北師大版高中數(shù)學必修二立體幾何初步檢測卷

一、選擇題

1.如下圖所示，在正方體ABCZ）-中，E是平面4QRA的中心，M、N、

產(chǎn)分別是用G、CG、AA的中點，則下列說法正確的是（）

A.MN="F,且MN與E尸平行

2

B.MN/EF,且MN與所平行

2

C.MN=!*,且MN與EF異面

2

D.MN*—EF,且MN與EF異面

2

2.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1,當該圓錐體積取最

小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（）

A.2：1B.4：1C.8：1D.8：3

3.已知A3是平面。外的一條直線，則下列命題中真命題的個數(shù)是（）

①在a內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線A8平行；

②在a內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線AB垂直；

③在a內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線48異面；

④一定存在過AB且與。垂直的平面P.

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.在底面為正方形的四棱錐尸—A3c。中，側(cè)面Q4O_L底面48CD,PAA.AD,

尸4=40,則異面直線PB與AC所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.正方體ABC?！睦忾L為2,E是CG的中點，則點G到平面反。的距離

為（）

TY樣

6.某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,則該幾何體外接球的

體積為（）

A.32岳B.48）C.亥色乃D.—71

273

7.如圖，圓錐的母線長為4,點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子，繞圓錐的

側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到8點，這條繩子的長度最短值為2石，則此圓錐的表面積為（）

8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

俐視圖

A.24B.30C.4幣D.677

9.如圖所示，A,8為正方體的兩個頂點，M，N為其所在棱的中點，則異面直線

48與MN所成角的大小為（）

10.如圖是某個四面體的三視圖，則下列結(jié)論正確的是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.該四面體外接球的體積為48九

B.該四面體內(nèi)切球的體積為今

C.該四面體外接球的表面積為32岳

D.該四面體內(nèi)切球的表面積為2產(chǎn)

11.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，

所得開立方除之，即立圓徑意思是：球的體積V乘16,除以9,再開立方，即為球的直徑

d,由此我們可以推測當時球的表面積S計算公式為（）

A.S=—d2B.S=—d2c.S=-d2D.S=-J2

82214

12.。尸是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判定平面。與夕平行的是（）

A.加、〃是a內(nèi)的兩條直線，且〃n//p

B.a、夕都垂直于平面/

C.。內(nèi)不共線三點到夕的距離相

D.加、〃是兩條異面直線，mua,nu°，旦mH。,nlla

二、填空題

13.已知直三棱柱43。一A3|G，AB=BC=AA,=4,AC=4五，若點尸是上底面

AMG所在平面內(nèi)一動點，若三棱錐尸-A5c的外接球表面積恰為41萬，則此時點產(chǎn)構

成的圖形面積為.

14.如圖所示，RtAA'B'C為水平放置的AABC的直觀圖，其中AC'，*。'，

B,(y=(yc=2,則AABC的面積是.

15.在正三棱錐尸—A3C中，E，尸分別為棱B4，A3上的點，PE=3EA,

BF=3FA,且CE上EF.若PB=26，則三棱錐尸一ABC的外接球的體積為

16.己知等腰直角三角形ABC中，zc=y,C4=2五，。為AB的中點，將它沿

CD翻折，使點A與點8間的距離為2后，此時三棱錐C-A3。的外接球的表面積為

17.一個三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長棱的長度為

側(cè)(左)視圖

18.世界四大歷史博物館之首盧浮宮博物館始建于1204年，原是法國的王宮，是法國文藝

復興時期最珍貴的建筑物之一，以收藏豐富的古典繪畫和雕刻而聞名于世，盧浮宮玻璃金

字塔為正四棱錐，且該正四棱錐的高為21米，底面邊長為30米，是華人建筑大師貝聿銘

設計的.若玻璃金字塔五個頂點恰好在一個球面上，則該球的半徑為米.

19.如圖，在三棱錐V—ABC中，AB=2拉，VA=VB,VC=i,且

AC±BC,則二面角V-A3-C的余弦值是.

20.如下圖所示，三棱錐P-ABC外接球的半徑為1,且以過球心，△PAB圍繞校

旋轉(zhuǎn)60°后恰好與APAC重合.若PB=6則三棱錐P—A3C的體積為.

三、解答題

21.如圖，在四棱錐P-A8CO中，△R4B是等邊三角形，C8_L平面幺氏AO//8C

且PB=8C=2AT)=2,F為PC中點.

(1)求證：0「〃平面A4B；

(2)求直線A5與平面POC所成角的正弦值.

22.在校長為2的正方體AbCD-AGGR中，0是底面A8C。的中心.

(1)求證：80〃平面OAG;

(2)求點。到平面。AG的距離.

23.如圖，已知長方體ABCO—AgGR,AB=2,AA=1,直線80與平面

所成的角為30。，AE垂直3。于￡

(1)若F為棱A片上的動點，試確定F的位置使得4E〃平面8GF,并說明理由；

(2)若F為棱A片上的中點；求點A到平面8。廠的距離；

(3)若F為棱A片上的動點(端點A，片除外)，求二面角/一5。一4的大小的取值

范圍.

24.如圖，△A6C中，AC=BC=—ABtABED是邊長為1的正方形，平面ABED，

2

平面ABC,若G、產(chǎn)分別是EC、3。的中點.

(1)求證：Gb〃平囿A8C；

(2)求證：AC_L平面E8C.

25.如圖，直四棱柱ABC。—的底面A8CD為平行四邊形,

3

4。=3,43=5工0S/34。=1,3。=。。1,七是。a的中點.

(I)求證：平面O8E1,平面ADD.；

(口)求點G到平面BDE的距離.

26.如圖，已知在三棱錐尸一A5C中，AA5c是邊長為2的正三角形，△P4C是以

AC為斜邊的等腰直角三角形，若直線尸B與平面ABC所成的角為三.

（工）若PB>PC,求證：平面PACJ?平面ABC；

E）若PBvPC,求直線A3與平面P4C所成角的正弦值.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

設正方體A8co—的校長為2,利用正方體性質(zhì)可求得MN=0，EF=框,

知MNH；EF,再利用三角形中位線性質(zhì)知MN//8C，仄而MN//ED,又EF與

￡3相交，可知MV與異面，即可選出答案.

【詳解】

設正方體ABC。—481GA的棱長為2,則MN=QMC：+C\N?=6

作E點在平面48co的投影點G,即EG_L平面48c。，連接EGG/7,在直角△EGf'

中，EG=1,GF=\lAG2+AF=6則FFZF.G'GF?=b+后=行所

以MNw^EF,故排除A、C

2

連接DE,由E是平面AOAA的中心，得

又M、N分別是用G、CG的中點，所以MN//B?

又A\D/IB?,所以MN//ED,

又EFcED=E,所以MN與跖異面

故選：D.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查正方體中的線面關系，線線平行的關系，及判斷異面直線，解題的關

鍵是熟記正方體的性質(zhì)，考查學生的邏輯推理能力，屬于基礎題.

2.A

解析：A

【分析】

根據(jù)二角形相似得HI圓俳的底面半杼和高的關系.根據(jù)體積公式和基本不等式得出答案.

【詳解】

設圓錐的高為人，底面半徑為，

則當球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切時，軸截面如圖，

h

由可得:即,.=

ylh2-2h

???圓錐的體積表9—）+￡”].號.

當且僅當〃-2=2,即〃=4時取等號.

該圓錐體積的最小值為J.

3

4乃

內(nèi)切球體積為二

該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比2:1.

故選:A.

【點睛】

方法點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意"拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本

不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定〃（不等式的另一邊必須為定值）、“等〃

（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.

3.C

解析：C

【分析】

根據(jù)線面平行，線面垂直，異面直線等有關結(jié)論和定義即可判斷.

【詳解】

對于A,若直線48與平面a相交，則在a內(nèi)不存在直線與直線A8平行，錯誤；

對于B,若直線A8與平面a相交且不垂直，設=過平面。外直線AB上一點

尸作PC_La,垂足為C,則在平面。內(nèi)過點C一定可以作一條直線CO,使得

CDtCM,所以CQ_L48,而在平面。內(nèi)，與直線CD平行的直線有無數(shù)條，所以在

a內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線A5垂直，若直線A5與平面a垂直，顯然在。內(nèi)存在無數(shù)

多條直線與直線A8垂直，當直線A8與平面。平行時，顯然可知在a內(nèi)存在無數(shù)多條直

線與直線AB垂直，正確；

對于C,若直線A3與平面。相交，設A5r）a=M，根據(jù)異面直線的判定定理，在平面a

內(nèi)，不過點用的直線與直線A4異面，所以在a內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線A〃異面，當

直線A8與平面。平行時，顯然可知在。內(nèi)存在無數(shù)多條直線與直線A3異面，正確；

對于D,若直線與平面。相交且不垂直，設45Cla=M，過平面。外直線AB上一點

P作PC_La,垂足為C,所以平面A8C與平面。垂直，若直線AB與平面a垂直，則

過直線A3的所有平面都與平面。垂直，當直線A8與平面。平行時，在直線A8上取一

點尸作PC_La,垂足為C,所以平面A3C與平面a垂直，正確.

故真命題的個數(shù)是3個.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查線面平行，線面垂直，異面直線等有關結(jié)論和定義的理解和應用，熟記定

義，定理和有關結(jié)論是解題的關鍵，屬于中檔題.

4.C

解析：c

【分析】

由已知可得以_L平面A8CD,底面48co為正方形，分別過P,。點作AD,4P的平行線

交于M，連接CM,AMf因為PBIICM,所以ACM就是異面直線P8與47所成的角，再求

解即可.

【詳解】

由題意：底面48co為正方形，

側(cè)面R4O_L底面ABC。，PA1AD,

面PAOn面4BCD=4D，

%_L平面488,

分別過P，。點作AD,4P的平行線交于M,

連接CM,AM,

PMWAD,ADWBC,

PM=AD,AD=BC.

?.P8cM是平行四邊形，

PBIICM,

所以NACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設%=48=。，

在三角形4cM中，AM=AC=6a,CM=屑,

三角形4cM是等邊三角形.

所以NACM等于60°,

即異面直線PB與AC所成的角為60。.

故選：C.

【點睛】

思路點睛：先利用面面垂直得到以_L平面48CD,分別過P,。點作4D,AP的平行線交于

M,連接CM,AM,得到NAC/W就是異面直線P8與AC所成的角.

5.B

解析：B

【分析】

利用等體積法%「E8D=%.GEB，設點C到平面的距離為a利用三棱錐的體積公式

代入面積即求得d.

【詳解】

如圖，利用等體積法，Vq-EBD=^D-CtEB，設點G到平面上8。的距離為d，

正方體ABC?！?81GA的棱長為2,故BD=2g,BE=ED=^,如圖,

/?=]ED2_[；BD、=45^2=43^^S“EBD=；xBDxh=；xWix6=巫，

又點。到平面GE8的距離，即￡）到平面GC84的距離，為CD=2,

SgEB=5X1x2=1,

由%=%.G&8得，1xV6xt/=ixlx2,故d=2=".

33x/63

故選：B.

【點睛】

方法點睛：

空間中求點到平面的距離的常見方法：

（1）定義法：直接作垂線，求垂線段長；

（2）等體積法：利用三棱錐換底求體積，結(jié)合兩個面積和另一個高求未知高，即得距離;

（3）向量法：過點的一個斜線段對應的向量平面法向量k則?

6.A

解析：A

【分析】

由三視圖可知，該幾何體是四棱錐，其中四棱錐底面是邊長為4的正方形，將四棱錐補成

棱長為4的正方體，則該幾何體的外接球就是正方體的外接球，進而可得答案.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的四棱錐尸-A5C。，

其中四棱錐底面是邊長為4的正方形，

四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的高為4,

將四棱錐補成棱長為4的正方體，

則該幾何體的外接球就是正方體的外接球，

外接球的直徑2R等于正方體的對角線長，

即2R=4&nH=2百，

所以該幾何體外接球的體積為g〃x（2G）3=32岳,

方法點睛：三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察二視圖并

將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相

等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組

合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.

7.B

解析：B

【分析】

根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，且線段MB=2右計算底面圓半徑即可求解.

【詳解】

設底面圓半徑為，

由母線長/二4,可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為a=亞=二，

/2

將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點8,最短距離為8M；

如圖，

B

在AABM中，MB=2y/5,AM=2,AB=4,

所以AM2+AB2=MB2,

所以NMAB=工,

2

,,7Vr7VAnzn

故a=—=—,解得r=l,

22

所以圓錐的表面積為S=/rrl+7rr2=5/r,

故選：B

【點睛】

關鍵點點睛：首先圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其圓心角為a=半，其次從點M拉一繩

子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點8,繩子的最短距離即為展開圖中線段MB的長，解三角即可求解

底面圓半徑，利用圓錐表面積公式求解.

8.D

解析：D

【分析】

先找到幾何體的原圖，再求出幾何體的高，再求幾何體的體積得解.

【詳解】

由三視圖可知幾何體為圖中的四極錐P-CDD.E,

由題得40=必于=近，所以幾何體的高為J7.

所以幾何體的體積為（2+4）6萬=6萬.

32

故選：D

【點睛】

方法點睛：通過三視圖找?guī)缀误w原圖常用的方法有：（1）直接法；（2）拼湊法；（3）模

型法.本題利用的就是模型法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

9.C

解析：c

【分析】

由MN與正方體的面對角線平行，可得異面直線所成的角，此角是正三角形的內(nèi)角，由此

可得.

【詳解】

作如圖所示的輔助線，由于M，N為其所在棱的中點，所以MN//PQ,又因為

AC//PQ,所以AC//MN,所以NC4B即為異面直線所成的角(或補角)，

易得A3=AC=3C,所以NC48=600.

故選：C.

10.D

解析：D

【分析】

先找到幾何體原圖，再求出幾何體的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑，再判斷每一個選項得

解.

【詳解】

由三視圖得幾何體為下圖中的三棱錐A-8CO,AB_L平面

BCD,AB=4正，CE=DE=2,BE=2,由題得NCBD二三.

2

設外接球的球心為。,外接球的半徑為R,則OE1平面BCD,連接。氏。4,取AB中點

產(chǎn)，連接

由題得0E=8/=348=2直，所以2=(2近)2+22,.,./?=26,

所以外接球的體積為g%x(2G)3=32信，所以選項A錯誤；

所以外接球的表面積為4?x(26)2=48不，所以選項C錯誤；

由題得AC=A￡)=1(4&)2+(2血)2=2回，

所以△AACD的高為J40—22=6,

設內(nèi)切球的半徑為小則

1r(4V2x2x/2xl+4>/2x2V2xl+2x4xl+4x6xl)=1x2x4x1x472

所以r=包,

2

所以內(nèi)切球的體積為3乃x(立了=立乃，所以選項B錯誤；

323

所以內(nèi)切球的表面積為4萬x=2］，所以選項D正確.

故選：D

【點睛】

方法點睛：求幾何體外接球的半徑一般有兩種方法:模型法和解三角形法.

模型法就是把幾何體放在長方體中，使幾何體的頂點和長方體的若干個頂點重合，則幾何

體的外接球和長方體的外接球是重合的，長方體的外接球的半徑,=1j〃2+從+02就是

2

兒何體的外接球半徑.如果已知中有多個垂直關系，可以考慮用此種方法.

解三角形法就是找到球心。和截面圓的圓心。'，找到OO'、球的半徑OA、截面圓的半

徑O'A確定的RtAOOA，再解放△OO'A求出球的半徑OA.

11.A

解析：A

【分析】

根據(jù)已知條件結(jié)合球的體積公式題求解出產(chǎn)的值，然后根據(jù)球的表面積公式

3\2)

4乃(g)求解出S的表示，即可得到結(jié)果.

【詳解】

因為=d,所以V==——,所以乃=—,

V9163{2)8

4(d>\27d227

所以S=4;r—=4Ax——x——=——d,

\2)848

故選：A.

【點睛】

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是根據(jù)球的體積公式得到"的表示，再將乃帶入到球的表面

積公式即可完成求解.

12.D

解析：D

【分析】

取ac￡=a,且加/〃，n//a,利用線面平行的判定定理可判斷A選項；根據(jù)

/_Ly判斷平面a與￡的位置關系，可判斷B選項；設48、4c的中點。、E在平面

夕內(nèi)，記平面ABC為平面a,判斷出A、B、。三點到平面￡的距離相等，可判斷C

選項；過直線〃作平面/,使得acy=a,利用線面平行、面面平行的判定定理可判斷D

選項.

【詳解】

對于A選項，若ac￡=〃，且,川la,則,n//pt但。與

夕相交；

對于B選項，若aJ_乙/_L/,則。與月平行或相交；

對于C選項，設A3、AC的中點。、E在平面￡內(nèi)，記平面ABC為平面。，如下圖所

示：

Q。、E分別為A3、AC的中點，則。石〃BC,

?;DEuB,BCaB,:.BCH0,所以，點8、C到平面￡的距離相等,

由于。為A8的中點，則點4、B到平面￡的距離相等，

所以，點4、B、。三點到平面￡的距離相等，但平面。與平面夕相交；

對于D選項，如下圖所示：

由于R/a,過直線〃作平面使得acy=a,則〃〃〃，

?.?"http://a,aa夕，nu。,：.a!!p,

,/mJIp,mC\a=A,mua,aua,allp.

故選：D.

【點睛】

方法點睛：證明或判斷兩個平面平行的方法有：

①用定義，此類題目常用反證法來完成證明；

②用判定定理或推論（即“線線平行〃n”面面平行"，通過線面平行來完成證明；

③根據(jù)"垂直于同一條直線的兩個平面平行〃這一性質(zhì)進行證明；

④借助"傳遞性”來完成.

二、填空題

13.【分析】確定是等腰直角三角形的中點分別是和的外心由直棱柱性質(zhì)得的

外接球的球心在上外接球面與平面的交線是圓是以為圓心為半徑的圓求出可得

面積【詳解】則設分別是的中點則分別是和的外心由直三棱柱的性質(zhì)得平面

解析：4笈

【分析】

確定△ABC是等腰直角三角形，AC,4G的中點分別是AABC和4A4G的外

心，由直棱柱性質(zhì)得P—A8C的外接球的球心。在上，外接球面與平面AqG的交

線是圓，是以R為圓心，。尸為半徑的圓，求出PR可得面積.

【詳解】

AB=BC=4,AC=4x/2,WiJZABC=90°,設分別是AC，AG的中點，則￡>,〃

分別是AA6c和ZXA4G的外心，由直三棱柱的性質(zhì)得OR，平面43C,

所以P—A3C的外接球的球心。在0A上，如圖，

4萬(OA)2=4br,則OP=OA=叵,

2

OD=-心=J(呼)一(2⑸=|.

35

所以—0。=M一0。=4-5=5，

PR=W-OD：=/將j-(|)=2,

o―ABC的外接球面與平面的交線是圓，是以R為圓心，"P為半徑的圓,

其面積為S=x22=4乃?

故答案為：44.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查立體幾何中動點軌跡問題的求解，重點考查了幾何體的外接球的有

關問題的求解，關鍵是根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心位置，結(jié)合勾股定理得出動點所滿足的

具體條件，結(jié)論：三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上.

14.【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的之間的關系由直觀圖畫法規(guī)則將還原為如圖

所示是一個等腰三角形直接求解其面積即可【詳解】由直觀圖畫法規(guī)則將還原

為如圖所示是一個等腰三角形則有所以故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根

解析：872

【分析】

根據(jù)直觀圖和原圖的之間的關系，由直觀圖畫法規(guī)則將RsA'B'C還原為△A3C,如圖

所示，△A6C是一個等腰三角形，直接求解其面積即可.

【詳解】

由直觀圖畫法規(guī)則將/^△A6'C還原為△人3。，如圖所示，△A8C是一個等腰三角形,

472

故答案為：8>/2

【點睛】

關鍵點點睛：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得出三角形的直觀圖，并求出對應邊長，根據(jù)面

積公式求解.

15.【分析】證明與垂直得線面垂直從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直結(jié)合

正方體的性質(zhì)得三條側(cè)棱的平方和為外接球直徑的平方求得球半徑后可得球體

積【詳解】?「??????又???取中點連接如圖由于是正三棱錐而平面」.平面又平

解析：36兀

【分析】

證明尸8與CE,AC垂直得線面垂直，從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，結(jié)合正方體

的性質(zhì)得三條側(cè)棱的平方和為外接球直徑的平方，求得球半徑后可得球體積.

【詳解】

APAp

PE=3EA,BF=3FA,/.—=—,EF//PB,又CE上EF,

APAB

?.PBLCE,

取AC中點。，連接PD8。，如圖，由于P—ABC是正三棱錐,

..尸O_L4cBOJ,AC,

而P￡>cB￡>=￡>，PD,&)u平面..AC_L平面P血)，又P3u平面尸血>,

?.AC1PB,.ACr\CE=C,AC,C￡u平面尸AC,..P8_L平面尸AC,

而PA,尸Cu平面B4C,PB_LPA,PB_LPC,同理正三棱錐中，PA1PC.

設三棱錐P-ABC外接球半徑為R,則(2/?產(chǎn)=PA1+PB2+PC2=3x(2百戶,

R=3,

球的體積為V=—^x3^=36乃.

3

故答案為：36%.

【點睛】

結(jié)論點睛：三棱錐的外接球問題，解題關鍵是找到外接球的球心，三棱錐的外接球球心在

過各面外心且與該面垂直的直線上.當從同一頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直時，可以把三棱

錐補成一個長方體，而長方體的對角線就是三棱錐外接球的直徑.

16.12【分析】根據(jù)題意可判斷出兩兩垂直即可求出外接球半徑得出表面積

【詳解】等腰直角三角形中為的中點滿足兩兩垂直設外接球的半徑為則即三棱

錐的外接球的表面積為故答案為：【點睛】本題考查三棱錐外接球問題解題

解析：12乃

【分析】

根據(jù)題意可判斷出。CD4,08兩兩垂直，即可求出外接球半徑，得出表面積.

【詳解】

,?,等腰直角三角形48c中，NC=g,CA=CB=2x/2?

???。為48的中點，；.CD=AD=BD=2,

..CD1AD.CD1BD,

,:AB=2叵，滿足4。2+〃。2=432,「.仞_18￡），

.?.DC,08兩兩垂直，

設外接球的半徑為R,則2/?=斤為方=2百，即R=X/5，

二?三棱錐C—ABD的外接球的表面積為4%心=12〃.

故答案為：12乃.

c

【點睛】

本題考查三棱錐外接球問題，解題的關鍵是得出DC,DA,DB兩兩垂直.

17.【分析】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC分別計算其棱長可得答案

【詳解】由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-ABC可將此三棱錐放入棱長為2的

正方體內(nèi)如下圖所示所以：BC二所以該三棱錐最長棱的長度為故

解析：2G

【分析】

由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-A8C,分別計算其棱長，可得答案.

【詳解】

由三視圖還原幾何體得到三棱錐P-48C,可將此三棱錐放入棱長為2的正方體內(nèi)，如下圖

所示，

所以：AB=e，BC=BP=AC=2,PC=2瓜AP=26

所以該三棱錐最長棱的長度為2G.

故答案為：2JJ.

方法點睛：三視圖問題的常見類型及解題策略：

⑴由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部

分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示.

⑵由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直

觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當然作為選擇題，也可將選項

逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.

⑶由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的

形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖.

18.【分析】作出圖形設球體的半徑為根據(jù)幾何關系可得出關于的等式進而可

解得的值【詳解】如下圖所示：在正四棱錐中設為底面正方形的對角線的交點

則底面由題意可得則設該球的半徑為設球心為則由勾股定理可得即解得故答

解析：

【分析】

作出圖形，設球體的半徑為R,杈據(jù)幾何關系可得出關于R的等式，進而可解得R的值.

【詳解】

在正四棱錐P—A3CD中，設M為底面正方形48co的對角線的交點，則尸M_L底面

ABCD,由題意可得PM=21,AB=30,BD=41AB=30>/2?則BM=15近，

設該球的半徑為R,設球心為0,則OwRW,

由勾股定理可得0。2=0知2+3.必2,即R2=（R—2iy+（15夜）1解得R=箸.

297

故答案為：—.

14

【點睹】

方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正

方體或長方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓

心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可.

19.【分析】取的中點連接證明出可得出面角的平面角為計算出利用余弦定理

求得由此可得出二面角的余弦值【詳解】取的中點連接如下圖所示：為的中點

則且同理可得且所以二面角的平面角為由余弦定理得因此二面角的余弦值為

解析：4

4

【分析】

取A3的中點0,連接VO、0C,證明出VO_LA」B,OC1AB,可得出面角

V—AB—C的平面角為/VOC，計算出VO、0C,利用余弦定理求得cosNVOC,由

此可得出二面角V-AB—C的余弦值.

【詳解】

取A3的中點。，連接VO、0C,如下圖所示：

-VA=VB,。為4B的中點，則VO_LAB,且AB=2。

.\V0=-AB=y/2,

2

同理可得OCJ_AB,且0C=也，所以，二面角V—AB—C的平面角為NVOC,

222

由余弦定理得cosZVOC=v°n+"OC—-V—C=-3,

2VOOC4

3

因此，二面角V—A5—C的余弦值為一.

4

3

故答案為：

4

【點睛】

本題考查二面角余弦值的計算，考查二面角的定義，考查計算能力，屬于中等題.

20.【分析】作于可證得平面得得等邊三角形利用是球的直徑得然后計算出再

應用棱錐體積公式計算體積【詳解】?「圍繞棱旋轉(zhuǎn)后恰好與重合.,?作于連接則

???又過球心.?.而」?同理由得平面「?故答案為：【點睛】易錯點睛：本題考查

解析:立

8

【分析】

作于〃，可證得P4J_平面8cH,得NBHC=600,得等邊三角形BCH,利

用R4是球的直徑，得然后計算出再應用棱錐體積公式計算體積.

【詳解】

???/XPAB圍繞棱P4旋轉(zhuǎn)60。后恰好與△州€*重合，

..=△PAC,

作B〃_L用于“，連接CH，則CH工PA,CH=BH,NBHC=60°,

..BC=BH=CH.

又RA過球心，???PBLAB>而PA=2,PB=J^,AB=b同理AC=1,

PBABGxl石sy/3du2X/3（石丫36

PA22C44I2J16

由BHLPA,CH工PA,CHC\BH=H,得PAJ_平面8C”，

.v_1cDA_130

…VprBC=qS*BCH^=^X^_X2=_^_-

故答案為：且.

8

【點睛】

易錯點睛：本題考查求棱錐的體積，解題關鍵是作6"_LR4于"，利用旋轉(zhuǎn)重合，得

R4_L平面8",這樣只要計算出△8C"的面積，即可得體積，這樣作圖可以得出

ZBHC=60°,為旋轉(zhuǎn)所形成的二面角的平面角，這里容易出錯在誤認為旋轉(zhuǎn)60。，即為

ZC45=60°.旋轉(zhuǎn)60。是旋轉(zhuǎn)形成的二面角為60。.應用作出二面角的平面角.

三、解答題

21.(1)證明見解析；(2)上

4

【分析】

(1)取心邊的中點E,即可證明四邊形AEFD為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定

理即可證明；

(2)取3c邊的中點G,由DG//AB,即可得到直線與平面PDC所成角即為OG

與平面PDC所成角，再由等體積法求得dG-e=］，即可求得直線與平面PDC所

成角的正弦值.

【詳解】

解：(1)如圖所示：

取尸B邊的中點E,連AE,FE,

則三角形中位線可知：EF//BC且EF，BC,

2

由題可知：AD//8C且AO=，5C,

2

/.AD//EF^AD=EF,

即四邊形AEFZ)為平行四邊形，

s.DFUAE

又???。尸2平面PAB,AEu平面PAB，

故。尸〃平面上鉆；

(2)取邊的中點G,

則。G//AB,且QG=A8=2,

直線AB與平面PDC所成角即為DG與平面PDC所成角，

又久彌=1,且易得0c=PD,所以?。尸=；X2&XJ5=#

=

由等體積法，Vp-CDG=%-PCZ)=§X1X>/3=—X>/6xdG_pcD,得^G-PCD

也

/.￡>G與平面PDC所成角的正弦值為H=也，

T-V

故直線AB與平面PDC所成角的正弦值為正.

4

【點睛】

關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用等體積法求出G點到平面PCD的距離.

22.(1)證明見解析；(2)空.

3

【分析】

(1)連接與R,設8Q1CAG=a，連接證明與q。。是平行四邊形，再利用

線面平行的判定定理即可證明.

(2)由題意可得平面O4GJ?平面片。。8,過點。作。于“，在矩形

BRDB中,連接。a,可得△00叱△OHD,由三角形相似，對應邊成比例即可求

解.

【詳解】

(1)證明：連接8］。，設片AcAG=。］,連接。。］.

,:。［旦//DO且O［B［=DO,

.BQQO是平行四邊形.

:.BQ//DO-

又?/DO、u平面D41G，BQU平面￡)AG,

.,.耳0//平面％&.

(2)?「AC，四。1,A"BBI,且

/.AG，平面8QQ8.

平面。AGJ■平面片。。8,且交線為。。.

在平面內(nèi)，過點。作。〃J_oq于“，則。〃J_平面D4.G，

即OH的長就是點0到平面OAG的距離.

O.DOD

在矩形中，連接OQ,4O0D^4OHD,則省=7^7,

C/1(7On

,。”*=述.

瓜3

即點0到平面OAG的距離為述.

3

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查了線面平行的判定定理，點到面的距離，解題的關鍵是過點。作

OH1DO.T-H>得出的長就是點。到平面的距離，考查了計算能力.

B.F12x/s(亢乃、

23.(1)力匕-=彳，證明見解析；(2)坦；(3)-

旦435142)

【分析】

(1)延長4E交。。于M，在GA上取點N,使得QN=DM,連接MM^N,可

B.F1B.F1

證得AM//AN,從而可得G產(chǎn)〃AN,由此可得6寧二1，再由6寧二￡證明線面平

行即得；

(2)用等體積法可求得點4到平面8。戶的距離；

(3)作FP_LAB，垂足為P,作PQJ_BO于E，連接為2，N"2P是二面角

產(chǎn)一3D—A的平面角，設用E=x,(0vxv2),求出平面角的正切值可得范圍，從而

得角的范圍.

【詳解】

B.F1

(1)十7=彳時，AE〃平面3GF,證明如下：

&A3

延長AE交C。于M.

因為AQ_L平面從844,所以NDB4是直線3。與平面所成的角，即

4084=30。，所以AO二A8tan300=亞.

3

由AEJ_8O,所以Za4E=3O。，DM=ADtan30°=-,

3

在CQ上取點N,使得—,連接MN,AN,

3

B.F124

V=則與尸=一，AF=-=CN，又AF//GN,A/GN是平行四邊

44J33

形，ANMFC],

D、N=DM、D[N"DM,0NMD是平行四邊形，

MNHDD、".MN=DD、=隊，..A,4MN是平行四邊形，」.AMH\N

AM//C}F,又AW<z平面8G產(chǎn)，C/u平面Bq尸，AM//平面BQ產(chǎn)，即

AE〃平面5G尸.

Lx巫乂2=空

23

由長方體性質(zhì)可得8尸=J5，3D=-Y-,DF=--,BF2+FD2=BD2>

33

BF1DF，

??5/=乂必叵=晅,設A到平面B￡>F的距離為人則由匕也”=匕.AW

233

(3)作EP_LA5,垂足為P,作PQ_L3。于。，連接FQ,則即_L平面A8CO,

3￡)u平面A8C。，.?FP工BD，同理FP_LPQ,

FPDPQ=P,五P,尸。u平面FPQ,「.8￡>_L平面FPQ,

而尸Qu平面/PQ,「.8OJ.b。，/.NbQP是二面角尸一BD—A的平面角，

設37二工，(0<x<2),則由BB/P是矩形得BP=x,FP=BB、=\,

則尸。二小出30。二},

2

tanZFQP=-^=-e(l,+oo),NFQP是銳角，「..

PQx142J

(兀7T\

???二面角尸一30—A的范圍是

【點睛】

方法點睛：本題考查線面平行的性質(zhì)與判定，考查等體積法求點到平面的距離，考查二面

角.求點到平面的距離的方法有三種：一是根據(jù)定義作出點到平面的垂線段，求出垂線段

的長即得，二是等體積法，三是空間向量法.用定義法求二面角注意三個步驟：一是作出

二面角的平面角，二是證明作出的角是二面角的平面角，三是計算.

24.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)連接AE,可知尸為AE的中點，利用中位線的性質(zhì)可得出歹G〃4C,再利用線面

平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出BE1平面48C,可得出AC_L8E,再利用勾股

定理可得出AC1BC,利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.

【詳解】

（1）證明：連接AE.

,??四邊形A3a）為正方形，尸為的中點，.?./為AE的中點，

又?.?G為CE的中點，所以，F(xiàn)GHAC,

?.?AGq：平面A8C,A。（=平面48。，「.「6〃平面48。；

（2）證明：???四邊形ABED為正方形，.?.龐：_LA5，

因為平面ABED_L平面