直線與平面垂直的性質(zhì)定理教學(xué)課件

第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

囪闌圖圃園圖（教師獨(dú)具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與

平面的關(guān)系.2.歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理.

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.

核心素養(yǎng)：1.通過(guò)借助長(zhǎng)方體發(fā)現(xiàn)，并歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理的

過(guò)程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理解決問(wèn)題的過(guò)程

發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

'新知［拓展

1.平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化

2.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

（1）直接法（一作（或找）二證（或說(shuō)）三計(jì)算）；

（2）轉(zhuǎn)移法（找過(guò)點(diǎn)與面平行的線或面）；

（3）等體積法（三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法）.

±1評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”）

⑴若直線打平面a,直線虹平面￡,且?！ā?則a//b.（）

⑵若直線a〃平面a,直線8，平面a,則直線直線a.（）

⑶到已知平面距離相等的兩條直線平行.（）

2.做一做

（1）若a,6表示直線，。表示平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）

①a_L。，a、②a〃a,a_LgZd_a；③a_La,bl.a=^a//b.

（2）若直線48〃平面明且點(diǎn)/到平面a的距離為2,則點(diǎn)8到平面a的

距離為—.

（3）在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)（該點(diǎn)不在底面圓周上），過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底

面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是—.

（4）在長(zhǎng)方體ABCD-ABC。中,〃'與龍相交于點(diǎn)0,4G與3〃相交于點(diǎn)。，

則0Q與平面484〃的位置關(guān)系是.

形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

例1如圖，在正方體45?！ㄒ?8口中，后是4。上的點(diǎn)，/是〃'上的點(diǎn),

且如與異面直線/C,4〃都垂直相交.

求證：EF〃BD\.

［跟蹤訓(xùn)練1］如圖，在正方體第力一4AG〃中，E,b分別是切，4〃的

中點(diǎn).

⑴求證：AB」BF；

(2)求證：AELBF；

(3)棱①上是否存在點(diǎn)P,使8d平面力露？若存在，確定點(diǎn)尸的位置，若

不存在，說(shuō)明理由.

題型二空間中的距離問(wèn)題

例2如圖，長(zhǎng)方體力靦-45G〃的底面/比》是正方形，點(diǎn)￡在棱力4上，

BE1EG^AE=A、E,46=3,求四棱錐￡一防GC的體積.

［跟蹤訓(xùn)練2］如圖，四棱錐產(chǎn)一眼小中，B4_L菱形力及力所在的平面，Z

460=60°,6是a'的中點(diǎn)，"是外的中點(diǎn).

(1)求證：力反L平面必〃；

⑵若AB=AP=2,求點(diǎn)尸到平面4町的距離.

題型三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，為，平面/劭，尸入平面加9,E,F分別為8C,切上的點(diǎn)，且

CFCE

EFLAC.求證:

DCBC

p

［跟蹤訓(xùn)練3］已知an8=AB,PQLa于點(diǎn)Q,POX.￡于點(diǎn)0,ORI.a

于點(diǎn)R,求證：QRLAB.

達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知△力8c所在的平面為a,直線八陰11.AC,直線MBC,mtAC,

則直線J,R的位置關(guān)系是（）

相交B.異面

平行D.不確定

2.已知m,〃是三條不同的直線，。是一平面.下列命題中正確的個(gè)數(shù)

為（）

①若1//m,m//n,11.a,貝ija?

②若1//m,ml.a,〃_!_a,則/〃〃；

③若1//a,則mA.a.

A.1B.2

C.3D.0

3.（多選）如圖，直線為垂直于圓。所在的平面，內(nèi)接于圓0,且四

為圓〃的直徑，點(diǎn)"為線段處的中點(diǎn).以下結(jié)論中正確的是（）

BCLPC

〃暇/平面PAC

點(diǎn)8到平面為C的距離等于線段程的長(zhǎng)

三棱錐必。的體積等于三棱錐尸一/a'體積的.

O

如圖，口力時(shí)的邊44平面/a2且/尸=2,CD=3,則"=

5.如圖所示，已知平面aA平面B=EF,力為a,B外一點(diǎn)，ABVa于點(diǎn)

B,ACLJ3于點(diǎn)C,CD]a于點(diǎn)D.求證：BDLEF.

p/B

精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.用a,b,c表示三條不同的直線，7表示平面，給出下列命題：

①若a//b,b//c,則a//c；

②若a_Lb,6_Lc,則a±c；

③若a//y,b//y,則a//b-,

④若a_Ly,bl.y,則a//b.

其中真命題的序號(hào)是（）

A.①②B.②③

C.①④D.③④

2.直線1垂直于梯形/四的兩腰和CD,直線加垂直于4〃和BC,則1

與加的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.不確定

3.地面上有兩根相距a米的旗桿，它們的高分別是，米和。米（6>c）,則它

們上端的距離為（）

A.N#+方B.\]tf+c

C.—\D..?+b—c~、

4.如圖，設(shè)平面an平面B=PQ,比1平面a,研平面a,垂足分別為

G,H.為使PQ1GH,則需增加的一個(gè)條件是（）

A.環(huán)文平面aB.既L平面￡

C.PQLGED.PQ工FH

5.（多選）如圖，等邊三角形4%的邊長(zhǎng)為1,a'邊上的高為/〃，沿/，把△

力優(yōu)折起來(lái)，則（）

B'

A.在折起的過(guò)程中始終有平面/厲'C

B.三棱錐4—施'。的體積的最大值為*

4o

C.當(dāng)N夕&7=60°時(shí)，點(diǎn)火到夕。的距離為華

D.當(dāng)N8'DC=90°時(shí)，點(diǎn)C到平面加時(shí)的距離為:

二、填空題

6.a,6是異面直線，直線ILb,直線/_La,ml.b,則/與R的位置

關(guān)系是—.

7.如圖，設(shè)正三棱柱/應(yīng)」45G的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E,尸分別為

棱48,4G的中點(diǎn)，則）的長(zhǎng)為.

G

8.如圖，在三棱錐。一48。中，必底面48C,N為仁90°,尸是4C的中點(diǎn),

PE

夕是尸。上的點(diǎn)，豆EFLBC,則==.

三、解答題

9.如圖，已知平面an平面￡=/,EAX.a,垂足為4EBLB,8為垂足,

直線&u￡,a_L48.求證：all1.

10.如圖所示，在正方體力犯9—46K〃中，"是48上一點(diǎn)，"是4c的中點(diǎn),

加5平面A\DC.

-：.y

D/

MB

求證：（1）稱,〃力〃;

（2）〃是46的中點(diǎn).

,學(xué)考水平等級(jí)練

1.直線a和力在正方體/頗一46K〃的兩個(gè)不同平面內(nèi)，不能使a〃，成立

的條件是（）

A.a和，垂直于正方體的同一個(gè)面

B.a和6在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面

C.a和6平行于同一條棱

D.a和6在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直

2.已知正四棱柱力"9-48《〃中，AB=2,CC、=2小,￡為S的中點(diǎn)，則

直線力6；與平面陽(yáng)9的距離為（）

A.1B.小

C.小D.2

3.如圖所示，已知矩形/紀(jì)9中，48=3,BC=a,若處_L平面48（力，在.BC

邊上取點(diǎn)反使PE上DE,則滿足條件的6點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是.

4.如圖，14,仍為圓柱的母線，加是底面圓的直徑，D,￡分別是83,4c

的中點(diǎn).

證明：（1）龍〃平面/5a

⑵48」平面AJC.

5.如圖，菱形力靦中，ZABC=QO°,4C與弦相交于點(diǎn)0,EB=EC=ED,

CF//AE,AB=2,CF=3.

B

⑴求證：必，平面四⑦；

（2）求四面體尸一戊石的體積.

第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

囪留醫(yī)圃園國(guó)（教師獨(dú)具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與

平面的關(guān)系.2.歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理.

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用.

核心素養(yǎng)：1.通過(guò)借助長(zhǎng)方體發(fā)現(xiàn)，并歸納出直線與平面垂直的性質(zhì)定理的

過(guò)程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理解決問(wèn)題的過(guò)程

發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

［新知I拓展

1.平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化

2.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

（1）直接法（一作（或找）二證（或說(shuō)）三計(jì)算）；

（2）轉(zhuǎn)移法（找過(guò)點(diǎn)與面平行的線或面）；

（3）等體積法（三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法）.

±1評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判（正確的打“，錯(cuò)誤的打“義”）

（1）若直線a,平面a,直線力，平面￡,且a//則a〃4（）

⑵若直線a〃平面a,直線平面a,則直線直線a（）

⑶到已知平面距離相等的兩條直線平行.（）

答案⑴V(2)V(3)X

2.做一做

(1)若a,6表示直線，。表示平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()

①a_La,a_Lgb//a；②)alla,a_Lb^>6_La；③a_La,6J_a=>a//b.

A.1B.2

C.3D.0

(2)若直線18〃平面a,且點(diǎn)月到平面a的距離為2,則點(diǎn)8到平面a的

距離為—.

(3)在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底

面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是—.

(4)在長(zhǎng)方體ABCD-AACA中，〃'與9相交于點(diǎn)0,4G與區(qū)〃相交于點(diǎn)Q,

則00、與平面ABCD、的位置關(guān)系是.

答案(1)A(2)2(3)平行(4)垂直

核心素養(yǎng),形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

例1如圖，在正方體4AG〃一/靦中，6是4〃上的點(diǎn)，尸是4C上的點(diǎn),

且哥'與異面直線4G4〃都垂直相交.

求證：EF//BD,.

［證明］如圖所示，連接B、C,BD,B、D\,

?.?勿」平面ABCD,

ACa平面/8C0,

：.DD,VAC.

又AOLBD,BDCDD尸D,

平面BDDB.

又物u平面成以R,

C.ACLBD,.

同理可證BD\LBC又ACQB、C=C,

.?.做，平面ABC

*：EFLAD,又A。/B、C,:.EFLBC

又EFLAC,ACHB^C=C,.?.跖J_平面/8C

:.EF〃BD\.

證明線線平行常用的方法

(1)利用線線平行的定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn).

(2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線.

(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.

(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.

(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.

［跟蹤訓(xùn)練1］如圖，在正方體力閱9—46G〃中，E,尸分別是切，4〃的中

點(diǎn).

⑴求證：ABJBF；

(2)求證：AELBF；

(3)棱CG上是否存在點(diǎn)P,使8d平面AEP!若存在，確定點(diǎn)尸的位置，若

不存在，說(shuō)明理由.

解(1)證明：連接48,

則AB.VA.B,

又因?yàn)榱?凡且48rM0=4,

所以四J_平面ABF.

又郎t平面4質(zhì)所以48」朋

⑵證明：取/〃的中點(diǎn)G,連接微BG,則在GUE,

又因?yàn)椤骱姟?龐，

所以AABG=N所以AELBG.

又因?yàn)?GCFG=G,所以AEL平面BFG.

又郎t平面即G,所以/瓦L郎

⑶存在.取CG的中點(diǎn)R即為所求.

連接"，AP,CD

因?yàn)镋P〃C、D,C\D"AB、,所以露〃朋.

由⑴知所以母工廢

又由⑵知"且/少0a三￡,

所以即_1平面/鰭

題型二空間中的距離問(wèn)題

例2如圖，長(zhǎng)方體力靦的底面⑦是正方形，點(diǎn)￡在棱/4上,

BE1EG.若AE=A、E,48=3,求四棱錐￡一物GC的體積.

B、

［解］由長(zhǎng)方體ABCUBCDi，

nJ知86_L平面ABB\A\,BEu平面

所以5G，豳因?yàn)榫榑L￡C,AGn￡C=G,

所以應(yīng)立平面郎C，所以/8郎=90°,

由題設(shè)可知Rt△/跳絲RtZS43￡

所以//曲=N4曲?=45°,

所以4￡=46=3,M=2A￡,=6,

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體48(幻一45C〃中，44〃平面的GC,E^AA?/員L平面防GC,

所以少到平面的GC的距離即為點(diǎn)A到平面的GC的距離，AB=3,

所以四棱錐6—防GC的體積K=1x3X6X3=18.

0

金版點(diǎn)睛

空間中距離的轉(zhuǎn)化

(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平

面上的另一點(diǎn)到平面的距離.

(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助

中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離.

(3)通過(guò)換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分

割)，以方便求底面積和高.

［跟蹤訓(xùn)練2］如圖，四棱錐。一4發(fā)力中，為，菱形48(幻所在的平面，/ABC

=60°,￡是寬的中點(diǎn)，"是"的中點(diǎn).

(1)求證：力"平面必〃；

⑵若AB=AP=2,求點(diǎn)尸到平面的距離.

解(1)證明：因?yàn)榈酌??繆為菱形，N4?C=60°,

所以△48。為正三角形，因?yàn)橄κ莂'的中點(diǎn)，所以力壯比;

因?yàn)?〃〃8C,所以四

因?yàn)闉?，平?85，4氏平面4犯9,

所以4n力其又因?yàn)?n〃?=4所以月"平面必〃

(2)因?yàn)锳B=AP=2,貝!JAD—2,AE=y^3，所以%械=%一勿〃=可邑總加?力￡=鼻X-

OOLt

X^X2X2X^3=

iR

設(shè)點(diǎn)尸到平面4加?的距離為h,即金五碗?h=y=「

OO

易知外=2卷PM=y[i,PC=2y[2,CD=2,

.8+8-48+2-CJ/

『=『『，CM-2，

2X2^/2X2^/22X242X42

在△力,"'中，AM=yf2,AC=CM=2,

?c―亞.乂亞?亞?一酒

9

??U>AJ<，-2?,3入2門-3'**n—7，

即點(diǎn)尸到平面4必的距離為平.

題型三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，為，平面/初，/TL平面式》,E,F分別為BC,口上的點(diǎn)，且

CFCE

EFLAC.求證:~D(r~BC

［證明］?.?刃，平面/必

尸UL平面BCD,

：.PALBD,PC工BD,PCVEF.

又PACPC=P,.?.應(yīng)LL平面為C

又EF工AC,PCCAC=C,...灰L平面用C,

.CF_CE

J.EF//BD,''~D(T~BC

|金版點(diǎn)睛

(1)線線垂直的證明，常轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)證明，即：把兩條直線中一條放在

某個(gè)平面內(nèi)，然后證明另一條垂直于這個(gè)平面.要證線面垂直，可通過(guò)線面垂直

的定義及判定定理，體現(xiàn)了線線垂直一線面垂直一線線垂直，解題時(shí)要注意

這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的合理應(yīng)用.

(2)要學(xué)會(huì)逆向分析的方法，從要證明的結(jié)論入手，層層遞推，這是解決問(wèn)題

的有效方法.

［跟蹤訓(xùn)練3］已知anB=AB,PQLa于點(diǎn)Q,POX.B于點(diǎn)0,ORLa于

點(diǎn)、R,求證：QRLAB.

證明如圖，Von］3=AB,

.\ABcia,ABa￡,

?:POLB,:.POLAB.

,：PQ1.a,:.PQLAB.

'：尸00PQ=P,：.ABV平面PQO.

'：ORI.a,：.PQ//OR.

，國(guó)與07?確定平面PQRO.

又QRu平面PQRO,：.QRLAB.

隨堂水平達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知△4%所在的平面為a,直線1LAC,直線/，況；mVAC,

則直線/,加的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.不確定

答案C

解析因?yàn)?_L/3,1A.AC,ABca,ACaa且四門業(yè)=/，所以/_La,同

理可證/_L。，所以l//m.

2.已知Am,〃是三條不同的直線，a是一平面.下列命題中正確的個(gè)數(shù)

為（）

①若1//m,m//n,11.a,則〃_!_a；

②若1//m,ml.a,nA.a,則/〃〃；

③若1//a,lYm,貝UmA.a.

A.1B.2

C.3D.0

答案B

解析對(duì)于①，因?yàn)?〃力，m//n,所以/〃〃，又所以即①

正確；對(duì)于②，因?yàn)槲餩La,nl.a,所以加〃〃，又/〃加，所以/〃〃，即②正確；

對(duì)于③，因?yàn)?//a,/_）_/，所以勿〃a或g?；蛩鸏a或7與a斜交，即③

錯(cuò)誤.

3.（多選）如圖，直線為垂直于圓。所在的平面，△48。內(nèi)接于圓。，且四

為圓。的直徑，點(diǎn)"為線段%的中點(diǎn).以下結(jié)論中正確的是（）

A.BCLPC

B.〃力〃平面PAC

C.點(diǎn)8到平面處。的距離等于線段8。的長(zhǎng)

D.三棱錐〃一為。的體積等于三棱錐尸一/8。體積的;

答案ABC

解析對(duì)于A,?.?直線為垂直于圓。所在的平面，...處，式:?.F6為圓。的

直徑，C.ACLBC,又用A4C=4二式2平面必。，又依：平面/C,C.BCLPC.K

正確；對(duì)于B,???點(diǎn)"為線段陽(yáng)的中點(diǎn)，點(diǎn)。為直徑48的中點(diǎn)，...〃〃〃必.又必

u平面PAC,〃施平面PAC,.?.〃勿〃平面PAC,B正確；對(duì)于C,:比上平面PAC,

.?.點(diǎn)6到平面處。的距離等于線段切的長(zhǎng)，C正確；對(duì)于D,?.?點(diǎn)"為線段所

的中點(diǎn)，，點(diǎn)，"到平面必，的距離是點(diǎn)3到平面處C距離的，匕-,"=；%-2

乙乙

ABe

又VB-PAC=，：，D不正確.故選ABC.

Vp~ABC?Vv~PAC=W乙%1

4.如圖，龐F的邊4吐平面/a〃且"'=2,CD=3,則龍=.

答案仃

解析因?yàn)锳F1平面口,AF//初，所以EDA.平面力8⑦,因?yàn)槿缙矫?比》,

所以口，切，所以△97為直角三角形，CE=?E"B=p.

5.如圖所示，已知平面an平面B=EF,A為a,8外一點(diǎn)，ABLa于點(diǎn)

B,ACLJ3于點(diǎn)C,CD]a于點(diǎn)D.求證：BDLEF.

證明'：ABX.a,CDLa,J.AB//CD,

：.A,B,C,，四點(diǎn)共面.

'：ABA.a,ACL￡,aC￡=EF,

：.ABLEF,ACLEF.

又.?.￡7」平面力劭a

?:B上平面ABDC,：.BDVEF.

課后課Bl精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級(jí)€學(xué)考水平合格練

一、選擇題

1.用a,b,c表示三條不同的直線，7表示平面，給出下列命題：

①若a//b,b//c,則a//c；

②若a_L8,6_Lc,則a_Lc；

③若a〃y,b//y,則a//b\

④若a_Ly,bl.y,則a//b.

其中真命題的序號(hào)是（）

A.①②B.②③

C.①④D.③④

答案C

解析由平行公理可知①正確；②不正確，若三條直線在同一平面內(nèi)，則a

〃c；③不正確，a與，有可能平行，也有可能異面或相交；由線面垂直的性質(zhì)可

知④正確.

2.直線/垂直于梯形力a7?的兩腰A9和CD,直線勿垂直于曲和BC,則1

與加的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.不確定

答案D

解析根據(jù)題意，平面/a4勿可能在平面4時(shí)內(nèi)，也可能垂直平面ABCD,

還可能在平面/靦外但不垂直于平面/比所以直線1與加可能平行、相交或

異面，故選D.

3.地面上有兩根相距a米的旗桿，它們的高分別是，米和c米（6>c）,則它

們上端的距離為（）

A.■才+〃B.

C.yja2—cD.yja+b—c~

答案D

解析如圖I,由線面垂直的性質(zhì)定理可知48〃切，作切于反則龍=，

—c,故A￡)=-\]a+b~c

4.如圖，設(shè)平面aC平面B=PQ,%J_平面a,也平面a,垂足分別為

G,H.為慢PQLGH,則需增加的一個(gè)條件是（）

p

A.皮7_L平面aB.跖_(tái)L平面￡

C.PQLGED.PQLFH

答案B

解析因?yàn)轷臞_平面a,碗"平面a,所以反F,H,G四點(diǎn)共面.又加

c平面a,所以EGLPQ.若m1平面￡,則由PK平面￡,得EF1PQ.又比nEF

=E,所以尸0，平面同7/G,所以即，故選B.

5.（多選）如圖，等邊三角形力8。的邊長(zhǎng)為1,8C邊上的高為沿/〃把△

/6C折起來(lái)，則（）

A.在折起的過(guò)程中始終有/〃，平面龐'C

B.三棱錐力一應(yīng)'C的體積的最大值為始

A/TR

C.當(dāng)/9DC=QO°時(shí)，點(diǎn)4到夕。的距離為葉一

D.當(dāng)/9上=90°時(shí)，點(diǎn)。到平面板的距離為義

答案ABCD

解析因?yàn)?/LLDC,ADLDB',ADCCDB'=D,所以平面龐'C,故

A正確；當(dāng)"'_!_小時(shí)，△龍'C的面積最大，此時(shí)三棱錐力一施'。的體積也最

大，最大值為〈X坐義求,故B正確；當(dāng)N8'比’=60°時(shí)，△龐，C

oZZZZ40

是等邊三角形，設(shè)8'。的中點(diǎn)為反連接力反DE,則力￡18'C,即4?為點(diǎn)4到

B'。的距離，AE=,故C正確；當(dāng)N8'47=90°時(shí)，CD

LDB',CDLAD,故W，平面/面，則⑦就是點(diǎn)。到平面/龍'的距離，CD=

2?故D正確.

二、填空題

6.a,6是異面直線，直線/J_a,ILb,直線勿_La,ml.b,則/與必的位置

關(guān)系是.

答案l//m

解析將6平移至c,且使a與c相交，則a,c確定一個(gè)平面，記作平面以

V11.b,mA_b,1A,c,ml.c,又/_La,m_La,平面a,勿_L,平面a,1

//m.

7.如圖，設(shè)正三棱柱45C—45G的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E,尸分別為

棱M,4G的中點(diǎn)，則項(xiàng)的長(zhǎng)為.

G

答案后

解析過(guò)點(diǎn)夕作AdC于點(diǎn)G,則平面ABC,連接GE,GE=：BC=1,則

乙

在Rt△尸宓1中，EF=7F"GE=?寸+Y=近.

8.如圖，在三棱錐。一/8。中，為，底面48C,ZBAC=90°,/是〃1的中點(diǎn),

PE

￡是用上的點(diǎn)，且EFLBC,則==.

答案1

解析在三棱錐產(chǎn)一力比1中，

?.?用，底面/附，N物。=90°,."6,平面加C

?.?距=平面為。，：.EFLAB,

,：EFLBC,...跖J_底面/8C,：.PA//EF,

?./是的中點(diǎn)，夕是尸。上的點(diǎn)，

PE

...￡是用的中點(diǎn)，=1

AEC—-

三、解答題

9.如圖，已知平面aC平面0=1,EALa,垂足為/,EB工B,8為垂足,

直線au8,a_L46.求證：a//1.

證明因?yàn)轳?，?au8,所以旗，a

又因?yàn)閍_L4?,ABCEB=B,所以a_L平面/應(yīng)：

因?yàn)?=/,所以/ua,7cP.

因?yàn)楸豃.a,EBl.fi,所以EBL1.

又因?yàn)镋ACEB=E,所以/，平面/應(yīng):所以a〃/.

10.如圖所示，在正方體/及刀一4AG〃中，"是48上一點(diǎn)，/V是4C的中點(diǎn),

.腸歸_平面A\DC.

H

求證：⑴的V〃皿；

(2)〃是48的中點(diǎn).

證明(1)???四邊形AM4為正方形，

?.?繆_1_平面加以4，J.CDLAD,.

?：A\DCCD=D,二/〃，平面

又MNL平面ADC,：.MN//A仄

(2)如圖所示，設(shè)/〃與4〃的交點(diǎn)為。，連接加在△4%中，AgOD,AN

=NC.

：.ON'*CD*AB,

乙乙

C.ON//AM.

又MN//OA,

二四邊形4的。為平行四邊形，

/.AM=ON=^AB,即M是的中點(diǎn).

B級(jí),學(xué)考水平等級(jí)練

1.直線a和6在正方體/靦一46K〃的兩個(gè)不同平面內(nèi)，不能使a〃力成立

的條件是()

A.a和，垂直于正方體的同一個(gè)面

B.a和6在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面

C.a和6平行于同一條棱

D.a和，在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直

答案D

解析A為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用；B為平面平行的性質(zhì)；C為基

本事實(shí)4的應(yīng)用.故選D.

2.已知正四棱柱/四一46K〃中，48=2,。。=2地，夕為比的中點(diǎn)，則

直線AQ與平面順的距離為（）

A.1B.y[3

C.y[2D.2

答案A

解析如圖，連接4c交