考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷11（共248題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷11（共9套）（共248題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0使得()．A、對任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B、對任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C、當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)為單調(diào)增函數(shù)D、當(dāng)x∈(0，δ)時，f(x)是單調(diào)減函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)＞0．所以＞0，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時，有＞0，即f(x)＞f(0)，選(A)．2、設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，f(0)=0且=2，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由=2，得f(0)+f’(0)=0，于是f’(0)=0．再由=f’(0)+f"(0)=2，得f"(0)=2＞0，故f(0)為f(x)的極小值，選(B)．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)／x=－1，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)／x=－1，所以f"(x)=0，即f"(0)=0．又f"(x)／x=－1＜0，由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時，有f"(x)／x＜0，即當(dāng)x∈(－δ，0)時，f"(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選(C)．4、設(shè)y(x)是微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex中，令x=0，則y"(0)=2，于是選(A)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點(diǎn)解析：6、若f(x)=2nx(1－x)n，記Mn=Mn=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2／e知識點(diǎn)解析：由f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0得x=7、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為sinx／x，則∫π／2πxf’(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)9、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0xtf(t2－x2)dt，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)～xn，求n及f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=∫0xtf(t2－x2)dt=1／2∫0xf(t2－x2)d(t2－x2)則n－2=2，n=4，且=1／4f’(0)=1，于是f’(0)=－4．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)=(sint／sinx)x／sint－sinx，求f(x)的間斷點(diǎn)并指出其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先f(x)其次f(x)的間斷點(diǎn)為x=kπ(k=0，±1，…)，因?yàn)閒(x)=e，所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)，x=kπ(k=±1，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’(a)=f’(b)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得|f"(ξ)|≥|f(b)－f(a)|．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得兩式相減得f(b)－f(a)=[f"(ξ1)－f"(ξ2)]，取絕對值得|f(b)－f(a)|≤[|f"(ξ1)|+|f"(ξ2)|]．(1)當(dāng)|f"(ξ1)|≥|f"(ξ2)|時，取ξ=ξ1，則有|f"(ξ)|≥|f(b)－f(a)|；(2)當(dāng)|f"(ξ1)|＜|f"(ξ2)|時，取ξ=ξ2，則有|f"(ξ)|≥|f’(b)－f(a)|．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(x)／x=1且f"(x)＞0．證明：當(dāng)x≠0時，f(x)＞x．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)／x=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由f"(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．13、證明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φn(x)=fn(x)=1，因?yàn)棣課(0)=－1＜0，φn(1)=n－1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)內(nèi)有一個零點(diǎn)，即方程fn(x)=1在(0，+∞)內(nèi)有一個根．因?yàn)棣铡痭(x)=1+2x+…+nxn－1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，所以φn(x)在(0，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)內(nèi)有唯一正根，記為xn．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：由fn(zn)－fn+1(xn+1)=0，得(xn－xn+1)+(xn2－xn+12)+…+(xnn－xn+1n)=xn+1n+1＞0，從而xn＞xn+1，所以{xn}n=1∞單調(diào)減少，又xn＞0(n=1，2，…)，故xn存在，設(shè)xn=A，顯然A≤xn≤x1=1，由xn+xn2+…+xnn=1，得=1，兩邊求極限得A／(1－A)=1，解得A=1／2，即xn=1／2．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)a1＜a2＜…＜an，且函數(shù)f(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．證明：存在ξ∈(a1，an)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)c=ai(i=1，2，…，n)時，對任意的ξ∈(a1，an)，結(jié)論成立；設(shè)C為異于a1，a2，…，an的數(shù)，不妨設(shè)a1＜c＜a2＜…＜an．構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)=f(x)－k(x－a1)(x－a2)…(x－an)，顯然φ(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由羅爾定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an－1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ’(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)內(nèi)至少有n個不同零點(diǎn)，重復(fù)使用羅爾定理，則φ(1)(x)在(a1，an)內(nèi)至少有兩個不同零點(diǎn)，設(shè)為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n－1)(c1)=φ(n－1)(c2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)－n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，從而有知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：=ln|x2lnx|+C知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+f23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當(dāng)x∈[1，2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤f(k)；當(dāng)x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤n－1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口．設(shè)井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／s的速度從抓斗中漏掉．現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)拉力對空斗所做的功為W1，則W1=400×30=12000(J)．設(shè)拉力對繩所做的功為W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30－x)dx，則W2=∫030dW2=22500(J)．設(shè)拉力對污泥做功為W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000－20t)×3dt，則W3=∫0100dW3=57000(J)，拉力克服重力所做的功為W=W1+W2+W3=91500(J)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知點(diǎn)P(1，0，－1)與點(diǎn)Q(3，1，2)，在平面x－2y+z=12上求一點(diǎn)M，使得|PM|+|MQ|最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：把點(diǎn)P及點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入x－2y+z－12得1－1－12=－12及3－2+2－12=－9，則點(diǎn)P及Q位于平面π的同側(cè)．過點(diǎn)P且垂直于平面π的直線方程為得x=1+t，y=－2t，z=t－1，把x=1+t，y=－2t，z=t－1代入平面π得t=2，所以直線L1與平面π的交點(diǎn)坐標(biāo)為T(3，－4，1)．令點(diǎn)P關(guān)于平面π的對稱點(diǎn)為P’(x0，y0，z0)，則有解得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P’(5，－8，3)．={2，－9，1}，過點(diǎn)P’及點(diǎn)Q的直線為L2：得x=3+2t，y=1－9t，z=2+t，把x=3+2t，y=1－9t，z=2+t代入平面π得t=3／7，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(27／7，－20／7，17／7)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由x軸、y軸及x+y=6所圍成的閉區(qū)域D上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求f(x，y)在區(qū)域D的邊界上的最值，在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3：y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x2(6－x)=2x3－12x2，由dz／dx=6x2－24x=0得x=4，因?yàn)閒(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=－64，所以f(x，y)在L3上最小值為－64，最大值為0．(2)在區(qū)域D內(nèi)，由得駐點(diǎn)為(2，1)，因?yàn)锳C－B2＞0且A＜0，所以(2，1)為f(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值為m=f(4，2)－64，最大值為M=f(2，1)=4．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0tfrf(r2)dr=πf(u)du，得F’(t)=2πt(t2)，F(xiàn)’(0)=0，知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區(qū)域a≤x≤b，a≤y≤b．證明：f(x)／f(y)dxdy≥(b－a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于直線y=x對稱，又因?yàn)閒(x)＞0，所以≥2，從而=(b－a)2知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以有cosy=f’y(x，y)，則f(x，y)=siny+C(x)，而f(x，y)dx+xcosydy=t2，即∫0tC(x)dx+tcosydy=t2，兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得C(t)=2t－sint2－2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x－sinx2－2x2cosx2．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)曲線L的長度為l，且=M．證明：|∫LPdx+Qdy|≤Ml．標(biāo)準(zhǔn)答案：Pdx+Qdy={P，Q}．{dx，dy}，因?yàn)閨a．b|≤|a||b|，所以有|Pdx+Qdy|≤≤Mds，于是|∫LPdx+Qdy|≤∫L|Pdx+Qdy|≤∫LMds=M∫Lds=Ml．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、若正項(xiàng)級數(shù)un收斂，證明：收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閡n收斂，所以un=0，當(dāng)x＞0時，ln(1+x)＜x，于是為正項(xiàng)級數(shù)，而ln(1+un)=un－+o(un2)，知識點(diǎn)解析：暫無解析證明：26、設(shè)an＞0，且{nan}有界，則級數(shù)an2。收斂；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閧nan}有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即0＜an2≤M2／n2，而級數(shù)M2／n2收斂，所以級數(shù)an2收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、若n2an=k＞0，則級數(shù)an收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0=k／2＞0，因?yàn)閔2an=k＞0，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，|n2an－k|＜k／2，即0＜n2an＜3k／2，或者0＜an＜3k／21／n2，知識點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)=n(n－1)xn－2，顯然其收斂域?yàn)?－1，1)，知識點(diǎn)解析：暫無解析29、一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m，運(yùn)動開始時鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問整個鏈條滑過釘子需要多長時間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)鏈條的線密度為ρ，取x軸正向?yàn)榇怪毕蛳拢O(shè)t時刻鏈條下垂x(t)m，則下垂那段的長度為(10+x)m，另一段長度為(8－x)m，此時鏈條受到的重力為(10+x)ρg－(8－x)ρg=2(x+1)ρg．鏈條的總重量為18ρ，由牛頓第二定理F=ma得18ρd2x／dt2=2ρg(x+1)，即x=g／9，且x(0)=0，x’(0)=0，當(dāng)鏈條滑過整個釘子時，x=8，知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)x0處間斷，則下列函數(shù)在點(diǎn)x0處必定間斷的是()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：反證法．若f(x)+sinx在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]－sinx也在點(diǎn)x0處連續(xù)，與已知矛盾．2、下述命題：①設(shè)f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)；②設(shè)f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上有界，則f(x)在(－∞，+∞)上有界；③設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上為正值的連續(xù)函數(shù)，則在(－∞，+∞)上也是正值的連續(xù)函數(shù)；④設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上為正值的有界函數(shù)，則在(－∞，+∞)上也是正值的有界函數(shù)．其中正確的個數(shù)為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：①與③是正確的，②與④是不正確的，理由如下：①是正確的．設(shè)x0∈(－∞，+∞)，則它必含于某區(qū)間[a，b]中，由于題設(shè)f(x)在任意閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故在x0處連續(xù)，所以在(－∞，+∞)上連續(xù)．論證的關(guān)鍵之處是函數(shù)f(x)的連續(xù)性是按點(diǎn)來討論的，在區(qū)間上每一點(diǎn)處連續(xù)，就說它在該區(qū)間上連續(xù)．③是正確的．設(shè)x0∈(－∞，+∞)，則f(x0)＞0，且在x0處連續(xù)．由連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則知，在x0處也連續(xù)，所以且在(－∞，+∞)上連續(xù)．②是不正確的．反例：設(shè)f(x)=x，在區(qū)間[a，b]上｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜6｜}M，這個界與[a，6]有關(guān)，容易看出，在區(qū)間(－∞，+∞)上f(x)=x就無界了．④是不正確的．反例：f(x)=e－x2，在區(qū)間(－∞，+∞)上0＜f(x)≤1．所以f(x)在(－∞，+∞)上為正值的有界函數(shù)，而=ex2在(－∞，+∞)上無界，這是因?yàn)楫?dāng)x→±∞時，+∞．故應(yīng)選B．3、設(shè)周期函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又則曲線y=f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線斜率為()A、B、0C、－1D、－2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)周期為4，曲線在點(diǎn)(5，f(5))處的切線斜率與曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率相等，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率即為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)．即f’(1)=－2．4、由曲線(0≤x≤π)與x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：5、設(shè)則f(x)=()A、B、C、lnx－2exD、lnx+2ex標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題中所給式子變形得記則在式①兩端作(1，e)上的積分，得解得故應(yīng)選A．6、設(shè)力f=2i－j+2k作用在一質(zhì)點(diǎn)上，該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M1(1，1，1)沿直線移動到點(diǎn)M2(2，2，2)，則此力所做的功為()A、2B、－1C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閃=f.s，故W=(2，－1，2).(1，1，1)=3．7、設(shè)Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；Ω2：x2+y2+z2≤R2，且x≥0，y≥0，z≥0．則有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：Ω1關(guān)于yOz面及zOx面對稱，當(dāng)f(x，y，z)是關(guān)于x或y的奇函數(shù)時，而f(x，y，z)=z關(guān)于x及y都是偶函數(shù)，故8、設(shè)級數(shù)收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)橐彩諗?，將此兩級?shù)逐項(xiàng)相加所成的級數(shù)(an+an+1)也收斂．也可以舉例說明A，B，D均不正確．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－2知識點(diǎn)解析：所以原極限=e－2．10、曲線在t=1處的曲率K=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)?1、設(shè)=∫－∞atetdt，則a=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：又∫－∞atetdt=∫－∞atd(et)=tet｜∫－∞a－∫－∞aetdt=aea－et｜∫－∞a=(a－1)ea，所以ea=(a－1)ea，a=2．12、xOz坐標(biāo)面上的拋物線z2=x－2繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)拋物面的方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+z2=x－2知識點(diǎn)解析：xOz面上曲線f(x，z)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為即y2+z2=x－2．13、曲面z－ex+2xy=3在點(diǎn)(1，2，0)處的切平面方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：19．2x+y－4=0知識點(diǎn)解析：令F(x，y，z)=z－ex+2xy－3，則Fx’(x，y，z)｜(1，2，0)=4，F(xiàn)y’(x，y，z)｜(1，2，0)=2，F(xiàn)x’(x，y，z)｜(1，2，0)=0，所以切平面的法向量為(4，2，0)，由點(diǎn)法式得出切平面的方程為2z+y－4=0．14、設(shè)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：本題屬于基本計(jì)算，考研中考過多次這種表達(dá)式．15、設(shè)C為閉區(qū)域D的正向邊界閉曲線，則∮C(ex2－y)dx+(x+siny2)dy可通過A(A為D的面積)表示為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2A知識點(diǎn)解析：設(shè)P=e2－y，Q=x+siny2．因由格林公式，有16、級數(shù)的和為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因級數(shù)17、冪級數(shù)在收斂區(qū)間(－a，a)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：18、設(shè)一階非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有兩個線性無關(guān)的解y1，y2，若αy1+βy2也是該方程的解，則應(yīng)有α+β=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由y’1+P(x)y1=Q(x)及y’2+P(x)y2=Q(x)得(αy1+βy2)’+P(x)(αy1+βy2)=(α+β)Q(x)．19、特征根為r1=0，r2，3=±i的特征方程所對應(yīng)的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：特征方程為即r3－r2+r=0，其對應(yīng)的微分方程即如上所填．三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)20、討論方程2x3－9x2+12x－a=0實(shí)根的情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=2x3－9x2+12x－a，討論方程2x3－9x2+12x－a=0實(shí)根的情況，即討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的情況．顯然，所以，應(yīng)求函數(shù)f(x)=2x3－9x2+12x－a的極值，并討論極值的符號．由f’(x)=6x2－18x+12=6(x－1)(x－2)，得駐點(diǎn)為x1=1，x2=2，又f’’(x)=12x－18，f’’(1)＜0，f’’(2)＞0，得x1=1為極大值點(diǎn)，極大值為f(1)=5－a；x2=2為極小值點(diǎn)，極小值為f(2)=4－a．當(dāng)極大值f(1)=5－a＞0，極小值f(2)=4－a＜0，即4＜a＜時，f(x)=2x3－9x2+12x－a有三個不同的零點(diǎn)，因此方程2x3－9x2+12x－a=0有三個不同的實(shí)根；當(dāng)極大值f(1)=5－a=0或極小值f(2)=4－a=0，即a=5或a=4時，f(x)=2x3－9x2+12x－a有兩個不同的零點(diǎn)，因此方程2x3－9x2+12x－a=0有兩個不同的實(shí)根；當(dāng)極大值f(1)=5－a＜0或極小值f(2)=4－a＞0，即a＞5或a＜4時，f(x)=2x3－9x2+12x－a有一個零點(diǎn)，因此方程2x3－9x2+12x－a=0有一個實(shí)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)且f(a)≠f(b)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得：標(biāo)準(zhǔn)答案：對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理知f(b)－f(a)=f’(η)(b－a)，η∈(a，b)，對f(x)，x2在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理知知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：當(dāng)x＞0時，不等式成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)則f(0)=0，且由題設(shè)條件很難確定f’(x)的符號，但是所以知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算下列積分：(1)∫－12[x]max{1，e－x{dx，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)；(2)已知求∫2n2n+2f(x－2n)e－xdx，n=2，3，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因分段函數(shù)則由定積分的分段可加性得∫－12[x]max{1，e－x}dx=∫－10(－1)e－xdx+∫010dx+∫011dx=2－e．(2)令t=x－2n，則由定積分的分段可加性與分部積分得，∫2n2n+2f(x－2n)e－xdx=∫02f(t)e－t－2ndt=e－2n∫01te－tdt+e－2n∫12(2－t)e－tdt=(1－e－1)2e－2n．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、(1)設(shè)f(x)在[a，b]上非負(fù)連續(xù)且不恒為零，證明必有∫abf(x)dx＞0；(2)是否存在[0，2]上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，滿足f(0)=f(2)=1，｜f’(x)｜≤1，｜∫02f(x)dx｜≤1，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意f(x)≥0，x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使f(x0)≠0，從而f(x0)＞0，又由連續(xù)性可得，=f(x0)＞0=>存在δ＞0與η＞0，當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時，恒有f(x)＞η＞0．于是∫abf(x)dx≥∫x0－δx0+δf(x)dx≥∫x0－δx0+δηdx=η.2δ＞0．(2)設(shè)[0，2]上存在連續(xù)可微的函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則在[0，1]上，對任意x∈(0，1]，存在ξ1∈(0，x)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(x)=f’(ξ1)(x－0)，即f(x)=1+f’(ξ1)x．利用｜f’(x)｜≤1得1－x≤f(x)(x∈(0，1])．由題設(shè)f(0)=1知，這一不等式成立范圍可擴(kuò)大為x∈[0，1]．同樣，在[1，2]上，對任意x∈[1，2)，存在ξ2∈(x，2)，由拉格朗日中值定理得f(x)－f(2)=f’(ξ2)(x－2)，即f(x)=1+f’(ξ2)(x－2)，利用｜f’(x)｜≤1得1+(x－2)≤f(x)，即x－1≤f(x)(x∈[1，2))．由題設(shè)f(2)=1知這一不等式成立范圍可擴(kuò)大為z∈[1，2]．∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx＞∫01(1－x)dx+∫12(x－1)dx這與f(x)所滿足的｜∫02f(x)dx｜≤1矛盾，故不存在這樣的f(x)．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求函數(shù)z=x2+y2+2x+y在區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤1)上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于D是有界閉區(qū)域，z=x2+y2+2x+y在該區(qū)域上連續(xù)，因此一定能取到最大值與最小值．先求函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的極值點(diǎn)．解方程組由于不在區(qū)域D內(nèi)，舍去．所以函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部無偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．再求函數(shù)在邊界上的最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)，即求z=x2+y2+2x+y滿足約束條件x2+y2=1的條件極值點(diǎn)．此時z=1+2x+y．用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2－1)，令所有最值懷疑點(diǎn)僅有兩個，由于知識點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算曲線積分其中L：(x－1)2+y2=2，其方向?yàn)槟鏁r針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x=y=0時，被積函數(shù)無意義，故L所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點(diǎn)(0，0)，作逆時針方向的圓周l：x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，使l全部被L所包圍，在L和l為邊界的區(qū)域D內(nèi)，根據(jù)格林公式，有知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)曲線C：y=sinx，0≤x≤π，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：先將曲線積分化為定積分：則由定積分的性質(zhì)，得知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求微分方程y’’(3y’2－x)=y’滿足初值條件y(1)=y’(1)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是不顯含y型的二階微分方程y’’=f(x，y’)，按典型步驟去做即可．令化為3p2dp=(xdp+pdx)=0，這是關(guān)于p與x的全微分方程，解之得p3－xp=C1，以初值條件x=1時，p=1代入，得C1=0，從而得p2－xp=0，以x=1時，y=1代入，得知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、f(x)在[一1，1]上連續(xù)，則x=0是函數(shù)g(x)=的()．A、可去間斷點(diǎn)B、跳躍間斷點(diǎn)C、連續(xù)點(diǎn)D、第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，因?yàn)?f(0)，所以x=0為g(x)的可去間斷點(diǎn)，選(A)．2、設(shè)∫f(x)dx=x2+C，則∫xf(1一x2)dx等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：∫xf(1-x2)dx=∫f(1-x2)d(1一x2)=(1-x2)2+C，選(B)．3、設(shè)fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，則()．A、f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)B、f(x，y)存在C、f(x，y)在(x0，y0)處可微D、f(x，y0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：多元函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)不一定在該點(diǎn)連續(xù)，(A)不對；4、設(shè)區(qū)域D由x=0，y=0，x＋y=，x+y=1圍成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy,I2=(x+y)3dxdy，I3=sin3(x+y)dxdy，則()A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：故I2≥I3≥I1，應(yīng)選(B)．5、設(shè)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，則等于()．A、一f’’(a)B、f’’(a)C、2f’’(a)D、f’’(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：6、設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，則該方程的通解為()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關(guān)解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)－φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1一C2或C1+C2+C3=1，選(D)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識點(diǎn)解析：8、∫01sinx2xtdt=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、點(diǎn)M(1，一1，2)到平面π：2x—y+5z一12=0的距離為d=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：．10、冪級數(shù)的收斂半徑為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：11、微分方程xy’=+y的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：13、設(shè)f(μ，ν)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f1’(1，2)=1，f2’(1，2)=4，f(1，2)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f1’(1，2)+2f2’(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．14、設(shè)級數(shù)條件收斂，則p的取值范圍是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=，求df(x)｜x=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)==xex得f’(x)=(x+1)ex，從而f’(1)=2e，故df(x)｜x=1=2edx．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求y=∫0x(1一t)arctantdt的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=(1－x)arctanx=0，得x=0或x=1，y’’=－arctanx＋，因?yàn)閥’’(0)=1＞0，y’’(1)=＜0，所以x=0為極小值點(diǎn)，極小值為y=0；x=1為極大值點(diǎn)，極大值為y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt一∫01tarctantdt知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(2)=，f’(2)=0,∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算∫L(x3+y2)ds，其中L：x2+y2=a2．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性，∫L(x3+y2)ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds，則∫L(x3+y2)ds==πa3．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)級數(shù)收斂，又an≤bn≤cn(n=1，2，…)．證明：級數(shù)bn收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn一an≤cn一an．因?yàn)?cn－an)收斂，根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法得(bn一an)收斂，又bn=(bn一an)+an，則bn收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均數(shù)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=0，f()=1，f(1)=0．證明：24、存在η∈(，1)，使得f(η)=η；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)一x，φ(x)在[0，1]上連續(xù)，＞0，φ(1)=一1＜0，由零點(diǎn)定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)=0，即f(η)=η．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、對任意的k∈(一∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)=e－kxφ(x)，顯然F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(η)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)，整理得F’(ξ)－K[F(ξ)一ξ]=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．證明：對此鄰域內(nèi)任一異于x0的點(diǎn)x，有，其中x’為x關(guān)于x0的對稱點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，且對任意的x，y∈(一∞，+∞)有｜f(x)一f(y)｜≤｜x—y｜．證明：｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜≤(b一a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)一f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)一f(a)｜dx≤∫ab(x-a)dx=．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算dxdy，其中D為單位圓x2＋y2=1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、當(dāng)x→1時，f(x)=的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)2、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則f(x3)｜x＝－1=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=－1=3f’(一1)=3f’(1)=6．3、設(shè)f(x)=則∫－15f(x一1)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋ln3知識點(diǎn)解析：∫－15f(x一1)dx=∫－15f(x一1)d(x一1)=∫－24f(x)dx4、若，則｜a－b｜=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，則｜a一b｜2=(a一b)(a—b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40，則｜a一b｜=．5、設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則fx’(0，1，一1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：6、∫01dy∫0y2cos(1一x)2dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、x2ydx+xy2dy=_______，其中L：｜x｜+｜y｜=1，方向取逆時針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：令L1：y=1一x(起點(diǎn)x=1，終點(diǎn)x=0)，L2：y=1+x(起點(diǎn)x=0，終點(diǎn)x=一1)，L3：y=一1一x(起點(diǎn)x=一1，終點(diǎn)x=0)，L4：y=一1+x(起點(diǎn)x=0，終點(diǎn)x=1)，=∫10[x2(1一x)－x(1－x)2]dx+∫0－1[x2(1+x)+x(1＋x)2)]dx＋∫－10[－x2(1＋x)一x(1＋x)2]dx+∫01[x2(x－1)+x(x－1)2]dx=08、的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)f(x)=，在x=1處可微，則a=________，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=-1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=1處可微，所以f(x)在x=1處連續(xù)，于是f(1—0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．又f－’(1)==2，f＋’(1)==a，由f(x)在x=1處可微得a=2，所以a=2，b=一1．10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=cosx一xsinx+C知識點(diǎn)解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，兩邊求導(dǎo)得f’(x)=一2sinx一xcosx，積分得f(x)=cosx一xsinx+C．11、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的某鄰域內(nèi)可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，則曲面∑：z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的切平面方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：切平面方程為π：2(x一0)＋3(y一1)一(z一1)=0，即π：2x＋3y—z一2=0知識點(diǎn)解析：由f(x，y＋1)=1＋2x+3y＋o(ρ)得f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處可微，且f(0，1)=1，=3，而曲面∑：z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1，1)的法向量為n==(2，3，一1)，所以切平面方程為π：2(x一0)＋3(y一1)一(z一1)=0，即π：2x＋3y—z一2=0．12、微分方程y’一xe－y+=0的通解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、設(shè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)y=f()，且f’(x)=lnx，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)，證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設(shè)f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求∫0nπx｜c(diǎn)osx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0nπx｜c(diǎn)osx｜dx=∫0πx｜c(diǎn)osx｜dx＋∫π2πx｜c(diǎn)osx｜dx＋…＋∫(n－1)πnπx｜c(diǎn)osx｜dx∫0πx｜c(diǎn)osx｜dx==π，∫π2πx｜c(diǎn)osx｜dx∫0π(t＋π)｜c(diǎn)ost｜dx=∫0πt｜c(diǎn)ost｜dt＋π∫0π｜c(diǎn)ost｜dt＝π＋2π＝3π，∫2π3πx｜c(diǎn)osx｜dx∫0π(t＋2π)｜c(diǎn)ost｜dt=∫0πt｜c(diǎn)ost｜dt＋2π∫0π｜c(diǎn)ost｜dt=5π，則∫0nπx｜c(diǎn)osx｜dx=π＋3π＋…＋(2n－1)π=n2π．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線y=kx與曲線y=所圍平面圖形為D1，它們與直線x=1圍成平面圖形為D2。18、求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小，并求最小值；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求此時的D1+D2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、對右半空間x＞0內(nèi)的任意光滑有側(cè)封閉曲面∑，有f(x)dydz—xyf(x)dzdz—e2xzdxdy=0，其中f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(0+0)=1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由高斯公式得xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=±[xf’(x)+(1一x)f(x)一e2x]dν=0，當(dāng)曲面∑法向量指向外側(cè)時取正號，當(dāng)曲面∑的法向量指向內(nèi)側(cè)時取負(fù)號．由∑的任意性得xf’(x)+(1-x)f(x)一e2x=0(x＞0)，或者f’(x)+，則知識點(diǎn)解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求微分方程y’’+2y’一3y=(2x+1)ex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+2λ一3=0，特征值為λ1=1，λ2=一3，則y’’+2y’一3y=0的通解為y=C1ex+C2e－3x，令原方程的特解為y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解為y=C1ex+C2e3x+(2x2+x)ex．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ－η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(x，y)在D：x2+y2≤1有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在L：x2+y2=1上有f(x，y)≡0．證明：f(0，0)=dxdy，其中Dr：r2≤x2＋y2≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、討論級數(shù)dx的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)則在x=0處f(x)()A、不連續(xù)B、連續(xù)，但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：故f(x)在x=0處連續(xù)．故f(x)可導(dǎo)，但不存在，即f’(x)在x=0處不連續(xù)．2、設(shè)常數(shù)α＞1，函數(shù)則f(x)在x=0處()A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)，f’(0)=aD、可導(dǎo)，f’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：考慮x＞0處，由于α＞1，有當(dāng)又f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)，不選A．再看f’(0)是否存在，等于多少．而當(dāng)令x→0－，由于α＞1，再由夾逼定理得所以f’(0)存在且等于0．選D．3、曲線上相應(yīng)于x從3到8的一段弧的長度為()A、B、C、9D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：4、積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：5、兩個半徑為R的正交圓柱體所圍成立體的表面積S等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：記所求面積為S．由于對稱性S=16S1，S1對應(yīng)第一卦限中曲面被截得部分的面積，該部分在xOy面的投影域?yàn)橐驗(yàn)?、設(shè)an≠0(n=0，1，…)，且冪級數(shù)anx2n+1的收斂半徑為4，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：例如收斂半徑都是4，所以冪級數(shù)在｜x｜＜4內(nèi)收斂．但在x=4處，上述級數(shù)的通項(xiàng)4[2+(－1)n]不趨于零，級數(shù)在x=4處發(fā)散，所以它的收斂半徑R=4．但是它的不存在．故應(yīng)選D．二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)7、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：na知識點(diǎn)解析：令x=－1，則f(1)=f(－1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)－f(－1)=2f(1)=2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，現(xiàn)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=na．當(dāng)n=1，2，3時，已知或者已證．假設(shè)1≤n≤k時，有f(n)=na．當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=f(k－1)+f(2)=(k－1)a+2a=(k+1)a．故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na．令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a．又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負(fù)整數(shù)n有f(n)=－f(－n)=－(－na)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．8、當(dāng)x→π時，若有則A=______，k=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→π時，9、的可去間斷點(diǎn)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=－1知識點(diǎn)解析：間斷點(diǎn)有x=－2，11，0，1．在x1=－2點(diǎn)處，由于可知f(x)在x1=－2點(diǎn)的半徑小于1的去心鄰域內(nèi)有界；同時，任一半徑小于1的去心鄰域的f(x)的函數(shù)值無限振蕩，振幅不趨于0，所以x1=－2是f(x)的振蕩間斷點(diǎn)．在x2=－1點(diǎn)處，由于在x2=－1點(diǎn)的半徑小于1的去心鄰域內(nèi)有界；而從而可知x2=－1是f(x)的可去間斷點(diǎn)．在x3=0點(diǎn)處．由于所x3=0是f(x)的無窮間斷點(diǎn)．在x4=1點(diǎn)處，由于所以x4=1是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．10、曲線的凹區(qū)間是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，+∞)知識點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時，y’’＞0，曲線是凹的；當(dāng)x＜0時，y’’＜0，曲線是凸的．11、=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識點(diǎn)解析：因所以原積分==ln(2+x∫1e)｜02=ln6－ln2=ln3．12、經(jīng)過點(diǎn)A(1，0，0)與點(diǎn)B(0，1，1)的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2+y2－2z2+2z－1=0知識點(diǎn)解析：由直線方程的兩點(diǎn)式得直線AB的方程：寫成參數(shù)式：x=1+t，y=－t，x=－t，得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程：x2+y2=(1－z)2+z2．13、函數(shù)u=3x2y－2yz+z3，v=4xy－z3，點(diǎn)P(1，一1，1)．u在點(diǎn)P處沿gradv｜P方向的方向?qū)?shù)等于______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：gradv｜P=(－4，4，－3)，單位化為gradu｜P=(－6，1，5)，所以所求方向?qū)?shù)14、設(shè)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-sinθ知識點(diǎn)解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得15、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則=______，其中D={(x，y)｜x2+y2≤t2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0，0)知識點(diǎn)解析：因被積函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上是抽象函數(shù)，故無法用先求出重積分的方法去求極限，因此考慮：①用中值定理先去掉積分號再求極限；②N－次積分化分子為積分上限的函數(shù)．因16、設(shè)在光滑曲面∑所圍閉區(qū)域Q上，P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且∑為Ω的外側(cè)邊界曲面，由高斯公式可知的值為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因P，Q，R在Ω上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故Ryx’’=Rxy’’，Qzx’’=Qxz’’，Pzy’’=Pyz’’，從而由高斯公式有17、若將在[0，2]上展開成正弦級數(shù)，則該級數(shù)的和函數(shù)S(x)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：根據(jù)狄利克雷收斂定理(需進(jìn)行奇延拓)知，18、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：[－1，1]知識點(diǎn)解析：為缺項(xiàng)級數(shù)，不能通過求收斂半徑R，可用比值審斂法求R．具體為：當(dāng)｜x2｜＜1，即｜x｜＜1時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)｜x2｜＞1，即｜x｜＞1時，級數(shù)發(fā)散．故R=1．當(dāng)x=1時，原級數(shù)收斂．從而收斂域?yàn)閇－1，1]．19、用待定系數(shù)法確定微分方程y’’－2y’=x2+e2x+1的特解形式(不必求出系數(shù))是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*=x(ax2+bx+c)+dxe2x知識點(diǎn)解析：特征方程為r2－2r=0，特征根r1=0，r2=2．對f1(x)=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(ax2+bx+c)；對f2(x)=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=dxe2x．從而y*=y1*+y2*就是特解．20、以y=7e3x+2x為一個特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’’－3y"=0知識點(diǎn)解析：由特解y=7e3x+2x知特征根為r1=3，r2=r3=0(二重根)，特征方程為r3－3r2=0，相應(yīng)齊次線性方程即為y’’’－3y"=0．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、在數(shù)中求出最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先考查連續(xù)函數(shù)由得x=e，且當(dāng)x＜e時，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)增加；當(dāng)x＞e時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少．所以，f(e)為f(x)的最大值，而2＜e＜3，于是所求的最大值必在知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求擺線的曲率半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：故擺線的曲率半徑知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=sin2x，則有知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)an=∫01x(1－x)n－1dx(n=1，2，…)．(1)求an；(2)求(－1)nnan的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)作積分變量替換，令t=1－x，an=∫01x(1－x)n－1dx=∫01(1－t)tn－1(－dt)=∫01(tn－1－tn)dt=(2)知識點(diǎn)解析：暫無解析26、在第一象限的橢圓上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的法線與原點(diǎn)的距離最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)(x，y)處的法線方程為所以原點(diǎn)到該法線的距離為構(gòu)造拉格朗日函數(shù)h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根據(jù)條件極值的求解方法，先求根據(jù)實(shí)際問題，與原點(diǎn)距離最大的法線是存在的，駐點(diǎn)只有一個，所得即所求，故可斷定所求的點(diǎn)為知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)L為曲線x2+y2=R。(常數(shù)R＞0)一周，n為L的外法線方向向量，u(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．6—12所示，設(shè)τ0=(cosα，sinα)為L沿逆時針方向的單位向量．將它按順時針方向轉(zhuǎn)便得L的外法線方向的單位向量為n0=(sinα，－cosα)．故方向?qū)?shù)其中D={(x，y)｜x2+y2≤R2)為L所圍成的有界區(qū)域．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)曲線C：x2+y2+x+y=0，取逆時針方向，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：關(guān)于第二型曲線積分的估值問題，一般是先考慮用格林公式將其轉(zhuǎn)化為二重積分，然后對二重積分進(jìn)行估值．由格林公式，有∮Cxcosy2dy－ysinx2dx=(cosy2+sinx2)dσ，(*)其中D={(x，y)｜x2+y2+x+y≤0}=是由C圍成的圓域，橫坐標(biāo)最小為由積分的保號性得，知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求微分方程y’’+2y’+2y=的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：先用三角公式將自由項(xiàng)寫成e－x+e－xcosx，然后再用疊加原理和待定系數(shù)法求特解．對應(yīng)的齊次方程的通解為y=(C1cosx+C2sinx)e－x．為求原方程的一個特解，將自由項(xiàng)分成兩項(xiàng)e－x，e－xcosx，分別考慮y’’+2y’+2y=e－x，①與y’’+2y’+2y=e－xcosx．②對于①，令y1*=Ae－x，代入可求得A=1，從而得y1*=e－x．對于②，令y2*=xe－x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，，從而得y2*=xe－xsinx．由疊加原理，得原方程的通解為y=Y+y1*+y2*=e－x(C1cosx+C2sinx)+e－x+xe－xsinx，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設(shè)函數(shù)y=(x)在(0，+∞)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：(反例排除法)取f(x)=．顯然f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)．因?yàn)?，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界．不存在，排除A．因?yàn)?，排除C、D．2、設(shè)f(x)=如果f(x)在x=0點(diǎn)處連續(xù)，則k等于()A、0．B、2．C、D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：如果f(x)在x=0點(diǎn)處連續(xù)，則3、設(shè)y=則y’’｜xx=0等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閘n(1+x2)，所以4、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn)x=0處f(x)()A、取得極大值．B、取得極小值．C、不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)但f’(0)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x→0時，ex-1～x，sinx～x，所以由與f(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)的連續(xù)性，知=f(0)=0．于是由排除C、D．由極限的局部保號性及知，在x=0的某去心鄰域內(nèi)，，即f(x)>＞f(0)，所以在點(diǎn)x=0處f(x)取得極小值．5、已知f’(sinx)=x，則f(sinx)等于()A、sinx+cosx+C．B、x+arcsinx+C．C、xsinx+C．D、xsinx+cosx+C．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(sinx)=x，所以f(sinx)=∫f’(sinx)d(sinx)=∫xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C．6、設(shè)an=等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)?，所?、設(shè)擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，a＞0，在其第一拱上分?jǐn)[線的長度為1：3的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)第一拱上分?jǐn)[線的長度為1：3的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t0，則由參數(shù)方程表示下面曲線的弧長計(jì)算公式，擺線的第一拱的長度為由題設(shè)故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為8、設(shè)u=f(x，y)，而x=rcosθ，y=rsinθ(r＞0，θ∈[0，2π])，其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于()A、-f’1sinθ+f’2cosθ．B、rsinθcosθ(f’’22-f’’11)-f’1sinθ+f’2cosθ．C、rcos2θf’’11-f’1sinθ+f’2cosθ.D、rsinθcosθ(f’’22-f’’11)+rcos2θf’’12-f’1sinθ+f’2cosθ.標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題考查二元復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．由二元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，有=[f’’11(-rsinθ)+f’’12rcosθ]cosθ-f’1sinθ+[f’’21(-rsinθ)+f’’22rcosθ]sinθ+f’2cosθ，因?yàn)閒具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以f’’12=f’’21，于是=rsinθcosθ(f’’22-f’’11)+rcos2θf’’12-f’1sinθ+f’2cosθ．9、二次積分可寫成()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：的積分區(qū)域D1為由直線x=0，y=x，y=1圍成；的積分區(qū)域D2為由直線y=1，x=0，x=2-y圍成．所以二次積分的積分區(qū)域D=D1∪D2是由直線x=0，y=x，x+y=2圍成，如圖21所示，故原積分形式可寫成10、設(shè)曲線г：x=t，y=(0≤t≤1)，其線密度ρ=，則曲線的質(zhì)量為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題主要考查第一類曲線積分的物理意義與計(jì)算方法．根據(jù)第一類曲線積分的物理意義與計(jì)算方法，曲線的質(zhì)量為11、下列四個級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于A，因?yàn)橛杀戎祵彅糠ㄖ?，級?shù)收斂．對于B，因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散，由比較審斂法的極限形式知，級數(shù)發(fā)散．如果從考試的角度講，應(yīng)選B，解題結(jié)束．但為便于考生復(fù)習(xí)，對于C，這是一個交錯級數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x＞e2時，f(x)單調(diào)減少，所以當(dāng)n＞[e2]時，，故由交錯級數(shù)的萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂．對于D，因?yàn)?2、函數(shù)f(x)=arctan展開成x的冪級數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：將f(x)=展開成x的冪級數(shù)非常困難，考慮用“先導(dǎo)后積”法．顯然f(0)=．對f(x)求導(dǎo)得等式兩邊從0到x積分，得13、設(shè)曲線y=y(x)滿足xdy+(x-2y)dx=0，且y=y(x)與直線x=1及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小，則y(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：原微分方程可化為，這是一階線性微分方程．由其通解公式有曲線y=x+Cx2與直線x=1及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為故當(dāng)C=時，V取得最小值所以y(x)=x-x2．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：這是一個型未定式的極限，可考慮用洛必達(dá)法則，也可利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換．15、設(shè)f(x)=在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則a=______，b=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：-1，1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以x=0與x=1是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，故所以b=1，a+b=0，即a=-1，b=1．16、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：這是一個隱函數(shù)求導(dǎo)問題，由于方程兩邊表達(dá)式是冪指函數(shù)，故可先對方程兩邊取對數(shù)，再將方程兩邊對x求導(dǎo)．方程，xlnx=ylny，兩邊對x求導(dǎo)，得17、已知函數(shù)y=f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(a，f(a))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，則=____.標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因?yàn)閥=f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(a，f(a))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，所以f’’(a)=0，由洛必達(dá)法則18、∫x3ex2dx=_______.．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：先作變換x2=t，再用分部積分公式計(jì)算．令x2=t，則19、設(shè)當(dāng)x＞0時，連續(xù)函數(shù)f(x)滿足，則f(2)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：已知方程兩邊對x求導(dǎo)，得f(x2+x3).(2x+3x2)=1，f(x2+x3)=取x=1，得f(2)=20、點(diǎn)P0(1，0，-1)到直線L：的距離為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：過點(diǎn)P0作平面Ⅱ垂直于直線L，記平面Ⅱ與直線L的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P0與P之間的距離即為點(diǎn)P0到直線L的距離(如圖43)．直線L的方向向量也是所作平面Ⅱ的法向量，由平面的點(diǎn)法式方程，得所作平面Ⅱ?yàn)?(x-1)-(y-0)+2(x+1)=0，即x+y-2z-3=0，聯(lián)立方程組所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，故點(diǎn)P0到直線L的距離為21、設(shè)f(t，et)dt，其中f(u，v)是連續(xù)函數(shù)，則dz=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：xf(x2y,ex2y)(2ydx+xdy)知識點(diǎn)解析：這是一個積分上限的二元函數(shù)的全微分計(jì)算問題．利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式及偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，有=f(x2y,ex2y)．2xy，=f(x2y,ex2y)．x2，所以dz=xf(x2y,ex2y)(2ydx+xdy)．22、在直角坐標(biāo)下二次積分則在極坐標(biāo)下先對r后對θ的二次積分I=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由已知二次積分知，積分區(qū)域由直線y=0，y=2，x=-y及曲線圍成，如圖48所示．在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可分成兩部分23、設(shè)г是圓柱面x2+y2=1與平面z=x+y的交線．從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時針方向，則曲線積分∫гxzdx+xdy+=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識點(diǎn)解析：本題考查空間曲線上第二類曲線積分的計(jì)算．將г化成參數(shù)方程，把曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分直接計(jì)算．將曲線г化為參數(shù)方程0≤θ≤2π．則24、冪級數(shù)x2n-的收斂半徑為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：考查缺奇數(shù)項(xiàng)的冪級數(shù)的收斂半徑．考慮冪級數(shù)．由高等數(shù)學(xué)知該冪級數(shù)的收斂半徑25、已知是微分方程的表達(dá)式是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：將y=代入微分方程，得考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)常數(shù)α＞2，則級數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、斂散性與α有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于設(shè)常數(shù)p滿足1＜p＜α一1，則有由正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的極限形式知級數(shù)收斂，進(jìn)而知當(dāng)α＞2時絕對收斂，即(C)正確．2、設(shè)a＞0為常數(shù)，則級數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、斂散性與口有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：用分解法．分解級數(shù)的一般項(xiàng)二、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)3、判定下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判別法．因，故原級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析4、判定下列級數(shù)的斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時判定是條件收斂還是絕對收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于收斂，利用比較判別法即知收斂，所以此級數(shù)絕對收斂．(Ⅱ)由于當(dāng)n充分大時，0＜＞0，所以此級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的兩個條件，這說明原級數(shù)(n→∞)，所以，級數(shù)條件收斂．是條件收斂的，故原級數(shù)條件收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析5、求下列函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意=1，對級數(shù)的通項(xiàng)取絕對值，并應(yīng)用根值判別法，則當(dāng)＞1，即x＜0時，原級數(shù)發(fā)散(x=一1除外)，因?yàn)橐话沩?xiàng)不是無窮小量；當(dāng)x=0時，原級數(shù)為收斂的交錯級數(shù)．因此，級數(shù)的收斂域?yàn)閇0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判別法，則有這就說明：當(dāng)｜x｜＞1時，級數(shù)收斂，而且絕對收斂；然而，當(dāng)｜x｜≤1(x≠—1)時，比值判別法失效．但是，當(dāng)｜x｜＜1時，=1；當(dāng)x=1時，un(x)=(n=1，2，…)，都不滿足級數(shù)收斂的必要條件．所以，級數(shù)的收斂域?yàn)椋黿｜＞1．知識點(diǎn)解析：暫無解析6、求下列冪級數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)=3，故收斂半徑R=1／3．當(dāng)x=1／3時，原冪級數(shù)為，是一個收斂的交錯級數(shù)；當(dāng)x=一1／3時，原冪級數(shù)為的收斂域?yàn)?一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收斂半徑R=+∞，即收斂區(qū)間也是收斂域?yàn)?一∞，+∞)．知識點(diǎn)解析：暫無解析7、求冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：容易求得其收斂域?yàn)閇一1，1)．為求其和函數(shù)S(x)，在它的收斂區(qū)間(一1，1)內(nèi)先進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因?yàn)镾(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原級數(shù)在x=一1處收斂，又ln(1一x)在x=一1處連續(xù)，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析8、判定下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)本題可采用比值判別法．由于，所以，當(dāng)p＜e時，級數(shù)收斂；當(dāng)p＞e時，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時，比值判別法失效．注意到數(shù)列{(1+)n}是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=e時，＞1，即{un}單調(diào)遞增不是無窮小量，所以該級數(shù)也是發(fā)散的．總之，級數(shù)當(dāng)p＜e時收斂，p≥e時發(fā)散．(Ⅱ)本題適宜采用根值判別法．由于=0，所以原級數(shù)收斂．這里用到=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、判別下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用比較判別法的極限形式．由于級數(shù)發(fā)散，而且當(dāng)n→∞時所以原級數(shù)也發(fā)散．(Ⅱ)仍利用比較判別法的極限形式．先改寫用泰勒公式確定的階．由于(Ⅲ)注意到0≤收斂，所以原級數(shù)也收斂．(Ⅳ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=單調(diào)遞減，所以再采用極限形式的比較判別法，即將=0，所以，級數(shù)收斂．再由上面導(dǎo)出的不等式0＜un≤，所以原級數(shù)也收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、判別級數(shù)的斂散性，其中{xn}是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先因?yàn)閧xn}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)數(shù)列，所以0≤1—．現(xiàn)考察原級數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0為常數(shù))，故所以{Sn}也是有界的．由正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件知原級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、判別下列級數(shù)的斂散性(包括絕對收斂或條件收斂)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于發(fā)散，所以原級數(shù)不是絕對收斂的．原級數(shù)是交錯級數(shù)，易知的單調(diào)性，令f(x)=＞0(當(dāng)x充分大時)→當(dāng)x充分大時g(x)．這說明級數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個條件，所以該級數(shù)收斂，并且是條件收斂的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此級數(shù)是交錯級數(shù)．又由于發(fā)散，這說明原級數(shù)不是絕對收斂的．由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而是單調(diào)減少的，所以，sin隨著n的增加而單調(diào)遞減．又顯然滿足萊布尼茲判別法的兩個條件，從而它是收斂的．結(jié)合前面的討論，知其為條件收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、判別級數(shù)(p＞0)的收斂性(包括絕對收斂或條件收斂)．標(biāo)準(zhǔn)答案：為判斷其是否絕對收斂，采用極限形式的比較判別法，由于所以，當(dāng)p＞1時，級數(shù)絕對收斂；而當(dāng)p≤1時，該級數(shù)不絕對收斂．下面介紹幾種方法討論0＜p≤1時，是否條件收斂．考察部分和Sn=(n≥2)的極限是否存在．先考慮部分和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，即注意到等式右端的每一項(xiàng)都是正的，所以S2n+1＜0，而且單調(diào)遞減．又由于亦即S2n+1＞，這就說明{S2n+1}是單調(diào)遞減有下界的，所以其極限存在，設(shè)S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即級數(shù)的部分和數(shù)列收斂，所以該級數(shù)收斂．特別，這說明0＜p≤1時，該級數(shù)條件收斂．知識點(diǎn)解析：對于交錯級數(shù)先要討論其是否絕對收斂．這里un≥un+1不總是成立的，也就是說萊布尼茲判別法的條件不滿足．這樣，當(dāng)其不是絕對收斂時，萊布尼茲判別法也不能使用，可考慮直接用定義討論其收斂性或利用收斂級數(shù)的性質(zhì)．13、判斷如下命題是否正確：設(shè)無窮小un～vn(n→∞)，若級數(shù)vn也收斂．證明你的判斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于正項(xiàng)級數(shù)，比較判別法的極限形式就是：vn同時收斂或同時發(fā)散．本題未限定vn一定收斂．比如，取即un～vn(n→∞)．級數(shù)un是收斂的，然而級數(shù)vn是不收斂的．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、確定下列函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)使用比較判別法．當(dāng)x≤1時，由于也發(fā)散．當(dāng)x＞1時，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收斂域?yàn)?1，+∞)．(Ⅱ)當(dāng)x＞0時，由于滿足萊布尼茲判別法的兩個條件，因此是收斂的．而當(dāng)x≤0時，因該級數(shù)通項(xiàng)不趨于零，所以是發(fā)散的．故級數(shù)的收斂域?yàn)?0，+∞)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求下列冪級數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間：(Ⅲ)anxn的收斂半徑R=