考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷2（共243題）

考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷2（共9套）（共243題）考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)1、對于任意的兩個事件A，B，AB，則不能推出結論()A、P(AB)=P(A)．B、P(A∪B)=P(B)．C、=P(A)=P(B)．D、=P(B)-P(A)．標準答案：C知識點解析：因為AB，則AB=A，A∪B=B，P(AB)=P(A)，P(A∪B)P(B)，=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)，所以A、B、D結論都能推出，而C的結論是推不出來的，故應選C．2、設0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A與B相互獨立，則()A、A與B互不相容．B、A與B一定相容．C、互不相容．D、與B互不相容．標準答案：B知識點解析：由題設有0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，因A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)≠0，因而A與B相容，選B．另外，A與B獨立，故與B也相容．3、某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為p(0＜p＜1)，則此人第4次射擊恰好是第2次命中目標的概率為()A、3p(1-p)2．B、6p(1-p)2．C、3p2(1-p)2．D、6p2(1-p)2．標準答案：C知識點解析：設事件A={第4次射擊恰好是第2次命中目標}，則A表示共射擊4次，前3次中有一次擊中，2次脫靶，第4次擊中，所以P(A)=C31p(1-p)2.p=3p2(1-p)2，故選C．4、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，引入函數(shù)F1(x)=F(ax)，F(xiàn)2(x)=F3(x)，F(xiàn)3(x)=1-F(-x)，F(xiàn)4(x)=F(x+a)，其中a為任意常數(shù)，則下列函數(shù)為分布函數(shù)的是()A、F1(x)，F(xiàn)2(x)．B、F2(x)，F(xiàn)3(x)．C、F3(x)，F(xiàn)4(x)．D、F2(x)，F(xiàn)4(x)．標準答案：D知識點解析：F1(x)=F(ax)，當a＜0時，F(xiàn)(ax)=F(-∞)=0≠1，所以F1(x)不是分布函數(shù)．F2(x)=F3(x)滿足分布函數(shù)的四條性質，故F2(x)是分布函數(shù)．F3(x)=1-F(-x)滿足分布函數(shù)的性質(1)、(2)、(3)，但性質(4)不滿足．F3(x)不能保證右連續(xù)．F4(x)=F(x+a)滿足分布函數(shù)的四條性質，故F4(x)是分布函數(shù)．綜上所述，F(xiàn)2(x)和F4(x)可以作為分布函數(shù)，所以選D．5、假設一個設備在任何長為t的時間內發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λt的泊松分布(λ＞0)，T表示相繼兩次故障之間的時間間隔，則對任意t＞0，概率P{T＞t}等于()A、0．B、λt．C、e-λt．D、1-e-λt．標準答案：C知識點解析：事件{T＞t}意味著“相繼兩次故障之間時間的間隔超過t”，它等價于“在時間間隔為t內不發(fā)生故障”，所以{T＞t}={N(t)=0}，其中N(t)～P(λt)，故P{T＞t}=P{N(t)=0}=e-λt．6、已知隨機變量X的概率密度為f(x)=，則概率P{λ＜X＜λ+a}(a＞0)的值()A、與a無關，隨λ的增大而增大．B、與a無關，隨λ的增大而減?。瓹、與λ無關，隨a的增大而增大．D、與λ無關，隨a的增大而減?。畼藴蚀鸢福篊知識點解析：利用概率密度的規(guī)范性，得到Ae-xdx=Ae-λ，即A=eλ．則P{λ＜X＜λ+a}=e-λ(e-λ-e-λ-a)=1-e-a．顯然其值與λ無關且隨a的增大而增大，故選C．7、設隨機變量X，Y的分布函數(shù)為F(x，y)，用它表示概率P{-X＜a，Y＜y}，則下列結論正確的是()A、1-F(-a，y)．B、1-F(-a，y-0)．C、F(+∞，y-0)-F(-a，y-0)．D、F(+∞，y)-F(-a，y)．標準答案：C知識點解析：P{-X＜a，Y＜y}=P{X＞-a，Y＜y}，因為P{Y＜y}=P{X＞-Aa，Y＜y}+P{X≤-a，Y＜y}，所以P{X＞-a，Y＜y)=P{Y＜y)-P{X≤-a，Y＜y)=F(+∞，y-0)-F(a．y-0)，故選C．8、設X，Y為兩個隨機變量，P{X≤1，Y≤1}=，P{X≤1}=P{Y≤1}=，則P(min{X，Y}≤1}=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：設A={X≤1}，B={Y≤1}，P(AB)=，P(A)=P(B)=P{min{X，Y}≤1}=1-P{min{X，Y}＞1}=1-P{X＞1，Y＞1}==P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=故選C．9、設隨機變量X，Y相互獨立，X在區(qū)間(0，2)上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則概率P{X+Y＞1}=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題設知fX(x)=因為隨機變量X，Y相互獨立，所以二維隨機變量(X，Y)的概率密度為所以P{X+Y＞1}=1-P{X+Y≤1}=10、設離散型隨機變量X只取兩個值x1，x2，且x1＜x2．X取值x1的概率為0．6．又已知E(X)=1．4，D(X)=0．24，則X的概率分布為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由于X只取兩個值，即P{X=x1}=0．6，P{X=x2}=1-0．6=0．4，又E(X2)=d(X)+[E(X)]2=0．24+(1．4)2=2．2，故得由題設條件x1＜x2，故第二組解應舍去．可見X的概率分布為B．11、設隨機變量X和Y同分布，概率密度均為且E[a(X+2Y)]=，則a的值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題設E(X)=，且E(Y)=E(X)=，于是E[a(X+2Y)]=aE(X)+2aE(Y)=，故應選A．12、對任意兩個隨機變量X和y，若E(XY)=E(X)E(Y)，則()A、D(XY)=D(X)D(Y)．B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)．C、X和Y獨立．D、X和Y不獨立．標準答案：B知識點解析：由方差的性質知B正確．這時X與Y不相關，但可能獨立，也可能不獨立，因而C、D不正確．利用方差的定義計算D(XY)，不能推出選項A．13、已知隨機變量X與Y相互獨立，D(X)＞0，D(Y)＞0，則()A、X與X+Y相互獨立．B、X與X+Y不相互獨立．C、X與XY相互獨立．D、X與XY不相互獨立．標準答案：B知識點解析：已知X與Y相互獨立，故Cov(X，Y)=0，Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)＞0，所以X與X+Y一定相關，從而X與X+Y一定不相互獨立．14、設X1，X2，…，Xn獨立同分布，且Xi(i=1，2，…，n)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則下列各式成立的是()(其中Ф(x)=A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由Xi服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布知E(Xi)=．根據(jù)中心極限定理，故選A．15、X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體X～N(0，σ2)的簡單隨機樣本，Y2=，則()A、X2～χ2(1)．B、Y2～χ2(10)．C、～t(10)．D、～F(10，1)．標準答案：C知識點解析：因為X～N(0，σ2)．所以～N(0，1)且相互獨立，故～χ2(1)，～χ2(10)，所以A、B不正確；又因為X與Y2相互獨立，所以所以D不正確；，所以C正確．16、設X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn是X的一個樣本，，S分別是樣本均值和樣本方差，則下列選項中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因～χ2(n-1)，而σ2=1，故(n-1)S2=～χ2(n-1)．故選D．對于B，～t(n-1)，故C不正確．17、設X～N(μ，σ2)且σ2未知，對均值μ作區(qū)間估計，則置信度為95％的置信區(qū)間是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：又1-a=0．95，即a=0．05，從而μ的置信度為95％的置信區(qū)間為二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、從0，1，2，…，9這10個數(shù)碼中隨機可重復地取出5個數(shù)碼，則“5個數(shù)碼中至少有2個相同”的概率為_______．標準答案：知識點解析：設A={5個數(shù)碼中至少有2個相同}，則={5個數(shù)碼都不相同}，樣本空間的基本事件總數(shù)為n=105，事件中包含的基本事件數(shù)為m=A105==6×7×8×9×10，因而19、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=則a=______，b=_____，c=______．標準答案：1，-1，0知識點解析：利用分布函數(shù)的規(guī)范性F(-∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1得c=0，a=1．根據(jù)分布函數(shù)的右連續(xù)性，F(xiàn)(0)=F(x)=a+b=c，得b=-1．20、在一系列的獨立試驗中，每次試驗成功的概率為p，記事件A=“第3次成功之前失敗4次”，B=“第10次成功之前至多失敗2次”，則P(A)=_______；P(B)=______．現(xiàn)進行n次重復試驗，則在沒有全部“失敗”的條件下，“成功”不止一次的概率q=______．標準答案：C62p.(1-p)4.p；(55p2-120p+66)p10；知識點解析：A=“第3次成功之前失敗4次”，等價于共進行了7次獨立試驗，且第7次試驗成功，前6次試驗中4次失敗、2次成功，屬于伯努利概型．故對前6次試驗用伯努利計算公式有C82p2(1-p)4，其中試驗成功的概率為夕，所以P(A)=C62p.(1-p)4.p．B=“第10次成功之前至多失敗2次”，等價于試驗成功10次之前，可能沒有失敗，可能失敗1次，可能失敗2次，每次獨立試驗為伯努利試驗．設Bi=“10次成功前失敗i次”(i=0，1，2)，等價于共進行10+i次試驗，前10+i-1次試驗中成功9次，第10次成功發(fā)生在第10+i次試驗．故根據(jù)伯努利概型的計算公式有P(B0)=C1010p10=p10，P(B1)=C109p9.(1-p).p=10p10(1-p)，P(B2)=C119p2.(1-p).p=55p10(1-p)2，故P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=p10+10p10(1-p)+55p10(1-p)2=(55p2-120p+66)p10．設X表示“n次試驗中成功的次數(shù)”，則21、已知X的分布函數(shù)為F(x)，Y=3X+1，則(X，Y)的分布函數(shù)F(x，y)=______．標準答案：知識點解析：已知F(x)=P{X≤x}，Y=3X+1，故(X，Y)的分布函數(shù)F(x，y)=P{X≤x，3X+1≤y}=P{X≤x，X≤}22、設數(shù)X在區(qū)間(0，1)上隨機地取值，當觀察到X=x(0＜x＜1)時，數(shù)y在區(qū)間(x，1)上隨機取值，則fY(y)=______．標準答案：知識點解析：因數(shù)X在區(qū)間(0，1)上隨機取值，故X～U(0，1)，即fX(x)=而數(shù)Y在(x，1)上隨機取值，故fY｜X(y｜x)=f(x，y)=fY｜X(y｜x).fX(x)=23、設隨機變量X服從于參數(shù)為λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=_____．標準答案：1知識點解析：由X～P(λ)，有E(X)=λ，D(X)=λ，則E[(X-)(X-2)]=E(X2)=3E(X)+2=D(X)+E2(X)-3E(X)+2=λ+λ2-3λ+2=1．故λ2-2λ+1=0，λ=1．24、已知編號為1，2，3，4的4個袋子中各有3個白球，2個黑球，現(xiàn)從1，2，3號袋子中各取一球放入4號袋中，則4號袋中自球數(shù)X的期望E(X)=______，方差D(X)=_________．標準答案：知識點解析：4號袋中的白球數(shù)X取決于前3個袋中取出的球是否是白球，若記則X1，X2，X3相互獨立，且服從同一分布：而X-3+X1+X2+X3，所以25、設隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則由切比雪夫不等式，有P(｜X-μ｜≥3σ}≤______．標準答案：知識點解析：由切比雪夫不等式P{｜X-E(X)｜≥ε}≤，取ε=3σ，所以26、設X～t(6)，則X2～______．標準答案：F(1，6)知識點解析：因X～t(6)，故，其中Y～N(0，1)，χ2～χ2(6)．則27、設總體X的分布律為P{X=k}=(1-p)k-1，k=1，2，…，其中p為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本，則戶的矩估計量為______．標準答案：知識點解析：因為E(X)=，故p的矩估計量為考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、設A，B，C是三個事件，與事件A互斥的事件是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：，所以選擇D．2、已知A，B為兩事件，且BA，P(A)=0．3，=()A、0．45．B、0．5．C、0．6．D、0．7．標準答案：D知識點解析：=1-P(B-A)=1-[P(B)-P(AB)]=+P(A)=0．4+0．3=0．7．3、設A，B，C是兩兩相互獨立且三事件不能同時發(fā)生的事件，且P(A)=P(B)=P(C)=x，則使P(A∪B∪C)取最大值的x為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+0=3x-3x2．設f(x)=3x-3x2，則f’(x)=3-6x=0，解得x=又f’’(x)=-6＜0，故是極大值同時也是最大值．4、下述函數(shù)中，在(-∞，+∞)內可以作為某個隨機變量X的分布函數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：選項A不滿足規(guī)范性：選項B四個條件都滿足；選項C不滿足規(guī)范性：選項D，雖然有但不能保證f非負，故排除D．5、設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度為f(x)．若X與-X有相同的分布函數(shù)，則()A、F(x)=F(-x)．B、F(x)=-F(-x)．C、f(x)=f(-x)．D、f(x)=-f(-x)．標準答案：C知識點解析：由于分布函數(shù)和概率密度都滿足非負性，故B、D不能入選．又由題設知X與-X有相同的分布函數(shù)，即P{X≤x}=P{-X≤x}，而P{-X≤x}=P{X≥-x}=1-P{X＜-x}，所以P{X≤x}=1-P{X＜-x}，故F(x)=1-F(-x)，有F(x)+F(-x)=1．所以F’(x)-F’(-x)=0，即f(x)=f(-x)，因此僅C入選．6、設隨機變量X的概率密度函數(shù)為φ(x)，且已知φ(-x)=φ(x)，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有()A、F(-a)=B、F(-a)=C、F(-a)=F(a)．D、F(-a)=2F(a)-1．標準答案：B知識點解析：7、假設隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)()A、是連續(xù)函數(shù)．B、至少有兩個間斷點．C、是階梯函數(shù)．D、恰好有一個間斷點．標準答案：D知識點解析：令Y=min{X，2}，當y＜0時，F(xiàn)Y(y)=0；當y≥2時，F(xiàn)Y(y)=1；當0≤y＜2時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=P{X≤y}=1-e-λy，因此FY(y)恰有一個間斷點y=2．8、設隨機變量X與Y相互獨立且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則下列隨機變量中服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布的是()A、X+Y．B、X-Y．C、max{X，Y}．D、min(X，Y}．標準答案：D知識點解析：利用服從指數(shù)分布的充要條件或必要條件來判斷．對于A，E(X+Y)=E(X)+E(Y)=對于B，E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0≠對于C，max{X，Y}=E(max{X，Y})=故A、B、C都不正確，選D．9、已知(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)｜-1＜x＜1，-1＜y＜1}上服從均勻分布，則()A、P(X+Y≥0)=B、P{X-Y≥0}=C、P{max{X，Y}≥0}=D、P(min{X，Y)≥0}=標準答案：D知識點解析：由題設知，(X，Y)的概率密度為由于P{min{X，Y}≥0}=P{X≥0，Y≥0}=故選D．而P{max{X，Y}≥0}=1-P{max{X，Y}＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}所以選項A、B、C都不正確．10、設X，Y是相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別是FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則Z=max{X，Y}的分布函數(shù)是()A、FZ(z)=max{FX(z)，F(xiàn)Y(z)}．B、FZ(z)=FX(z)FY(z)．C、FZ(z)=max{｜FX(z)｜，｜FY(z)｜}．D、FZ(z)=FX(z)．標準答案：B知識點解析：FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{X，Y}≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)．11、設兩個不相關的隨機變量X，Y的方差分別為4和1，則隨機變量4X-2Y的方差為()A、14．B、18．C、60．D、68．標準答案：D知識點解析：D(4X-2Y)=D(4X)+D(2Y)-2Coy(4X，2Y)，因為X與Y不相關，所以4X，2Y也不相關，即Cov(4X，2Y)=0，故D(4X-2Y)=16D(X)+4D(Y)=68，故選D．12、現(xiàn)有10張獎券，其中8張為2元，2張為5元，今每人從中隨機地無放回地抽取3張，則此人抽得獎券的金額的數(shù)學期望為()A、6．B、12．C、7．8．D、9．標準答案：C知識點解析：假設X表示“隨機地無放回地抽取3張，抽得獎券的金額”，則X可能的取值為6，9，12．且P{X=6}=P{3張都是2元}=P{X=9}=P{2張2元，1張5元}=P{X=12}=P{1張2元，2張5元}=X的分布律為13、設隨機變量X，Y獨立同分布，記ξ=X+Y，η=X-Y，則隨機變量ξ，η必()A、相互獨立．B、不相互獨立．C、相關．D、不相關．標準答案：D知識點解析：Cov(ξ，η)=Cov(X+Y，X-Y)=D(X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-D(Y)=0，所以ξ，η不相關．14、設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量且都服從于N(0，1)，則Z=max{X，Y}的數(shù)學期望E(Z)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：Z=max{X，Y}=(X+Y+｜X-Y｜)，因X，Y相互獨立同服從分布N(0，1)，故X-Y～N(0，2)，則15、設X1，…，Xn為來自總體N(0，σ2)的樣本，則樣本二階原點矩A2=的方差為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：X1，X2，…，Xn來自總體N(0，σ2)，所以選C．16、設X～F(n，n)，p1=P{X≥1}，p2=P{X≤1}，則()A、p1＜p2．B、p1=p2．C、p1＞p2．D、p1，p2無法比較．標準答案：B知識點解析：因為X～F(n，n)，所以～F(n，n)，故p1=P{X≥1}==P{X≤1)=p2．17、設X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，則數(shù)學期望等于()A、n3(n-1)μσ2．B、n(n-1)μσ2．C、n2(n-1)μσ2．D、n3(n-1)μσ．標準答案：A知識點解析：因為，所以18、設總體X～N(μ0，12)，X1，X2，…，X16為取自X的樣本，其樣本均值為，樣本方差為S2，檢驗H0：μ=μ0，則檢驗統(tǒng)計量為()A、B、C、χ2=(16-1)S2．D、以上都不是．標準答案：A知識點解析：因X～N(μ0，12)，故σ2已知，檢驗μ=μ0用U檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為故選A．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)19、隨機地向半圓(a＞0)內投擲一點，點落在半圓內的任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點和該點連線與x軸正方向夾角小于的概率為_______．標準答案：知識點解析：設事件A表示“原點與該點連線與x軸正方向夾角小于”，從而則由幾何型概率知20、設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為則a=________，X的分布函數(shù)為F(x)=_____．標準答案：知識點解析：利用概率密度的規(guī)范性，解得a=9．X的概率密度為f(x)=當x＜0時，F(xiàn)(x)=當x≥0時，F(xiàn)(x)==1-3xe3x-e-3x.故F(x)=21、設X服從參數(shù)為λ的泊松分布，P{X=1}=P{X=2}，則概率P{0＜X2＜3}=_______．標準答案：2e-2知識點解析：P{X=k}=(k=0，1，…)，由于P{X=1}=P{X=2}，即，解得λ=2．故P{0＜X2＜3}=P{X=1}=2e-2．22、設X，Y的聯(lián)合分布律為且X，Y相互獨立，則a=_______，b=_______．標準答案：知識點解析：X，Y的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為：23、設隨機變量X的概率密度為f(x)=則E(X)=________．標準答案：1知識點解析：24、設隨機變量X～N(0，4)，Y～U(0，4)，且X，Y相互獨立，則E(XY)=______，D(X+Y)=_____，D(2X-3Y)=______．標準答案：知識點解析：因為X，Y相互獨立，所以E(XY)=E(X)E(Y)=0，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=4×4+9＞=28．25、若隨機變量X1，X2，X3相互獨立，且從相同的兩點分布服從________分布，E(X)=________，D(X)=_________．標準答案：B(3，0．2)，0．6，0．48知識點解析：由Xi～B(1，0．2)，i=1，2，3，X1，X2，X3相互獨立，所以X=X1+X2+X3～B(3，0．2)，所以E(X)=3p=3×0．2=0．6，D(X)=3pq=3×0．2×0．8=0．48．26、設總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當n→∞時，Yn=依概率收斂于_________．標準答案：知識點解析：本題中X12，X22，…，Xn2滿足大數(shù)定律的條件，且E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=因此根據(jù)大數(shù)定律有Yn=依概率收斂于E(Yn)=27、設X1，X2，X3，X4是來自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，則Y=(X3-X4)／服從______分布，其自由度為_______．標準答案：t，2知識點解析：因X～N(μ，σ2)，故X3-X4～N(0，2σ2)，則～N(0，1)．考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設A，B，C是相互獨立的隨機事件，且0＜P(C)＜1，則下列給出的四對事件中不相互獨立的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：2、設X，Y為隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則()．A、X，Y獨立B、X，Y不獨立C、X，Y相關D、X，Y不相關標準答案：D知識點解析：因為Cov(X，Y)-E(XY)－E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，則有Cov(X，Y)=0，于是X，Y不相關，選(D)．3、設事件A，B，C兩兩獨立，則事件A，B，C相互獨立的充要條件是()．A、A與BC相互獨立B、AB與A+C相互獨立C、AB與AC相互獨立D、A＋B與A+C相互獨立標準答案：A知識點解析：在A，B，C兩兩獨立的情況下，A，B，C相互獨立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正確答案為(A)．4、設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)，且f(x)為偶函數(shù)，X的分布函數(shù)為F(x)，則對任意實數(shù)a，有()．A、F(一a)=1一∫0af(x)dxB、F(一a)=一∫0af(x)dxC、F(一a)=F(a)D、F(一a)=2F(a)一1標準答案：B知識點解析：F(-a)=∫－∞－af(x)dx∫a＋∞f(-t)dt=∫a＋∞f(t)dt=1一∫－∞af(t)dt=1－(∫－∞－af(t)dt＋∫－aaf(t)dt)=1－F(－a)－2∫0af(t)dt則F(－a)=∫0af(x)dx，選(B)．5、設X和Y分別表示扔n次硬幣出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)，則X，Y的相關系數(shù)為()．A、一1B、0C、D、1標準答案：A知識點解析：設正面出現(xiàn)的概率為p，則X～B(n，p)，Y=n一X～B(n，1一p)，E(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(Y)=n(1一p)，D(Y)=np(1一p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n一X)=Cov(X，n)=Cov(X，X)，因為Cov(X，n)=E(nX)一E(n)E(X)=nE(X)一nE(X)=0，Cov(X，X)=D(X)=np(1一p)，所以ρXY==一1，選(A)．6、設X～t(n)，則下列結論正確的是()．A、X2～F(1，n)B、～F(1，n)C、X2～χ2(n)D、X2～χ2(n—1)標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)7、設A，B為兩個隨機事件，則=________．標準答案：0知識點解析：8、一工人同時獨立制造三個零件，第k個零件不合格的概率為(k=1，2，3)，以隨機變量X表示三個零件中不合格的零件個數(shù)，則P(X=2)=________．標準答案：知識點解析：令Ak=｛第k個零件不合格｝(k=1，2，3)，9、設隨機變量X～N(0，σ2)，Y～N(0，4σ2)，且P(X≤1，Y≤一2)=，則P(X＞1，Y＞一2)=________．標準答案：知識點解析：10、若隨機變量X～N(2，σ2)，且P(2＜X＜4)=0．3，則P(X＜0)=_________．標準答案：0．2知識點解析：由P(2＜X＜4)=0．3得，則P(X＜0)==0．2．11、設隨機變量X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)且隨機變量X，Y，Z相互獨立，已知a(X＋Y)2＋bZ2～χ2(n)(ab≠0)，則a=_________，b=_________，n=________·標準答案：，n=2知識點解析：由X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)，得X+Y～N(0，4)且12、設A，B相互獨立，只有A發(fā)生和只有B發(fā)生的概率都是，則P(A)=_________．標準答案：知識點解析：根據(jù)題意得13、設(X，Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)=，則P{max(X，y)＞1｝=_________．標準答案：e－2+e－3一e－5知識點解析：由FX(x)=F(x，+∞)=，得X～E(2)，同理Y～E(3)，且X，Y獨立．P｛max(X，Y)＞1｝=P(X＞1或Y＞1)=1一P(X≤1，Y≤1)=1一P(X≤1)P(Y≤1)=1一FX(1)FY(1)=1一(1一e－2)(1一e－3)=e－2+e－3一e－514、設隨機變量X，Y不相關，X～U(一3，3)，Y的密度為fY(y)=，根據(jù)切比雪夫不等式，有P｛｜X—Y｜＜3｝≥_________．標準答案：知識點解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=，則E(X—Y)=0，D(X—Y)=D(X)+D(Y)一2Cov(X，Y)=，所以P｛X—Y｜＜3｝=P｛｜(X—Y)一E(X—Y)｜＜3｝≥1一．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)袋中有12只球，其中紅球4個，白球8個，從中一次抽取兩個球，求下列事件發(fā)生的概率：15、兩個球中一個是紅球一個是白球；標準答案：令A=｛抽取的兩個球中一個是紅球一個是白球｝，則P(A)=．知識點解析：暫無解析16、兩個球顏色相同．標準答案：令B=｛抽取的兩個球顏色相同｝，則P(B)=．知識點解析：暫無解析17、設一汽車沿街道行駛，需要經過三個有紅綠燈的路口，每個信號燈顯示是相互獨立的，且紅綠燈顯示時間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個數(shù)，求X的分布．標準答案：知識點解析：暫無解析設二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度f(x，y)=．18、求c；標準答案：1=c∫0＋∞dx∫0＋∞xe－x(y＋1)dy==1．知識點解析：暫無解析19、求X，Y的邊緣密度，問X，Y是否獨立?標準答案：當x≤0時，fX(x)=0；當x＞0時，fX(x)=∫0＋∞xe－x(y＋1)dy=e－x．當y≤0時，fY(y)=0；當y＞0時，fY(y)=∫0＋∞xe－x(y＋1)dx=．顯然當x＞0，y＞0時，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不相互獨立．知識點解析：暫無解析20、求Z=max(X，Y)的密度．標準答案：當z≤0時，F(xiàn)Z(z)=0；當z＞0時，F(xiàn)Z(z)=P(Z≤z)=P｛max(X，Y)≤z｝=P(X≤z，Y≤z)=∫0zdx∫0zxe－x(y＋1)dy=1－e－z＋，fZ(z)=．知識點解析：暫無解析21、設一設備開機后無故障工作時間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作時間為5小時，設備定時開機，出現(xiàn)故障自動關機，而在無故障下工作2小時便自動關機，求該設備每次開機無故障工作時間Y的分布．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設X與Y相互獨立，且X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，令Z=，求E(Z)，D(Z)．標準答案：因為X與Y相互獨立，且X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，知識點解析：暫無解析23、設總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，X20是總體X的簡單樣本，求統(tǒng)計量U=所服從的分布．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設總體X的密度函數(shù)為f(x)=，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，求參數(shù)θ的最大似然估計量．標準答案：知識點解析：暫無解析設有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份．隨機取出一個地區(qū)，再從中抽取兩份報名表．25、求先抽到的一份報名表是女生表的概率p；標準答案：設Ai=｛所抽取的報名表為第i個地區(qū)的｝(i=1，2，3)，Bi=｛第j次取的報名表為男生報名表｝(j=1，2)，則知識點解析：暫無解析26、設后抽到的一份報名表為男生的報名表，求先抽到的報名表為女生報名表的概率q．標準答案：知識點解析：暫無解析設隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布，令．27、求(U，V)的聯(lián)合分布；標準答案：，(U，V)的可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=0；P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(Y＜X≤2Y)=；P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(X≤Y)=；知識點解析：暫無解析28、求ρUV．標準答案：知識點解析：暫無解析29、設總體X的概率分布為θ(0＜θ＜)是未知參數(shù)，用樣本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估計值和最大似然估計值·標準答案：E(X)=0×θ2＋1×2θ(1一θ)+2×θ2+3×(1—2θ)=3—4θ，L(θ)=θ2×[2θ(1一θ)]2×θ2×(1—2θ)4=4θ6(1一θ)2(1—2θ)4，lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1一θ)+4ln(1—2θ)，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，Sn＝X1＋X2＋…＋Xn，則根據(jù)列維一林德伯格中心極限定理，當n充分大時Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1，X2，…，XnA、有相同期望和方差．B、服從同一離散型分布．C、服從同一均勻分布．D、服從同一連續(xù)型分布．標準答案：C知識點解析：暫無解析2、假設隨機變量X1，X2，…相互獨立且服從同參數(shù)A的泊松分布，則下面隨機變量序列中不滿足切比雪夫大數(shù)定律條件的是A、X1，X2，…，Xn，…B、X1＋1，X2＋2，…，Xn＋n，…C、X1，2X2，…，nXn，…D、X1，X2，…，Xn標準答案：C知識點解析：暫無解析3、設隨機變量序列X1，…，Xn，…相互獨立，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當n→∞時Xi依概率收斂于其數(shù)學期望，只要{Xn，n≥1}A、有相同的數(shù)學期望．B、有相同的方差．C、服從同一泊松分布．D、服從同一連續(xù)型分布，f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)．標準答案：C知識點解析：辛欽大數(shù)定律要求：{Xn，n≥1}獨立同分布且數(shù)學期望存在．選項A、B缺少同分布條件．選項D雖然服從同一分布但期望不存在，因此選C．4、設Xn表示將一枚勻稱的硬幣隨意投擲n次其“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：由于Xn～B(n，)，且EXn＝np＝，DXn＝npq＝，因此根據(jù)“二項分布以正態(tài)分布為極限分布”定理，有故選C．5、設隨機變量X服從F(3，4)分布，對給定的α(0＜α＜1)，數(shù)Fα(3，4)滿足P{X＞Fα(3，4)}＝α，若P{X≤χ}＝1－α，則χ＝A、B、C、Fα(4，3)．D、F1－α(4，3)．標準答案：A知識點解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1－α＝P{X≤χ}＝P{X＜χ}＝，所以＝F1-α(4，3)，即χ＝．因此選A．6、設X1，X2，X3，X4是來自正態(tài)總體N(0，22)的簡單隨機樣本，記Y＝a(X1－2X2)2＋b(3X3－4X4)2，其中a，b為常數(shù)．已知Y～χ2(n)，則A、n必為2．B、n必為4．C、n為1或2．D、n為2或4．標準答案：C知識點解析：依題意Xi～N(0，22)且相互獨立，所以X1－2X2～N(0，20)，3X3－4X4～N(0，100)，故且它們相互獨立．由χ2分布的典型模式及性質知(1)當時，Y～χ2(2)：(2)當a＝，b＝0，或a＝0，b＝時，Y～χ2(1)．由上可知，n＝1或2，即應選C．7、設X1，X2，…，Xn是來自標準正態(tài)總體的簡單隨機樣本，和S2為樣本均值和樣本方差，則A、服從標準正態(tài)分布．B、Xi2服從自由度為n－1的χ2分布．C、n服從標準正態(tài)分布．D、(n－1)S2服從自由度為n－1的χ2分布．標準答案：D知識點解析：顯然，(n－1)S2服從自由度為n－1的χ2分布，故應選D．其余選項不成立是明顯的，對于服從標準正態(tài)分布的總體，，n～N(0，n)．由于X1，X2，…，Xn相互獨立并且都服從標準正態(tài)分布，可見Xi2服從自由度為n的χ2分布．8、設隨機變量X服從n個自由度的t分布，定義tα滿足P{X≤tα}＝1一d－α(0＜α＜1)．若已知P{｜X｜＞χ}＝b(b＞0)，則χ等于A、t1-b．B、．C、tb．D、．標準答案：D知識點解析：根據(jù)t分布的對稱性及b＞0，可知χ＞0．從而P{X≤χ}＝1－P{X＞χ}＝1－P{｜X｜＞χ}＝1－．根據(jù)題設定義P{X≤tα}＝1－α，可知χ＝．應選D．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)9、將一顆骰子連續(xù)重復擲4次，以X表示4次擲出的點數(shù)之和，則根據(jù)切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_______．標準答案：知識點解析：以Xk(k＝1，2，3，4)表示第k次擲出的點數(shù)，則Xk獨立同分布：P{Xk＝i}＝(i＝1，2，…，6)．所以EXk＝(1＋2+＋…＋6)＝，EXk2＝(1＋22＋…＋62)＝，DXk＝EXk2－(EXk)2＝．又由于X＝X1＋X2＋X3＋X4，而Xk(k＝1，2，3，4)相互獨立，所以EX＝4×＝14，DX＝4×．因此，根據(jù)切比雪夫不等式，有P{10＜X＜18}＝P{－4＜X－14＜4}＝P{｜X－14｜＜4}＝P{｜X－EX｜＜4}≥1－．10、設隨機變量X1，…，Xn相互獨立同分布，EXi＝μ，DXi＝8(i＝1，2，…，n)，則概率P{μ－4＜＜μ＋4}≥_______，其中標準答案：1－知識點解析：由于X1，…，Xn相互獨立同分布，因此有E＝μ，．應用切比雪夫不等式，有P{μ－4＜＜μ＋4}＝P{｜－μ｜＜4}≥1－，即P{μ－4＜＜μ＋4}≥1－．11、已知隨機變量X與Y的相關系數(shù)ρ＝，且EX＝EY，DX＝DY，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計式P{｜X－Y｜≥}≤_______．標準答案：知識點解析：由于E(X－Y)＝EX－EY＝0，D(X－Y)＝DX＋DY－2Cov(X，Y)＝DY＋DY－2.ρ＝所以P{｜X－Y｜≥12、將一枚骰子重復擲n次，則當n→∞時，n次擲出點數(shù)的算術平均值依概率收斂于_______．標準答案：7／2知識點解析：設X1，X2，…，Xn是各次擲出的點數(shù)，它們顯然獨立同分布，每次擲出點數(shù)的數(shù)學期望EX＝21／6＝7／2．因此，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，依概率收斂于7／2．13、設隨機變量序列X1，…，Xn，…相互獨立且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，記Yn＝X2n－X2n-1根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當n→∞時Yi2依概率收斂于_______．標準答案：2σ2知識點解析：由于{Xn，n≥1}相互獨立，故Yn＝X2n－X2n-1(n≥1)相互獨立并且都服從N(0，2σ2)，所以{Yn2，n≥1}獨立同分布且EYn2＝DYn＋(EYn)2＝2σ2，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當n→∞時Yi2依概率收斂于2σ2．14、設隨機變量序列X1，Xn，…相互獨立且都在(－1，1)上服從均勻分布，則＝_______(結果用標準正態(tài)分布函數(shù)Ф(χ)表示)．標準答案：Ф()知識點解析：由于Xn相互獨立且都在(－1，1)上服從均勻分布，所以EXn＝0，DXn＝，根據(jù)獨立同分布中心極限定理，對任意χ∈R有取χ＝，得．15、設隨機試驗成功的概率p＝0．20，現(xiàn)在將試驗獨立地重復進行100次，則試驗成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率α＝_______．標準答案：0．84知識點解析：以X表示“在100次獨立重復試驗中成功的次數(shù)”，則X服從參數(shù)為(n，p)的二項分布，其中n＝100，p＝0．20，且EX＝np＝20，＝4．由棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理，知隨機變量Un＝近似服從標準正態(tài)分布N(0，1)．因此試驗成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率α＝P{16≤X≤32}＝≈Ф(3)－Ф(－1)＝Ф(3)－[1－Ф(1)]＝0．9987－(1－0．8413)＝0．84，其中Ф(u)是標準正態(tài)分布函數(shù)．16、設總體X～E(λ)，則來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度f(χ1，χ2，…，χn)＝_______．標準答案：知識點解析：總體X的概率密度f(χ)＝由于X1，X2，…，Xn相互獨立，且與總體X服從同一指數(shù)分布，因此f(χ1，χ2，…，χn)＝17、設總體X～P(λ)，則來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn的樣本均值的概率分布為_______．標準答案：知識點解析：由泊松分布的可加性可知，當X1，X2獨立時，X1＋X2－P(2λ)，繼而有X1，X2，…，Xn獨立同為P(λ)分布時，Xi＝n～P(nλ)．于是，對任意n＞2，n的概率分布為P{n＝k}＝e－nλ，k＝0，1，2，…，而P{n＝k}＝，所以18、已知χ2～χ2(n)，則E(χ2)＝_______．標準答案：n知識點解析：由χ2分布的典型模式χ2＝X12＋X22＋…＋Xn2＝Xi2知，E(χ2)＝E(χi2)，而χi～N(0，1)，且Xi相互獨立，由于E(Xi2)＝D(Xi)＋[E(Xi)]2＝1＋0＝1，所以E(χ2)＝E(Xi2)＝n．19、已知X1，X2，X3相互獨立且服從N(0，σ2)，則服從的分布及參數(shù)為_______．標準答案：知識點解析：記Y1＝X2＋X3，Y2＝X2－X3，則Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)＝E(Y1Y2)－E(Y1)E(Y2)＝E[(X2＋X3)(X2－X3)]＝E(X22)－E(X32)＝σ2－σ2＝0，所以Y1與Y2相互獨立，且與X1獨立．又由X1＋X2＋X3＝X1＋Y1～N(0，3σ2)，可知(X1＋X2＋X3)～N(0，1)，～χ2(1)，且X1＋X2＋X3與X2－X3相互獨立，于是按t分布定義有20、設總體X的密度函數(shù)f(χ)＝又，S2分別為取自總體X容量為n的樣本的均值和方差，則E＝_______；D＝_______；ES2＝_______．標準答案：0，知識點解析：由于E＝EX，，ES2＝DX，由題設有EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－11χ｜χ｜dχ＝0．DX＝EX2－(EX)2＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－11χ2｜χ｜dχ＝2∫01χ2dχ＝所以E＝0，，ES2＝．三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)21、對某一目標進行多次同等規(guī)模的轟炸，每次轟炸命中目標的炸彈數(shù)目是個隨機變量，假設其期望值為2，標準差是1．3，計算在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標的概率．標準答案：設第i次轟炸中命中目標的炸彈數(shù)為Xi，100次轟炸中命中目標的炸彈總數(shù)為X，則X＝X1＋…＋X100，且X1，…，X100相互獨立同分布．EXi＝2，DX＝1．32，EX＝200，DX＝169．應用獨立同分布中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(200，169)，則有P{180＜X＜220}＝P{｜X－200｜＜20}＝≈2Ф(1．54)－1＝0．876．知識點解析：暫無解析22、假設某種型號的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機變量，期望值為50克，標準差為5克．求：(Ⅰ)100個螺絲釘一袋的重量超過5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺絲釘裝有500袋，500袋中最多有4％的重量超過5．1千克的概率．標準答案：(Ⅰ)假設Xi表示袋中第i顆螺絲釘?shù)闹亓?，i＝1，…，100，則X1，…，X100相互獨立同分布，EXi＝50，DXi＝52．記一袋螺絲釘?shù)闹亓繛镾100，則S100＝，ES100＝5000，DS100＝2500．應用列維－林德伯格中心極限定理可知S100近似服從正態(tài)分布N(5000，502)，且P{S100＞5100}＝1－P{S100≤5100}＝1－≈1－Ф(2)＝0．02275．(Ⅱ)設500袋中重量超過5．1千克的袋數(shù)為Y，則Y服從參數(shù)n＝500，p＝0．02275的二項分布．EY＝11．375．DY＝11．116．應用棣莫弗．拉普拉斯中心極限定理，可知Y近似服從參數(shù)μ＝11．375，σ2＝11．116的正態(tài)分布，于是≈Ф(2．59)＝0．995．知識點解析：暫無解析23、設X1，X2，…，Xn是來自標準正態(tài)總體N(0，1)的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為X和S2，記T＝＋S2．試求：E(T)與E(T2)的值．標準答案：由正態(tài)總體的性質知，與S2相互獨立；由樣本數(shù)字特征的性質知，E()＝E(X)＝0，E(S2)＝D(X)＝1；由正態(tài)總體的樣本方差的分布知，(n－1)S2～χ2(n－1)；由χ2分布的性質知，D[χ2(n－1)]＝2(n－1)，從而D[(n－1)S2]＝(n－1)2D(S2)＝2(n－1)，即D(S2)＝．于是E(T)＝E(＋S2)＝E()＋E(S2)＝0＋1＝1，E(T2)＝E[(＋S2)2]＝D(＋S2)＋[E(＋S2)]2＝知識點解析：暫無解析24、已知總體X的數(shù)學期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，…，X2n是來自總體X容量為2n的簡單隨機樣本，樣本均值為，統(tǒng)計量Y＝(Xi＋Xn+i－2)2，求EY．標準答案：由于總體分布未知，我們只好將Y化簡，應用數(shù)字特征性質計算EY．由于又EXi＝μ，DXi＝σ2，EXi2＝σ2＋μ2，，所以2nσ2＋2nμ2＋2nμ2－2σ2－4nμ2＝2(n－1)σ2．知識點解析：暫無解析25、(Ⅰ)設X與Y相互獨立，且X～N(5，15)，Y～X2(5)，求概率P{X－5＞3．5}；(Ⅱ)設總體X～N(2．5，62)，X1，X2，X3，X4，X5是來自X的簡單隨機樣本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}．標準答案：(Ⅰ)P{X－5＞3．5}＝＝P{t(5)＞2．02}＝0．05．(Ⅱ)因與S2相互獨立，故有p＝P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}＝P{1．3＜＜3．5}P{6．3＜S2＜9．6}而～N(2．5．62／5)．即有P{6．3＜S2＜9．6}＝＝P{0．7＜χ4(4)＜1．067}＝P{χ2(4)＞0．7}－P{χ2(4)＞1．067}＝0．95－0．90＝0．05．于是所求概率為P＝0．3179×0．05＝0．0159．知識點解析：暫無解析26、設X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，EX＝μ，DX＝4，Xi，試分別求出滿足下列各式的最小樣本容量n：(Ⅰ)P{｜－μ｜≤0．10}≥0．90；(Ⅱ)D≤0．10；(Ⅲ)E｜－μ｜≤0．10．標準答案：依題意，X～N(μ，4)，～N(0，1)．(Ⅰ)P{｜－μ｜≤0．10}＝＝2Ф(0．05)－1≥0．90，即Ф(0．05)≥0．95．查標準正態(tài)分布函數(shù)表可得0．05≥1．65，n≥1089．(Ⅱ)解不等式≤0．1，n≥40．(Ⅲ)令U＝，易見U一N(0，1)，于是解不等式知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設A，B為任意兩個不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結論正確的是()．A、B、C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A—B)=P(A)標準答案：D知識點解析：因為A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A－B)=P(A)，選(D)．2、設X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令P=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，則()．A、p＞qB、p＜qC、p=qD、p，q的大小由μ的取值確定標準答案：C知識點解析：3、設X為隨機變量，E(X)=μ，D(X)=σ2，則對任意常數(shù)C有()．A、E[(X—C)]2=E[(X一μ)]2B、E[(X－C)]2≥E[(X—μ)]2C、E[(X—C)]2=E(X2)一C2D、E[(X－C)2]＜E[(X一μ)2]標準答案：B知識點解析：E[(X-C)2]－E[(X-μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)－C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，選(B)．4、設隨機變量X～F(m，n)，令P｛X＞Fα(m，n)｝=α(0＜α＜1)，若P(X＜k)=α，則k等于()．A、Fα(m，n)B、F1－α(m，n)C、D、標準答案：B知識點解析：根據(jù)左右分位點的定義，選(B)．5、若事件A1，A2，A3兩兩獨立，則下列結論成立的是()．A、A1，A2，A3相互獨立B、兩兩獨立C、P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D、相互獨立標準答案：B知識點解析：由于A1，A2，A3兩兩獨立，所以也兩兩獨立，但不一相互獨立，選(B)．6、設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則隨機變量y=min｛X，2｝的分布函數(shù)()．A、是階梯函數(shù)B、恰有一個間斷點C、至少有兩個間斷點D、是連續(xù)函數(shù)標準答案：B知識點解析：FY(y)=P(Y≤y)=P｛min(X，2)≤y｝=1一P｛min(X，2)＞y｝=1一P(X＞y，2＞y)=1一P(X＞y)P(2＞y)當y≥2時，F(xiàn)Y(y)=1；當y＜2時，F(xiàn)Y(y)=1一P(X＞y)=P(X≤y)=FX(y)，而FX(x)=，所以當0≤y＜2時，F(xiàn)Y(y)=1－e－y；當y＜0時，F(xiàn)Y(y)=0，即FY(y)=，顯然FY(y)在y=2處間斷，選(B)．7、若(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則①X，Y一定相互獨立；②若ρXY=0，則X，Y一定相互獨立；③X和Y都服從一維正態(tài)分布；④X，Y的任一線性組合服從一維正態(tài)分布，上述幾種說法中正確的是()．A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④標準答案：B知識點解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以X，Y都服從一維正態(tài)分布，aX+bY服從一維正態(tài)分布，且X，Y獨立與不相關等價，所以選(B)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)8、設事件A，B相互獨立，P(A)=0．3，且P(A+)=0．7，則P(B)=________．標準答案：知識點解析：9、設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X=1)，則P(X≥1)=________．標準答案：1一e－2知識點解析：X的分布律為P(X=k)=e－λ(k=0，1，2，…)，由P(X=0)=P(X=1)得λ=2，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e－2．10、設X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互獨立，則P(X+Y=2)=_________．標準答案：知識點解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互獨立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=11、設隨機變量X在[一1，2]上服從均勻分布，隨機變量Y=，則D(Y)=_________．標準答案：知識點解析：隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=，隨機變量Y的可能取值為一1，0，1，12、設X為總體，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn為來自總體的簡單隨機樣本，S2=，則E(S2)=_________·標準答案：σ2知識點解析：13、設A，B是兩個隨機事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．5，=_________．標準答案：0.2知識點解析：因為相互獨立，故=P(A)[1一P(B)]=0．4×0．5=0．214、設一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復試驗，當p=_______時，成功次數(shù)的標準差最大，其最大值為________．標準答案：p=，最大值為5知識點解析：設成功的次數(shù)為X，則X～B(100，p)，D(X)=100p(1－p)，標準差為．令f(p)=p(1-p)(0＜P＜1)，由f’(p)=1—2p=0得=一2＜0，所以時，成功次數(shù)的標準差最大，最大值為5．15、設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=，則E(X)=__________，D(X)=_________．標準答案：E(X)=1，D(X)=知識點解析：因為16、設總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，S2=，則D(S2)=_________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)設(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=，求：17、(X，Y)的邊緣密度函數(shù)；標準答案：當0＜x＜1時，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫02xdy=2x，當x≤0或x≥1時，fX(x)=0，所以fX(x)=，同理fY(y)=．知識點解析：暫無解析18、Z=2X—Y的密度函數(shù)．標準答案：當z≤0時，F(xiàn)(z)=0；當z≥2時，F(xiàn)(z)=1；當0＜z＜2時，知識點解析：暫無解析19、設兩臺同樣的記錄儀，每臺無故障工作的時問服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，當發(fā)生故障時停用而另一臺自動開動，求兩臺記錄儀無故障工作的總時間T的概率密度．標準答案：用X，Y分別表示兩臺記錄儀先后開動無故障工作的時間，則T=X+Y，由已知條件得X，Y的密度為fX(x)=．當t≤0時，F(xiàn)T(t)=0；當t＞0時，F(xiàn)T(t)=P(X+Y≤t)==25∫0te－5xdx∫0t－xe－5ydy=5∫0te－5x[1一e－5(t－x)]dx=5∫0t(e－5x—e－5t)dx=(1一e－5t)一5te－5tT的密度函數(shù)為f(t)=．知識點解析：暫無解析20、設某種零件的長度L～N(18，4)，從一大批這種零件中隨機取出10件，求這10件中長度在16～22之間的零件數(shù)X的概率分布、數(shù)學期望和方差．標準答案：顯然X～B(10，p)，其中p=P(16≤L≤22)，因為L～N(18，4)，所以～N(0，1)，所以p=P(16≤L≤22)=(－1≤≤2)=φ(2)一φ(一1)=φ(2)+φ(1)一1=0．8185因此E(X)=np=10×0．8185=8．185，D(X)=npq=10×0．8185×(1—0．8185)=1．4856．知識點解析：暫無解析21、設總體X的分布律為P(X=k)=(1－p)k－1p(k=1，2，…)，其中p是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自總體的簡單隨機樣本，求參數(shù)p的矩估計量和極大似然估計量．標準答案：知識點解析：暫無解析設總體X的概率密度為f(x)=，其中未知參數(shù)θ＞0，設X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單樣本．22、求θ的最大似然估計量；標準答案：設x1，x2，…，xn為樣本值，似然函數(shù)為知識點解析：暫無解析23、該估計量是否是無偏估計量?說明理由．標準答案：參數(shù)θ的無偏估計量．知識點解析：暫無解析24、設，求矩陣A可對角化的概率．標準答案：由｜λE一A｜==(λ－1)(λ一2)(λ—Y)=0得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=Y．若Y≠1，2時，矩陣A一定可以對角化；當Y=1時，A=，λ=1為二重特征值，因為r(E—A)=2，所以A不可對角化；當Y=2時，A=，λ=2為二重特征值，因為r(2E－A)=1，所以A可對角化，故A可對角化的概率為P(Y≠1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=．知識點解析：暫無解析設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令U=，求：25、(U，V)的分布；標準答案：因為X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，所以X的分布函數(shù)為(U，V)的可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=0)=P(X≤1，X≤2)=P(X≤1)=F(1)=1一e－2；P(U=0，V=1)=P(X≤1，X＞2)=0；P(U=1，V=1)=P(X＞1，X＞2)=P(X＞2)=1一F(2)=e－4；P(U=1，V=0)=P(X＞1，X≤2)=e－2一e－4．(U，V)的聯(lián)合分布律為知識點解析：暫無解析26、U，V的相關系數(shù)．標準答案：由U～得E(U)=e－2，E(V)=e－4，E(UV)=e－4，E(U2)=e－2，E(V2)=e－4，則D(U)=E(U2)一[E(U)]2=e－2一e－4，D(V)=E(V2)一[E(V)]2=e－4－e－8，Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=e－4一e－6，于是ρUV=．知識點解析：暫無解析27、設隨機變量X，Y相互獨立且都服從N(μ，σ2)分布，令Z=max｛X，Y｝，求E(Z)．標準答案：因為X，Y都服從N(μ，σ2)分布，所以U=～N(0，1)，且U，V相互獨立，則X=σU+μ，Y=σV+μ，故Z=max{X，Y}=σmax{U，V}+μ，由U，V相互獨立得(U，V)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(μ，ν)=(一∞＜μ，ν＜+∞)．于是E(Z)=σE[max｛U，V｝]+μ．而E[max｛U，V｝]=∫－∞＋∞dμ∫－∞＋∞max{μ，ν}f(μ，ν)dν知識點解析：暫無解析28、設總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn＋1為總體X的簡單隨機樣本，記服從的分布·標準答案：知識點解析：暫無解析29、某種元件使用壽命X～N(μ，102)，按照客戶要求該元件使用壽命不能低于1000h，現(xiàn)從該批產品中隨機抽取25件，其平均使用壽命為=995，在顯著性水平α=0．05下確定該批產品是否合格?標準答案：令H0：μ≥1000，H1：μ＜1000，因為總體方差已知，所以選取統(tǒng)計量，左臨界點為一z0．05=一1．645，因為=一2．5＜－1．645，所以拒絕H0，即該批產品不合格．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設A，B是任意兩個事件，且AB，P(B)＞0，則必有()A、P(A)≤P(A｜B)B、P(A)＜P(A｜B)C、P(A)≥P(A｜B)D、P(A)＞P(A｜B)標準答案：A知識點解析：由于AB，因此AB=A，而0＜P(B)≤1，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A｜B)≤P(A｜B)，故選A．2、設隨機變量X的概率密度為則Y=2X的概率密度為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為FY(y)=P{Y≤y}=P{2X≤y}=所以故選C．3、設X1，X1，…，Xn是來自總體．X～N(0，1)的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從()A、y～χ2(n－1)B、Y～t(n－1)C、Y～F(n，1)D、Y～F(1，n－1)標準答案：B知識點解析：由總體X～N(0，1)知X1～N(0，1)，又它們相互獨立，所以因此本題選B．4、設二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)，則隨機變量Z=Y－X的概率密度fZ(z)=()A、∫－∞+∞f(x，z－x)dxB、∫－∞+∞f(x，x－z)dxC、∫－∞+∞f(x，z+x)dxD、∫－∞+∞f(－x，z+x)dx標準答案：C知識點解析：記Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)=P{Z≤z}=P(Y－X≤z}==∫－∞+∞dx∫－∞+∞f(x，y)dy，①其中Dz={(x，y)｜y－x≤z)，如圖3—4所示的陰影部分．又∫－∞+∞f(x，y)dy∫－∞z(x，u+x)du．②將②代入①得FZ(z)=∫－∞+∞dx∫－∞zf(x，u+x)du=∫－∞zdu∫－∞+∞f(x，u+x)dx．于是fZ(z)==∫－∞+∞f(x，z+x)dx．因此本題選C．5、設X是隨機變量，EX＞0且E(X2)=0．7，DX=0．2，則以下各式成立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：于是由切比雪夫不等式知因此本題選C．6、設X1，X2，…，Xn獨立同分布N(μ，σ2)，令i=1，2，…，，2，則Zk=服從的分布為()A、t(n－1)B、N(0，1)C、χ2(1)D、F(1，1)標準答案：B知識點解析：對k=1，2，…，n－1，則(k+1)Vk+Vk+1+…+Vn－1=(－X1－X2－…－Xk－1)+kXk－Xn于是Zk是獨立正態(tài)分布隨機變量X1，X2，…，Xk，Xn的線性組合，所以Zk服從正態(tài)分布．所以D[(k+1)Vk+Vk+1+…+Vn－1]=D[(－X1－X2－…－Xk－1)+kXk－Xn]=D(X1)+…+D(Xk－1)+k2D(Xk)+D(Xn)=[(k－1)+k2+1]σ2=(k2+k)σ2．因此(k+1)Vk+Vk+1+…+Vn－1～N(0，(k2+k)σ2)，標準化后即Zk～N(0，1)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設隨機變量X的分布函數(shù)為則A，B的值依次為______．標準答案：1；0知識點解析：由F(x)右連續(xù)的性質得即A+B=1．又于是B=0，A=1．8、設隨機變量X1，X2，…，X100獨立同分布，且EXi=0，DXi=10，i=1，2，…，100，令=______．標準答案：990知識點解析：9、設總體X的概率密度為其中θ＞－1為參數(shù)．X1，X1，…，Xn是來自總體X的樣本，則未知參數(shù)θ的最大似然估計值為______．標準答案：知識點解析：似然函數(shù)為解得0的最大似然估計值為10、一批產品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為______．標準答案：知識點解析：設A表示“第i次取的是次品”，i=1，2．則有由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2｜A1)+11、設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則隨機變量的概率密度為______．標準答案：知識點解析：由題意可知X的概率密度為則fZ(z)=∫－∞+∞｜x｜f(x)f(xz)dx，12、設總體X和Y相互獨立，且分別服從正態(tài)分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分別來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量的數(shù)學期望和方差分別為______．標準答案：知識點解析：13、二維正態(tài)分布一般表示為N(μ1，μ2；σ12，σ22；ρ)，設(X，Y)～N(1，1；4，9；0．5)，令Z=2X－Y，則Z與Y的相關系數(shù)=______．標準答案：知識點解析：由(X，Y)～N(1，1；4，9；0．5)得EX=1，EY=1，DX=4，DY=9，ρXY=0．5，Cov(Z，Y)=Cov(2X－Y，Y)=2Cov(X，Y)－Cov(Y，Y)DZ=D(2X－Y)=4DX+DY－2Cov(2X，Y)三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、證明：若三事件A，B，C相互獨立，則A∪B及A－B都與C相互獨立．標準答案：因為P[(A∪B)C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)－P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)－P(A)P(B)P(C)=EP(A)+P(B)－P(AB)]P(C)=P(A∪B)P(C)，所以A∪B與C相互獨立．因為P[(A－B)C]==P(A－B)P(C)，所以A0B與C相互獨立．知識點解析：暫無解析15、設X，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布，證明：Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布．標準答案：P{Z=k}=P{X+Y=k}=P{X=i}P{Y=k－i}=Cnipi(1－p)n－i.Cnk－ipk－i(1－p)n－k+i=pk(1－p)2n－kCniCnk－i=C2nkpk(1－p)2n－k，k=0，1，…，2n．故Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布．知識點解析：暫無解析從裝有1個白球和2個黑球的罐子里有放回地取球，記這樣連續(xù)取5次得樣本X1，X2，X3，X4，X5．記y=X1+X2+…+X5，求：16、Y的分布律，EY，E(Y2)；標準答案：記Y是連續(xù)5次取球中取得黑球的個數(shù)，則從而知識點解析：暫無解析17、E(S2)(其中，S2分別為樣本X1，X2，…，X5的均值與方差)．標準答案：由于X的分布律為知識點解析：暫無解析18、設X和Y相互獨立且均服從0－1分布，P{X=1}=P{Y=1}=0．6．試證明：U=X+Y，V=X－Y不相關且不獨立．標準答案：由協(xié)方差的定義和性質，以及X和Y相互獨立，可知Coy(U，V)=E(UV)－EUEV=E(X2－Y2)－E(X+Y)E(X－Y)=E(X2)－E(Y2)=0，于是U=X+Y，V=X－Y不相關．現(xiàn)在證明U=X+Y，V=X－Y不獨立．事實上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0．52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．16≠0．16×0．52=P{U=0}P{V=0}，可見U和V不獨立．知識點解析：暫無解析19、假設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，求隨機變量Y=1－e－λx的概率密度fY(y)．標準答案：(公式法)y=1－e－λx是(0，+∞)上的單調函數(shù)，且其反函數(shù)為即隨機變量Y=1－e－λx服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布．知識點解析：暫無解析20、設隨機變量X1，X1，…，Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，其概率密度為求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．標準答案：方法一P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}=P{X，≤min{X2，X3，…，Xn}}，記Y=min{X2，X3，…，Xn}，則有又因為(X1，Y)的概率密度為f(x，y)=f1(x)fY(y)，所以P{X1≤min{X2，X3，…，Xn}}==∫0+∞λ1e－λ1xdx∫x+∞(λ2+λ3+…+λn)e－(λ2+λ3+…+λn)ydy=∫0+∞λ1e－λ1xe－(λ2+λ3+…+λn)xdx=方法二利用連續(xù)型的全概率公式．P{min{X2，X3，…，Xn)≥X1}=∫－∞+∞P{min{X2，X3，…，Xn}≥x｜X1=x}f1(x)dx=∫0+∞P{min{X2，X3，…，Xn}≥x}λ1e－λ1xdx=∫0+∞P{X2≥x)…P{Xn≥x}λ1e－λ1xdx=λ1∫0+∞e－λ2x…e－λnxe－λ1xdx=知識點解析：暫無解析21、對三臺儀器進行檢驗，各臺儀器產生故障的概率分別為p1，p2，p3，各臺儀器是否產生故障相互獨立，求產生故障儀器的臺數(shù)X的數(shù)學期望和方差．標準答案：X的分布律為由此直接計算EX和DX相當麻煩，應利用期望的性質進行計算．設i=1，2，3，則Xi(i=1，2，3)的分布律如下