新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)6-3 立體幾何外接球與內(nèi)切球問題（12題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷板）

重難點(diǎn)6-3立體幾何外接球與內(nèi)切球問題有關(guān)多面體外接球和內(nèi)切球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考的熱門考點(diǎn)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力。新高考考查一般出現(xiàn)在選擇題與填空題，難度中上?！绢}型1正方體與長(zhǎng)方體的外接球】滿分技巧1、長(zhǎng)方體的外接球：長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則SKIPIF1<02、正方體的外接球：正方體的棱長(zhǎng)為a，外接球半徑為R，則SKIPIF1<0長(zhǎng)方體的外接球正方體的外接球【例1】（2022·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該正方體表面積與球表面積的比值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-1】（2024·四川·高三校聯(lián)考期末）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0的面積為6，SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為．【變式1-2】（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀┮阎L(zhǎng)方體SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的內(nèi)部，球心SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，若球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該長(zhǎng)方體體積的最大值是（）A．4B．8C．12D．18【變式1-3】（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，其外接球的體積為SKIPIF1<0，則此長(zhǎng)方體的表面積為（）A．34B．64C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型2正棱錐的外接球】滿分技巧正棱錐的外接球：正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的外心，球心在高線上。（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)a，外接球的半徑SKIPIF1<0.（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為a，外接球半徑SKIPIF1<0【例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）已知正三棱錐SKIPIF1<0的側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心的球與底面SKIPIF1<0相切，則該球的半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）小張同學(xué)將一塊棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-2】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，頂點(diǎn)S，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的表面積為.【變式2-3】（2023·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┱睦忮FSKIPIF1<0的高為3，體積為32，則其外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型3能補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的外接球】滿分技巧1、墻角模型找三條兩兩垂直的線段，直接用公式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0【補(bǔ)充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉臑2、對(duì)棱相等：對(duì)棱相等指四面體的三組對(duì)棱分別對(duì)應(yīng)相等，這三組對(duì)棱構(gòu)成長(zhǎng)方體的三組對(duì)面的對(duì)角線?！纠?】（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）在三棱錐SKIPIF1<0中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則該球的體積是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-1】（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在平行四邊形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得四面體SKIPIF1<0．作一平面分別與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．若四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，則四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型4直棱柱漢堡模型的外接球】滿分技巧直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)1、補(bǔ)形：補(bǔ)成長(zhǎng)方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長(zhǎng)方體相同2、作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理例如：直三棱柱內(nèi)接與一球（棱柱的上下底面為直角三角形）此類題為上面題的特殊情況，解法更簡(jiǎn)單，AH的長(zhǎng)即為底面三角形斜邊的一般，勾股定理：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0注意：對(duì)于側(cè)棱垂直于的棱錐可考慮補(bǔ)形為直棱柱后再求外接球?！纠?】（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該直三棱柱的外接球表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)開學(xué)考試）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正三棱柱的高為2，這個(gè)球的體積為SKIPIF1<0，則這個(gè)正三棱柱的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．6D．4【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，底面的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與底面所成角的大小為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱柱的外接球表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某燈籠廠的員工用一條長(zhǎng)度為SKIPIF1<0的木條設(shè)計(jì)了一個(gè)正六棱柱型的燈籠框架（木條無剩余），則當(dāng)正六棱柱的外接球的表面積取最小值時(shí)，該正六棱柱的側(cè)面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型5棱錐垂面模型的外接球】滿分技巧如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求外接球半徑．第一步：將SKIPIF1<0畫在小圓面上，SKIPIF1<0為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必過球心SKIPIF1<0；第二步：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【例5】（2024·浙江溫州·溫州中學(xué)?？家荒＃┤忮FSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-1】（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-2】（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期末）已知SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．則該球的體積為．【變式5-3】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，其外接球體積是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型6棱錐切瓜模型的外接球】滿分技巧對(duì)于平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為小圓直徑）、第一步：由圖知球心SKIPIF1<0必為SKIPIF1<0的外心，即SKIPIF1<0在大圓面上，先求小圓面直徑SKIPIF1<0的長(zhǎng)；第二步：在SKIPIF1<0中，可根據(jù)正弦定理SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0【例6】（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，SKIPIF1<0為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-1】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為等邊三角形，則該四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且平面SKIPIF1<0平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為．【變式6-3】（2024·云南楚雄·彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為3的正三角形，SKIPIF1<0，若該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球SKIPIF1<0上，且該三棱錐的體積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的半徑為.【題型7共斜邊拼接模型的外接球】滿分技巧如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，SKIPIF1<0為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為公共斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)SKIPIF1<0就是四面體SKIPIF1<0外接球的球心，公共的斜邊SKIPIF1<0就是外接球的一條直徑．【例7】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為【變式7-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將矩形SKIPIF1<0折成一個(gè)直二面角SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-3】（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把SKIPIF1<0折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．不確定的實(shí)數(shù)【題型8二面角模型的外接球】滿分技巧兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊第一步：先畫出如圖所示的圖形，將SKIPIF1<0畫在小圓上，找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；第二步：過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0；第三步：解SKIPIF1<0，算出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理：SKIPIF1<0注：易知SKIPIF1<0四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.【例8】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為8的正三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起使得二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式8-1】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式8-2】（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式8-3】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）在邊長(zhǎng)為1的菱形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使二面角SKIPIF1<0的平面角等于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，則此三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為.

【題型9棱錐的內(nèi)切球問題】滿分技巧三棱錐SKIPIF1<0是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，建立等式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0第三步：解出SKIPIF1<0【例9】（2022·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面與底面所成角的正切值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式9-1】（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則正四棱錐SKIPIF1<0的體積是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式9-2】（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，則該正四棱錐內(nèi)切球表面積的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式9-3】（2024·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.【題型10圓柱與圓錐的切接問題】滿分技巧1、圓錐的內(nèi)切球：圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓為內(nèi)切球的大圓，內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為?，則S?PAB=1所以R=2、圓柱的內(nèi)切球：不是所有的圓柱獨(dú)有內(nèi)切球，只有當(dāng)圓柱的高?與圓柱的底面半徑r滿足?=2r，即圓柱的軸截面為正方形時(shí)，才有內(nèi)切球，此時(shí)內(nèi)切球的半徑為圓柱的底面半徑r.3、求圓柱與圓錐的外接球的方法主要通過軸截面來解決。【例10】（2022·北京昌平·高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）古希臘阿基米德被稱為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球，這個(gè)球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式10-1】（2024·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）已知圓錐的高為SKIPIF1<0，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為SKIPIF1<0的球面上，則圓錐的體積為.【變式10-2】（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式10-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為SKIPIF1<0，則該圓錐內(nèi)切球的體積為．【題型11圓臺(tái)與棱臺(tái)的切接問題】滿分技巧球內(nèi)接圓臺(tái)，棱臺(tái)：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．基本規(guī)律：正棱臺(tái)外接球，以棱軸截面為主【例11】（2024·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式11-1】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）（多選）已知圓臺(tái)上?下底面半徑分別為1，2，且上下底面圓周均在半徑為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的球面上，則該圓臺(tái)的體積可能為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式11-2】（2023·江蘇·高三海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)小球與一個(gè)四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)面積為S，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式11-3】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在正三棱臺(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則該三棱臺(tái)的體積為，該三棱臺(tái)的外接球的表面積為.【題型12球與球的相切問題】【例12】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有大、小兩個(gè)球外切．若大球與某正四面體的所有棱都相切，小球與該正四面體的三條側(cè)棱都相切，記大球與小球的半徑分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式12-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）空間中有四個(gè)球（記作球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0），它們的半徑分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），每個(gè)球都與其余三個(gè)球外切，另有一個(gè)半徑為SKIPIF1<0的小球（記作球SKIPIF1<0與這四個(gè)球都外切，若四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為．【變式12-2】（2023·山東濟(jì)南·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些小球的最大半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式12-3】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┤缃裰袊蛔u(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wSKIPIF1<0的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體SKIPIF1<0棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則模型中九個(gè)球的表面積和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·重慶長(zhǎng)壽·高三統(tǒng)考期末）將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊做成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則直三棱柱SKIPIF1<0外接球的表面積的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐SKIPIF1<0為鱉臑，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體的內(nèi)切球半徑為1，則外接球半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．35．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若正四棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0，內(nèi)接于球O，且底面SKIPIF1<0過球心O，則該四棱錐內(nèi)切球的半徑為（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）將一副三角板排接成平而四邊形ABCD（如圖），SKIPIF1<0，將其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2024·福建福州·高三長(zhǎng)樂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則其外