2022年上海市市八中學高三第二次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在展開式中的常數(shù)項為A．1 B．2 C．3 D．72．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．3．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．4．若，，則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．設(shè)是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．7．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．8．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．2510．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．12．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______.14．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項和，若，且，則公比的值為_____.15．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________.16．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.18．（12分）已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）設(shè)直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知等差數(shù)列滿足，公差，等比數(shù)列滿足，，．求數(shù)列，的通項公式；若數(shù)列滿足，求的前項和．20．（12分）傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分數(shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

求出展開項中的常數(shù)項及含的項，問題得解?！驹斀狻空归_項中的常數(shù)項及含的項分別為：,，所以展開式中的常數(shù)項為：.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。2．C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.3．A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

取，得到，取，則，計算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，取和是解題的關(guān)鍵.5．B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.6．A【解析】

結(jié)合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎(chǔ)題7．D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設(shè)F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設(shè)F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.8．A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題9．D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調(diào)遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為，由余弦定理得，設(shè)首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.10．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當且僅當ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．11．B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先確定關(guān)于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當時，，此時，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.14．【解析】

將已知由前n項和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因為即又等比數(shù)列各項均為正數(shù)，故故答案為：【點睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯，且存在唯一的實數(shù)滿足，當時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當時，，考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)有6個零點，即方程有6個根，也就是有6個根，即與有6個不同交點，注意到函數(shù)關(guān)于直線對稱，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，繪制函數(shù)的圖像如圖所示，觀察可得：，即.綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為．【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應用，復合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16．【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長為8，求出b的表達式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內(nèi)角和定理及誘導公式，得，結(jié)合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設(shè)，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18．（1），（1，2）；（2）存在，【解析】

（1）由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準線的距離之和的最小值為，求出拋物線的方程，再由直線與拋物線相切，即可求得切點的坐標；（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】（1）由題意，直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0，所以定點Q的坐標為拋物線的焦點坐標，由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為，可得，解得或（舍去），故拋物線C的方程為又由消去y得，因為直線與拋物線C相切，所以，解得，此時，所以點P坐標為（1，2）（2）設(shè)存在滿足條件的實數(shù)，點，聯(lián)立，消去x得，則，依題意，可得，解得m<-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在實數(shù)=滿足條件.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.19．，；.【解析】

由，公差，有，，成等比數(shù)列，所以，解得.進而求出數(shù)列，的通項公式；當時，由，所以，當時，由，，可得，進而求出前項和．【詳解】解：由題意知，，公差，有1，，成等比數(shù)列，所以，解得．所以數(shù)列的通項公式．數(shù)列的公比，其通項公式．當時，由，所以．當時，由，，兩式相減得，所以．故所以的前項和，．又時，，也符合上式，故.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，通項公式，前項和公式的應用等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，方程思想，分類討論思想，應用意識，屬于中檔題．20．（1）有的把握認為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨立性檢驗的公式計算出觀測值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因為樣本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年輕人有10人,用樣本估計總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為，是老年人的概率為.根據(jù)獨立重復事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，有的把握認為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).（2）由樣本估計總體，出