浙江省五校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)考試題含解析

PAGE23-浙江省五校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)考試題（含解析）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計算出集合后可得兩個集合的交集.【詳解】，，故，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，，且與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逐項采納向量數(shù)量積的公式進(jìn)行驗證即可【詳解】解析：對A：，故不垂直，A錯；對B：，故不垂直，B錯；對C：，故垂直，C對；對D：，故不垂直，D錯；故選C【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量垂直的推斷，是基礎(chǔ)題型3.函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】須要先對函數(shù)式進(jìn)行化簡，化簡成形式，再進(jìn)行值域求解【詳解】，∵，故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)值域求解，一般復(fù)合函數(shù)值域求解須要先求內(nèi)層函數(shù)的值域，形如，先求的值域再求的取值范圍4.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項和為，則（）A.時，肯定存在最大值 B.時，肯定存在最大值C.存在最大值時， D.存在最大值時，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)來推斷與的關(guān)系即可【詳解】對A：因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故肯定存在最大值，A正確；對B：因為，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故不存在最大值，B錯；對C：因為當(dāng)，時，存在最大值，C錯；對D：由C的解析知，D錯；故選A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與的關(guān)系，我們可以通過來加強(qiáng)理解，當(dāng)公差，數(shù)列為常數(shù)列，，當(dāng)時，有最小值，時，有最大值；當(dāng)公差時，，有最小值，，有最大值5.已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式化為，探討、和時，分別求出不等式成立時的取值范圍即可【詳解】時，不等式可化為；當(dāng)時，不等式為，滿意題意；當(dāng)時，不等式化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即；當(dāng)時，恒成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是答案選A【點(diǎn)睛】本題考查不等式與對應(yīng)函數(shù)的關(guān)系問題，含參不等式分類探討是求解時常用方法6.已知，為實(shí)數(shù)，則，是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過正向與反向推導(dǎo)來驗證充分與必要條件是否成馬上可【詳解】若，則，，，明顯，充分條件成立但時，比如說時，卻推不出，必要條件不成立所以是的充分不必要條件【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的推斷，推理實(shí)力與計算實(shí)力，由于參數(shù)的不確定性，故須要對參數(shù)進(jìn)行探討7.定義，則關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】【分析】通過對新定義的解讀，須要先求解，即，再通過分類探討形式表示不等式組，畫出對應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域，再求解對應(yīng)面積即可【詳解】解析：，即由圖像可得：平面區(qū)域面積：，故選D【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)新定義表示線性規(guī)劃區(qū)域，對可行域面積的求解，難點(diǎn)在于通過分類探討合理表示出符合條件的區(qū)域8.函數(shù)，則（）A.在上遞增 B.在上遞減C.在上遞減 D.在上遞增【答案】C【解析】【分析】由于常規(guī)方法無法進(jìn)行化簡，故須要對進(jìn)行求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)的增減性【詳解】，故，故在和單調(diào)遞增，即在上遞減答案選C【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)數(shù)來探討三角函數(shù)增減性問題，依據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)對應(yīng)的區(qū)間來確定原函數(shù)的增減性，既考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，又考查了三角函數(shù)圖像的基本性質(zhì)9.三角形中，已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將化簡，得到，此時須要用到進(jìn)行代換，化簡得到關(guān)于與的正切公式，由于題中求的是角，故需將代換成，進(jìn)而化簡求值【詳解】解析：，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，由于前期不能鎖定解題方向，所以須要進(jìn)行解題方向預(yù)判，大體是弦化切，故整體思路都圍繞弦化切綻開，中間遇到兩次三角函數(shù)的整體代換，對基本功要求較高，這就要求平常強(qiáng)化基礎(chǔ)，苦練基本功10.若不等式對上恒成立，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】將不等式看作兩個因式，和，先探討的正負(fù)，確定對應(yīng)區(qū)間，再對的正負(fù)進(jìn)行推斷，確定在交匯處取到等號，進(jìn)而求解【詳解】解析：法一：由題意可知：當(dāng)，，當(dāng)，，故當(dāng)，，當(dāng)，，即有，故選B；法二：由右圖像可得：明顯有，故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙變量不等式中參數(shù)的求解問題，通過分段探討確定交匯點(diǎn)是解題關(guān)鍵，方法二采納數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)一步對方法一作了補(bǔ)充說明，建議將兩種方法對比探討11.已知集合，，若，則______；若，則______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先化簡集合，依據(jù)題設(shè)條件，畫出數(shù)軸圖，依據(jù)交并補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】，因為，所以，如圖所示，所以.如圖：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)集合的交并補(bǔ)的結(jié)果求解參數(shù)，最好的方式是結(jié)合數(shù)軸圖加以理解，更詳細(xì)，更直觀12.已知，若，則______；______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】將右式的“1”化成“”，再化簡求值【詳解】；所以，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，“1”的代換很關(guān)鍵，為萬能公式的運(yùn)用，應(yīng)當(dāng)熟記13.不等式解集是______；不等式的解集是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】將化簡成，再利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式；同理對于化簡成，但要留意，再進(jìn)行求解即可【詳解】，所以不等式的解集是不等式的解集是【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的求解，化成同底數(shù)再依據(jù)函數(shù)的增減性求解是常規(guī)方法，同時還需留意定義域必需符合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)14.設(shè)數(shù)列的前項和為，滿意，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】再寫一個下標(biāo)減一的遞推式，兩式作差，表示出的關(guān)系式，再依據(jù)為奇數(shù)和偶數(shù)求解詳細(xì)數(shù)值即可【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)為偶數(shù)時，即為奇數(shù)時，所以；，.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)遞推數(shù)列求解詳細(xì)通項和的方法，涉及題設(shè)包含這種形式時，肯定要分類探討奇偶性15.定義，已知，.若對恒成立，則的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】畫出的圖像，依據(jù)題意，表示出的表達(dá)式，再依據(jù)與的位置關(guān)系，進(jìn)行求解【詳解】如圖：若對恒成立，此時，則，在上恒成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.即圖中的紅色直線為臨界狀態(tài).則的最小值是5【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)新定義寫出表達(dá)式，依據(jù)函數(shù)圖像求不等式的最值，精確畫出函數(shù)圖像并從臨界點(diǎn)切入是解題關(guān)鍵16.已知向量，其中，，與夾角為，且.則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】可設(shè)，，，則，，則，，進(jìn)而可求出與夾角，依據(jù)幾何關(guān)系能得出四點(diǎn)共圓，再依據(jù)正弦定理求得圓的半徑即可【詳解】設(shè)，，，則，，所以,即與的夾角為，而與的夾角為,所以四點(diǎn)共圓，于是為圓的直徑時最大，，則的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的求法，通過構(gòu)造向量的形式表示，是解題關(guān)鍵，借助幾何圖形能幫助我們快速解題17.已知實(shí)數(shù)滿意：，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】本題解法較多，詳細(xì)可考慮采納距離問題、柯西不等式法，判別式法，整體換元法，三角換元法進(jìn)行求解，詳細(xì)求解過程見解析【詳解】方法一：距離問題問題理解為：由對稱性，我們探討“雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離的倍”問題若相切，則有唯一解，兩平行線與的距離所以方法二：柯西不等式法補(bǔ)充學(xué)問：二元柯西不等式已知兩組數(shù)；，則已知兩組數(shù)；，則所以，所以.方法三：判別式法設(shè)，將其代入，下面仿照方法一即可.方法四：整體換元依據(jù)對稱性，不妨設(shè)，設(shè)，則，且方法五：三角換元由對稱性，不妨設(shè)（為銳角）所以所以的最小值為2【點(diǎn)睛】本題考查不等式中最值的求解問題，解法較為多樣，方法一通過點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，方法二通過柯西不等式，方法三通過判別式法，方法四通過整體換元法，方法五通過三角換元，每種解法都各有妙處，這也提示我們平常要學(xué)會從多元化方向解題，培育一題多解的實(shí)力，學(xué)會探查學(xué)問點(diǎn)的聯(lián)系，橫向拓寬學(xué)科學(xué)問面18.已知，中，角所對的邊為.（1）若，求的值域；（2）若，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將表達(dá)式先綻開再合并，化簡求值即可（2）將化簡求得，通過數(shù)值進(jìn)一步鎖定，求出，采納拼湊法求出，再用正弦定理求解【詳解】解析：（1）∵，即（2），因為，所以，或者，即或者（舍去），故；，由正弦定理得：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合三角函數(shù)值域的求法，三角恒等變換中關(guān)于詳細(xì)角的求解問題，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，對于角的拼湊問題是解題過程中常常會遇到的問題，如本題中，常見的還有，，等19.已知多面體中，，，，為中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可通過線面垂直的判定定理來證線線垂直，即設(shè)法證明直線所在平面（2）過點(diǎn)作，連接，則為直線與平面所成角的平面角，再采納等體積法求出，即可求得也可采納建系法干脆求解【詳解】法一：（1）由得：；如圖：取中點(diǎn)，連接，得：，，；故：；（2）過點(diǎn)作；連接，則為直線與平面所成角的平面角，即有，不妨設(shè)，即有：，所以法二：由得：；如圖建系得：，，，,，（1）,則（2）設(shè)面的法向量為，，，即有：，故【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證線線垂直，求線面角的正弦值，相對來說，立體圖形比較規(guī)整，也可采納建系法進(jìn)行求解，屬于中檔題20.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，.（1）若，數(shù)列中的最大項是第項，求的值（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)已知條件利用通項公式干脆表示出，的關(guān)系式，求解出與的通項公式，表示出的通項公式，利用進(jìn)行推斷（2）采納錯位相減法進(jìn)行求解即可【詳解】解析：（1）設(shè)公差為，公比為則，所以，；，當(dāng)時，，于是；當(dāng)時，，于是；綜上所述：，于是，（2）錯位相減求和法，，【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列基本量的求解，數(shù)列前項和最大值和對應(yīng)項的辨析，錯位相減法求前項和，錯位相減法關(guān)鍵在于其次個式子一般乘以公比，跟第一個式子對應(yīng)時，依次向后錯一位，兩式相減時，其次個式子多出的末項符號正負(fù)要書寫正確21.過橢圓的左焦點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）設(shè)直線的斜率為，求的值；（2）若，分別在直線的兩側(cè)，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，依據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得，進(jìn)行求解（法二）（利用點(diǎn)差法）設(shè)點(diǎn)，，，，中點(diǎn)，，由與，作差得再進(jìn)行求解（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得出，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用焦點(diǎn)弦公式表示出，同理聯(lián)立方程，用弦長公式表示出，，結(jié)合題干求出，再用點(diǎn)到直線距離公式求得到距離，進(jìn)而求得面積【詳解】（1）解法一：設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，，又中點(diǎn)在直線上，所以，從而可得弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以解法二：設(shè)點(diǎn)，，，，中點(diǎn)，則，，又與，作差得所以（2）設(shè)，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為于是聯(lián)立方程所以，，所以從而有，結(jié)合，從而得，不妨設(shè)，此時，此時，【點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線相交問題的詳細(xì)應(yīng)用，要求考生具有較強(qiáng)的運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，用點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問題可大大減小運(yùn)算22.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：；（2）（i）求證：當(dāng)時，；（ii）若不等式對隨意恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.注：e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，得，再令，求得，可推斷單調(diào)遞增恒成立，再依據(jù)零點(diǎn)存在定理計算兩端點(diǎn)值，即可求證（2）（i）要證，只需證，只需證，通過求導(dǎo)證明，求得，即可求證（ii）先通過必要性進(jìn)行探路，當(dāng)時，肯定成立，推出，當(dāng)時，，化簡得