平面直角坐標(biāo)系中的距離公式 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)1.1.6平面直角坐標(biāo)系中的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge題型突破Breakthroughinquestiontypes當(dāng)堂檢測(cè)Classroomtest學(xué)習(xí)目錄ParentConferenceDirectory壹叁貳肆學(xué)習(xí)目標(biāo)PART01學(xué)習(xí)目標(biāo)01掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式01掌握點(diǎn)到直線的距離公式02會(huì)求兩條平行線之間的距離03會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題04探索新知PART02探索新知02復(fù)習(xí)回顧

思考：如果把上述問(wèn)題拓展到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，又如何來(lái)求兩點(diǎn)間的距離呢？如右圖所示

兩點(diǎn)間的距離公式

知識(shí)點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離探索新知02思考交流

對(duì)于兩點(diǎn)之間的距離公式，我們還有別的理解方式么？請(qǐng)大家結(jié)合前面學(xué)過(guò)的平面向量?jī)?nèi)容，談?wù)勛约旱目捶?知識(shí)點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離

方法1：向量法

探索新知02思考交流

對(duì)于兩點(diǎn)之間的距離公式，我們還有別的理解方式么？請(qǐng)大家結(jié)合前面學(xué)過(guò)的平面向量?jī)?nèi)容，談?wù)勛约旱目捶?知識(shí)點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離

方法2：投影法

探索新知02知識(shí)剖析

(3)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式是建立在數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式的基礎(chǔ)上的，是將既不平行也不垂直于坐標(biāo)軸的線段進(jìn)行分解，得到垂直于坐標(biāo)軸的線段，利用勾股定理推出來(lái)的.這一過(guò)程體現(xiàn)了“化斜為直”“化一般為特殊”的數(shù)學(xué)思想.知識(shí)點(diǎn)1

兩點(diǎn)間的距離探索新知02

探索新知02

已知三點(diǎn)，三角形就是確定的，其各邊長(zhǎng)及各邊的中線長(zhǎng)都可求.

探索新知02

已知三點(diǎn)，三角形就是確定的，其各邊長(zhǎng)及各邊的中線長(zhǎng)都可求.

探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式

探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式思路一：直接法

思路簡(jiǎn)單運(yùn)算繁瑣探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式思路一：直接法

探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式思路二：面積法xyO

SR

N探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式探究

我們知道，向量是解決距離、角度問(wèn)題的有力工具.能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？

探索新知02總結(jié)歸納

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式

探索新知02總結(jié)歸納

知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)到直線的距離公式

探索新知02

探索新知02

探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)3

兩條平行直線間的距離

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

兩平行直線間的距離

求兩條平行直線間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離探索新知02思考交流

知識(shí)點(diǎn)3

兩條平行直線間的距離兩平行直線間的距離

在直線l1上任取一點(diǎn)P(x1,y1),則有Ax1+By1+C1=0，此時(shí)，兩條平行直線l1，l2之間的距離也就是點(diǎn)P(x1,y1)到直線l2的距離.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得：

探索新知02總結(jié)歸納

兩條平行直線間的距離公式

知識(shí)點(diǎn)3

兩條平行直線間的距離探索新知02

探索新知02

探索新知02

探索新知02拓展

1.坐標(biāo)法的定義：根據(jù)圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而利用代數(shù)知識(shí)使問(wèn)題得以解決.這種解決問(wèn)題的方法叫作坐標(biāo)法，也稱解析法.知識(shí)點(diǎn)3

兩條平行直線間的距離2.用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)設(shè)出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出未知點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用已學(xué)的坐標(biāo)公式列出方程(組)，通過(guò)計(jì)算得出代數(shù)結(jié)論；(4)反演回去，得到幾何問(wèn)題的結(jié)論.探索新知02總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)3

兩條平行直線間的距離

一、兩點(diǎn)間的距離公式

二、點(diǎn)到直線的距離公式

三、兩平行線間的距離公式兩平行直線l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0（其中A,B不全為0，且C1≠C2），之間的距離：題型突破PART03題型突破03題型1三角形形狀的判斷例1.如圖,已知△ABC的三頂點(diǎn)A(－3,1),B(3,－3),C(1,7).(1)判斷△ABC的形狀;(2)求△ABC的面積.題型突破03題型1三角形形狀的判斷例1.如圖,已知△ABC的三頂點(diǎn)A(－3,1),B(3,－3),C(1,7).(1)判斷△ABC的形狀;(2)求△ABC的面積.題型突破03解題通法判斷三角形的形狀常用兩種方法：一是利用邊長(zhǎng)關(guān)系（包括邊相等、勾股定理等）.已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出各邊的長(zhǎng).若長(zhǎng)相等，可判定是等腰或等邊三角形；若滿足勾股定理，可判定是直角三角形；二是利用角的關(guān)系.題型1三角形形狀的判斷題型突破03題型2由兩點(diǎn)間的距離求直線方程例2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l：y＝kx＋1上的兩點(diǎn)，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直線l的方程.解由題意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，∴y1－y2＝k(x1－x2)，∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9，∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2，∴k2＝3，題型突破03解題通法從交點(diǎn)坐標(biāo)入手，采用“設(shè)而不求”“整體代入”或“整體消元”的思想方法可以優(yōu)化解題過(guò)程.這些解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能.另外，靈活運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱、線段垂直平分線的性質(zhì)等，同樣是很重要的.題型2由兩點(diǎn)間的距離求直線方程題型突破03題型3平行直線間的距離的最值問(wèn)題例3.兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；解如圖，顯然有0<d≤|AB|.題型突破03題型3平行直線間的距離的最值問(wèn)題例3.兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程.解由圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直.所以所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.題型突破03解題通法應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此類題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決.(2)數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到.當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍.題型3平行直線間的距離的最值問(wèn)題題型突破03距離的最值問(wèn)題的三種處理方法①利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離．③利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題.題型3平行直線間的距離的最值問(wèn)題題型突破03題型4直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：斜率相等，求對(duì)稱點(diǎn)拓展點(diǎn)

直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱解題要點(diǎn)：法一：l

2上的任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在l

1上；

法二：l

1∥

l

2點(diǎn)斜式或?qū)ΨQ兩點(diǎn)式法三：l

1∥

l

2且P到兩直線等距.

法四：過(guò)P作l

1的平行線l，到l

1,