高考數(shù)學一輪復習 8.4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 理 蘇教版

8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)一、填空題1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任一點，則圖形中有________對線面垂直．解析由題可知PA⊥平面ABC，又因為BC⊥AC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，故有2對線面垂直．答案22．已知a，b，l是不同的直線，α，β是不重合的平面，有下列命題：①若a⊥β，α⊥β，則a∥α；②若a∥α，a⊥b，則b⊥α；③若a∥b，l⊥α，則l⊥b；④α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.以上命題正確的個數(shù)是________．解析①a?α也成立；②不正確；③l與a，b沒有任何關系；④顯然不正確．答案03．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥BD，E為垂足，則PE的長為________．答案eq\f(13,5)4．設α，β是空間兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題：________(填序號)．解析因為當n⊥β，m⊥α時，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②；同理若α⊥β，則m⊥n，從而由②③④?①.答案①③④?②或②③④?①5．(1)三角形的一邊BC在平面α內(nèi)，l⊥α，垂足為A，A?BC，P在l上滑動，點P不同于A，若∠ABC是直角，則△PBC是________三角形；(2)直角三角形PBC的斜邊BC在平面α內(nèi)，直角頂點P在平面α外，P在平面上的射影為A，則△ABC是________三角形．(填“銳角”“直角”或“鈍角”)解析(1)如圖，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC＝90°∴BC⊥AD，∴BC⊥平面PAB，∴∠PBC＝90°.(2)如圖，PB2＋PC2＝BC2，AB＜PB，AC＜PC，所以AB2＋AC2＜BC2，故∠BAC為鈍角．答案(1)直角(2)鈍角6．已知a、b為直線，α、β為平面．在下列四個命題中，①若a⊥α，b⊥α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若b∥α，b∥β，則α∥β.正確命題的序號是________．解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知①真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知②假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知③真；易知④假．答案①③7．如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三點重合于點G，這樣，下列五個結論：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正確的是________(填序號)．解析SG，EG，F(xiàn)G兩兩垂直，易推得①成立；EG2＝FG2，即EG＝FG又SE＝SF，易證④成立．答案①④8．已知三條不重合的直線m，n，l兩個不重合的平面α，β，有下列命題①若l∥α，m∥β，且α∥β，則l∥m；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，則α∥β；③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α，其中真命題的序號是________．解析①不正確．②由條件，可得l⊥α，l⊥β，所以α∥β，②正確．③不正確．④由面面垂直的性質(zhì)知正確．答案②④9．設α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，給出下列四個命題；①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；④若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直．其中，所有真命題的序號是________．解析①②正確；③錯誤，α，β相交或平行；④錯誤．m與n可以垂直，不妨令n＝α∩β，則在β內(nèi)存在m⊥n.答案①②10．設a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則對于下列條件：①a⊥c，b⊥c；②α⊥β，a?α，b?β；③a⊥α，b∥α；④a⊥α，b⊥α，其中是a⊥b的一個充分不必要條件的是________．解析若a⊥α，b∥α，則a⊥b，反之顯然不成立，故應填③.答案③11．已知P為△ABC所在平面外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的個數(shù)是________．解析如圖所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案3個12．如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)．解析因為PA?平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①錯誤；因為M、O分別為PB，AB的中點，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正確．又圓的直徑可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空間過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，所以OC不可能與平面PAC垂直，故③錯誤；由③可知BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正確．答案②④13．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結論的序號是________．解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正確．答案①②③二、解答題14．如圖，在空間四邊形S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AN⊥SB于N，AM⊥SC于M.求證：(1)AN⊥BC；(2)SC⊥平面ANM.證明(1)由SA⊥平面ABC，BC?面ABC，知SA⊥BC.又BC⊥AB，且AB∩SA＝A，故BC⊥平面SAB.因為AN?平面SAB，所以AN⊥BC.(2)由AN⊥BC，AN⊥SB，且SB∩BC＝B，所以AN⊥平面SBC.又SC?平面SBC，所以AN⊥SC.又AM⊥SC，且AM∩AN＝A，所以SC⊥平面ANM.15．在菱形ABCD中，∠A＝60°，線段AB的中點是E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，線段FC的中點是G.(1)證明：直線BG∥平面FDE；(2)判斷平面FEC和平面EBCD是否垂直，并證明你的結論．解析(1)延長DE、CB相交于點H，連接HF.因為菱形ABCD，且E為AB的中點，所以BE∥CD，BE＝eq\f(1,2)CD.所以B為HC的中點．因為G為線段FC的中點，所以BG∥HF.因為GB?平面FDE，HF?平面FDE，所以直線BG∥平面FDE.(2)垂直．證明如下：由菱形ABCD及∠A＝60°，得△ABD是正三角形，因為E為AB的中點，所以AE⊥DE.所以FE⊥DE.因為平面FDE和平面EBCD垂直，且這兩個平面的交線是DE，F(xiàn)E在平面FDE內(nèi)，所以FE⊥平面EBCD.因為FE?平面FEC，所以平面FEC和平面EBCD垂直．16．在四面體ABCD中，AB＝AC，BD＝CD，平面ABC⊥平面BCD，點E、F分別為棱BC和AD的中點．(1)求證：AE⊥平面BCD；(2)求證：AD⊥BC；(3)若△ABC內(nèi)的點G滿足FG∥平面BCD，設點G構成集合T，試描述點集合T的位置．(不必說明理由)解析(1)連接AE，在△ABC中，AB＝AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD，AE?平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AE⊥平面BCD；(2)連接DE，因為BD＝CD，E為BC的中點，所以BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE、DE?平面AED，所以BC⊥平面AED.又AD?平面AED，所以BC⊥AD，即AD⊥BC；(3)取AB、AC的中點M、N，所有的點G構成的集合T即為△ABC的中位線MN.17．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，點H是BE的中點，點G是AE、DF的交點．(1)求證：GH∥平面CDE；(2)求證：BD⊥平面CDE.證明(1)因為G是AE與DF的交點，所以G是AE的中點．又H是BE的中點，所以在△EAB中，GH∥AB.因為AB∥CD，所以GH∥CD.又CD?平面CDE，GH?平面CDE，所以GH∥平面CDE.(2)平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，因為ED⊥AD，ED?平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BD.又BD⊥CD，CD∩ED＝D，所以BD⊥平面CDE.eq\x(\a\al(【點評】解決立體幾何中的平行和垂直關系問題主要步驟有：,第一步：根據(jù)條件合理轉化.,第二步：寫清推證平行或垂直的所需條件，注意要充分.,第三步：寫出結論.))18．如圖，在棱長均為4的三棱柱ABC-A1B1C1中，D、D1分別是BC和B1C(1)求證：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱錐B1-ABC的體積．解析(1)如圖，連接DD1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，因為D，D1分別是BC與B1C1所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.所以四邊形B1BDD1為平行四邊形．所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因為AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1.所以四邊形AA1D1D為平行四邊形．所以A1D1∥AD.又A1D1?平面AB1D，AD?平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(2)法一在△ABC中，因為AB＝AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC.因為平面ABC⊥平面B1C1CB，交線為BC，AD?平面ABC所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A-B1BC在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq\r(3).在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以△B1BC的面積S△B1BC＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).所以三棱錐B1-ABC的體積，即三棱錐A-B1BC的體積V＝eq\f(1,3)×S△B1BC·AD＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2eq\r(3)＝8.法二在△B1BC中，因為B1B＝BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC為正三角形，因此B