新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章　§2.2　函數(shù)的單調(diào)性與最值（原卷版）

§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值考試要求1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實(shí)際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M結(jié)論M為f(x)的最大值M為f(x)的最小值常用結(jié)論1．?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)因?yàn)閒(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上是增函數(shù)．()(2)函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3)．()(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()教材改編題1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝x2－1 B．y＝x3C．y＝2x D．y＝－x＋22．y＝eq\f(x－1,x－2)在[3,4]上的最大值為()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,2)D．43．函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則滿(mǎn)足f(2x－1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．題型一確定函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝eq\r(x2＋x－2)命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)g(x)＝x·|x－1|＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．[1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小例3已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln

eq\r(2))，b＝SKIPIF1<0，c＝SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<a<b命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值例4函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－2,x)－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值為_(kāi)_______．命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式例5已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．命題點(diǎn)4求參數(shù)的取值范圍例6已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax，x≥1，,ax－1，x<1))是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))C．(0,1)D．(0,1]思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿(mǎn)足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x－3，x≤2，,log2x，x>2，))則滿(mǎn)足不等式f(2x－1)<2的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．課時(shí)精練1．下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是()A．y＝x2 B．y＝xC．y＝－eq\r(x) D．y＝eq\f(1,x)2．函數(shù)f(x)＝－|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[0,2] D．[0，＋∞)3．若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)，則f(x)的值域?yàn)?)A．(－∞，3] B．(2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)在R上為增函數(shù)B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則a≤－1或a≥0D．當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇1,2]6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(a,x)(a≠0)，下列說(shuō)法正確的是()A．當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在定義域上單調(diào)遞增B．當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)C．當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)的值域?yàn)?－∞，－4]∪[4，＋∞)D．當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽7．函數(shù)f(x)＝x2－6|x|＋8的單調(diào)遞減區(qū)間是________．8．已知命題p：“若f(x)<f(4)對(duì)任意的x∈(0,4)都成立，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增”．能說(shuō)明命題p為假命題的一個(gè)函數(shù)是________．9．已知函數(shù)f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象；(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．10．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)的值；(2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．11．若函數(shù)f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)12．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2022－eq\f(1,|x|)＋5，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______，不等式f(x－1)<5的解集為_(kāi)_______．13．已知