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文檔簡介
8.5空間直線、平面的平行
【知識點梳理】
知識點一、平行線的傳遞性
基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號表示:a〃6,b//c=>a//c.
知識點二、等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.
知識點三、直線和平面平行的判定
文字語言:直線和平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平
面平行.簡記為:線線平行,則線面平行.
圖形語言:
a
符號語言:aBa、bua,allbnalla.
知識點詮釋:
(1)用該定理判斷直線。與平面a平行時,必須具備三個條件:
①直線a在平面a外,即a(za;
②直線b在平面a內(nèi),即Aua;
③直線a,b平行,即?!╞.
這三個條件缺一不可,缺少其中任何一個,結(jié)論就不一定成立.
知識點四、兩平面平行的判定
文字語言:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.
圖形語言:
y7
符號語言:若aua、bua,a\}b=A,且a〃/7、bll/3,則tz〃/.
知識點詮釋:
(1)定理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的.
(2)定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想,即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行,可概述為:線面平行n面面平
行.
知識點五、判定平面與平面平行的常用方法
1.利用定義:證明兩個平面沒有公共點,有時直接證明非常困難,往往采用反證法.
2.利用判定定理:要證明兩個平面平行,只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線,分別證明它們平行
于另一個平面,于是這兩個平面平行,或在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交
的直線平行.
3.平面平行的傳遞性:即若兩個平面都平行于第三個平面,則這兩個平面互相平行.
知識點六、直線和平面平行的性質(zhì)
文字語言:一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為:
線面平行則線線平行.
符號語言:若alla,auB,cc^/3=b,則?!?
圖形語言:
知識點詮釋:
直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“若線面平行,則線線平行”.可以用符號表示:若?!╝,auB,
a^/3=b,則?!?.這個性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理,用該定理判斷直線。與6平行
時,必須具備三個條件:(1)直線a和平面a平行,即a〃a;(2)平面a和4相交,即£口/=人;
(3)直線a在平面夕內(nèi),即au/7.三個條件缺一不可,在應用這個定理時,要防止出現(xiàn)“一條直線
平行于一個平面,就平行于這個平面內(nèi)一切直線”的錯誤.
知識點七、平面和平面平行的性質(zhì)
文字語言:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.
符號語言:若aII0,/?門/=匕,則?!╖?.
圖形語言:
知識點詮釋:
(1)面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理.
(2)已知兩個平面平行,雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面,但是這兩個平面內(nèi)的所有
直線并不一定相互平行,它們可能是平行直線,也可能是異面直線,但不可能是相交直線(否則將導致這
兩個平面有公共點).
知識點八、空間平行關(guān)系的注意事項
直線與平面平行,平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,揭示了線線平行、線面平行、面面平行之
間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,具體轉(zhuǎn)化過程如圖所示.
線線平行
判定定理
線面平行面面平行
定義
【典型例題】
題型一基本事實4的應用
例1.(2021?全國?高一課時練習)已知棱長為。的正方體ABCD-AB'C'D中,M,N分別為CD,的
中點.求證:四邊形WC'是梯形.
【解析】
證明:如圖所示:
連接AC,
由正方體的性質(zhì)可知:
AA'=CC,AA'//CC,
,四邊形AA'C'C為平行四邊形,
:.A'C'=AC.A'C'UAC,
又,:M,N分別是CDAO的中點,
J.MN//AC,S.MN=^AC,
:.MN//A。且MN^A'C.
四邊形MAM。是梯形.
解題技巧(證明兩直線平行的常用方法)
(1)利用平面幾何的結(jié)論,如平行四邊形的對邊,三角形的中位線與底邊;
(2)定義法:即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點;
(3)利用基本事實4:找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.
例2.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在三棱錐S-ABC中,M,N,E,尸分別為棱SA,SC,AB,BC
的中點,試判斷直線跖V與直線EF是否平行.
【解析】
在三棱錐5-ABC中,M,N分別為棱SA,SC的中點,則有MN//AC,
而E,尸分別為棱AB,BC的中點,則有EF7/4C,
由平行公理得:MN//EF,
所以直線與直線所平行.
例3.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在長方體ABCD-A/BQ。/中的平面AQ內(nèi)有一點P,經(jīng)過點尸作
棱BC的平行線,應該怎樣畫?并說明理由.
【解析】
如圖,在平面4B/G5內(nèi)過P作直線E歹〃B/G,交AiBi于E,交C/D/于尸,
直線E尸即為所求.
理由如下:由即〃BC7,BC//B1C1,貝l」£F〃8C
題型二等角定理的應用
例4.(2021?全國?高一課時練習)若=且。A〃aA,04與O內(nèi)方向相同,則下列結(jié)論正
確的有()
A.。2〃。4且方向相同B.OB〃O、B1,方向可能不同
C.。2與。血不平行D.。3與。由不一定平行
【答案】D
【解析】
當NAOB=/4O/B/時,且。4〃0/4,04與0M/的方向相同,
0B與OiBi是不一定平行.
故選:D.
解題技巧(應用等角定理的注意事項)
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.注意觀察兩角的方向是否相同,若
相同,則兩角相等;若不同,則兩角互補.
例5.(2021?全國?高一課時練習)設(shè)ZA和的兩邊分別平行,若ZA=45。,則的大小為.
【答案】45?;?35°
【解析】
【詳解】
根據(jù)等角定理:一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊,則這兩個角相等或互補.
故答案為:45?;?35。.
例6.(2021?全國?高一課時練習)空間中有兩個角a、夕,且角a、尸的兩邊分別平行.若°=60、,則尸=
【答案】60°或120。
【解析】
因為角a與夕兩邊對應平行,但方向不確定,所以。與月相等或互補,故尸=60?;?20。.
故答案為:60。或120。.
例7.(2021?全國?高一課時練習)如圖,三棱柱ABC-A4G中,M,N,尸分別為AA-BB,,CG的中
點.求證:ZM3N=NAPB.
【解析】
證明:因為N,P分別是2片,CG的中點,所以BN//CF,BN=GP,
所以四邊形8PGN為平行四邊形,所以GN//8P.
同理可證GM//AP,
又NMGN與44PB方向相同,所以NMGN=NAPB.
題型三直線與平面平行的判斷定理的理解
例8.(2022?湖北?武漢市第十五中學高二期末)若直線。不平行于平面a,則下列結(jié)論正確的是()
A.a內(nèi)的所有直線均與直線。異面B.直線。與平面a有公共點
C.。內(nèi)不存在與。平行的直線D.a內(nèi)的直線均與。相交
【答案】B
【解析】
若直線a不平行與平面a,則直線a與平面a相交或在平面內(nèi).
A:a內(nèi)的所有直線均與直線。異面錯誤,也可能相交,故A錯誤;
B:直線。與平面a相交或直線a在平面a內(nèi)都有公共點,故B正確;
C:平面a內(nèi)不存在與。平行的直線,錯誤,
當直線a在平面a內(nèi)就存在與a平行的直線,故C錯誤;
D:平面a內(nèi)的直線均與a相交,錯誤,也可能異面,故D錯誤.
故選:B
解題技巧(判定定理理解的注意事項)
(1)明確判定定理的關(guān)鍵條件.
(2)充分考慮各種可能的情況.
(3)特殊的情況注意舉反例來說明.
例9.(2022?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末)如圖,點A,B,C,M,N是正方體的頂點或所在棱
的中點,則下列各圖中不能滿足MV//平面ABC的是()
【答案】B
【解析】
對于A選項,由下圖可知〃。口/AC,W平面A3C,ACu平面ABC,所以MN〃平面A3C,故選
項A不符合題意.
對于B選項,設(shè)H是EG的中點,由下圖,結(jié)合正方體的性質(zhì)可知,ABUNH,MN//AH//BC,AM//CH,所
以A,6六點共面,故MNu平面ABC,因此選項B符合題意.
對于C選項,由下圖可知MN//Z)E//BC,w平面ABC,8Cu平面A5C,所以MN〃平面ABC,故選
項C不符合題意.
對于D選項,設(shè)ACcNE=O,由于四邊形AECN是矩形,所以。是AE中點,由于B是"E中點,所以MV//8D,
由于MNS平面ABC,BDu平面A5C,所以MN〃平面ABC,故選項D不符合題意.
故選:B
例10.(2021?全國?高一課時練習)對于直線相,〃和平面a,下列命題中正確的是(
A.如果加ua,riHa,m,〃是異面直線,那么〃〃a
B.如果加ua,m,〃是異面直線,那么〃與a相交
C.如果加ua,nila,m,〃共面,那么相〃幾
D.如果加〃a,nila,m,幾共面,那么m//n
【答案】C
【解析】
對于A,如圖①,此時〃與a相交,故選項A不正確;
對于B,如圖②,此時機,〃是異面直線,而〃與a平行,故選項B不正確;
對于C,如果加ua,nila,則相〃〃或者如〃異面,又m,〃共面,那么相〃外故選項C正確
對于D,如圖③,相與〃相交,故選項D不正確.
題型四直線與平面平行的判定
例11.(2022?陜西漢中?高一期末)如圖,在直三棱柱A5C-44G中,點。為45的中點,ZASC=90°,
AB=BC=2,抽=2"
B
證明:BC//平面AOG.
【解析】
證明:連接AC,交AC]于“,連接OM,因為ABC-AAG是直三棱柱,所以/為AC中點,而點。為
的中點,
所以O(shè)M〃3C,
因為BCO平面AOG,0"£=平面4。弓,
所以8C//平面AOC-
解題技巧:(判定定理應用的注意事項)
(1)欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行解決.
(2)判斷定理中有三個條件,缺一不可,注意平行關(guān)系的尋求.常常利用平行四邊形、三角形中位線、等
比例線段、相似三角形.
例12.(2021?全國?高一課時練習)如圖所示,已知四邊形ABC。是正方形,四邊形ACEF是矩形,M是線
段斯的中點.求證:A0〃平面BOE.
【解析】
設(shè)AC與交于點0,連接。E,
因為四邊形ABCD為正方形,
所以AO=《AC,
因為四邊形AC正是矩形,
所以AC〃所,AC=EF,
因為M是線段E/的中點,所以£70=:所,
所以A0=EM,AO//EM,
所以四邊形AOEM為平行四邊形,
所以AM〃0E,
因為OEu平面BDE,AMs平面BDE,
所以AM〃平面應)E,
例13.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在正方體ABCO-ABCQ中,N分別為4?和CG的中點.求
證:MN//平面A2CD
【解析】
在正方體ABC。-A4G2中,取AB中點E,連接CE,ME,如圖,
因M是AB的中點,則AffiZ/AA/〃CG,.0.ME=—AA1=—CC1,
又N是CG的中點,于是得ME//CN,且ME=CN,則有四邊形CEMN是平行四邊形,
仄而有MN//CE,CEu平面ABC。,MN.平面4BCD,
所以MN//平面ABCD
題型五:補全直線與平面平行的條件
例14.(2021?全國?高一課時練習)在三棱柱ABC-a4G中,D,E分別是線段BCCQ的中點,在線段A8
上是否存在一點M,使直線OE//平面A"C?請證明你的結(jié)論.
【解析】
存在.
證明:如圖,取線段A3的中點連接4M,MC,ACAG,
設(shè)。為ACAG的交點,則。為4。的中點.
連接則分別為44BC,AACG的中位線,
所以MD//AC,MD=^AC,OEHAC,OE=|AC,
因此MD//OE,MD=OE,
連接ON,從而四邊形MDEO為平行四邊形,則DE〃MO.
因為直線DEO平面AMC,MOu平面AMC,
所以直線DE//平面AMC.
即線段AB上存在一點M(線段A3的中點),使直線DE//平面AMC.
解題技巧:(判斷或證明線面平行的常用方法)
(1)利用線面平行的定義,一般用反證法;(2)利用線面平行的判定定理(aCa,bua,a//b=>a//a),其關(guān)
鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行,證明時注意用符號語言的敘述;(3)利用面面平行的性質(zhì)
定理(a〃尸,auana〃⑼;(4)利用面面平行的性質(zhì)(a〃夕,a(t/3,a//a^>a///3).
例15.(2021?廣東順德?高一階段練習)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點、E,F,G分別為線段BC,
PB,AD的中點.
(1)證明:砂〃平面PAC;
(2)在線段3。上找一點使得四〃平面PCG,并說明理由.
【解析】
(1)證明::E、F分別是BC,3尸中點,
AEF//PC,S.EF=-PC
2
;PCu平面PAC,平面PAC,
EFU平面PAC;
(2)如圖,設(shè)AE,GC與50分別交于N,/兩點,
易知尸,N分別是8P,中點,
FN//PM,S.FN=-PM
2
平面PGC,WVU平面尸GC,
7W〃平面PGC,
即N點為所找的H點.且〃為2。的三等分點
例16.(2020?河南?高一階段練習)如圖所示,三棱柱ABC-A4G的底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱AA,
底面ABC,點E,尸分別是棱CG,網(wǎng)上的點,點/是線段AC上的動點,EC=2FB=2.
(1)當點M在何位置時,5M//平面AEF?
(2)若〃平面AE尸,判斷所與板的位置關(guān)系,說明理由;并求與力■所成的角的余弦值.
【解析】
(1)如圖所示:
取AE的中點。,連接。尸,過點。作OMLAC于點
因為EC_LAC,OM,ECu平面ACGA,
所以O(shè)M//EC.
又因為EC=2FB=2,EC//FB,
所以O(shè)M//FBS.OM=^EC=FB,
所以四邊形OMB尸為矩形,
所以2M//OF.又OFu平面A£F,創(chuàng)/S平面AE廣,
故〃平面AEF,此時點〃為AC的中點.
(2)由(1)知,BM//OF,OFr\EF=F
所以2M與*1異面,NOFE就是異面直線與EF所成的角或其補角.
因為EC=2EB=2,底面邊長為2,
所以4尸=斯=如,MB=OF他,OF1AE,
/門口口OF#Iy/15
所以cosZ.OFE===-----,
EFy/55
所以8M與*'所成的角的余弦值為巫.
5
題型六:直線與平面平行的性質(zhì)
例17.(2021?全國?高一課時練習)有一塊木料如圖所示,已知棱BC平行于平面要經(jīng)過木料表面
48。。內(nèi)的一點尸和棱2C將木料鋸開,應怎樣畫線?所畫的線和平面ABCD有什么關(guān)系?
解:因為3c〃平面AB'C。,3。匚平面88。。,平面ABCDG平面BB'CC=3'C,
所以8c7/8。
如圖,在平面川。過點尸作線段EF/AB'C',
所以EF//BC
D'
又EFu平面BEFC,BCu平面3EFC.
連接8E和則BE,CF,ER就是所要畫的線.
因為£F〃3C,£Fa平面ABC。,BCu平面ABCD,
所以所〃平面ABCD,而BE,CF顯然和平面ABCD相交.
解題技巧(性質(zhì)定理應用的注意事項)
(1)欲證線線平行可轉(zhuǎn)化為線面平行解決,常與判定定理結(jié)合使用.
(2)性質(zhì)定理中有三個條件,缺一不可,注意平行關(guān)系的尋求.常利用中位線性質(zhì).
例18.(2021.全國?高一課時練習)如圖,在四棱錐P-ABCD的底面A2CZ)中,AB//DC.回答下面的問題:
(1)在側(cè)面R4B內(nèi)能否作一條線段,使其與QC平行?如果能,請寫出作圖過程并給出證明;如果不能,請
說明理由;
(2)在側(cè)面PBC中能否作出一條線段,使其與AO平行?如果能,請寫出作圖過程并給出證明;如果不能,
請說明理由.
【解析】
⑴能;
過OC作一平面,交24于E,交PB于F,則EF即為所求.
證明:?.?£>C//AB,ABu面BR,DC仁面阿8,
DC//面RW,
面CDEFPI面PAB=EF,
.-.DC//EF-,
⑵①若AD〃BC,則能;
過A£)作一平面,交PB于G,交,PC于H,則G8即為所求.
證明:???AD//8CAOU面「3C,BCu面PBC,
:.AD//\^PBC.
面P3C門面ADHG=HG,
:.AD//GH-
②若AD不平行于3C,則AD與BC必相交于一點,設(shè)為“,
.?.ADc面PBC=M,
在側(cè)面PBC中不能作AD的平行線.
例19.(2021?全國?高一課時練習)如圖所示,已知尸是口ABCD所在平面外一點,分別是AB,PC的中
點,平面PADA平面PBC=/.
求證:(1)1//BC;
(2)肱V//平面PAD.
【解析】
(1)因為5C//AO,8CU平面PAD,AZ)u平面RID,
所以BC〃平面MD.
又因為平面MCA平面上4。=/,8。匚平面尸3(7,所以5C///.
(2)如圖,取PD的中點E,連接AE,NE,
則AE//CD,且NE=LCD,
2
又因為AM〃CD,且AM=;C。,
所以NEV/AM,且NE=AM.
所以四邊形4WZVE是平行四邊形.
所以MN//AE.
又因為AEu平面PAD,MN<Z平面PAD,
所以朋N//平面PAD.
題型七:由線面平行的性質(zhì)判斷比例關(guān)系或點的位置關(guān)系
例20.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA±^ABCD,四邊形ABQ)是正方
形,AB=2R4=4,點E在棱上4上,PC〃平面3DE.
求證:E為叢的中點;
【解析】
證明:連接AC,交3D于點。,連接OE.
?:PC//面BDE,面磯)Ec面B4c=OE,PCU面BDE,PCu面PAC,
PC//OE.
:四邊形ABC。是正方形,BD^AC=O,即。是AC的中點.
.?.△PAC中0E是中位線,故E為P4的中點.
例21.(2021?山東師范大學附中高一期中)如圖,四棱錐尸-ABCD中,尸。,平面ABCD,AB//CD,
CD=2AB=2,ABLAD,PD=1,F在線段8上,DC=4DF,BF=—.
'2
(1)求三棱錐D-P3C的體積;
(2)線段以上是否存在一點E,使DE//平面PBF?若存在,請確定點E的位置;若不存在,請說明理由.
(3)若加為AB的中點,在(2)的條件下,過ME的平面交平面P8D于直線/,求證:MEHI
【解析】
(1)直角梯形A3C。中,由CD=2AB=2,AB±AD,DC=4DF,BF=—,知ZM=1,
2
S&BCD=L1,2=1,
??%-PBC=%-£>BC=§xSADBcXPZ>=m><lxl=§,
(2)存在點E為線段外的中點.
取尸8的中點G,連EG,FG,
由三角形的中位線的性質(zhì),
EG/1AB,EG=-AB,
2
又DFHAB,DF=^AB,
所以EG〃。尸,EG=DF,所以四邊形。EGb是平行四邊形,
所以DE//FG,
DEC平面PB尸,PGu平面尸所,
所以O(shè)E//平面PBF,
(3)設(shè)過A/E的平面為a,由(2)知點E為線段P4的中點,又M為AB的中點
MEHPB,
又MEa面PBD,PBu平面PB£>
/.MEH平面PBD
又面aCl面P3£>=/,MEcZ平面a
ME//1
例22.(2020.全國?高一課時練習)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面A3CD為菱形,440=60。,。為AD
的中點,點M在側(cè)棱PC上,且=若24//平面加。8,試確定實數(shù),的值.
【解析】
如圖,連接8。AC,AC交8。于點N,交3£(于點。,連接MN,易知。為30的中點.
VBQ,AO分別為正三角形般的邊AO,3。上的中線,
N為正三角形ABD的中心.
設(shè)菱形ABCD的邊長為。,則AN=」^a,AC=島.
3
?;PA//平面M0B,PAu平面PAC,平面PACA平面=
PA//MN,
V3
PM__AN_3a_£
~PC~~\C~y/3a-3
1i
即尸M=1PC,.?.實數(shù),的值為
題型八:由線面平行的性質(zhì)求長度問題
例23.(2021?全國?高一課時練習)如圖所示,在棱長為1的正方體ABCO-ABCQI中,點〃在A,上移
動,點N在3。上移動,D、M=DN=a0<a<收),連接MN.
(1)證明:對任意ae(0,夜),總有A£V//平面DCG2;
(2)當。為何值時,MN的長度最???
【解析】
(1)證明:如圖,作MP//AD,交。2于點尸,作NQ〃BC,交OC于點。,連接尸Q.
MPMD.
因為ABCQ是正方形,所以有AD〃BC,因此有MP//NQ,因為MP//AD,所以7萬=號,同理可證明
*=呵,因此MP=NQ,則四邊形MNQP為平行四邊形,;.MN〃PQ.又PQu平面DCG2,MNU平
BCDB
面DCCiDl,
MN//平面DCCJDJ.
(2)由(1)知四邊形MNQP為平行四邊形,,肱V=PQ.
,;DDI=AD=DC=BC=1,:.ADI=BD=6,
DPaDQ_a
?.?D]M=DN=a,:.-^~
萬1V2'
即*=。。=恭,
2
例24.(2020?全國?高一課時練習)如圖所示,在三棱柱ABC-A4G中,QE分別是線段BC,CG的中點.
B
(1)在線段A8上是否存在一點時,使直線DE〃平面AMC?
(2)在問題(1)中,若存在點則對點在什么位置?如何證明你的結(jié)論?
【解析】
(1)存在,〃為線段的中點;
(2)/為線段A3的中點,如圖,取線段A8的中點/,連接AM,MC,AC,AG,設(shè)。為AC與AG的交
點,則。為AG的中點.
連接MROE,則“。分別為AABC,AAC£的中位線,所以MD//AC,S.MD=^AC,OE//ACS.
OE=-AC,因此
2=
連接aw,從而四邊形MDEO為平行四邊形,則OE//MO.因為直線。EC平面AMC,MOu平面AMC,所
以直線DE〃平面AMC.所以線段A3上存在一點〃(線段A3的中點),使直線DE//平面.
題型八、平面與平面平行的判定定理的理解
例25.(2021?全國?高一課時練習)已知加,”為兩條不同的直線,a,夕為兩個不同的平面,則下列說法
正確的是()
A.若m//n,“ua,則用//aB.若mJ/a,wua,則根〃〃
C.若"zua,nu/3,mlln,則a〃6D.若a〃6,mua,則加//6
【答案】D
【解析】
選項A:有可能出現(xiàn)機<=a的情況;
選項B:優(yōu)和〃有可能異面;
選項C:&和4有可能相交;
選項D:由£///,機utz,得直線機和平面夕沒有公共點,所以相〃尸,
故選:D
例26.(2021?全國?高一課時練習)設(shè)a,6是空間中不同的直線,是不同的平面,則下列說法正確的
是()
A.若a//b,bua,aDa,貝〃£
B.若aua,bu/3,a〃/3,貝1]a〃Z?
C.若aua,bua,a〃(3,b〃§,貝ija〃夕
D.若tz〃6,6Pl7=6,則a〃/
【答案】AD
【解析】
在選項A中,a//b,b(^a,a(za,由線面平行判定定理得,a//a,故A項正確;
在選項B中,aua,buB,a〃B,則。與匕平行或異面,故B項錯誤;
在選項C中,aua,bua,b〃B,則a與4相交或平行,故C項錯誤;
在選項D中,由面面平行的性質(zhì)定理得D項正確.
故選:AD.
題型九、平面與平面平行的判定
例27.(202「陜西?西安中學高一階段練習)如圖所示,已知點尸是平行四邊形A3CD所在平面外一點,M,
N,。分別R4,PB,PC的中點,平面P3CPI平面AP£)=/.
⑴證明平面MNQ//平面ABCD;
(2)求證:IHBC.
【解析】
(1)證明:因為",N,。分別Bl,PB,PC的中點,所以“N/MB,NQ//BC,
又MV,NQ<Z平面ABC。,AB,8Cu平面ABC。,
所以MN〃平面ABCD,NQ//平面ABCD,
因為MVp|NQ=N,禰V,N°u平面MNQ,
所以平面MNQ〃平面ABCD,
(2)證明:因為3C//A。,AOu平面PAD,BCa平面PAD,
所以BC〃平面PAD,
又平面24。。平面/>3。=/,BCu平面PBC,
所以BC//1.
例28.(2021.全國?高一課時練習)在正方體ABC。-A/B/C/D中,E是棱88/的中點.
(1)求證:B/D〃平面ACE.
(2)若尸是棱CG的中點,求證:平面〃平面ACE.
【解析】
⑴連血使80nAe=G,連EG.
?.?ABC。是正方形,BDHAC^G,:.DG=BG.
又;E是BBi中點、,:.BiE=BE,
:.DBi//GE,
又皿s平面ACE,GEI平面ACE,
.?.B/O〃平面ACE.
(2):E是棱28/的中點,尸是棱CG的中點.
...B/E〃的且B/E=CF,.?.四邊形B/ECF是平行四邊形,
:.BiF//CE,又;.與尸0平面ACE,CEu平面ACE,,氏F〃平面ACE,
由(1)8出〃平面ACE,又:DBQBiF=Bi,平面B/I甲〃平面ACE.
例29.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在正方體ABC。-44CQ中,P,Q,R分別為棱RG,BC,4G
上異于頂點的點,M,N,K分別為線段4P,PQ,QR的中點.求證:平面MNK〃平面ABCD.
【解析】
連接42,PR,
在△PAQ中,因為M,N,分別為線段AP,尸。的中點.
所以兒W//AQ,
又肱V<Z平面A3CD,AQu平面ABCZ),
所以從W//平面ABC,
同理腔〃尸R,因為腔<z平面AB|GR,PRu平面481G2,
所以NK〃平面AgGR,因為平面4BC。//平面A4G2,平面ABCD,
所以NK〃平面A3CD,
又MNcNK=N,故V,NKu平面MAK,
所以平面肱區(qū)〃平面A3CD
題型十、補全平面與平面平行的條件
例30.(2021?全國?高一課時練習)已知正方體ABC。-44GR中,尸、。分別為對角線BD、CR上的點,且
CQBP_2
(1)作出平面PQC和平面的交線(保留作圖痕跡),并求證:P。〃平面A2D4;
AR
⑵若R是A3上的點,當二育的值為多少時,能使平面PQR〃平面42OA?請給出證明.
AB
【解析】
(1)連結(jié)CP并延長與D4的延長線交于M點,則平面PQC和平面AVV)的線為2”,
因為四邊形ABC。為正方形,所以5C〃的),
CPBP2
故APBCSKPDM,所以——-=--=—,
PMPD3
COBP2COCP2
又因為函=而="所以函=而="所以尸?!?
又M2<=平面A,D4,PQ不在平面A2D4內(nèi),
故PQ〃平面
4/?3
⑵當茄的值為嚴能使平面文〃平面VW.
BRBPby
為=而,所以依
又R4u平面4ROA,PR不在平面ARD4內(nèi),
所以PR〃平面A2DA,又PQcPR=P,P?!ㄆ矫鍭RD4.
所以平面PQR//平面A2D4.
例31.(2021?全國?高一課時練習)如圖所示,在正方體A8CD-a旦C.中,。為底面ABCD的中心,P是
的中點,設(shè)。是CQ上的點,問:當點。在什么位置時,平面,2?!ㄆ矫鍼AO?
【解析】
當。為的中點時,平面平面尸AO.
連接PQ,因為。為CG的中點,尸為4。的中點,所以尸?!―C.
又DCHAB,所以PQ//4?且PQ=A8,
所以四邊形ABQP為平行四邊形,所以Q5//PA.
又PAu平面PAO,平面PAO,
所以B。//平面P4O.連接30,則OeBD,
又。為£>8的中點,戶為的中點,
所以尸POu平面尸AO,23cz平面PAO,
所以AB〃平面PAO.
又D[BcBQ=B,所以平面,8?!ㄆ矫鍼AO.
例32.(2021?重慶市第三十七中學校高一期中)如圖,已知尸是平行四邊形A3CD所在平面外一點,M,N
分別是A3、PC的三等分點(/靠近8,N靠近C);
(1)求證:MN//平面己4£).
(2)在尸8上確定一點。,使平面MVQ//平面P").
【解析】
p.
AMB
(1)在線段尸。上取一點G,使得尸G=2GD,因為N是PC上靠近C的三等分點,所以PN=2NC,所以
2
GN//CD,S.GN=-CD,又因為A/■是AB上靠近B的三等分點,所以=又因為底面ABCD為
平行四邊形,所以AB〃CD,S.AB=CD,所以GN//AM,且GN=A",所以四邊形GAM3為平行四邊形,
所以MV//AG,又因為W平面PAD,AGu平面R4D,所以MN//平面PAD;
(2)存在點。,點。滿足PQ=2Q8,
證明:因為M是A8上靠近8的三等分點,所以/,且PQ=2Q3,
所以。M//PA,又因為平面PAD,R4u平面尸AD,所以〃平面PAD,由(1)知MN//平面尸AD,
且QA/nMN=M,QMu平面MNQ,MNu平面MNQ,所以平面MN。//平面E4D.
題型H■?一、平面與平面平行的性質(zhì)
例33.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在三棱錐尸-ABC中,D,E,尸分別是出,PB,PC的中點.M
是A3上一點,連接MC,N是PM與DE的交點,連接NF,求證:NF//CM.
【解析】
因D,E分別是上4,尸8的中點,則DE//AB,又DEZ平面ABC,ABI平面A3C,
于是得。£7/平面ABC,同理。尸〃平面ABC,且DEcDF=D,u平面。石尸,
則有平面DEF//平面A3C,又平面尸CMc平面DEF=NF,平面尸CMc平面鉆C=CM,
所以NF"CM.
解題技巧(性質(zhì)定理應用的注意事項)
面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行得到線線平行.證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的
交線,所以構(gòu)造三個平面:即兩個平行平面,一個經(jīng)過兩直線的平面,有時需要添加輔助面.
例34.(2021?全國?高一課時練習)在三棱柱ABC-ABC中,
(1)若E,£G,〃分別是4民4(7,4耳46的中點,求證:平面應風〃平面3cHG.
An
(2)若點DQ分別是AC,4G上的點,且平面BG。//平面A耳2,試求器的值.
【解析】
(1)尸分別是AB,AC的中點,
EF//BC,
,:。(Z平面BCHG,BCu平面BCHG,
二EF〃平面3cHG,
VA.G//EB,AG=EB,
.??四邊形AE5G是平行四邊形,
\EHGB,
又:AEO平面3cHG,GBu平面3CHG,
二AE〃平面2CHG,
又,;AEcEF=E,4及跖<=平面£7%],
平面EF&//平面BCHG;
(2)連接A出交A片于0,連接。2,
由平面BCQ//平面ABR,且平面A.BC,n平面BC,D=BC,,
平面A]GC平面=Dfi,
;.BC{I!D{O,
人」D]C,OB
A.D.DC
又由題設(shè)^正變=1,即四=1.
ADDC
題型十二、由面面平行證線面平行
例35.(2021?全國?高一課時練習)如圖①,在直角梯形ABCP中,AP//BC,APLAB,AB=BC=^AP,D
為AP的中點,E,F,G分別為尸C,PD,CB的中點,將△PCD沿CD折起,得到四棱錐P-ABC。,如圖
②.求證:在四棱錐P-ABCD中,AP//平面EFG.
【解析】
在四棱錐尸-ABC。中,E,尸分別為尸C,P。的中點,;.Eb〃CD
,:ABIICD,J.EFUAB.PAB,ABu平面出B,
;.£F〃平面PAB.
同理EG〃平面PAB.
又EFCEG=E,:.平面EFG〃平面PAB.
平面PAB,
〃平面EFG.
例36.(2021?廣東?珠海市藝術(shù)高級中學高一期中)如圖,已知點尸是平行四邊形ABCD所在平面外一點,
M、N分別是A3、PC的中點
(1)求證:MN〃平面B4D;
(2)在PB上確定一個點Q,使平面MAQ//平面P4D
【解析】
(1)證明:取尸8中點。,連接MQ,N0,
??,M,N分別是的中點,
.-.NQ//BC.
-.■AD//BC,:.NQ//AD,
又N0Z面PA。,24Pu面PAD,
/.NQ!/面PAD.
同理可證:MQ〃面PAD.
又NQu面MNQ,MQI面MN。,NQC]MQ=Q,
二.平面MNQ〃平面,
?.?ACVu平面MAQ,
二MN//平面PAD
(2)解:假設(shè)第一問的。即為所求
???Q在尸8的中點,
分別是AB、PC的中點,。為PB的中點
:.MQ//PA,S.NQ//AD
則M?!ㄆ矫鍼AD,N。//平面皿>
且MQcMQ=Q
所以平面MN?!ㄆ矫鍾4D.
所以第一問的。點即為所求,當。在總的中點時,平面MN。//平面R4Q.
題型十三、空間平行的轉(zhuǎn)化
例37.(2021?全國?高一課時練習)在長方體A8CD-中,經(jīng)過AQ與B與能否作長方體的截面?為
什么?
【解析】
如下圖所示:
假設(shè)直線與B片共面,這兩條直線確定平面a,
因為平面4412n〃平面B4GC,平面々n平面9=平面々A平面B4GC=84,則8耳〃4。,
因為B耳〃AA,則44〃4Q,矛盾.
故AQ與8國異面,所以,經(jīng)過4。與B片不能作長方體的截面.
例38.(2021?全國?高一課時練習)如圖,在正方體瓦GR中,M為棱A8的中點.
(1)試作出平面與平面A3Q)的交線/,并說明理由;
(2)用平面印媽去截正方體,所得兩部分幾何體的體積分別為匕,匕化<匕),求!的值.
V2
【解析】
解:(1)作法:如圖,連接AC,在平面ABCD內(nèi)過M作MN〃AC,交BC于N,則直線MN即平面4WG
與平面ABCD的交線I.
理由:因為平面ABCD〃平面4262,又平面AMC]n平面ABC=AG,平面H平面ABCD=I,
所以ACJ//.因此,在平面ABC。內(nèi)過M作肱V//AC,而AC//AC,即MN〃4G,則直線MN即所求
作的交線I.
(2)由(1)知在三角形A3C中,MN//AC,/為棱A3的中點,所以N為棱BC的中點.
在正方形M與8中,延長4M交的延長線于點尸(圖略),所以8為棱男尸的中點.由于N為棱2C的
中點,所以延長GN交瓦B的延長線于點P,
所以幾何體MBN-A與C是三棱臺.
設(shè)正方體的棱長為a,則AMBN的面積S=的面積S'=:,
所以三棱臺-4內(nèi)儲的體積V=g(5+府+S[a,
另一個幾何體的體積『=-V=“3-三7/=17,
2424
因為用平面去截正方體,所得兩部分幾何體的體積分別為匕,匕化(%),
717V7
所以匕=五。.=五。3,所以廣談
題型十四、線面、面面平行的判定與性質(zhì)的綜合應用
例39.(2021?全國?高一課時練習)如圖所示,矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,點跖N分別位于AE,DB
上,且A"=£W,矩形ABE/可沿AB任意翻折.
E
(1)求證:當尸,A,。不共線時,線段MN總平行于平面E4Q.
(2)“不管怎樣翻折矩形ABEF,線段總和線段ED平行,”這個結(jié)論對嗎?如果對,請證明;如果不對,
請說明能否改變個別已知條件使上述結(jié)論成立.
【解析】
(1)證明:在平面圖形中,連接MN,交于點G,連接MG,NG.
:四邊形A3CD和四邊形AB跖都是矩形,且A£>=AF,
AD//BE且AD=BE,
四邊形4汨E是平行四邊形,
AAM//DN.又AM=DN,則四邊形ADNM是平行四邊形
C.MNHAD.
翻折之后,如圖1所示.
圖1
:.MG//AF,NG//AD,
又MGa面E4Z),AFu面E4£>,NG<z面ADu面
二.MG//面以D,NG//面E4D,又MGcNG=G
平面GW//平面E4D.
又MVu平面GMH,
MN〃平面E4£).
當尸,A,。不共線時,線段MN總平行于平面N).
(2)這個結(jié)論不對.
要使上述結(jié)論成立,M,N應分別為AE和的中點.
翻折后的圖形如圖2所示,連接FB.
圖2
為AE的中點,
也為£8的中點,F(xiàn)B與DB交于B,即DN與尸”交于艮
FMcDN=B,
.??RW.DV確定一個平面,即尸,M,D,N四點共面.
又平面FDMWc平面GVM=MN,平面FDNMc平面94=即,平面FQ4//平面GMW,
MN//FD.
解題技巧(空間平行關(guān)系的注意事項)
直線與平面平行,平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理,揭示了線線平行、線面平行、面面平行之
間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,具體轉(zhuǎn)化過程如圖所示.
例40.(2021.全國?高一課時練習)如圖,E,F,G,H分別是正方體"8-48心Q的棱BC,CCi,CD,
44/的中點.
求證:(1)EG//平面BB/O/D;
(2)平面2DP〃平面
【解析】
(1)如圖,取藥力的中點O,連接GO,OB,
因為OG=gB/G,BE=^BiCi,所以3E=0G
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