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文檔簡介

集合與函數(shù)概念

學習目標1.構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),理解其內(nèi)在聯(lián)系;2。盤點重要技能,提煉操作要點;3.體會數(shù)學

思想,培養(yǎng)嚴謹靈活的思維能力.

要點歸納主干梳理點點落實

[知識網(wǎng)絡(luò)]

~?確定性?

_?概念?~?元素特性?--------1互并性?

―?無序性?

----------T列舉法

——表示方法T=I

----------T描述法|

集合

數(shù)

函數(shù)

.__________.——|單調(diào)性與最大(?。┲祙

_基本性質(zhì)卜一.-------------

二---------I奇偶性I

q映射-I概念

[知識梳理]

1.本章基本技能梳理

本章用到以下技能:

(1)運算技能主要表現(xiàn)在求并交補集,求函數(shù)表達式、定義域、值域、最值、單調(diào)性和奇偶

性的證明和應(yīng)用中大量的方程、不等式運算,以及式子的變形等.

(2)圖形處理技能包括識圖能力和作圖能力.識圖主要體現(xiàn)在給出Venn圖,數(shù)軸,函數(shù)圖象,

要能從中讀出相關(guān)信息;作圖能力體現(xiàn)在給出集合間的關(guān)系或運算,能用Venn圖或數(shù)軸表

示,給出函數(shù)解析式或性質(zhì),能畫出相應(yīng)圖象.

(3)推理技能主要體現(xiàn)在給出子集、并集、交集、補集、函數(shù)、定義域、值域、最值、單調(diào)

性、奇偶性的定義,依據(jù)這些定義去證明或判斷具體的集合和函數(shù)問題.

課本還先給出大量具體例子讓同學們歸納出一般概念和結(jié)論,這叫歸納推理;還有一些類比:

如由增函數(shù)到減函數(shù),由奇函數(shù)到偶函數(shù),由具體函數(shù)到抽象函數(shù)等.

(4)數(shù)據(jù)處理表現(xiàn)在使用表格、圖象、Venn圖來收集整理數(shù)據(jù),這樣可以更直觀,更便于

發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律.

(5)數(shù)學交流體現(xiàn)在使用了大量的文字、符號、圖形語言,用以刻畫集合的關(guān)系運算及函數(shù)

表示和性質(zhì),往往還需要在三種語言間靈活轉(zhuǎn)換,有意識地培養(yǎng)靈活選擇語言,清晰直觀而

又嚴謹?shù)乇磉_自己的想法,聽懂別人的想法,從而進行交流與合作.

(6)運用信息技術(shù)的技能主要表現(xiàn)在應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)資源拓展知識,了解數(shù)學史及發(fā)展前沿,以及

應(yīng)用計算機強大的計算能力描點作圖探究新知等方面.

2.數(shù)學四大思想:函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想,本章用到以下思

想方法:

(1)函數(shù)與方程思想體現(xiàn)在函數(shù)解析式部分,將實際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,再通過

研究函數(shù)性質(zhì)解決諸如最大、最優(yōu)等問題.

(2)轉(zhuǎn)化與化歸主要體現(xiàn)在集合部分符號語言、文字語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化,函數(shù)中求定

義域大多轉(zhuǎn)化成解不等式,求值域大多可以化歸為求二次函數(shù)等基本函數(shù)的值域.

(3)分類討論主要體現(xiàn)在集合中對空集和區(qū)間端點的討論,函數(shù)中主要是欲去絕對值而正

負不定,含參數(shù)的函數(shù)式的各種性質(zhì)的探討.

(4)數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在用數(shù)軸求并交補集,借助函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì).

題型探究重點難點個個擊破

類型一集合的綜合運算

例1已知集合4={xI0<xW2},B={xI

(1)若((RA)UB=R,求〃的取值范圍;

(2)是否存在a使([RA)03=11且4門8=0?

解(1):A={x|0WxW2},

,[R4={xIx<0或x>2].

V(CRA)U8=R.

B

a02a+3

,錯誤!.?.一iWaWO。

(2)由(1)知([RA)U8=R時,

-iWaWO,而a+3£[2,3],

.?.AUB,這與4nB=。矛盾.

即這樣的〃不存在.

反思與感悟借助數(shù)軸表達集合間的關(guān)系可以更直觀,但操作時要規(guī)范,如區(qū)間端點的順序、

虛實不能標反.

跟蹤訓練1已知全集1/={x|xW4},集合A={x[—2<xV3},集合B={x\—3<xW3},

求[4,ACiB,[u(AC8),([yA)08.

解把集合U及集合A,B分別在數(shù)軸上表示出來.

奇,"[_____.

-3-2-101234X

如圖,

[以={xIxW-2或3WxW4},AC8={x|-2<x<3},

[u(ACB)={xIxW—2或3<x<4},

(C(/A)l~lB—{xI—3<xW—2或x=3}.

類型二函數(shù)三要素在實際問題中的應(yīng)用

例2某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁,為了緩解交通壓力,特修一條專用鐵路,用一

列火車作為交通車,已知該車每次拖掛4節(jié)車廂,一天能來回16次,如果該車每次拖掛7

節(jié)車廂,則每天能來回10次.

(1)若每天來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù),求此一次函數(shù)的解析式和定義域;

(2)在(1)的條件下,每節(jié)車廂能載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運營人數(shù)最

多?并求出每天最多運營人數(shù).

解(1)設(shè)每天來回y次,每次拖掛x節(jié)車廂,由題意設(shè)y=H+6(k¥0),當x=4時,y=16,當

x=7時,y=10,得到16=4化+瓦10=7上+6,解得后=-2力=24,,y=-2x+24.

依題意有錯誤!

解得定義域為{xCN|0WxW12}.

(2)設(shè)每天來回y次,每次拖掛x節(jié)車廂,由題意知,每天拖掛車廂最多時,運營人數(shù)最多,

設(shè)每天拖掛S節(jié)車廂,則S=xy=M—2x+24)=-2f+24x=—2(x—6)2+72,xG[0,12]

且XCN.所以當x=6時,Smax=72,此時y=12,則每日最多運營人數(shù)為110X72=7920(人).

故這列火車每天來回12次,才能使運營人數(shù)最多,每天最多運營人數(shù)為7920.

反思與感悟建立函數(shù)模型如本例(1)中的y=-2x+24,(2)中S=-2f+24x是借助函數(shù)研

究問題的第一步,在此過程中要善于抓住等量關(guān)系,并把等量關(guān)系中涉及的量逐步用變量表

示出來;在實際問題中,定義域不但受解析式的影響,還受實際含義約束,如本例中x不能

為負值,不能為錯誤!等.

跟蹤訓練2某糧店銷售大米,若一次購買大米不超過50kg時,單價為加元;若一次購買大米

超過50kg時,其超出部分按原價的90%計算,某人一次購買了xkg大米,其費用為y元,則y

與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=o

答案錯誤!

解析當0WxW50時,當x>50時,y=50/n+(%—50)X90%-w=0.9>7ir+5/n.

類型三函數(shù)性質(zhì)的綜合運用

例3函數(shù)f(x)的定義域為。={xIx#0},且滿足對于任意兩,X2^D,有段"2)=f5)

+fix2).

(1)求f(1)的值;

(2)判斷於)的奇偶性并證明你的結(jié)論;

(3)如果式4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+8)上是增函數(shù),求x的取值范圍.

解(1);對于任意片,X2&D,

有f(X「X2)=/3)+f(X2),

???令X]=X2=i,得/(i)=母'(1),?*.y(1)=0o

(2?(x)為偶函數(shù).

證明:令xi=x2=—1,有/(1)=x—i)+y(—1),

錯誤!犬1)=0.

令兩=一1,由=工有共一*)=/(—i)+yu),

?V(-%)=/(x),."(x)為偶函數(shù).

(3)依題設(shè)有式4X4)=犬4)+/(4)=2,

由(2)知,?r)是偶函數(shù),

:.f(x-l)<2?-/(Ix-l|)J(16).

又4x)在(0,+8)上是增函數(shù).

.\0<|%-1|<16,解之得一15&V17且xWl.

;.尤的取值范圍是國一15a<17且xri}.

反思與感悟題目給出的條件是任意的,M,那么我們就可以根據(jù)自己的需要對XI,必任意賦值,

但關(guān)鍵是你得知道自己想要什么,即清楚自己的變形方向.

跟蹤訓練3對于函數(shù)大幻=/一2Ix\.

(1)判斷其奇偶性,并指出圖象的對稱性;

(2)畫此函數(shù)的圖象,并指出單調(diào)區(qū)間和最小值.

解(1)函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,

J(—x)=(—x)2—2I—xI=x2—2IxI.

則_A-x)=〃),,f(x)是偶函數(shù).

圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)f(x)=x2-2|xI=錯誤!

畫出圖象如圖所示,

根據(jù)圖象知,函數(shù)人x)的最小值是一1,無最大值.

單調(diào)增區(qū)間是[-1,0],[1,+8);單調(diào)減區(qū)間是(-8,一門,[0,門.

達標檢測當堂檢測鞏固反饋

1.已知集合加={xI-3<X<1},N={-3,—2,—1,0,1},則MGN等于0

A.{—2,-1,0,1}

B.{—3,—2,—190}

C.{—2,—1,0}

D.{-3,—2,—1)

答案C

解析運用集合的運算求解.MCN={-2,-1,0},故選C.

2.已知集合「={布=錯誤!},集合。={如,=錯誤!},則尸與Q的關(guān)系是()

A.P=QB.PQ

C.PQD.PAQ=0

答案B

解析P={xI>=錯誤!}=[—1,+°°),Q={>僅=錯誤!}=[0,+°°),所以。P.

3.設(shè)函數(shù)/(x)=錯誤!則/(-4)=,若/(松)=8,則對=.

答案18一錯誤!或4

解析|-4)=(-4)2+2=18,

由f(沏)=8,得錯誤!或錯誤!

得心=一錯誤!,或刖=4。

4.已知集合A={x[2—aWxW2+a},B={xIxWl,或x》4}.

(1)當a=3時,求AC1B;

(2)若AC8=0,求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)當a=3時,A—{x|—1WXW5},B={xIxWl,或x24},

.,.ACIB={X|-1WXW1,或4WxW5}.

(2)①若4=0,此時2—a>2+a,

.,.a<0,滿足4門8=0。

②當a20時,A={x\2-a^x^2+a}W。,

VADB=0,,錯誤!...OWaVl.

綜上可知,實數(shù)”的取值范圍是(一8,1).

f---------■■規(guī)律與方法■■---------1

1.集合中的元素的三個特征,特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到.解題后要進行檢

驗,要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化.

2.在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時,要緊扣兩點:一是定義域是否相同;二是對應(yīng)關(guān)系是

否相同.

3.定義域優(yōu)先原則:函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù),對函數(shù)性質(zhì)的討論,必須在定義

域上進行.

4.函數(shù)解析式的幾種常用求法:待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法.

40分鐘課時作業(yè)強化訓練拓展提升

一、選擇題

1。設(shè)全集U=R,W={xIx(-2,或x>2},N={x[l<x<3},則圖中陰影部分117

所表示的集合是()

A.{x|-2&<1}B.{xI—2WxW2}

C.{xI1CW2}D.{x\x{2}

答案C

解析陰影部分所表示集合是Nn([uM),

又?.,[〃/={X|-2WA<2},

:.NQ([uM)={x|l〈xW2}.

2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,+8)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()

A.y—x2B.y—x*12

I

23

C.y=xD.y=x

答案A

3.定義在R上的偶函數(shù)f(x),對任意x”檢6[0,+8)(西士忿),有錯誤!<0,則()

A./(3)</(-2)勺⑴B../(l)<X-2)<f(3)

C./(-2)</,(1)</(3)D./(3)</(1)<7(-2)

答案A

解析由已知錯誤!<0,

得f(x)在xC[0,+8)上單調(diào)遞減,

由偶函數(shù)性質(zhì)得了(3)<7(-2)</(1),故選A。

4.函數(shù)/0)=以2+2(?-1)x+2在區(qū)間(一8,4]上為減函數(shù),則a的取值范圍為()

A.0<aW錯誤!B.OWaW錯誤!

C.0<a<錯誤!D.a>錯誤!

答案B

解析當a#0時,函數(shù)f(x)的對稱軸為x=一錯誤!,

"-"fix')在(-8,4]上為減函數(shù),

.?.圖象開口朝上,。>0且一錯誤!24,得0<aW錯誤!。

當a=0時/(x)=-2r+2,顯然在(一8,4]上為減函數(shù).

5.給定映射聲(x,y)f(x+2y2x—y),在映射了下,(3,1)的原像為()

A.(1,3)B.(1,1)

C.(3,1)D.(錯誤!,錯誤!)

答案B

解析由錯誤!得錯誤!

6.已知函數(shù)f(x)是(-8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù),且當x<0時,函數(shù)的圖象如圖所

示,則不等式對Yx)<0的解集是()

A.(-2,-1)U(1,2)

B.(-2,-1)U(O,1)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(-1,O)U(1,2)

D.(-00,-2)U(-l,0)U(0,1)U(2,+8)

答案D

7.函數(shù)y=/(x)對于任意x,yeR,有./(x+y)=/(x)+J(y)—11當x〉0時,/(x)>1,且/

(3)=4,則()

A.f(x)在R上是減函數(shù),且./U)=3

B.f(x)在R上是增函數(shù),且式1)=3

C.fix')在R上是減函數(shù),且/(I)=2

D.f(x)在R上是增函數(shù),且_/U)=2

答案D

解析設(shè)片氣,/(乃)-f(Xi)

=H(%2—Xl)+M]—f(X|)

=凡必一xi)+y(xi)—i—X-?i)—fix2—xi)—i.

V%2—X])0,又已知X〉0時/(x)〉1,

??f(X2—X|))1O

,/(X2)-,A-V|))0,即7(X|)(f(x2).

.V(x)在R上是增函數(shù).

:/3)=式1+2)=/(l)+X2)-l

=yu)+ww(i)-i]-i

=3/(l)-2=4,

:.f(1)=2.

二、填空題

8.設(shè)集合A={x|l〈x<2},B={xIx<?},滿足AUB,則實數(shù)a的取值范圍是

答案{aI心2}

解析如圖,可知a22。

12ax

9.如果函數(shù)g(x)=錯誤!是奇函數(shù),則f(x)=.

答案2r+3

解析設(shè)x<0,則一x>0,g(—x)——2x—3?

?;g(x)為奇函數(shù),

.,./(.X)—g(x)=—g(—x)=2x+3.

10.己知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)=X2+2X(X>0),若f(3一m2)牙(2機),則實數(shù)機

的取值范圍是.

答案(一3,1)

解析因為函數(shù)/(X)=f+2x在[0,+8)上是增函數(shù),又/(x)是R上的奇函數(shù),所以了

G)是R上的增函數(shù).要使/(3—病)?2m),只需3—毋〉2m,

解得一3<,"<1。

三、解答題

11.已知函數(shù)/(x)=錯誤!是定義在(一1,1)上的奇函數(shù),且大錯誤!)=錯誤!?

(1)確定函數(shù)/U)的解析式;

⑵用定義證明:火X)在(一1,1)上是增函數(shù);

(3)解不等式:f(r-1)+./(?)<0o

(1)解由題意,得錯誤!

即錯誤!=錯誤!

所以函數(shù)40=錯誤!.

(2)證明任取的用6(—1,1)且X|〈X2,則

(X])=錯誤!一錯誤!

=錯誤!。

—1〈尤]<%2<1,

'.X2-X\)0,1+x錯誤!〉0,l+;v^誤!>0.

又1〈X]X2〈1,二1一西電〉0。

-V(x2)-f(Xi))0,故八必)〉於1).

.../(X)在(-1,1)上是增函數(shù).

(3)解原不等式可化為

/(r-D

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