高三數(shù)學期末考試加試試題

江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學期末試題

第II卷（理科附加卷）

21.【選做題】本題包括A,B,C,D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答，

若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.（選修4-1：幾何證明選講）

如圖，圓。與圓P相交于AB兩點，點P在圓。上，圓。的弦切圓P于點3,CP及

其延長線交圓P于。,E兩點，過點E作歷，CE交CB延長線于點尸.若

CD=2,CB=242,求￡尸的長.

B.（選修4-2：矩陣與變換）

「r1

已知矩陣加二,N=2，試求曲線丁=411工在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式.

2」0】

C.（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）

已知直線/的極坐標方程為rsin（4-2）=6,圓C的參數(shù)方程為i'-lOcos"?為參數(shù)）.

3jy=10sinq

（I）請分別把直線/和圓C的方程化為直角坐標方程;

（2）求直線/被圓截得的弦長.

D.（選修4-5：不等式選講）

已知函數(shù)f（x）=\x-l|+|x-2|,若不等式|a+4+|a-1？時/⑺對任意R恒成立,

求實數(shù)x的取值范圍.

【必做題】第22,23題，每小題10分，計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內.

22.(本小題滿分10分)

已知A為曲線。:4父-y+l=0上的動點，定點M(-2,0),若,求動點7的軌

跡方程.

23.(本小題滿分10分)

已知四棱錐P-A8CO的底面為直角梯形，ABIICD,?DAB90殖PA底面ABC。,且

/>4=4。=。。=，48=1,又是758的中點.

2

(1)證明：平面PAZ)A平面PCO；

(2)求AC與PB所成角的余弦值；

(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角(銳

角)的余弦值.

10上0

21.B解：MN=2??????4

02c

1J\_02

x

即在矩陣MN變換下->.......6分

y

V=g“=2y,

.......8分

代入得：；=sin2x',

即曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.…“10分

21.C解：(1)由夕sin(e-1)=6,得:p(；sin。一日cos。)=6

y-\/3x=12,即gx-y+12=0.......4分

圓的方程為d+y?=ioo......6分

(2)d=6/=10,

弦長/=2*00-36=16.…70分

22.解：設丁(%”4%，%)，則44一為+1=0,①……2分

又M(-2,0),由AT=27M得(x—x°,y—y0)=2(—2—x,0—y),.......5分

二.%=3%+4,%=3y,……7分

代入①式得4(3x+4『—3y+l=0,即為所求軌跡方程........10分

23.解：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),D(l,0,0),P(0,0,l),B(0,2,0),C(l,1,0),M(0,1,^),

……1分

(1)證明：因為AP=(0,0,1),10c=(0,1,0),故APDC=0,所以APLDC,

由題設知AO,OC,且AP與力。是平面皿)內的兩條相交直線，

由此得。C_L面又。Cu面PC￡>,故平面必。_1_面28........4分

(2)因AC=(1,1,0),尸8=(0,2,-1),.-JAC\=⑸PB\=ACPB=2,

ACPBVio

/.cos<AC,PB>=分

\ACV\PB\~5……7

（3）設平面AMC的一個法向量為“=（N，y,Z|）,

則4±AM,?AM=（%,y,Z]）?（0,l,g）=y+gZ[=0,

又〃]±AC,?AC=（^1,y,,Zj）-（1,1,0）=x}+y=0,

取3=1,得y=—1,Z]=2,故勺=（1,一1,2）,

同理可得面BMC的一個法向量為%=（1,1,2）,

1—1+42△

cosy,>=,2|=-=~j==-，.......10分

'同國76x763

，平面AMC與平面8MC所成二面角（銳角）的余弦值為2.

3

數(shù)學試題（附加題）

（考試時間：30分鐘總分：40分）

21.A.（本小題滿分10分，矩陣與變換）在平面直角坐標系xoy中，設曲線G在矩陣A=

10]2

1對應的變換作用下得到曲線C2：—+/=1,求曲線G的方程。

0-4-

L2」

B.（本小題滿分10分，坐標系與參數(shù)方程選講）

己知曲線C1的極坐標方程為夕COS（。-7）=-乎，以極點為原點，極軸為X軸的非

負半軸建立平面直角坐標系，曲線C2的參數(shù)方程為{,,求曲線Cl與曲線C2交點

y=sirra

的直角坐標。

[必做題]第22題，第23題，每題10分，共計20分.解答時應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

22.（（本小題滿分10分）射擊測試有兩種方案，方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶

2

射擊；方案2：始終在乙靶射擊，某射手命中甲靶的概率為一，命中一次得3分；命中乙靶

3

3

的概率為命中一次得2分，若沒有命中則得。分，用隨機變量J表示該射手一次測試

4

累計得分，如果J的值不低于3分就認為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次

測試最多打靶3次，每次射擊的結果相互獨立。

(1)如果該射手選擇方案1,求其測試結束后所得部分f的分布列和數(shù)學期望EJ；

(2)該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大？請說明理由。

23.((本小題滿分10分)

對于給定的大于1的正整數(shù)n,設x=+ann",其中

a,,G{0,1,2,f=l,2,且a“0O,記滿足條件的所有x的和為A.。

(1)求A2

(2)設4=/(〃)；,求f(n)

第二部分(加試部分)

21.

A.設P(x,y)是曲線G上任意一點，點P(x,y)在矩陣A對應的變換下變?yōu)辄cP'(x',y')

10X=X

xx

則有,15分

y0-yy=2y

2,

2

又因為點P'(x',V)曲線V=1上,

故等+(yy=i,從而%+即=1

所以曲線G的方程是X2+/=4.10分

由°cos(e—?)=—#,得曲線G的直角坐標系的方程為

B.

x+y+1=0,3分

x=cosa

由,,,得曲線G的普通方程為

y=sin~a

x2-i-y=1(-1<X<1),7分

x+y+l=O-

由《，，得》2-％-2=0,即x=2（舍去）或x=—l,

x2+y=1

所以曲線G與曲線C2交點的直角坐標為（T，°）.……10

22.在甲靶射擊命中記作A,不中記作入；在乙靶射擊命中記作8,不中記作》,

2—213—31

其中P(A)=—,P(A)=1——=-,P(B)=-,P(B)=l一一=-??????2)

333444

⑴J的所有可能取值為0,2,3,4,則

------———1111

P(J=0)=P(ABB)=PM)P(B)P(B)=-x-x-=—

34448)

P(J=2)=P(ABB)+P(ABB)=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)

1311136

—X—X—+—X—X—=——

34434448,

P《=3)=P(A)=|

--1339

P代=4)=P(A8B)=P(A)P(B)P(8)=-x-x-

34448

J的分布列為:

自0234

1629

P

484848

=0x-+2x—+3x-+4x—=3

4848348

7分

⑵射手選擇方案1通過測試的概率為勺，選擇方案2通過測試的概率為P2,

2931

[=代短3)=—+—=—；

134848

1333133327

=PC>3)=P?BB)+P儂B)+P(BB)=—X—X—+—X—X—+—X—=

￡4444444432

,?,9分

因為所以應選擇方案2通過測試的概率更大.10分

23⑴當〃=2時，x=q）+勿］+4生，aQe{0,l},e{0,l},%=1,

故滿足條件的工共有4個，

分別為：元=0+0+4,x=0+2+4,x=l+0+4,x=l+2+4,

它們的和是22.……4分

⑵由題意得，a。,。］,%，,4_］各有〃種取法；?！ㄓ小ā?種取法，

由分步計數(shù)原理可得。0,4,。2，，。〃-1的不同取法共有幾?幾?〃?（力-1）二，（〃一1）,

即滿足條件的X共有〃〃伽一1）個,6分

當％分別取0,1,2,，〃一1時，4M2，，〃〃_］各有〃種取法，a〃有〃一1種取法,

故4中所有含％項的和為（0+1+2++n-l）n,,~l（?-l）^—（/7~n-；

nn（n—}}2

同理，A,中所有含4項的和為（0+1+2+2L.“；

4中所有含出項的和為（0+1+2++〃_所〃”_1）.“2=生（丁）一.“2；

片中所有含a,-項的和為(0+1+2++n-1)n"-'(〃-1)?4=型7匚-n'-'；

當a”分別取i=l,2,，"-1時，4,a1,4,,a“T各有〃種取法,

n"+］（〃-1）

故4中所有含4項的和為（1+2++〃—^

2

.rt"(n-l)..2

所以A=—>2,(1+〃+〃-+-n"；

〃"(〃—1尸n"-ln"+1(rt-l)?

-----------------1-----------n(〃田+〃"—1)

2n-\22

故了（〃）=〃.10分

泰州市2015屆高三第一次模擬考試

數(shù)學試題（附加題）

（考試時間：30分鐘總分：40分）

21.（［選做題］請考生在A、B、C、D四小題中任選兩題作答，如果多做，則按所做的前

兩題記分.

A.（本小題滿分10分，幾何證明選講）

如圖，￡4與圓。相切于點A,。是E4的中點，過點。引圓。的割線，與圓。相交于點

B,C,連結EC.

求證：NDEB=NDCE.

8.（本小題滿分10分，矩陣與變換）

1012

己知矩陣4=,B=若矩陣AB'對應的變換把直線/變?yōu)橹本€

0201

/':x+y—2=0,求直線/的方程.

C.（本小題滿分10分，坐標系與參數(shù)方程選講）

己知在平面直角坐標系xOy中，圓。的參數(shù)方程為《（a為參數(shù)）.以原點。為

y-2sin?

極點，以x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線/的極坐標方程為p（sin6-cosO）=l,

直線/與圓M相交于A,B兩點，求弦A8的長.

D.（本小題滿分10分，不等式選講）

hcci

已知正實數(shù)a,上c滿足a+8+c=3,求證：—+—+—>3.

［必做題］第22題，第23題，每題10分，共計20分.解答時應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

22.（（本小題滿分10分）

如圖，在長方體ABC?！狝B'C'Z）'中，DA=DC=2,DD'=l,A'C'與5'。'相交于點

。'，點P在線段3。上（點P與點3不重合）.

（1）若異面直線O'P與BC所成角的余弦值為叵，求DP的長度;

55

（2）若。尸=,求平面PA'C與平面DCB所成角的正弦值.

2

23.（（本小題滿分10分）

記G'為從》個不同的元素中取出八個元素的所有組合的個數(shù).隨機變量4表示滿足

C；V；『的二元數(shù)組（尸由中的「，其中，G{2,3,4,5,6,7,8,9,10},每一個C；（〃=。，12…,

i）都等可能出現(xiàn).求EJ.

附加題參考答案

21.A.證明：；屈4與。相切于點A.由切割線定理：DA?=DB?DC.

是EA的中點，DA=DE.:.DE?=DB-DC.............5分

.匹=幽.."DB=NCDE：.\EDB\CDE：.NDEB=NDCE……10分

DCDE

"121?「1一2一

2IB解：VB=,AB'=,

0101

設直線/上任意一點（樂y）在矩陣AB'對應的變換下為點（x',/）

1-2Xx'

02yy'

代入/':(X—2y)+(2y)—2=0,化簡后得：l:x=2.10分

21.C.解:圓。：X2+/=4,直線/:x-y+l=O,5分

圓心。到直線/的距離d=J==《2,弦長48=2

)2=V14.10分

V22

21.D證明：正正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3,

3=a+b+c>3\jabc,abc<1,5分

bcaIhca/1-

+FN33—?—?—=33->3.10分

c2Va"b~c"Vabc

22.解：（1）以。ADC,。。'為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系。-肛z,

由題意，知0((),0,()),A'(2,0,1)，

3(2,2,0),C'(0,2』)，設PQ/O),

1),8C'=(-2,0,1).

設異面直線O'P與BC所成角為e，

,O'PBC'\_|—2(f-1)—1|_^55

則cos6=

|。則叼一,2"1)2+1.6-55

2?

化簡得：21/―20，+4=0,解得：，二一或，二一,

37

DP=^6.或DP=Z區(qū)

5分

37

(2)VDP=—,AP(-,-,0),

222

1331

DC=(0,2,1),。8=(2,2,0),PAr=(-,--,l),PC=1),

設平面0cB的一個法向量為勺=（玉,y,zj,

々?。。'=02yl+z,=0Z|=~2y',?。?-1,4=(1,-1,2),

11，即1

4?DB—02玉+2y=0.%=->i

設平面PA'C'的一個法向量為々=（x2,y2,z2）,

13八

-^2--y2+Z2=0

n2?PA=0

取%=1，%=(1,1,1),

nPC=0311^2=%

2_產+^>2+Z2=0n

設平面尸AC與平面DCB所成角為夕，

網(wǎng),聞2叵

n)|-|?2|瓜忑3

10分

1,

23.解：IC.<-i2,

2

當iN2時，

C,°=C=1K；尸，C；=C'-'=i<^i2,C；=C；-2=唱“吳GJ

二當2<i<5"eN*時，。：<,尸的解為r=0,1,八...........3分

2

;_1

當6<i<10"wN*,C；+,>C；<=>r<-—,

2

由c；=2)<1/o?=3,4,5可知：

62

1i

當〃=0,1,2"—2"-1"時，/成立，

當r=3,,i—3時，C；NC："2(等號不同時成立)，即C；〉,」...........6分

22

4012345678C1

0

1

2,

1')1()L)1(>1515151515:448

8分

311177

EJ=(0+l+2)x—+(3+4+5+6+7+8)x—+9x—+10x—=—.

1616244824

............................10分

蘇州市2015屆上學期高三期末調研考試

數(shù)學

數(shù)學n附加題部分

注意事項

1.本試卷共2頁，均為解答題（第21題?第23題，共4題）.本卷滿分為40分，考試時

間為30分鐘。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其它位置

作答一律無效.

21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作

答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

A.選修4-1：幾何證明選講

（本小題滿分10分）如圖，過圓O外一點P作圓O的切線PA,切點為A,連結OP與

圓O交于點C,過C作AP的算線，垂足為D,若PA=12cm,PC=6cm,求CD的長。

B.選修4-2：矩陣與變換

（本小題滿分10分）

已知矩陣，A=12向量尸=2,求向量口，使得A?a=月.

C.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

（本小題滿分10分）

在極坐標系中，已知圓0=3cos6與直線2pcos（9+4/?sine+a=0相切，求實數(shù)”的值.

D.選修4一5：不等式選講

（本小題滿分10分）設實數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=6,求x'+y2+z'，的最小值,

并求此時x,y,z的值。

【必做題】第22題'第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解

答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22.（本小題滿分10分）

如圖，已知正方形ABC。和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=y[2,AF=l.

（1）求二面角A-DF-B的大小；

（2）試在線段AC上確定一點P,使PF與BC所成角為600.

（第22爆）

23、（10分）某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據(jù)市場分析知道：一年

后可能獲利10%,可能損失10%,可能不陪不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為

244

如果投資乙項目，一年后可能獲利20%,可能損失20%,這兩種情況發(fā)生的概率分別為a

和B（a+0=1）.

（1）如果把10萬元投資甲項目，用X表示投資收益（收益=回收資金-投資資金），求X的

概率分布列及數(shù)學期望E（X）.

（2）若10萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求a的取值范圍.

蘇州市2015屆高三調研測試

數(shù)學n試題'2015.1

參考答案與評分標準

XJ[2

B.解：解：設。=,由片0二力得：15分

23jbjL

y\L

3x+4y=2[x=2,「2

二.V,<99*?Ct=10分

2x+3y=l3=-1

C.解：p2=3pcosO,圓Q=3COS8的普通方程為:

x2+y2=3x,BP(x--)2+j2=—,........................................................................

24

直線22cose+4〃sin6+a=0的普通方程為：2x+4y+a=0,..........................6分

3

|2?；+4?0+o|q

又圓與直線相切，所以T=^=^=三,解得：°=一3±3石,

分

物+42210

(2)由題意，設〉(a,a,0)(0WU),則

PF=(y/2-a,yf2-a,Y),而=(0,及,0).

'：PF與BC所成的角為60°,

V2-(V2-a)

:.cos60°=|

V2X小2(\/^_〃)2+1

解得“也或a"述(舍)，

22

所以占P在線段4c的中點處..........................................10分

一，*

22.解：(1)如圖，以而，CB.E為正交基底建立

空間直角坐標系，

則E(0,0,l),D(V2,0,0),3(0,a,0),

F(V2,V2,1)..................................................2分

平面尸的法向量，=(1,0,0)，而=(a,-右,0)，

BF=(72,0,1).

設平面DFB法向量”=(a也c),則”?而=0,

n~BF=0>

J缶-歷=0,令“I,得…

41a+c=0.

.,?/?=(!,1,-72).....................................................................................................分

■而,(l,0,0)(l,l,-V2)_l

從而cos<n,t>=--------------------------，

1x22

顯然二面角4-。尸-5為銳角，

故二面角4—0尸一B的大小為60°.....................................................................6分

(2)由題意，設)(a,a,0)(0Wa近&),則

PF=(V2-a,V2-a,l),CB=(0,72,0).

：P尸與BC所成的角為60°,

?y/2?(V2-a)

必收及-4+12

解得a=?或a=(舍),

22

所以占P在線段4c的中點處.10分

數(shù)學II附加題部分

注意事項

1.本試卷共2頁，均為解答題（第21題?第23題，共4題）.本卷滿分為40分，考試時

間為30分鐘?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其它位置

作答一律無效.

21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作

答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4-1：幾何證明選講

（本小題滿分10分）如圖，已知AB是圓O的直徑，CD是圓O的弦，分別延長AB,

CD相交于點M,N為圓O上一點，AN=AC,證明：ZMDN=2Z0CA

（第2I-A題）

B.選修4-2：矩陣與變換

2］的逆矩陣-21,求實數(shù)m,n

（本小題滿分10分）已知矩陣V二

73-7m

C.選修4?4：坐標系與參數(shù)方程

（本小題滿分10分）在平面直角坐標xoy中，已知曲線C的參數(shù)方程為

fJ2

X=彳，，1

（，為參數(shù)），曲線與直線y相交于A，B兩點，求線段AB的長。

1.1

D.選修4一5：不等式選講

（本小題滿分10分）已知a,b,c均為正數(shù)，求證：3+2++

becaababc

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解

答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

22.(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，平面ABE

J_平面BCDE,AB=AE,DB=DE,ZBAE=ZBDE=90°o

(1)求異面直線AB與DE所成角的大?。?/p>

(2)求二面角B-AE-C的余弦值。

第22廄用

23、設4是滿足下述條件的自然的個數(shù)：各數(shù)位上的數(shù)字之和為n且每數(shù)位

上的數(shù)字只能是1或2。

(1)求卬，色，6，G的值；

(2)求證：的是5的倍數(shù)。

數(shù)學口（附加題）參考答案及評分建議

21.【選做颼】本翹包括A、B,C、D四小題.請選定其中兩題,并在相應的答題區(qū)域內作答

若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4—1:幾何證明選講（本小題滿分10分）

如圖，已知48是0。的直徑，8是。。的弦,分別

延長8相交于點M.N為◎。上一點,AN=AC.

證明：NMDN=2NOCA.

【解】連結OM因為，N="C,ONOC.04是公共邊,

B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）

已知矩陣“=［；"的逆斑陣"'=［二口,求實數(shù)明”.

—21Fmn-\401「1

【解】1115/,W'：m_[_7n-215分

-14+3m0

wn-14=l

所以,7”-2l=0，解得，..................................[o分

-!4+3m=)W3

c.選修i：坐標系與參數(shù)方程（本小Si滿分io分）

在平面直角坐標系*0中，已知曲線c的參數(shù)方程為2（，為參數(shù)），曲線與H

V

線/：y=）x相交于兒B兩點.求線段彳8的長.

1

X=-

2

【解】解法-：將曲線C的參數(shù)方程1化為普通方程為x=8/......3分

V-

-=4

分

0

1

J

,

0

.

0

4

)

分

.

.

.

.

.

..

.

.

.