．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A—BCD中，如圖，面DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________．【答案】eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16．實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z＝m2(eq\f(1,m＋5)＋i)＋(8m＋15)i＋eq\f(m－6,m＋5).(1)為實數(shù)；(2)為虛數(shù)；(3)為純虛數(shù)；(4)對應(yīng)點在其次象限？【解析】z＝eq\f(m2＋m－6,m＋5)＋(m2＋8m＋15)i，(1)z為實數(shù)?m2＋8m＋15＝0且m＋5≠解得m＝－3.(2)z為虛數(shù)?m2＋8m＋15≠0且m＋5≠解得m≠－3且m≠－5.(3)z為純虛數(shù)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m－6,m＋5)＝0,m2＋8m＋15≠0))，解得m＝2.(4)z對應(yīng)的點在其次象限?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m－6,m＋5)<0,m2＋8m＋15>0))，解得m<－5或－3<m<2.17．設(shè)f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論．【解析】f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(3－\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，同理可得f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3)，并留意到在這三個特別式子中，自變量之和均等于1.歸納猜想得：當(dāng)x1＋x2＝1時，均有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求證：y＝f(x)是定義域上的減函數(shù)；(2)求證滿意f(x)＝0的實數(shù)根x至多只有一個．【證明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定義域上的減函數(shù)．(2)假設(shè)f(x)＝0的實數(shù)根x至少有兩個，不妨設(shè)x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x1<x2時，f(x1)>f(x2)，當(dāng)x1>x2時，f(x1)<f(x2)，這與f(x1)＝f(x2)＝0沖突，故假設(shè)不成立，所以f(x)＝0至多只有一個實數(shù)根．19．如圖是某工廠加工筆記本電腦屏幕的流程圖：依據(jù)此流程圖可回答下列問題：(1)一件屏幕成品可能經(jīng)過幾次加工和檢驗程序？(2)哪些環(huán)節(jié)可能導(dǎo)致廢品的產(chǎn)生，二次加工產(chǎn)品的來源是什么？(3)該流程圖的終點是什么？【解析】(1)一件屏幕成品經(jīng)過一次加工、二次加工兩道加工程序和檢驗、最終檢驗兩道檢驗程序；也可能經(jīng)過一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和檢驗、返修檢驗、最終檢驗三道檢驗程序．(2)返修加工和二次加工可能導(dǎo)致屏幕廢品的產(chǎn)生，二次加工產(chǎn)品的來源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程圖的終點是“屏幕成品”和“屏幕廢品”．20．已知數(shù)學(xué)、英語的成果分別有1,2,3,4,5五個檔次，某班共有60人，在每個檔次的人數(shù)如下表：nm數(shù)學(xué)54321英語51310141075132109321b60a100113(1)求m＝4，n＝3的概率；(2)求在m≥3的條件下，n＝3的概率；(3)若m＝2與n＝4是相互獨立的，求a，b的值．【解析】本題為條件概率和相互獨立事務(wù)的概率．(1)m＝4，n＝3時，共7人，故概率為P＝eq\f(7,60).(2)m≥3時，總?cè)藬?shù)為35.當(dāng)m≥3，n＝3時，總?cè)藬?shù)為8，故概率為P＝eq\f(8,35).(3)若m＝2與n＝4是相互獨立的，則P(m＝2)·P(n＝4)＝P(m＝2，n＝4)．∴eq\f(1＋b＋6＋0＋a,60)×eq\f(3＋0＋1＋b＋0,60)＝eq\f(b,60).故總?cè)藬?shù)為60，知a＋b＝13.∴eq\f(1,3)×(4＋b)＝b.∴a＝11，b＝2.21．某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為探討工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你依據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以寫成χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))【解析】(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)，記為B1，B2.從中隨機抽取2名工人，全部的可能結(jié)果共有10種，它們是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)構(gòu)共有7種，它們是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝eq