2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第2章函數(shù)第9節(jié)函數(shù)與方程學(xué)案含解析

函數(shù)與方程[考試要求]結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，推斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)．1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義．對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)三個等價關(guān)系．方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．提示：函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點，而是交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個數(shù)．2．函數(shù)的零點存在性定理假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．提示：函數(shù)的零點存在性定理只能推斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能推斷函數(shù)的不變號零點．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關(guān)系分類Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)2104．二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連綿不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])有關(guān)函數(shù)零點的三個結(jié)論(1)若y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連綿不斷，且有f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)肯定有零點．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖象連綿不斷，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個零點．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．()(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連綿不斷)，則f(a)·f(b)＜0.()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac(5)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、教材習(xí)題衍生1．(多選)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連綿不斷的一條曲線，則下列說法中不正確的是()A．若f(a)f(b)＞0，則不存在實數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)＜0，則存在且只存在一個實數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)＞0，則有可能存在實數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)＜0，則有可能不存在實數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0ABD[對函數(shù)f(x)＝x2，f(－1)f(1)＞0，但f(0)＝0，故A錯；對于函數(shù)f(x)＝x3－x，f(－2)f(2)＜0，但f(0)＝f(－1)＝f(1)＝0，故B錯；函數(shù)f(x)＝x2滿意C，故C正確；由零點存在性定理知D錯．]2．函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)C[由題意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3)．]3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是________．1[∵函數(shù)f(x)＝ex＋3x在R上是增函數(shù)，且f(－1)＝eq\f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，因此函數(shù)f(x)有唯一零點．]4．若函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a存在兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．(－∞，4)[由題意知Δ＝16－4a＞0，解得a考點一判定函數(shù)零點所在區(qū)間推斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法1．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x－logeq\s\do6(\f(1,2))x.若0＜a＜b＜c，則f(a)f(b)f(c)＜0，那么下列說法肯定正確的是()A．f(x)有且只有一個零點B．f(x)的零點在(0,1)上C．f(x)的零點在(a，b)上D．f(x)的零點在(c，＋∞)上AB[因為y＝x，y＝－logeq\s\do6(\f(1,2))x均為(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)．因為f(1)＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，所以由零點存在性定理可知f(x)有且只有一個零點且零點在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)，故A、B正確．因為f(a)f(b)f(c)＜0，所以f(a)，f(b)，f(c)的符號為兩正一負或全負，而0＜a＜b＜c，故f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＜0，f(b)＞0，f(c)＞0.若f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0，則零點在(c，＋∞)內(nèi)；若f(a)＜0，f(b)＞0，f(c)＞0，則零點在(a，b)內(nèi)．故C、D不肯定正確．]2．若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝x的解，則x0屬于區(qū)間()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C[令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－x，則x0是函數(shù)f(x)的零點，函數(shù)f(x)在R上圖象是連續(xù)的，且f(0)＝1＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，因此x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，故選C.]3．若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)上 B．(－∞，a)和(a，b)上C．(b，c)和(c，＋∞)上 D．(－∞，a)和(c，＋∞)上A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內(nèi)分別存在一個零點；又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點，因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.]4．(2024·天津模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)，若f(x1)＝g(x2)＝0，則()A．0＜g(x1)＜f(x2) B．g(x1)＜0＜f(x2)C．f(x2)＜0＜g(x1) D．f(x2)＜g(x1)＜0B[函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，∵f(0)＝e－1－4＜0，f(1)＝5－4＝1＞0，又f(x1)＝0，∴0＜x1＜1，∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)＞0，又g(x2)＝0，∴1＜x2＜2，∴f(x2)＞f(1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，∴g(x1)＜0＜f(x2)，故選B.]點評：由f(a)·f(b)＞0，并不能說明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上沒有零點，若f(x)在(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在(a，b)上無零點．考點二確定函數(shù)零點的個數(shù)確定函數(shù)零點個數(shù)的方法[典例1](1)(2024·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零點個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3(3)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(1)B(2)D(3)C[(1)由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零點有3個，故選B.(2)依題意，在考慮x＞0時可以畫出函數(shù)y＝lnx與y＝x2－2x的圖象(如圖)，可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x＋1與x軸只有一個交點，綜上，函數(shù)f(x)有3個零點．故選D.(3)因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個零點．當(dāng)x＞0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個交點，所以函數(shù)f(x)有1個零點．依據(jù)對稱性知，當(dāng)x＜0時，函數(shù)f(x)也有1個零點．綜上所述，f(x)的零點個數(shù)為3.]點評：數(shù)形結(jié)合法確定函數(shù)零點個數(shù)的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象．在畫函數(shù)的圖象時，常利用函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、對稱性等，同時還要留意函數(shù)定義域的限制．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4B[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.設(shè)g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)覺兩個函數(shù)圖象肯定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點．故選B.]2．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點的個數(shù)是()A．0 B．2C．4 D．6C[畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝log3|x|的部分圖象如圖所示．由圖知，函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點的個數(shù)為4.]考點三求與零點有關(guān)的參數(shù)問題已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍的方法依據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍[典例2－1](多選)(2024·遼寧丹東月考改編)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1))恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值可能為()A．0 B．eq\f(1,2)C．2 D．3BCD[法一：當(dāng)a＝0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜1，,4x2，x≥1，))當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)，x＜1，,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))x－1，x≥1，))當(dāng)a＝2時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x＜1，,4x－2x－4，x≥1，))當(dāng)a＝3時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3，x＜1，,4x－3x－6，x≥1，))通過作圖很簡潔推斷B，C，D成立，A不成立，故選BCD.法二：設(shè)h(x)＝2x－a(x＜1)，g(x)＝4(x－a)(x－2a)(x≥1)，若h(x)的圖象與x軸有一個交點，則a＞0，且2－a＞0，所以0＜a＜2.依據(jù)題意知，此時函數(shù)g(x)的圖象與x軸只有一個交點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥1，,a＜1，))得eq\f(1,2)≤a＜1.若函數(shù)h(x)的圖象與x軸沒有交點，則函數(shù)g(x)的圖象與x軸有兩個交點，當(dāng)a≤0時，h(x)的圖象與x軸無交點，g(x)的圖象與x軸無交點，所以不滿意題意．當(dāng)2－a≤0，即a≥2時，h(x)的圖象與x軸無交點，g(x)的圖象與x軸有兩個交點，滿意題意．綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)，故選BCD.]點評：已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這時圖形肯定要精確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題．依據(jù)函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍[典例2－2](1)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,x－1，x＞1，))則函數(shù)F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)總有零點時，實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)C．[－1,0)∪(1,2] D．[0,1](1)D(2)A[(1)由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，設(shè)t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1.∵函數(shù)f(x)的值域為(－1，＋∞)，∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故選A.]點評：函數(shù)f(x)有零點?f(x)＝0有解，此時可分別參數(shù)，化為a＝g(x)的形式，則a的取值范圍就是g(x)的值域．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,2x－1，x＞0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1]C．[－1,0) D．(0,1]D[當(dāng)x＞0時，由2x－1＝0得x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)是函數(shù)f(x)的一個零點，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一個解．即a＝2x在(－∞，0]上有一個解，又當(dāng)x∈(－∞，0]時0＜2x≤1，則0＜a≤1，故選D.]2．若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))[∵函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．令y＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).]核心素養(yǎng)3用數(shù)學(xué)眼光視察世界——解嵌套函數(shù)的零點問題函數(shù)的零點是高考命題的熱點，主要涉及推斷函數(shù)零點的個數(shù)或范圍，?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點，與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯．對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡潔的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.嵌套函數(shù)零點個數(shù)的推斷eq\a\vs4\al([素養(yǎng)案例1])已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2,2)，x≤1，,|log2x－1|，x＞1，))則函數(shù)F(x)＝f(f(x))－2f(x)－eq\f(3,2)的零點個數(shù)是()A．4 B．5C．6 D．7A[令f(x)＝t，則函數(shù)F(x)可化為y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)，則函數(shù)F(x)的零點問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0的根的問題．令y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0，則f(t)＝2t＋eq\f(3,2).分別作出y＝f(t)和y＝2t＋eq\f(3,2)的圖象，如圖①，由圖象可得有兩個交點，橫坐標設(shè)為t1，t2(不妨設(shè)t1＜t2)，則t1＝0,1＜t2＜2；由圖②，結(jié)合圖象，當(dāng)f(x)＝0時，有一解，即x＝2；當(dāng)f(x)＝t2時，結(jié)合圖象，有3個解．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－eq\f(3,2)共有4個零點．圖①圖②][評析]1.推斷嵌套函數(shù)零點個數(shù)的主要步驟：(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或推斷圖象交點個數(shù)．2．抓住兩點：(1)轉(zhuǎn)化換元．(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)．eq\a\vs4\al([素養(yǎng)培優(yōu)])已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點個數(shù)是________．5[由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示．由圖象知y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有2個交點，y＝1與y＝f(x)的圖象有3個交點．因此函數(shù)y＝2[f(x)]2