新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)7-1 圓的最值與范圍問(wèn)題（8題型+滿(mǎn)分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)7-1圓的最值與范圍問(wèn)題與圓相關(guān)的最值問(wèn)題是近幾年高考數(shù)學(xué)對(duì)圓的考查的重點(diǎn)內(nèi)容。主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題和圓相關(guān)的長(zhǎng)度或面積的最值及問(wèn)題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線(xiàn)相結(jié)合的問(wèn)題。【題型1圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題：一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，即連結(jié)并延長(zhǎng)，為與圓的交點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn).【例1】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．8B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在圓外，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C【變式1-1】（2024·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為1的圓，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0到圓心SKIPIF1<0的距離再加上半徑，即SKIPIF1<0.故選：D【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，∴SKIPIF1<0即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，∴SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：B.【變式1-3】（2023·上?！じ呷袑?shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．SKIPIF1<0點(diǎn)在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0到圓心SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由圓的定義可知，點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)軌跡為以SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的圓SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0點(diǎn)在圓SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最小值為：SKIPIF1<0.故選：B.【變式1-4】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0切圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為直角三角形，得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0在以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D【題型2圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題：已知圓和圓外的一條直線(xiàn)，則圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，距離的最大值為（過(guò)圓心作的垂線(xiàn)，垂足為，與圓交于，其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交圓于【例2】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離的最大值為（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由題知，圓SKIPIF1<0，其中圓心SKIPIF1<0，半徑為1，直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0到圓心的距離加上圓的半徑，即SKIPIF1<0.故選：C【變式2-1】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P為直線(xiàn)SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓SKIPIF1<0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)M為圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則滿(mǎn)足SKIPIF1<0；易知圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，如下圖所示：易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0；同理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩組解，可得直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無(wú)關(guān)，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)，當(dāng)SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離最大；最大值為SKIPIF1<0.【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）圓SKIPIF1<0上到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意知SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓心到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，此時(shí)圓上有SKIPIF1<0個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)SKIPIF1<0，此時(shí)圓上有SKIPIF1<0個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，所以圓上到直線(xiàn)距離為SKIPIF1<0的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故C正確.故選：C.【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為直線(xiàn)SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0距離的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓，所以點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0距離的最小值為SKIPIF1<0.【變式2-4】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0與兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的軌跡是圓心為SKIPIF1<0，半徑為2的圓上，又直線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，易知過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0外，則圓心與定點(diǎn)所在直線(xiàn)與直線(xiàn)SKIPIF1<0垂直，圓心與直線(xiàn)SKIPIF1<0距離最大，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0距離的最大值為SKIPIF1<0.【題型3過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值：已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的所有弦中最長(zhǎng)為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0為l，方程變形為SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)閳A的方程為SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線(xiàn)SKIPIF1<0時(shí)，弦SKIPIF1<0最短，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)圓心時(shí)，弦SKIPIF1<0最長(zhǎng)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線(xiàn)SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長(zhǎng)的最小值為.【答案】2【解析】直線(xiàn)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0，當(dāng)圓心和SKIPIF1<0的連線(xiàn)與直線(xiàn)SKIPIF1<0垂直時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長(zhǎng)最短，圓心為SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故弦長(zhǎng)的最小值為SKIPIF1<0.【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C:SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，方程可化為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，且在圓C:SKIPIF1<0內(nèi)，又SKIPIF1<0,故當(dāng)直線(xiàn)SKIPIF1<0被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：B.【變式3-3】（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過(guò)圓SKIPIF1<0內(nèi)點(diǎn)SKIPIF1<0有若干條弦，它們的長(zhǎng)度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的圓的最短弦長(zhǎng)和最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，則SKIPIF1<0的取值集合為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意可知：圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值集合為SKIPIF1<0.故選：C.【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0，當(dāng)圓SKIPIF1<0被直線(xiàn)SKIPIF1<0截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程化為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，顯然點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)，要使直線(xiàn)SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得弦長(zhǎng)最短，只需SKIPIF1<0與圓心SKIPIF1<0的連線(xiàn)垂直于直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入到直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程并化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0.【題型4圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧切線(xiàn)長(zhǎng)度的最值求法1、代數(shù)法：利用勾股定理求出切線(xiàn)長(zhǎng)，把切線(xiàn)長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線(xiàn)長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線(xiàn)的距離問(wèn)題．已知圓和圓外的一條直線(xiàn)，則過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為.【例4】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為直線(xiàn)SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線(xiàn)SKIPIF1<0，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則切線(xiàn)長(zhǎng)SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意可知，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，由圓的幾何性質(zhì)可知，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0,所以要使切線(xiàn)長(zhǎng)SKIPIF1<0取最小值，只需SKIPIF1<0取最小值即可.當(dāng)直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0垂直時(shí)，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：A.【變式4-1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過(guò)點(diǎn)P作圓C：SKIPIF1<0的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】圓C的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，標(biāo)準(zhǔn)單位圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可知圓C與標(biāo)準(zhǔn)單位圓外離，即點(diǎn)P在圓C外，由題意可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0在線(xiàn)段SKIPIF1<0上時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線(xiàn)，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為2.如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0有最小值，由圖可知，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的切線(xiàn)，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.又由圓的切線(xiàn)性質(zhì)可得此時(shí)SKIPIF1<0.【變式4-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，由圓外一點(diǎn)SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故選：C.【題型5距離和差的最值范圍】滿(mǎn)分技巧圓中的距離和差問(wèn)題可借助圓的幾何特性進(jìn)行舉例轉(zhuǎn)化，有時(shí)需結(jié)合對(duì)稱(chēng)性及三點(diǎn)共線(xiàn)距離最短的性質(zhì)求解最值。【例5】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為直線(xiàn)SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線(xiàn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0點(diǎn)為切點(diǎn)），SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖所示，連接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且垂足為SKIPIF1<0要使得SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然，當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)，SKIPIF1<0同時(shí)取得最小值，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【變式5-1】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知A為圓C：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓E：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線(xiàn)SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0關(guān)于直線(xiàn)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)的圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的值最大，則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0關(guān)于直線(xiàn)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線(xiàn)，且該直線(xiàn)過(guò)SKIPIF1<0兩點(diǎn)，如圖，其最大值為SKIPIF1<0.【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由圓SKIPIF1<0，可得圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，又由點(diǎn)SKIPIF1<0，可得點(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0，如圖所示，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線(xiàn)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.【變式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獔AO：SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0.故選：C【題型6與角度有關(guān)的最值范圍】滿(mǎn)分技巧與角度有關(guān)的最值范圍問(wèn)題的處理方法：利用三角函數(shù)定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊的比值，觀(guān)察線(xiàn)段之間的關(guān)系再進(jìn)行處理?！纠?】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的兩條直線(xiàn)的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，圓SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0．設(shè)切線(xiàn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)閳ASKIPIF1<0的半徑為2，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0是線(xiàn)段SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段SKIPIF1<0的長(zhǎng)最大，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為拋物線(xiàn)SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0最小，且SKIPIF1<0，故C正確.故選：C【變式6-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，2為半徑的圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0三點(diǎn)共線(xiàn)，如圖所示，當(dāng)SKIPIF1<0與圓相切時(shí)，SKIPIF1<0為銳角且最大，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），過(guò)SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線(xiàn)，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為2，而圓心SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的距離等于2，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D．【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值為2，則常數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外接圓方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令圓心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0被SKIPIF1<0分割的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，如下圖，要使SKIPIF1<0的最大，只需SKIPIF1<0與圓相切，由上易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由圓的性質(zhì)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0（負(fù)值舍），故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D【題型7代數(shù)式幾何意義的最值范圍】滿(mǎn)分技巧利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題；2、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)距離的平方的最值問(wèn)題；3、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)縱截距的最值問(wèn)題【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0上一點(diǎn),則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離的平方,因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面四邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離平方，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式7-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是曲線(xiàn)SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，由題意可知,作出圖形，如圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0是曲線(xiàn)SKIPIF1<0上的點(diǎn)，則SKIPIF1<0表示過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0兩點(diǎn)直線(xiàn)的斜率，顯然當(dāng)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，顯然當(dāng)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【變式7-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿(mǎn)足方程SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為；SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】由題意得：將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心、1為半徑的圓；SKIPIF1<0的幾何意義為SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0的平方；如上圖可知：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；因?yàn)椋篠KIPIF1<0，故可設(shè)：SKIPIF1<0，所以圓與直線(xiàn)SKIPIF1<0需有交點(diǎn)，即圓心SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0．【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎本€(xiàn)SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．9B．16C．27D．30【答案】D【解析】由題設(shè)直線(xiàn)與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最小距離為SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0分別作直線(xiàn)SKIPIF1<0的垂線(xiàn)，垂足分別為SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0是直角梯形的中位線(xiàn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為30.故選：D.【題型8圓中面積的最值范圍】滿(mǎn)分技巧與圓有關(guān)的面積最值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意，直線(xiàn)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，而圓的半徑為SKIPIF1<0，于是圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0到直線(xiàn)SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.故選：C【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓SKIPIF1<0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】圓C：SKIPIF1<0，即圓C：SKIPIF1<0，圓心坐標(biāo)SKIPIF1<0，半徑為3；由題意過(guò)點(diǎn)P作圓C：SKIPIF1<0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以四邊形PACB的面積的最小值為SKIPIF1<0，故選：B.【變式8-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓SKIPIF1<0的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】圓C的方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，則圓心為SKIPIF1<0，半徑為2，連接PC，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四邊形PACB的面積SKIPIF1<0，（由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知SKIPIF1<