空間直線、平面的平行教案

8.5空間直線、平面的平行

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、平行線的傳遞性

基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

符號(hào)表示：a〃6,b//c=>a//c.

知識(shí)點(diǎn)二、等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

知識(shí)點(diǎn)三、直線和平面平行的判定

文字語(yǔ)言：直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平

面平行.簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行.

圖形語(yǔ)言：

a

符號(hào)語(yǔ)言：aBa、bua,allbnalla.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)用該定理判斷直線。與平面a平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：

①直線a在平面a外，即a(za；

②直線b在平面a內(nèi)，即Aua；

③直線a,b平行，即?！╞.

這三個(gè)條件缺一不可，缺少其中任何一個(gè)，結(jié)論就不一定成立.

知識(shí)點(diǎn)四、兩平面平行的判定

文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

圖形語(yǔ)言：

y7

符號(hào)語(yǔ)言：若aua、bua,a\}b=A,且a〃/7、bll/3,則tz〃/.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)定理中平行于同一個(gè)平面的兩條直線必須是相交的.

(2)定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可概述為：線面平行n面面平

行.

知識(shí)點(diǎn)五、判定平面與平面平行的常用方法

1.利用定義：證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，有時(shí)直接證明非常困難，往往采用反證法.

2.利用判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行

于另一個(gè)平面，于是這兩個(gè)平面平行，或在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交

的直線平行.

3.平面平行的傳遞性：即若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行.

知識(shí)點(diǎn)六、直線和平面平行的性質(zhì)

文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡(jiǎn)記為:

線面平行則線線平行.

符號(hào)語(yǔ)言：若alla,auB,cc^/3=b,則?！?

圖形語(yǔ)言:

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡(jiǎn)述為“若線面平行，則線線平行”.可以用符號(hào)表示:若?！╝,auB,

a^/3=b,則?！?.這個(gè)性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理，用該定理判斷直線。與6平行

時(shí)，必須具備三個(gè)條件：(1)直線a和平面a平行，即a〃a；(2)平面a和4相交，即￡口/=人；

(3)直線a在平面夕內(nèi)，即au/7.三個(gè)條件缺一不可，在應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)，要防止出現(xiàn)“一條直線

平行于一個(gè)平面，就平行于這個(gè)平面內(nèi)一切直線”的錯(cuò)誤.

知識(shí)點(diǎn)七、平面和平面平行的性質(zhì)

文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.

符號(hào)語(yǔ)言：若aII0,/?門(mén)/=匕，則。〃Z?.

圖形語(yǔ)言:

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理.

(2)已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的所有

直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線(否則將導(dǎo)致這

兩個(gè)平面有公共點(diǎn)).

知識(shí)點(diǎn)八、空間平行關(guān)系的注意事項(xiàng)

直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，揭示了線線平行、線面平行、面面平行之

間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，具體轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖所示.

線線平行

判定定理

線面平行面面平行

定義

【典型例題】

題型一基本事實(shí)4的應(yīng)用

例1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知棱長(zhǎng)為。的正方體ABCD-AB'C'D中，M,N分別為CD,的

中點(diǎn).求證：四邊形WC'是梯形.

【解析】

證明：如圖所示:

連接AC,

由正方體的性質(zhì)可知：

AA'=CC,AA'//CC,

，四邊形AA'C'C為平行四邊形，

：.A'C'=AC.A'C'UAC,

又,：M,N分別是CDAO的中點(diǎn)，

J.MN//AC,S.MN=^AC,

：.MN//A。且MN^A'C.

四邊形MAM。是梯形.

解題技巧(證明兩直線平行的常用方法)

(1)利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊，三角形的中位線與底邊;

(2)定義法:即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；

(3)利用基本事實(shí)4:找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.

例2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在三棱錐S-ABC中，M,N,E,尸分別為棱SA,SC,AB,BC

的中點(diǎn)，試判斷直線跖V與直線EF是否平行.

【解析】

在三棱錐5-ABC中，M,N分別為棱SA,SC的中點(diǎn)，則有MN//AC,

而E,尸分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，則有EF7/4C,

由平行公理得：MN//EF,

所以直線與直線所平行.

例3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A/BQ。/中的平面AQ內(nèi)有一點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸作

棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫(huà)?并說(shuō)明理由.

【解析】

如圖，在平面4B/G5內(nèi)過(guò)P作直線E歹〃B/G,交AiBi于E,交C/D/于尸,

直線E尸即為所求.

理由如下：由即〃BC7,BC//B1C1,貝l」￡F〃8C

題型二等角定理的應(yīng)用

例4.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若=且。A〃aA，04與O內(nèi)方向相同，則下列結(jié)論正

確的有（）

A.。2〃。4且方向相同B.OB〃O、B1,方向可能不同

C.。2與。血不平行D.。3與。由不一定平行

【答案】D

【解析】

當(dāng)NAOB=/4O/B/時(shí)，且。4〃0/4,04與0M/的方向相同，

0B與OiBi是不一定平行.

故選：D.

解題技巧（應(yīng)用等角定理的注意事項(xiàng)）

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).注意觀察兩角的方向是否相同，若

相同，則兩角相等；若不同，則兩角互補(bǔ).

例5.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)ZA和的兩邊分別平行，若ZA=45。，則的大小為.

【答案】45?；?35°

【解析】

【詳解】

根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

故答案為：45。或135。.

例6.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）空間中有兩個(gè)角a、夕，且角a、尸的兩邊分別平行.若°=60、，則尸=

【答案】60°或120。

【解析】

因?yàn)榻莂與夕兩邊對(duì)應(yīng)平行，但方向不確定，所以。與月相等或互補(bǔ)，故尸=60。或120。.

故答案為：60?；?20。.

例7.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-A4G中，M,N,尸分別為AA-BB,,CG的中

點(diǎn).求證：ZM3N=NAPB.

【解析】

證明：因?yàn)镹,P分別是2片，CG的中點(diǎn)，所以BN//CF，BN=GP,

所以四邊形8PGN為平行四邊形，所以GN//8P.

同理可證GM//AP,

又NMGN與44PB方向相同，所以NMGN=NAPB.

題型三直線與平面平行的判斷定理的理解

例8.（2022?湖北?武漢市第十五中學(xué)高二期末）若直線。不平行于平面a,則下列結(jié)論正確的是（)

A.a內(nèi)的所有直線均與直線。異面B.直線。與平面a有公共點(diǎn)

C.。內(nèi)不存在與。平行的直線D.a內(nèi)的直線均與。相交

【答案】B

【解析】

若直線a不平行與平面a,則直線a與平面a相交或在平面內(nèi).

A：a內(nèi)的所有直線均與直線。異面錯(cuò)誤，也可能相交，故A錯(cuò)誤；

B：直線。與平面a相交或直線a在平面a內(nèi)都有公共點(diǎn)，故B正確；

C：平面a內(nèi)不存在與。平行的直線，錯(cuò)誤，

當(dāng)直線a在平面a內(nèi)就存在與a平行的直線，故C錯(cuò)誤；

D：平面a內(nèi)的直線均與a相交，錯(cuò)誤，也可能異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B

解題技巧（判定定理理解的注意事項(xiàng)）

(1)明確判定定理的關(guān)鍵條件.

(2)充分考慮各種可能的情況.

(3)特殊的情況注意舉反例來(lái)說(shuō)明.

例9.(2022?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末)如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱

的中點(diǎn)，則下列各圖中不能滿(mǎn)足MV//平面ABC的是()

【答案】B

【解析】

對(duì)于A選項(xiàng)，由下圖可知〃?？?AC,W平面A3C,ACu平面ABC,所以MN〃平面A3C,故選

項(xiàng)A不符合題意.

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)H是EG的中點(diǎn)，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，ABUNH,MN//AH//BC,AM//CH,所

以A,6六點(diǎn)共面，故MNu平面ABC,因此選項(xiàng)B符合題意.

對(duì)于C選項(xiàng)，由下圖可知MN//Z）E//BC,w平面ABC,8Cu平面A5C,所以MN〃平面ABC,故選

項(xiàng)C不符合題意.

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)ACcNE=O,由于四邊形AECN是矩形，所以。是AE中點(diǎn)，由于B是"E中點(diǎn)，所以MV//8D,

由于MNS平面ABC,BDu平面A5C,所以MN〃平面ABC,故選項(xiàng)D不符合題意.

故選：B

例10.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于直線相，〃和平面a,下列命題中正確的是（

A.如果加ua,riHa,m,〃是異面直線，那么〃〃a

B.如果加ua,m,〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果加ua,nila,m,〃共面，那么相〃幾

D.如果加〃a,nila,m,幾共面，那么m//n

【答案】C

【解析】

對(duì)于A,如圖①，此時(shí)〃與a相交，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B,如圖②，此時(shí)機(jī)，〃是異面直線，而〃與a平行，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C,如果加ua,nila,則相〃〃或者如〃異面，又m,〃共面，那么相〃外故選項(xiàng)C正確

對(duì)于D,如圖③，相與〃相交，故選項(xiàng)D不正確.

題型四直線與平面平行的判定

例11.（2022?陜西漢中?高一期末）如圖，在直三棱柱A5C-44G中，點(diǎn)。為45的中點(diǎn)，ZASC=90°,

AB=BC=2,抽=2"

B

證明：BC//平面AOG.

【解析】

證明：連接AC,交AC］于“，連接OM,因?yàn)锳BC-AAG是直三棱柱，所以/為AC中點(diǎn)，而點(diǎn)。為

的中點(diǎn)，

所以O(shè)M〃3C,

因?yàn)锽CO平面AOG，0"￡=平面4。弓，

所以8C//平面AOC-

解題技巧：(判定定理應(yīng)用的注意事項(xiàng))

(1)欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行解決.

(2)判斷定理中有三個(gè)條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求.常常利用平行四邊形、三角形中位線、等

比例線段、相似三角形.

例12.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，已知四邊形ABC。是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線

段斯的中點(diǎn).求證：A0〃平面BOE.

【解析】

設(shè)AC與交于點(diǎn)0,連接。E,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以AO=《AC,

因?yàn)樗倪呅蜛C正是矩形，

所以AC〃所，AC=EF,

因?yàn)镸是線段E/的中點(diǎn)，所以￡70=：所,

所以A0=EM,AO//EM,

所以四邊形AOEM為平行四邊形，

所以AM〃0E,

因?yàn)镺Eu平面BDE,AMs平面BDE,

所以AM〃平面應(yīng)）E,

例13.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCO-ABCQ中,N分別為4?和CG的中點(diǎn).求

證：MN//平面A2CD

【解析】

在正方體ABC。-A4G2中，取AB中點(diǎn)E,連接CE,ME,如圖,

因M是AB的中點(diǎn)，則AffiZ/AA/〃CG,.0.ME=—AA1=—CC1,

又N是CG的中點(diǎn)，于是得ME//CN,且ME=CN,則有四邊形CEMN是平行四邊形，

仄而有MN//CE,CEu平面ABC。，MN.平面4BCD,

所以MN//平面ABCD

題型五：補(bǔ)全直線與平面平行的條件

例14.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在三棱柱ABC-a4G中，D,E分別是線段BCCQ的中點(diǎn)，在線段A8

上是否存在一點(diǎn)M,使直線OE//平面A"C?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【解析】

存在.

證明：如圖，取線段A3的中點(diǎn)連接4M,MC，ACAG，

設(shè)。為ACAG的交點(diǎn)，則。為4。的中點(diǎn).

連接則分別為44BC,AACG的中位線，

所以MD//AC,MD=^AC,OEHAC,OE=|AC,

因此MD//OE,MD=OE,

連接ON,從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE〃MO.

因?yàn)橹本€DEO平面AMC,MOu平面AMC,

所以直線DE//平面AMC.

即線段AB上存在一點(diǎn)M（線段A3的中點(diǎn)），使直線DE//平面AMC.

解題技巧：（判斷或證明線面平行的常用方法）

（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理（aCa,bua,a//b=>a//a）,其關(guān)

鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言的敘述；（3）利用面面平行的性質(zhì)

定理（a〃尸，auana〃⑼；（4）利用面面平行的性質(zhì)（a〃夕，a（t/3,a//a^>a///3）.

例15.（2021?廣東順德?高一階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)、E,F,G分別為線段BC,

PB,AD的中點(diǎn).

（1）證明：砂〃平面PAC；

（2）在線段3。上找一點(diǎn)使得四〃平面PCG,并說(shuō)明理由.

【解析】

（1）證明：：E、F分別是BC,3尸中點(diǎn)，

AEF//PC,S.EF=-PC

2

；PCu平面PAC,平面PAC,

EFU平面PAC；

（2）如圖，設(shè)AE,GC與50分別交于N,/兩點(diǎn)，

易知尸，N分別是8P,中點(diǎn)，

FN//PM,S.FN=-PM

2

平面PGC,WVU平面尸GC,

7W〃平面PGC,

即N點(diǎn)為所找的H點(diǎn).且〃為2。的三等分點(diǎn)

例16.(2020?河南?高一階段練習(xí))如圖所示，三棱柱ABC-A4G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱AA，

底面ABC,點(diǎn)E,尸分別是棱CG，網(wǎng)上的點(diǎn)，點(diǎn)/是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB=2.

(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，5M//平面AEF?

(2)若〃平面AE尸，判斷所與板的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；并求與力■所成的角的余弦值.

【解析】

(1)如圖所示：

取AE的中點(diǎn)。，連接。尸，過(guò)點(diǎn)。作OMLAC于點(diǎn)

因?yàn)镋C_LAC,OM,ECu平面ACGA，

所以O(shè)M//EC.

又因?yàn)镋C=2FB=2,EC//FB,

所以O(shè)M//FBS.OM=^EC=FB,

所以四邊形OMB尸為矩形，

所以2M//OF.又OFu平面A￡F,創(chuàng)/S平面AE廣，

故〃平面AEF,此時(shí)點(diǎn)〃為AC的中點(diǎn).

(2)由(1)知，BM//OF,OFr\EF=F

所以2M與*1異面，NOFE就是異面直線與EF所成的角或其補(bǔ)角.

因?yàn)镋C=2EB=2,底面邊長(zhǎng)為2,

所以4尸=斯=如，MB=OF他,OF1AE,

/門(mén)口口OF#Iy/15

所以cosZ.OFE===-----,

EFy/55

所以8M與*'所成的角的余弦值為巫.

5

題型六：直線與平面平行的性質(zhì)

例17.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）有一塊木料如圖所示，已知棱BC平行于平面要經(jīng)過(guò)木料表面

48。。內(nèi)的一點(diǎn)尸和棱2C將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫(huà)線？所畫(huà)的線和平面ABCD有什么關(guān)系？

解：因?yàn)?c〃平面AB'C。，3。匚平面88。。，平面ABCDG平面BB'CC=3'C,

所以8c7/8。

如圖，在平面川。過(guò)點(diǎn)尸作線段EF/AB'C',

所以EF//BC

D'

又EFu平面BEFC,BCu平面3EFC.

連接8E和則BE,CF,ER就是所要畫(huà)的線.

因?yàn)椤闒〃3C,￡Fa平面ABC。，BCu平面ABCD,

所以所〃平面ABCD,而B(niǎo)E,CF顯然和平面ABCD相交.

解題技巧(性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項(xiàng))

(1)欲證線線平行可轉(zhuǎn)化為線面平行解決，常與判定定理結(jié)合使用.

(2)性質(zhì)定理中有三個(gè)條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求.常利用中位線性質(zhì).

例18.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD的底面A2CZ)中，AB//DC.回答下面的問(wèn)題:

(1)在側(cè)面R4B內(nèi)能否作一條線段，使其與QC平行？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出作圖過(guò)程并給出證明；如果不能，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(2)在側(cè)面PBC中能否作出一條線段，使其與AO平行？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出作圖過(guò)程并給出證明；如果不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】

⑴能；

過(guò)OC作一平面，交24于E,交PB于F,則EF即為所求.

證明：?.?￡>C//AB,ABu面BR,DC仁面阿8,

DC//面RW,

面CDEFPI面PAB=EF,

.-.DC//EF-,

⑵①若AD〃BC,則能；

過(guò)A￡）作一平面，交PB于G,交,PC于H,則G8即為所求.

證明：???AD//8CAOU面「3C,BCu面PBC,

:.AD//\^PBC.

面P3C門(mén)面ADHG=HG,

:.AD//GH-

②若AD不平行于3C,則AD與BC必相交于一點(diǎn)，設(shè)為“，

.?.ADc面PBC=M,

在側(cè)面PBC中不能作AD的平行線.

例19.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知尸是口ABCD所在平面外一點(diǎn)，分別是AB,PC的中

點(diǎn)，平面PADA平面PBC=/.

求證：（1）1//BC；

（2）肱V//平面PAD.

【解析】

(1)因?yàn)?C//AO,8CU平面PAD,AZ)u平面RID,

所以BC〃平面MD.

又因?yàn)槠矫鍹CA平面上4。=/,8。匚平面尸3(7,所以5C///.

(2)如圖，取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE,

則AE//CD,且NE=LCD,

2

又因?yàn)锳M〃CD,且AM=；C。，

所以NEV/AM,且NE=AM.

所以四邊形4WZVE是平行四邊形.

所以MN//AE.

又因?yàn)锳Eu平面PAD,MN<Z平面PAD,

所以朋N//平面PAD.

題型七：由線面平行的性質(zhì)判斷比例關(guān)系或點(diǎn)的位置關(guān)系

例20.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA±^ABCD,四邊形ABQ)是正方

形，AB=2R4=4,點(diǎn)E在棱上4上，PC〃平面3DE.

求證：E為叢的中點(diǎn)；

【解析】

證明：連接AC,交3D于點(diǎn)。，連接OE.

?:PC//面BDE,面磯）Ec面B4c=OE,PCU面BDE,PCu面PAC,

PC//OE.

:四邊形ABC。是正方形，BD^AC=O,即。是AC的中點(diǎn).

.?.△PAC中0E是中位線，故E為P4的中點(diǎn).

例21.(2021?山東師范大學(xué)附中高一期中)如圖，四棱錐尸-ABCD中，尸。,平面ABCD,AB//CD,

CD=2AB=2,ABLAD,PD=1,F在線段8上，DC=4DF,BF=—.

'2

(1)求三棱錐D-P3C的體積；

(2)線段以上是否存在一點(diǎn)E,使DE//平面PBF?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若加為AB的中點(diǎn)，在(2)的條件下，過(guò)ME的平面交平面P8D于直線/,求證：MEHI

【解析】

(1)直角梯形A3C。中，由CD=2AB=2,AB±AD,DC=4DF,BF=—,知ZM=1,

2

S&BCD=L1，2=1,

??%-PBC=%-￡>BC=§xSADBcXPZ>=m><lxl=§,

(2)存在點(diǎn)E為線段外的中點(diǎn).

取尸8的中點(diǎn)G,連EG,FG,

由三角形的中位線的性質(zhì)，

EG/1AB,EG=-AB,

2

又DFHAB,DF=^AB,

所以EG〃。尸，EG=DF,所以四邊形。EGb是平行四邊形,

所以DE//FG,

DEC平面PB尸，PGu平面尸所，

所以O(shè)E//平面PBF,

（3）設(shè)過(guò)A/E的平面為a,由（2）知點(diǎn)E為線段P4的中點(diǎn)，又M為AB的中點(diǎn)

MEHPB,

又MEa面PBD,PBu平面PB￡>

/.MEH平面PBD

又面aCl面P3￡>=/,MEcZ平面a

ME//1

例22.（2020.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為菱形，440=60。，。為AD

的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上，且=若24//平面加。8,試確定實(shí)數(shù)，的值.

【解析】

如圖，連接8。AC,AC交8。于點(diǎn)N,交3￡（于點(diǎn)。，連接MN,易知。為30的中點(diǎn).

VBQ,AO分別為正三角形般的邊AO,3。上的中線，

N為正三角形ABD的中心.

設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為。，則AN=」^a,AC=島.

3

?；PA//平面M0B,PAu平面PAC,平面PACA平面=

PA//MN,

V3

PM__AN_3a_￡

~PC~~\C~y/3a-3

1i

即尸M=1PC,.?.實(shí)數(shù)，的值為

題型八：由線面平行的性質(zhì)求長(zhǎng)度問(wèn)題

例23.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-ABCQI中，點(diǎn)〃在A，上移

動(dòng)，點(diǎn)N在3。上移動(dòng)，D、M=DN=a0<a<收）,連接MN.

（1）證明：對(duì)任意ae（0,夜），總有A￡V//平面DCG2；

（2）當(dāng)。為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)度最?。?/p>

【解析】

（1）證明：如圖，作MP//AD,交。2于點(diǎn)尸，作NQ〃BC,交OC于點(diǎn)。，連接尸Q.

MPMD.

因?yàn)锳BCQ是正方形，所以有AD〃BC,因此有MP//NQ,因?yàn)镸P//AD,所以7萬(wàn)=號(hào)，同理可證明

*=呵，因此MP=NQ,則四邊形MNQP為平行四邊形，；.MN〃PQ.又PQu平面DCG2，MNU平

BCDB

面DCCiDl,

MN//平面DCCJDJ.

（2）由（1）知四邊形MNQP為平行四邊形，，肱V=PQ.

,;DDI=AD=DC=BC=1,:.ADI=BD=6,

DPaDQ_a

?.?D]M=DN=a,:.-^~

萬(wàn)1V2'

即*=。。=恭,

2

例24.（2020?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，QE分別是線段BC,CG的中點(diǎn).

B

（1）在線段A8上是否存在一點(diǎn)時(shí)，使直線DE〃平面AMC?

（2）在問(wèn)題（1）中，若存在點(diǎn)則對(duì)點(diǎn)在什么位置？如何證明你的結(jié)論？

【解析】

（1）存在，〃為線段的中點(diǎn)；

（2）/為線段A3的中點(diǎn)，如圖，取線段A8的中點(diǎn)/，連接AM,MC，AC,AG，設(shè)。為AC與AG的交

點(diǎn)，則。為AG的中點(diǎn).

連接MROE,則“。分別為AABC,AAC￡的中位線，所以MD//AC,S.MD=^AC,OE//ACS.

OE=-AC,因此

2=

連接aw,從而四邊形MDEO為平行四邊形，則OE//MO.因?yàn)橹本€。EC平面AMC,MOu平面AMC,所

以直線DE〃平面AMC.所以線段A3上存在一點(diǎn)〃（線段A3的中點(diǎn)），使直線DE//平面.

題型八、平面與平面平行的判定定理的理解

例25.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知加，”為兩條不同的直線，a,夕為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法

正確的是（）

A.若m//n,“ua,則用//aB.若mJ/a,wua,則根〃〃

C.若"zua,nu/3,mlln,則a〃6D.若a〃6,mua,則加//6

【答案】D

【解析】

選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)機(jī)＜=a的情況；

選項(xiàng)B：優(yōu)和〃有可能異面；

選項(xiàng)C：&和4有可能相交；

選項(xiàng)D：由￡///，機(jī)utz,得直線機(jī)和平面夕沒(méi)有公共點(diǎn)，所以相〃尸，

故選：D

例26.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a,6是空間中不同的直線，是不同的平面，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.若a//b,bua,aDa,貝〃￡

B.若aua,bu/3,a〃/3,貝1]a〃Z?

C.若aua,bua,a〃(3,b〃§,貝ija〃夕

D.若tz〃6,6Pl7=6,則a〃/

【答案】AD

【解析】

在選項(xiàng)A中，a//b,b(^a,a(za,由線面平行判定定理得，a//a,故A項(xiàng)正確；

在選項(xiàng)B中，aua,buB，a〃B,則。與匕平行或異面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

在選項(xiàng)C中，aua,bua,b〃B,則a與4相交或平行，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

在選項(xiàng)D中，由面面平行的性質(zhì)定理得D項(xiàng)正確.

故選：AD.

題型九、平面與平面平行的判定

例27.(202「陜西?西安中學(xué)高一階段練習(xí))如圖所示，已知點(diǎn)尸是平行四邊形A3CD所在平面外一點(diǎn)，M,

N,。分別R4,PB,PC的中點(diǎn)，平面P3CPI平面AP￡)=/.

⑴證明平面MNQ//平面ABCD；

(2)求證：IHBC.

【解析】

(1)證明：因?yàn)?，N,。分別Bl,PB,PC的中點(diǎn)，所以“N/MB,NQ//BC,

又MV,NQ<Z平面ABC。，AB,8Cu平面ABC。，

所以MN〃平面ABCD,NQ//平面ABCD,

因?yàn)镸Vp|NQ=N,禰V,N°u平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面ABCD,

(2)證明：因?yàn)?C//A。，AOu平面PAD,BCa平面PAD,

所以BC〃平面PAD,

又平面24。。平面/>3。=/,BCu平面PBC,

所以BC//1.

例28.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))在正方體ABC。-A/B/C/D中，E是棱88/的中點(diǎn).

(1)求證：B/D〃平面ACE.

(2)若尸是棱CG的中點(diǎn)，求證：平面〃平面ACE.

【解析】

⑴連血使80nAe=G,連EG.

?.?ABC。是正方形，BDHAC^G,：.DG=BG.

又；E是BBi中點(diǎn)、，：.BiE=BE,

：.DBi//GE,

又皿s平面ACE,GEI平面ACE,

.?.B/O〃平面ACE.

（2）：E是棱28/的中點(diǎn)，尸是棱CG的中點(diǎn).

...B/E〃的且B/E=CF,.?.四邊形B/ECF是平行四邊形，

：.BiF//CE,又；.與尸0平面ACE,CEu平面ACE,，氏F〃平面ACE,

由（1）8出〃平面ACE,又：DBQBiF=Bi,平面B/I甲〃平面ACE.

例29.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABC。-44CQ中，P,Q,R分別為棱RG，BC,4G

上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，M,N,K分別為線段4P,PQ,QR的中點(diǎn).求證：平面MNK〃平面ABCD.

【解析】

連接42,PR,

在△PAQ中，因?yàn)镸,N,分別為線段AP,尸。的中點(diǎn).

所以?xún)篧//AQ,

又肱V<Z平面A3CD,AQu平面ABCZ),

所以從W//平面ABC，

同理腔〃尸R,因?yàn)榍唬紌平面AB|GR，PRu平面481G2，

所以NK〃平面AgGR，因?yàn)槠矫?BC。//平面A4G2，平面ABCD,

所以NK〃平面A3CD,

又MNcNK=N,故V,NKu平面MAK,

所以平面肱區(qū)〃平面A3CD

題型十、補(bǔ)全平面與平面平行的條件

例30.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知正方體ABC。-44GR中，尸、。分別為對(duì)角線BD、CR上的點(diǎn)，且

CQBP_2

（1）作出平面PQC和平面的交線（保留作圖痕跡），并求證：P。〃平面A2D4;

AR

⑵若R是A3上的點(diǎn)，當(dāng)二育的值為多少時(shí)，能使平面PQR〃平面42OA?請(qǐng)給出證明.

AB

【解析】

（1）連結(jié)CP并延長(zhǎng)與D4的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，則平面PQC和平面AVV）的線為2”,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，所以5C〃的）,

CPBP2

故APBCSKPDM,所以——-=--=—,

PMPD3

COBP2COCP2

又因?yàn)楹?而="所以函=而="所以尸?！?

又M2<=平面A，D4,PQ不在平面A2D4內(nèi),

故PQ〃平面

4/?3

⑵當(dāng)茄的值為嚴(yán)能使平面文〃平面VW.

BRBPby

為=而，所以依

又R4u平面4ROA,PR不在平面ARD4內(nèi),

所以PR〃平面A2DA，又PQcPR=P,P?！ㄆ矫鍭RD4.

所以平面PQR//平面A2D4.

例31.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體A8CD-a旦C.中，。為底面ABCD的中心，P是

的中點(diǎn)，設(shè)。是CQ上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時(shí)，平面，2?！ㄆ矫鍼AO?

【解析】

當(dāng)。為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面尸AO.

連接PQ,因?yàn)椤镃G的中點(diǎn)，尸為4。的中點(diǎn)，所以尸?！―C.

又DCHAB,所以PQ//4?且PQ=A8,

所以四邊形ABQP為平行四邊形，所以Q5//PA.

又PAu平面PAO,平面PAO,

所以B。//平面P4O.連接30,則OeBD,

又。為￡>8的中點(diǎn)，戶(hù)為的中點(diǎn)，

所以尸POu平面尸AO,23cz平面PAO,

所以AB〃平面PAO.

又D[BcBQ=B,所以平面，8。〃平面PAO.

例32.(2021?重慶市第三十七中學(xué)校高一期中)如圖，已知尸是平行四邊形A3CD所在平面外一點(diǎn)，M,N

分別是A3、PC的三等分點(diǎn)(/靠近8,N靠近C)；

(1)求證：MN//平面己4￡).

(2)在尸8上確定一點(diǎn)。，使平面MVQ//平面P").

【解析】

p.

AMB

（1）在線段尸。上取一點(diǎn)G,使得尸G=2GD,因?yàn)镹是PC上靠近C的三等分點(diǎn)，所以PN=2NC,所以

2

GN//CD,S.GN=-CD,又因?yàn)锳/■是AB上靠近B的三等分點(diǎn)，所以=又因?yàn)榈酌鍭BCD為

平行四邊形，所以AB〃CD,S.AB=CD,所以GN//AM,且GN=A",所以四邊形GAM3為平行四邊形，

所以MV//AG,又因?yàn)閃平面PAD,AGu平面R4D,所以MN//平面PAD；

（2）存在點(diǎn)。，點(diǎn)。滿(mǎn)足PQ=2Q8,

證明：因?yàn)镸是A8上靠近8的三等分點(diǎn)，所以/，且PQ=2Q3,

所以。M//PA,又因?yàn)槠矫鍼AD,R4u平面尸AD,所以〃平面PAD,由（1）知MN//平面尸AD,

且QA/nMN=M,QMu平面MNQ,MNu平面MNQ,所以平面MN。//平面E4D.

題型H■?一、平面與平面平行的性質(zhì)

例33.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，D,E,尸分別是出，PB,PC的中點(diǎn).M

是A3上一點(diǎn)，連接MC,N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF,求證：NF//CM.

【解析】

因D,E分別是上4,尸8的中點(diǎn)，則DE//AB,又DEZ平面ABC,ABI平面A3C,

于是得?！?/平面ABC,同理。尸〃平面ABC,且DEcDF=D,u平面。石尸，

則有平面DEF//平面A3C,又平面尸CMc平面DEF=NF,平面尸CMc平面鉆C=CM,

所以NF"CM.

解題技巧（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項(xiàng)）

面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行得到線線平行.證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的

交線，所以構(gòu)造三個(gè)平面:即兩個(gè)平行平面，一個(gè)經(jīng)過(guò)兩直線的平面，有時(shí)需要添加輔助面.

例34.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))在三棱柱ABC-ABC中,

(1)若E,￡G,〃分別是4民4(7,4耳46的中點(diǎn)，求證：平面應(yīng)風(fēng)〃平面3cHG.

An

(2)若點(diǎn)DQ分別是AC,4G上的點(diǎn)，且平面BG。//平面A耳2,試求器的值.

【解析】

(1)尸分別是AB,AC的中點(diǎn),

EF//BC,

,：。（Z平面BCHG,BCu平面BCHG,

二EF〃平面3cHG,

VA.G//EB,AG=EB,

.??四邊形AE5G是平行四邊形，

\EHGB,

又：AEO平面3cHG,GBu平面3CHG,

二AE〃平面2CHG,

又,；AEcEF=E,4及跖＜=平面￡7%],

平面EF&//平面BCHG；

(2)連接A出交A片于0,連接。2，

由平面BCQ//平面ABR,且平面A.BC,n平面BC,D=BC,,

平面A]GC平面=Dfi,

；.BC{I!D{O,

人」D]C,OB

A.D.DC

又由題設(shè)^正變=1,即四=1.

ADDC

題型十二、由面面平行證線面平行

例35.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖①，在直角梯形ABCP中，AP//BC,APLAB,AB=BC=^AP,D

為AP的中點(diǎn)，E,F,G分別為尸C,PD,CB的中點(diǎn),將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABC。，如圖

②.求證:在四棱錐P-ABCD中，AP//平面EFG.

【解析】

在四棱錐尸-ABC。中，E,尸分別為尸C,P。的中點(diǎn)，；.Eb〃CD

,：ABIICD,J.EFUAB.PAB,ABu平面出B,

；.￡F〃平面PAB.

同理EG〃平面PAB.

又EFCEG=E,：.平面EFG〃平面PAB.

平面PAB,

〃平面EFG.

例36.（2021?廣東?珠海市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)高一期中）如圖，已知點(diǎn)尸是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),

M、N分別是A3、PC的中點(diǎn)

(1)求證：MN〃平面B4D；

(2)在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q,使平面MAQ//平面P4D

【解析】

(1)證明：取尸8中點(diǎn)。，連接MQ,N0,

??,M,N分別是的中點(diǎn)，

.-.NQ//BC.

-.■AD//BC,:.NQ//AD,

又N0Z面PA。，24Pu面PAD,

/.NQ!/面PAD.

同理可證：MQ〃面PAD.

又NQu面MNQ,MQI面MN。，NQC]MQ=Q,

二.平面MNQ〃平面，

?.?ACVu平面MAQ,

二MN//平面PAD

(2)解：假設(shè)第一問(wèn)的。即為所求

???Q在尸8的中點(diǎn),

分別是AB、PC的中點(diǎn)，。為PB的中點(diǎn)

:.MQ//PA,S.NQ//AD

則M?！ㄆ矫鍼AD,N。//平面皿＞

且MQcMQ=Q

所以平面MN?！ㄆ矫鍾4D.

所以第一問(wèn)的。點(diǎn)即為所求，當(dāng)。在總的中點(diǎn)時(shí)，平面MN。//平面R4Q.

題型十三、空間平行的轉(zhuǎn)化

例37.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體A8CD-中，經(jīng)過(guò)AQ與B與能否作長(zhǎng)方體的截面？為

什么？

【解析】

如下圖所示：

假設(shè)直線與B片共面，這兩條直線確定平面a,

因?yàn)槠矫?412n〃平面B4GC,平面々n平面9=平面々A平面B4GC=84，則8耳〃4。,

因?yàn)锽耳〃AA，則44〃4Q,矛盾.

故AQ與8國(guó)異面，所以，經(jīng)過(guò)4。與B片不能作長(zhǎng)方體的截面.

例38.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體瓦GR中，M為棱A8的中點(diǎn).

（1）試作出平面與平面A3Q）的交線/,并說(shuō)明理由；

（2）用平面印媽去截正方體，所得兩部分幾何體的體積分別為匕，匕化＜匕），求!的值.

V2

【解析】

解：（1）作法：如圖，連接AC,在平面ABCD內(nèi)過(guò)M作MN〃AC,交BC于N,則直線MN即平面4WG

與平面ABCD的交線I.

理由：因?yàn)槠矫鍭BCD〃平面4262，又平面AMC]n平面ABC=AG，平面H平面ABCD=I,

所以ACJ//.因此，在平面ABC。內(nèi)過(guò)M作肱V//AC,而AC//AC,即MN〃4G，則直線MN即所求

作的交線I.

（2）由（1）知在三角形A3C中，MN//AC,/為棱A3的中點(diǎn)，所以N為棱BC的中點(diǎn).

在正方形M與8中，延長(zhǎng)4M交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸（圖略），所以8為棱男尸的中點(diǎn).由于N為棱2C的

中點(diǎn)，所以延長(zhǎng)GN交瓦B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

所以幾何體MBN-A與C是三棱臺(tái).

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則AMBN的面積S=的面積S'=:,

所以三棱臺(tái)-4內(nèi)儲(chǔ)的體積V=g（5+府+S[a,

另一個(gè)幾何體的體積『=-V=“3-三7/=17,

2424

因?yàn)橛闷矫嫒ソ卣襟w，所得兩部分幾何體的體積分別為匕，匕化（%）,

717V7

所以匕=五。.=五。3,所以廣談

題型十四、線面、面面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例39.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD和矩形ABEF中，AF=AD,點(diǎn)跖N分別位于AE,DB

上，且A"=￡W,矩形ABE/可沿AB任意翻折.

E

(1)求證：當(dāng)尸,A,。不共線時(shí)，線段MN總平行于平面E4Q.

(2)“不管怎樣翻折矩形ABEF,線段總和線段ED平行，”這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)證明；如果不對(duì),

請(qǐng)說(shuō)明能否改變個(gè)別已知條件使上述結(jié)論成立.

【解析】

(1)證明：在平面圖形中，連接MN,交于點(diǎn)G,連接MG,NG.

:四邊形A3CD和四邊形AB跖都是矩形，且A￡>=AF,

AD//BE且AD=BE,

四邊形4汨E是平行四邊形，

AAM//DN.又AM=DN,則四邊形ADNM是平行四邊形

C.MNHAD.

翻折之后，如圖1所示.

圖1

：.MG//AF,NG//AD,

又MGa面E4Z),AFu面E4￡>,NG<z面ADu面

二.MG//面以D,NG//面E4D,又MGcNG=G

平面GW//平面E4D.

又MVu平面GMH,

MN〃平面E4￡).

當(dāng)尸，A,。不共線時(shí)，線段MN總平行于平面N).

(2)這個(gè)結(jié)論不對(duì).

要使上述結(jié)論成立，M,N應(yīng)分別為AE和的中點(diǎn).

翻折后的圖形如圖2所示，連接FB.

圖2

為AE的中點(diǎn)，

也為￡8的中點(diǎn)，F(xiàn)B與DB交于B,即DN與尸”交于艮

FMcDN=B,

.??RW.DV確定一個(gè)平面，即尸，M,D,N四點(diǎn)共面.

又平面FDMWc平面GVM=MN,平面FDNMc平面94=即，平面FQ4//平面GMW,

MN//FD.

解題技巧(空間平行關(guān)系的注意事項(xiàng))

直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，揭示了線線平行、線面平行、面面平行之

間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，具體轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖所示.

例40.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,E,F,G,H分別是正方體"8-48心Q的棱BC,CCi,CD,

44/的中點(diǎn).

求證：(1)EG//平面BB/O/D；

(2)平面2DP〃平面

【解析】

(1)如圖，取藥力的中點(diǎn)O,連接GO,OB,

因?yàn)镺G=gB/G,BE=^BiCi,所以3E=0G