新教材蘇教版必修第二冊11解三角形

第11章解三角形

11.1余弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一已知兩邊及其夾角解三角形

1.（2021江蘇江浦高級中學(xué)高一期中）在△Z6C中4年3,2企1,1=120。，則BC=

（）

A.V7B.V10C.V13

2.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)高一月考）已知AZ比中，角力以。所對的邊分別為a,b,c,若

a=10,Z^15,6^60°,則cos展（）

,V75V7V75V7

A.Dn.-----------

14141414

3.（2020江蘇啟東中學(xué)高一期中）在回中，除&力年仇&8是方程*-28牙+2=0的

兩個根，且2cos（4+約=1,則邊力￡的長為（）

B.V10C.V5

4.在△力歐中，角4旦。所對的邊分別為名仇c,已知a-2V3,c=V6+V2,^45。，解此三

角形.

深度解析

題組二已知三邊（或三邊關(guān)系）解三角形

5.在回中，角所對的邊分別為名仇G且界8看+企附則角￡的大小是

（）

6.邊長分別為1,代,2a的三角形的最大角與最小角的和是（）

7.（2020江蘇無錫羊尖高級中學(xué)學(xué)情檢測）已知a、b、。分別為的內(nèi)角4B、

。所對的邊,若滿足（齊止。）?（KZ^c）=a"則角。的大小為（）

OOOO

8.（2021江蘇阜寧中學(xué)高一期中）等腰42%中，角力以。所對的邊分別為a/,G如果

等腰回的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角。的余弦值為.

題組三已知兩邊及其一邊的對角解三角形

9.設(shè)△板的內(nèi)角4%的對邊分別為a,b,c.若a=2,c-2何cos1=今且沃c,則b=

（）

A.V3V2

10.（2020江蘇蘇州高一期中）在△26。中，已知a=V7,c=3J=60。，則爐.

11.（2021江蘇石榴高級中學(xué)高一月考）已知在△Z6C中，角力以。所對的邊分別為

a,5,c,且l^V3,c=3,B=3Q。，解此三角形.

題組四利用余弦定理判斷三角形的形狀

12.（2021山東煙臺一中高一期中）在中，若荏2一配2=荏?前，則△26。的形

狀為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

13.（2020江蘇泰州中學(xué)高一期中）在△力勿中,cos?畀等（a,仇c分別為角4%的對

邊），則△力￡。一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

14.（2021江蘇徐州七中高一月考）在AZa中，角4打。所對的邊分別為a/,c,已知

a：6：c=2：4：5,則△力式的形狀為.

題組五余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

15.（2021江蘇三倉中學(xué)高一月考）某學(xué)校體育館的“人”字形屋架為等腰三角形,如圖,

測得Z￡Mm,N/=30°,則其跨度力￡的長為（）

C

AR

V3mV3m

16.（2020江蘇武進(jìn)高級中學(xué)期中）我艦在島Z南偏西50°方向相距12nmile的B

處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島A沿北偏西10°的方向航行，若我艦以28nmile/h的速度用lh

追上敵艦，則敵艦的速度為nmile/h.

能力提升練

題組一利用余弦定理解三角形

1.（2021江蘇啟東中學(xué)高一月考,*：）若a,a+l,K2是銳角三角形的三邊長，則a的取

值范圍是（）

A.Ka<3B.a>lC.a>3D.0<a<l

2.（多選）（2020江蘇江陰二中、要塞中學(xué)高一期中聯(lián)考，嫡）在△47。

中,力展建,4年1,廬士則角力的可能取值為（）

6

A，2B.JC.§D.[

6332

3.（多選）（2021江蘇泗陽中學(xué)高一月考，箱）在中，角力以。所對的邊分別為

a/,c,若養(yǎng)4+尿,則角力可以為（）

A.—B.-

44

C.XD.?

123

4.（2020江蘇響水中學(xué)高一階段測試，姨）在回中，角4B、。所對的邊分別為冬

b、c,且cos竿=g,a=3,g/7,則c的值為.

5.（2020江蘇震澤中學(xué)高一學(xué)情檢測,婚）已知三角形的三邊長為三個連續(xù)自然數(shù),

且最大角是鈍角.求這個三角形三邊的長.

題組二利用余弦定理判斷三角形的形狀

6.（2020江蘇啟東中學(xué)高一期中，箱）在△Z6C中，角力以。的對邊分別為a,b,c若

警=也&,則該三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

7.（2020江蘇智賢高級中學(xué)階段檢測,"）已知△Z6C的內(nèi)角力以。所對的邊分別為

a,6,c,（a+加c）（a+6c）=3aS且2cosZsin廬sinC則△力是（深度解析）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

題組三余弦定理的綜合應(yīng)用

8.（2021江蘇響水中學(xué)高一期中，母）在△Z6C中,4^9,//=60°，。點(diǎn)滿足

麗=2麗,/氏后，則比的長為（）

V7V6V3

9.（多選）（2021江蘇吳江中學(xué)高一月考,小）在式中，角4B、。所對的邊分別為

a、b、c,則下列能確定。為銳角的有（）

k.AC?C5>0

B.a2+^2>c2

C.A￡均為銳角，且sin給cos方

y4+tan^tan6>0

10.（2020江蘇啟東中學(xué)高二質(zhì)量檢測,箱）在△/回中，內(nèi)角的對邊分別為

且滿足廬Hgcos廬設(shè)瓦？?前V則△Z6C三邊a,b,c的長度分別

42

為.

11.（*0在△26。中,a/,c分別為角46,。的對邊，且2sin*sine2sinZcosC

⑴求4

（2）若gAsinZ=4W,求a的取值范圍.

12.（2020江蘇宜興第一中學(xué)階段測試,*）△力%的三個內(nèi)角力以。的對邊分別是

a,仇°,且齊優(yōu)Z?+c）,求證：Z=2￡.

答案全解全析

第n章解三角形

H.1余弦定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C由余弦定理得￡d=Zd+Z4一AB-COSJ=9+1-2X3X1X(-1

：.B(=^3.故選C.

2.A由余弦定理得[2=4+方2_2a6cos用100+225-2X10X15X9175,

J67=5V7,

.2_。2+42一廬__100+。75—225—V7

**2ac2x10x57714*

故選A.

3.B由題意得卜+b=2g,

vab=2,

VcosC=cos[n_(A+m]

=-cos(/+功=],

4^=3?+9-2aseos△aN+Aa歸a+6)2-a歸275)2-2=10,

：.AB=y[w.

4.解析/j=a+c-2accosB

=(2V3)2+(V6+V2)-2X2V3X(V6+V2)Xcos45°

=12+(V6+V2)-4V3X(V3+1)=8,

b=2短.

\'cosA=^^

2bc

二(2夜)2+(通+魚)2一(2百)2二1

2x2V2x(V6+V2)2J

：.A=60°,：.(=75O.

解題模板

已知兩邊及其夾角解三角形時，可先用余弦定理建立關(guān)于第三邊的方程，求第三邊,

再運(yùn)用余弦定理的另一種形式求其他的角.

5.Aa-l)-c^y[2ac,/.

由余弦定理得C0S企，c2工二變二停

2ac2ac2

(0,JI),.*.5=45°.故選A.

6.C由題意可得，邊長為西的邊對的角不是最大角，也不是最小角，

設(shè)邊長為代的邊所對的角為。，則由余弦定理可得cos?？傚骺?...”45°,

故三角形的最大角與最小角的和是180°-45°=135

7.C?.,(a+6c)(a+Z?+c)=aS,

...a2+ZM=_a6,即^^=總

/.cos^-1,/.0=120°.

8.答案oZ

解析設(shè)周長為1,由題意可知l=5c,所以a=b=2c,

由余弦定理得COS"2丈"=4;2*4c2K

2ab2x2cx2c8

9.B由余弦定理得于可+僅⑸2乂方利四乂景即人6出8=0,解得b=2或爐4,

因?yàn)榉詁=2.

10.答案1或2

解析由a2=9+c2_26ccos4得7=%9-66X；,所以為3出2=0,解得爐1或b=2.

11.解析由廬才+[2-2&g05￡,可得(旬2=]+32-2)<3*3*(：0530°,

所以，-3ga+6=0,解得a=g或a=2V3.

當(dāng)a=V5時,a=6,所以A=^=30,(^=120；

當(dāng)a=2VMcosZ更妒啜裝=0,所以4=90°Q60°.

12.D設(shè)在中，內(nèi)角4耳。的對邊分別為a/,c.

因?yàn)橹?就J方.元所以c-a-bccQS^bc?筆"匕簡相六界6,

所以△力歐是直角三角形.故選D.

13.B?.?cos2g=叱,，2cos22=Q,R[]1+cos廬比,，1+^^=出，整理得^+斤二力

22c2cc2acc

.,.△Z6C為直角三角形.

14.答案鈍角三角形

解析因?yàn)閍：8：c=2：4：5,所以可令a=2k,K4k,c=bk[k>0).

則角C最大,cost*吟劈2：；(5貯=-登0,所以C為鈍角，所以△四。為鈍角三角形.

ZXZ/CX4/CJ.O

15.答案D

信息提?、僭诘妊切蜗?。中乙4=30°；②三角形中已知兩邊及其中一

邊的對角，求另一邊.

數(shù)學(xué)建模以生活中的“人”字形屋架為背景,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，求解三角形中的邊長問

題.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及余弦定理求力￡的長即可.

解析因?yàn)椤?6。是等腰三角形，所以B(=A(=4m,ZB=ZA=30。，所以NSd20°,

由余弦定理得，力尻山2+42-2X4X4xCOS120。=4g(m).故選D.

16.答案20

解析設(shè)敵艦的速度為Himile/h,我艦在。處追上敵艦，如圖，由題意得N

BAC=120,J^=12nmile,J^KXl=y(nmile),^^28Xl=28(nmile),

在AABC中，由余弦定理得BG=AE+AG-2AB?Z&osN掰伐12?+落

2X12XPXCOS120°=784,解得420(尸-32舍去)，即敵艦的速度為20nmile/h.

C[北

/\10°

H

能力提升練

1.C因?yàn)槿切问卿J角三角形,所以最大邊長a+2對應(yīng)的角為銳角，設(shè)該角為。，

所以cos吃:'+2/>o,即#_2廿3>0,解得a>3或a<-l,

又a>0,所以a>3.

故選C.

2.AD由余弦定理相AG=BG+Bh2BC?BA?cos^%+3-2￡CXKX堂1,解得BOI

或給2.

當(dāng)BOX時,/田式;為等腰三角形，所以上展三O；

當(dāng)BO2時，初+—=￡自此時△力比為直角三角形，所以Z帶.

綜上，角力的可能取值為名或全

3.BC由余弦定理得a^l)+c-2bccosA,

又a=l}+bc,lf+bc=l)+c-2bccosA,

整理彳導(dǎo)cos^g.

對于A,若/筆則cos/=S=-今則c=(l-仞僅0,故A錯誤；

對于B,若有,則cos/=新爭則c=(l+仞6>0,故B正確；

對于C,若/專，則cosZ=1J=誓則。=^^〉0,故C正確；

對于D,若/=g,則cosZ=1^=W，則c=。，故D錯誤.

故選BC.

4.答案1或2

解析在△26。中,Z+6+en,

cos—=cos—=sin-=i,

2222'

由bJ/+02-2Hccos打得。2-36?+2=0,解得或c-2.

5.解析設(shè)三角形三邊的長分別為〃最大角為a

222

?ccgzy-n4-(n+l)-(n+2)

a是鈍角,/.COSQ<0,

?n2+(n+l)2-(n+2)2/n

**2n(n+l)3

,.,27?(??+1)>0,

772+(/7+1)2-(7?+2)2<0,

.,.772-27^3<0,/.-l<77<3.

VzzGN*.*./?=1或n=2.

當(dāng)n=\時,1,2,3不能構(gòu)成三角形的三邊，故舍去.當(dāng)n=2時，符合題意.

故2,3,4即為所求三邊的長.

636鬻*，acos￡切。

由余弦定理可得axRbX*，整理可得/啰+l2_a2戶夕①

V1=V2,：.甘:2甘②

由①②得l2=3養(yǎng)才+左

該三角形是直角三角形.

7.D由(a+Z?+c)(a+Z?-c)=3a6得a+l)-c=ab,

由余弦定理得COS"2；二二黑片,

2ab2ab2

又0〈伏兀，所以△小

因?yàn)?cos/sia5=sinC所以2cos/sio5=sin(/+功=sin/cosHcos/sin用

貝ijsin/cos6cosAsin企0,

即sin(/-5)=0,

又0T筲,0〈水祟所以-半小6管，所以/-廬0,即A=B,

故△/歐為等邊三角形.

歸納總結(jié)

在判斷三角形形狀時注意以下結(jié)論的應(yīng)用：

222

△A8C為直角三角形或^=a+c或c=a+t)',

△力回為銳角三角形04+62〉02且毋+1^且/+且2〉代

△N6C為鈍角三角形<=>才+欣(？或sz+cta2或c+a2<^2.

8.A因?yàn)榉?2方，

所iikAD=AB+BD=AB+^BC=AB+^(AC-AB)~AB+^AC,

設(shè)力忙x,貝lj而2=G荏+』就了即37=i/+iXjrX9Xcos60。+、X9；

即2V+9k126=0,解得產(chǎn)6或產(chǎn)-?，

因?yàn)閤〉0,所以產(chǎn)6,

即AB=6,

所以BC=y]AB2+AC2-2AB-71Ccos60o=^62+92-2X6X9x1=3V7.

故選A.

9.BCD對于A,就?話=-3?有=-磊|T利cosOO,可得cosCO,則。為鈍角，故A

不滿足條件；

對于B,由余弦定理可得cos6^*〉0,則C為銳角，故B滿足條件；

對于為銳角,.￡也為銳角，

〈sin給cos展si嚕⑹,且函數(shù)戶sinx在(o,習(xí)上單調(diào)遞增4臺￡均在(0,?

內(nèi),.?.啰-旦則A+B>1，Ji-(4+功《，故C滿足條件;

對于D,若△力%為直角三角形，則tan/、tanHtan。中有一個無意義,不符合題意,

?.,/+班小幾，，/+后冗-C

?'?tan(Z+5=tan(兀一6)二一tanC

由tan(4+0二：；煞；：；；得tanJ+1an^=tan(^4+5)(1-1anJtan5),

/.tari24+tan^tanC=tan(J+j5)(l-tanJtan^+tanC=tan62-tan6(l-

tanJtan5)=tanJ?tan^tan6>0,

由于△力比中至少有兩個銳角，則tan/、tan8tan。中至少有兩個正數(shù)，

故tan/、tan反tan。均為正數(shù),從而知。為銳角，故D滿足條件.

故選BCD.

10.答案1,企,2或2,企,1

解析