2024-2025學年內蒙古包頭市稀土高新區(qū)二中高三年級模擬考試（三）數(shù)學試題含解析

2024-2025學年內蒙古包頭市稀土高新區(qū)二中高三年級模擬考試（三）數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，以下結論正確的個數(shù)為（）①當時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；②當時，函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調，則；④當時，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．42．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．3．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．4．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．5．已知復數(shù)，，則（）A． B． C． D．6．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．7．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點F的坐標為(c,0)，點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點，O為坐標原點，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2338．已知復數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣210．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，11．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．12．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量x，y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，則14．在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．15．已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________16．設實數(shù)x，y滿足，則點表示的區(qū)域面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點T為圓心作圓，設圓T與橢圓C交于點M與點N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：為定值.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線、交于、兩點，是曲線上的動點，求面積的最大值.19．（12分）已知不等式的解集為.（1）求實數(shù)的值；（2）已知存在實數(shù)使得恒成立，求實數(shù)的最大值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，解關于x的不等式；（2）當時，若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）在中，內角的對邊分別是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．22．（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：（）的焦點F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準線于D，E兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；②利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；③先求函數(shù)的導數(shù)，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；④利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當時，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當時，，此時在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調性，在上的最大值只可能為或．因為，，所以最大值為64，結論錯誤．故選：C本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.2．B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當，即時，.故選：B.本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應用，是一道中檔題.3．A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設，則，又，，，故選：A.本題主要考查了平面向量基本定理的應用，關鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎題.4．D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.本題以數(shù)學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.5．B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時乘以，化簡整理得詳解：，故選B點睛：復數(shù)問題是高考數(shù)學中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模、共軛復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算，在運算時注意符號的正、負問題.6．A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎題.7．C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,故選：C.本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.8．D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數(shù)的運算；2、復數(shù)的模.9．D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D本題主要考查復數(shù)的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.10．D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用，關鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎題.11．C【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．本題考查程序框圖，是基礎題．12．B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結論.【詳解】∵，結合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為，，，∵，所以在上單調遞增.又因為，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-5【解析】

畫出x，y滿足的可行域，當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時，z最小，求解即可?！驹斀狻慨嫵鰔，y滿足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合思想。需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。14．【解析】分析：設O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長．詳解：設O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點睛：本題考查圓與圓的位置關系，考查差角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．15．811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)椋@然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.16．【解析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點坐標，利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x，y滿足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點與點關于軸對稱，設，，設，由于點在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證明為定值.【詳解】（1）依題意，得，，，故橢圓C的方程為.（2）點與點關于軸對稱，設，，設，由于點在橢圓C上，所以，由，則，.由于，故當時，的最小值為，所以，故，又點在圓T上，代入圓的方程得到.故圓T的方程為：（3）設，則直線MP的方程為：，令，得，同理：.故又點與點在橢圓上，故，代入上式得：，所以本題考查了橢圓的幾何性質、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關系中定值問題，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.18．（1），；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，將曲線的極坐標方程變形為，進而可得出曲線的直角坐標方程；（2）求出點到直線的最大距離，以及直線截圓所得弦長，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程得，.所以，曲線的普通方程為，將曲線的極坐標方程變形為，所以，曲線的直角坐標方程為；（2）曲線是圓心為，半徑為為圓，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，，因此，的面積為最大值為.本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的相互轉換，同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.19．（1）；（2）4【解析】

（1）分類討論，求解x的范圍，取并集，得到絕對值不等式的解集，即得解；（2）轉化原不等式為：，利用均值不等式即得解.【詳解】（1）當時不等式可化為當時，不等式可化為；當時，不等式可化為；綜上不等式的解集為.（2）由（1）有，，，，即而當且僅當：，即，即時等號成立∴，綜上實數(shù)最大值為4.本題考查了絕對值不等式的求解與不等式的恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）當時，利用含有一個絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對分成和兩類，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，求得的最小值，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由得由得解：，得∴當時，關于的不等式的解集為（2）①當時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以，由題設得，解得.②當時，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法，考查利用零點分段法解含有兩個絕對值的不等式，屬于中檔題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）由，利用余弦定理可得,結合可得結果；（2）由正弦定理，,利用三角形內角和定理可得，由三角形面積公式可得結果.【詳解】（1）由題意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.22．（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標，進而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證