考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷13（共246題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷13（共9套）（共246題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、下列命題正確的是()．A、若|f(x)|在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處連續(xù)B、若f(x)在x=a處連續(xù)，則|f(x)|在x=a處連續(xù)C、若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)D、若[f(a+h)－f(a－h(huán))]=0，則f(x)在x=a處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=顯然|f(x)|≡1處處連續(xù)，然而f(x)處處間斷，(A)不對(duì)；令f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù)，但在任意x=a≠0處函數(shù)f(x)部是間斷的，故(C)不對(duì)；令f(x)=[f(0+h)－f(0－h(huán))]=0，但f(x)在x=0處不連續(xù)，(D)不對(duì)；若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)=f(a)，又0≤||f(x)|－|f(a)||≤|f(x)－f(a)|，根據(jù)夾逼定理，|f(x)|=|f(a)|，選(B)．2、f(x)g(x)在x0處可導(dǎo)，則下列說法正確的是()．A、f(x)，g(x)在x0處都可導(dǎo)B、f(x)在x0處可導(dǎo)，g(x)在x0處不可導(dǎo)C、f(x)在x0處不可導(dǎo)，g(x)在x0處可導(dǎo)D、f(x)，g(x)在x0處都可能不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=顯然f(x)，g(x)在每點(diǎn)都不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，但f(x)g(x)≡－1在任何一點(diǎn)都可導(dǎo)，選(D)．3、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f"(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定為最值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f’(x)=f"(x)不存在，所以(A)不對(duì)；若最大值在端點(diǎn)取到則不是極大值，所以(B)不對(duì)；(C)顯然不對(duì)，選(D)．4、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與g(x)是等價(jià)無窮小，令F(x)=∫0xf(x－t)dt，G(x)=∫01xg(xt)出，則當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)=∫0xf(x－t)dt=－∫0xf(x－t)d(x－t)∫0xf(u)du，G(x)=∫01xg(xt)dt∫0xg(u)du，則選(D)．5、設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無關(guān)解，則該方程的通解為()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)－φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)－φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無關(guān)解，所以φ1(x)－φ3(x)，φ2(x)－φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個(gè)線性無關(guān)解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)－φ3(x)]+C2[φ2(x)－φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1－C1－C2或C1+C2+C3=1，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、標(biāo)準(zhǔn)答案：1／4知識(shí)點(diǎn)解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)t=0時(shí)，由y+ey=1，得y=0．方程y+ey=ln(e+t2)兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、點(diǎn)M(3，－1，2)到直線的距離為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直線的方向向量為S={1，1，－1}×{2，－1，1}={0，－3，－3}，顯然直線經(jīng)過點(diǎn)M0(1，－1，1)，×s={3，6，－6}，則點(diǎn)M(3，－1，2)到直線10、設(shè)z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分別二階連續(xù)可導(dǎo)和二階連續(xù)可偏導(dǎo)，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’+xf"+xy－1g’1+yxy－1lnxg’1+yx2y－1lnxg"11+2y2xy－1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22知識(shí)點(diǎn)解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g’1(xy，x2+y2)+2xg’2(xy，x2+y2)=f’+xf"+xy－1g’1+yxy－1lnxg’1+yx2y－1lnxg"11+2y2xy－1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"2211、標(biāo)準(zhǔn)答案：3e知識(shí)點(diǎn)解析：令S(x)=xn(－∞＜x＜+∞)，=xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex于是=S(1)=3e．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、設(shè)a＞0，x1＞0，且定義xn+1=1／4(3xn+)(n=1，2，…)，證明：xn存在并求其值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)檎龜?shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)，所以有從而xn+1－xn=1／4(≤0(n=2，3，…)，故{xn}n=2∞單調(diào)減少，再由xn≥0(n=2，3，…)，則xn存在，令xn=A，等式xn+1=1／4(3xn+)兩邊令n→∞得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有兩式相加得f(a)+f(b)－2f([f"(ξ1)+f"(ξ2)]．因?yàn)閒"(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)．從而f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且滿足k1+k2+…+kn=1．證明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，顯然x0∈[a，b]．因?yàn)閒"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)，分別取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分別乘以ki(i=1，2，…，n)，得將上述各式分別相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．證明：16、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F’(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，即f(c)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令h(x)=exf(x)，因?yàn)閔(a)=h(c)=h(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(z)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)，φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、存在η∈(a，b)，使得f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)=0，f’(η2)－f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f"(x)－3f’(z)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、∫01x4dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)==x，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且|f’(x)|≤M．證明：|∫01f(x)dx－f(k／n)|≤M／2n．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、某f家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)上銷售，售價(jià)分別為p1，p2，銷售量分別為q1，q2，需求函數(shù)分別為q1=24－0．2p1，q2=10－0．05p2，總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)，問f家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的銷售價(jià)格，能使其獲得總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：p1=120－5q1，p2=200－20q2．收入函數(shù)為R=p1q1+p2q2，總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=R－C=(120－5q1)q1+(200－20q2)q2－[35+40(q1+q2)]，得q1=8，q2=4，從而p1=80，p2=120．L(8，4)=605，由實(shí)際問題的意義知，當(dāng)p1=80，p2=120時(shí)，f家獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為605．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算∫01dx(x2+y2)2dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)Ω：x2+y2+z2≤1，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x，y，z)=x+2y－2z+5，因?yàn)閒’x=1≠0，f’y=2≠0，f’z=－2≠0，所以f(x，y，z)在區(qū)域Ω的邊界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y－2z+5+λ(x2+y2+z2－1)，因?yàn)閒(P1)=8，f(P2)=2，所以在Ω上的最大值與最小值分別為2和，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、位于點(diǎn)(0，1)，的質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為k／r2(其中常數(shù)k＞0，且r=|AM|)，質(zhì)點(diǎn)M沿曲線L：y=自點(diǎn)B(2，0)到點(diǎn)(0，0)，求質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：任取M(x，y)∈L，r=兩質(zhì)點(diǎn)的引力大小為|F|=k／r2=則F=|F|F0則W=∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy，所以曲線積分與路徑無關(guān)，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè){nan}收斂，且n(an－an－1)收斂，證明：級(jí)數(shù)an收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn=a1+a2+…+an，S’n+1=(a1－a0)+2(a2－a1)+…+(n+1)(an+1－an)，則S’n+1=(n+1)an+1－Sn－a0，因?yàn)閚(an－an－1)收斂且數(shù)列{nan}收斂，所以(n+1)an+1都存在，于是Sn存在，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義，an收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、證明S(x)=x4n／(4n)!滿足微分方程y(4)－y=0并求和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?－∞，+∞)，顯然S(x)滿足微分方程y(4)－y=0。y(4)－y=0的通解為y=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx，由S(0)=1，S’(0)=S"(0)=S"’(0)=0得C1=1／4C2=1／4，C3=1／2，C4=0，故和函數(shù)為S(x)=cosx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)非負(fù)函數(shù)f(x)當(dāng)x≥0時(shí)連續(xù)可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x軸，y軸及過點(diǎn)(x，0)且垂直于x軸的直線圍成的圖形的面積與y=f(x)在[0，x]上弧的長(zhǎng)度相等，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得∫0xf(t)dt=∫0xdt，由y(0)=1，得C=1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)且F(x)=為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：[2x∫axf(t)dt+x2f(x)]=a2f(a)，選(B)．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且F(x)=f(t)dt，則F’(x)=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：F’(x)=f(lnx)．(lnx)’一，應(yīng)選(A)．3、設(shè)x2+y2≤2ay(a＞0)，則f(x，y)dxdy在極坐標(biāo)下的累次積分為()．A、∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrB、∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrC、dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdrD、dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，則f(x，y)dxdy=∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，選(B)．4、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為R1，R2，且R1＜R2，設(shè)(an＋bn)xn的收斂半徑為R0，則有()．A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：選(B)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)曲線y=lnx與y=相切，則公共切線為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=＋1知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)當(dāng)x=a時(shí)，兩條曲線相切，由得a=e2，兩條曲線的公共切線為y—lne2=(x一e2)，整理得切線為y=＋1．7、∫1＋∞=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、直線L：繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∑：x2＋y2=5(1+z2)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)M(x，y，z)為曲面上的任一點(diǎn)，其所在的圓對(duì)應(yīng)的直線L上的點(diǎn)為M0(x0，y0，z)所在圓的圓心為T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜得x2+y2=x02+y02，故所求的曲面為∑：x2+y2=(1+2z)2+(2一z)2，即∑：x2＋y2=5(1+z2)．9、設(shè)y=y(x)由x—∫1x＋ye－t2dt=0確定，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，x—∫1x＋ye－t2dt=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1－=0，將x=0，y=1代入得=e一1．10、設(shè)L：從z軸正向看，L為逆時(shí)針，則ydx一(2z+1)dy+2xdz=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－16π知識(shí)點(diǎn)解析：點(diǎn)O到平面x+y+z=的距離為d==3．截口圓的半徑為r==4．設(shè)L所在的截口圓為∑，取上側(cè)，法向量為n=｛1，1，1｝，法向量的方向余弦為cosα=cosβ=cosγ=，由斯托克斯公式得11、微分方程2y’’=3y2滿足初始條件y(一2)=1，y’(一2)=1的特解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=p，則y’’=，則原方程化為=3y2，解得p2=y3+C1，由y(一2)=1，y’(一2)=1，得C1=0，所以y’==x+C2，再由y(一2)=1，得C2=0，所求特解為x=．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：x→0時(shí)，由1一cosx～x2得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)an=，證明：{an}收斂，并求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然{an}單調(diào)增加，現(xiàn)證明：an≤3，當(dāng)n=1時(shí)，a1=≤3，設(shè)n=k時(shí)，ak≤3，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak＋1==3．由歸納法原理，對(duì)一切的自然數(shù)n，有an≤3，所以存在．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，證明：=f’’(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、證明：當(dāng)x＞1時(shí)，．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=2ln2＞0，因?yàn)閒’(x)=ln(1+x)+1—lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上單調(diào)增加，再由f(1)=2ln2＞0得當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，即．知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞1時(shí)，等價(jià)于(1+x)ln(1+x)一xlnx＞0．16、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0πcosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)sinxdx=一∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=∫0πecosxd(cosx)=ecosx｜0π=e－1一e．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求過點(diǎn)A(一1，2，3)垂直于L：且與平面π：7x+8y＋9z＋10=0平行的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線L：的方向向量為s=｛4，5，6｝，平面π：7x+8y+9z+10=0的法向量為n0=｛7，8，9｝，因?yàn)樗笾本€與已知直線垂直及與已知平面平行，所以所求直線與s=｛4，5，6｝及n0=｛7，8，9｝都垂直，于是所求直線的方向向量為T=s×n0=｛一3，6，一3｝，所求直線為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求z=f(x，y)滿足：dz=2xdx一4ydy且f(0，0)=5．21、求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由dz=2xdx一4ydy得dz=d(x2一2y2)，從而f(x，y)=x2－2y2+C，再由f(0，0)=5得f(x，y)=x2－2y2+5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)｜x2+4y2≤4)上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x2+4y2＜4時(shí)，由；當(dāng)x2+4y2=4時(shí)，令，z=4cos2t一2sin2t+5—6cos2t+3，當(dāng)cost=0時(shí)，fmin=3；當(dāng)cost=±1時(shí)，fmax=9，故最小值為m=0，最大值M=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)z=f(x，y)由f(x+y，x—y)=x2一y2一xy確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：令代入得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算I=(x2+y2+z)dS，其中S是圓錐面z=介于z=0與z=1之間的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面S：z=在xOy平面上的投影為D：x2+y2≤1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1得收斂半徑為R=1，當(dāng)x=±1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1]．令S(x)=，S(0)=1；當(dāng)x≠0時(shí)，故S(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求冪級(jí)數(shù)(2n＋1)xn收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1得該級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，因?yàn)楫?dāng)x=±1時(shí)，(2n+1)(±1)n發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一1，1)．令S(x)=(2n+1)xn．因?yàn)?，將x2換成x得S(x)=(一1＜x＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)曲線L1與L2皆過點(diǎn)(1，1)，曲線L1在點(diǎn)(x，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之商的變化率為2，曲線L2在點(diǎn)(x，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之積的變化率為2，求兩曲線所圍成區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)曲線L1，由題意得=2，解得y=x(2x+C1)，因?yàn)榍€L1過點(diǎn)(1，1)，所以C1=一1，故L1：y=2x2一x．對(duì)曲線L2，由題意得，因?yàn)榍€L2過點(diǎn)(1，1)，所以C2=一1，故L2：y=2一．由2x2一x=2一得兩條曲線的交點(diǎn)為(，0)及(1，1)，故兩條曲線所圍成區(qū)域的面積為A=一ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(x)=，則x=0是f(x)的()．A、連續(xù)點(diǎn)B、第一類間斷點(diǎn)C、第二類間斷點(diǎn)D、不能判斷連續(xù)性的點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)(x+y≠0)為某函數(shù)的全微分，則a為()．A、一1B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)3、設(shè)a＞0，且=1，則a=________，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=4，b=1知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=1，f’’(0)=e，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、∫1＋∞=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：∫1＋∞6、設(shè)L1：，L2：，則過L1平行于L2的平面方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求平面為π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗笃矫姒薪?jīng)過L1，所以點(diǎn)M(1，2，3)在平面π上，因?yàn)棣信cL1，L2都平行，所以所求平面的法向量為n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面為π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．7、設(shè)f(x，y)可微，且f1’(一1，3)=一2，f2’(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，則dz｜(1，3)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-7dx＋3dy知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(t)==_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2πf(0，0)知識(shí)點(diǎn)解析：9、級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_______，和函數(shù)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[-2，2)，S(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：10、微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=p，則dx，兩邊積分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．11、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx’(1，2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣铡?x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．12、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’’一3y’+4y’一2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程為(λ一1)(λ一1+i)(λ－1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程為y’’’一3y’+4y’一2y=0．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)14、設(shè)f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x－sinx，當(dāng)x→0時(shí)，比較這兩個(gè)無窮小的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=∫0tanxarctant2dt與g(x)=x—sinx是同階非等價(jià)的無窮?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0入得y=1，ln(x2+y)=x3y+sinx兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得=3x2y+x3y’+cosx，將x=0，y=1代入得｜x=0=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1)，又｜f’’(x)｜≤M，證明：｜f’(x)｜≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得因?yàn)閤2≤x，(1一x)2≤1－x，所以x2+(1-x)2≤1，故｜f’(x)｜≤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=∫1xe－t2dt，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析計(jì)算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中19、L從原點(diǎn)經(jīng)過直線y=x到點(diǎn)(2，2)；標(biāo)準(zhǔn)答案：∫Lxdy－(2y＋1)dx=∫02xdx－(2x＋1)dx=－∫02(x＋1)dx=－4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、L從原點(diǎn)經(jīng)過拋物線y=到點(diǎn)(2，2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×xdx一(x2+1)dx=一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求微分方程y’’+y=x2+3+cosx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+1=0，特征值為λ1=一i，λ2=i，方程y’’+y=0的通解為y=C1cosx+C2sinx，對(duì)方程y’’+y=x2+3，特解為y1=x2+1；對(duì)方程y’’+y=cosx，特解為xsinx，原方程的特解為x2+1+xsinx，則原方程的通解為y=C1cosx+C2sinx+x2+1+xsinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、確定常數(shù)a，b，C，使得=c．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，證明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)一f’(x)x+f’’(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+f’’(ξ2)(1一x)2，ξ2∈(x，1)，兩式相減，得f’(x)=f’’(ξ2)(1一x)2．兩邊取絕對(duì)值，再由｜f’’(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，非負(fù)，且以T為周期，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n+1)T，因?yàn)閒(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n＋1)Tf(t)dt，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求過直線且與點(diǎn)(1，2，1)的距離為l的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過直線的平面束方程為π：(3x一2y+2)+λ(x一2y—z+6)=0，或π：(3+λ)x一2(1+λ)y一λz+2+6λ=0，點(diǎn)(1，2，1)到平面π的距離為解得λ=一2或λ=一3，于是所求的平面方程為π：x＋2y+2z一10=0，或π：4y+3z一16=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算I=，其中D=｛(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤2｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1=｛(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤x2｝，D2=｛(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2｝，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)曲線L的長(zhǎng)度為l，且=M．證明：｜∫LPdx+Qdy｜≤Ml．標(biāo)準(zhǔn)答案：Pdx+Qdy=｛P，Q｝．｛dx，dy｝，因?yàn)椋黙．b｜≤｜a｜｜b｜，所以有｜Pdx+Qdy｜≤≤Mds，于是｜∫LPdx+Qdy｜≤∫L｜Pdx+Qdy｜≤∫LMds=M∫Lds=Ml．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f’(u)≠0，x02+y02≠0，則曲面z=上點(diǎn)P0(x0，y0，z0)(z0=)處的法線與z軸的關(guān)系是A、平行．B、異面直線．C、垂直相交．D、不垂直相交．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：曲面在點(diǎn)P0處的法向量為b=(x0f’(r0)，y0f’(r0)，一r0)，其中r0=．因f’(r0)≠0，x0與y0不同時(shí)為零→n與k不平行(即n與z軸不平行)．又→法線與z軸相交．又k．n≠0→法線與z軸不垂直．因此選D．2、設(shè)空間區(qū)域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，則下列等式成立的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由Ω在xy平面上方，關(guān)于yz平面與zx平面均對(duì)稱，Ω是Ω的第一卦限部分，兩次利用對(duì)稱性，可以看出等式成立的充分條件是被積函數(shù)關(guān)于x與y為偶函數(shù)，即f(一x，y，z)=f(x，y，z)，f(x，一y，z)=f(x，y，z)．在本題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有(C)的被積函數(shù)f(x，y，z)=z，關(guān)于x與y是偶函數(shù)，因?yàn)樗膫€(gè)結(jié)論中只有一個(gè)正確，因此應(yīng)選C．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、設(shè)D是Oxy平面上以A(1，1)，B(一1，1)和C(一1，一1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則I=sin(xy)+4]dxdy=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：連將區(qū)域D分成D1(三角形OAS)，D2(三角形OBC)兩個(gè)部分(見圖9．28)，它們分別關(guān)于y軸與x軸對(duì)稱．由于sin(xy)對(duì)x與y均為奇函數(shù)，因此又由于D的面積=4dxdy=4．2=8．于是I=0+8=8．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)4、設(shè)在xOy平面上，各點(diǎn)的溫度T與點(diǎn)的位置間的關(guān)系為T=4x2+9y2，點(diǎn)P0為(9，4)，求：(Ⅰ)gradT｜P；(Ⅱ)在點(diǎn)P0處沿極角為210°的方向l的溫度變化率；(Ⅲ)在什么方向上點(diǎn)P0處的溫度變化率取得：1°最大值；2°最小值；3°零，并求此最大、小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按梯度的定義(Ⅱ)求P0點(diǎn)處沿l方向的溫度變化率即求．按方向用極角表示時(shí)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式得(Ⅲ)溫度T在P0點(diǎn)的梯度方向就是點(diǎn)P0處溫度變化率(即)取最大值的方向，且最大值為溫度T在P0點(diǎn)的負(fù)梯度方向，即一gradT=一72(1，1)就是點(diǎn)P0處溫度變化率取最小值方向，且最小值為．與P0處梯度垂直的方向即±就是點(diǎn)P0處溫度變化率為零的方向．因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)F(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求曲面S：點(diǎn)(x0，y0，z0)處的切平面方程，并證明切平面過定點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記G(x，y，z)=，曲面S的方程可寫為G(x，y，z)=0，則S上任一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)處的法向量為于是曲面S上點(diǎn)M0處的切平面方程是上式左端中令x=y=z=0得F’2(M0)=0，即切平面通過定點(diǎn)(0，0，0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、證明曲線：x=aetcost，y=aetsint，z=aet與錐面S：x2+y2=z2的各母線(即錐面上點(diǎn)(x，y，z)與頂點(diǎn)的連線)相交的角度相同，其中a為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線的參數(shù)方程滿足x2+t2=z2，于是上任一點(diǎn)(x，y，z)處的母線方向l={x，y，z}，切向量τ={x’，y’，z’}={aet(cost—sint)，aet(cost+sint)，aet}={x一y，x+y，z}．因此即曲線與錐面S的各母線相交的角度相同．知識(shí)點(diǎn)解析：先求的切向量τ={x’(t)，y’(t)，z’(t)}以及錐面上點(diǎn)(x，y，z)的母線方向，即它與錐的頂點(diǎn)(0，0，0)的連線方向l=(x，y，z)，最后考察cos〈τ，l〉．7、設(shè)f(u)(u＞0)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且z==16(x2+y2)z，求f(u)．標(biāo)準(zhǔn)答案：進(jìn)而可得[1*]=4x2u2f"(u)+(2u+4x2u)f’(u)，=4y2u2f"(u)一(2u一4y2u)f’(u)．所以4(x2+y2)u2f"(u)+4(x2+y2)uf’(u)．由題設(shè)條件，得u2f"(u)+uf’(u)一4f(u)=0．這是歐拉方程，令u=et，方程化為一4z=0(z=f(u))，解此二階線性常系數(shù)齊次方程得z=C1e2t+C2e-2t，即z=f(u)=C1u2+常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：z=的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可導(dǎo)出與f’(u)．f"(u)的關(guān)系式，從而由=16(x2+y2)z導(dǎo)出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)．8、計(jì)算∮L，其中，L是圓周x2+y2=4x(見圖9．1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用直角坐標(biāo)系．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、計(jì)算積分x2dx+(y一x)dy，其中L：(Ⅰ)是半徑為a，圓心在原點(diǎn)的上半圓周，起點(diǎn)A(a，0)，終點(diǎn)B(一a，0)(見圖9．2)；(Ⅱ)x軸上由A(a，0)到日(一a，0)的直線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：化成對(duì)x的定積分．(Ⅰ)上半圓周的表達(dá)式為：y=起點(diǎn)A對(duì)應(yīng)于x=a，終點(diǎn)B對(duì)應(yīng)于x=一a，則(Ⅱ)對(duì)于從A(a，0)到B(一a，0)的直線段，則x2dx+(y—x)dy=∫a-ax2dx=一a3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、將f(x，y)dxdy化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．5，x2+y2=2ax與x2+y2=2ay，是兩個(gè)圓，其交點(diǎn)為O(0，0)，P(a，a)．因此，若先對(duì)y積分，就有若先對(duì)x求積分，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)D是由曲線=1(a＞0，b＞0)與x軸，y軸圍成的區(qū)域，求I=ydxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對(duì)x積分．區(qū)域D如圖9．6所示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求I=xdV，Ω由三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+y+2z=2圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：因區(qū)域Ω可表示成Ω={(x，y，z)｜z1(x，y)≤z≤z2(x，y)，(x，y)∈D}(9．9)的形式：Ω={(x，y，z)｜0≤z≤1一(x+y)，(x，y)∈Dxy}，Dxy={(x，y)｜x≥0，y≥0，x≤2一y}，見圖9．7．所以可用公式(9．10)求得I值，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、計(jì)算(0≤z≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∑為錐面z=(0≤z≤1)，因此z’x=．若記∑在xOy平面上的投影域?yàn)镈：z=0，x2+y2≤1，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、計(jì)算xyzdxdy，其中∑是x≥0，y≥0，x2+y2+z2=1的外側(cè)(見圖9．9)．標(biāo)準(zhǔn)答案：投影到xy平面．將積分曲面∑分成上下兩部分，分別記為∑1與∑2，則∑1：z=．∑=∑1∪∑2．并且在∑1上法向量n與z軸正方向的夾角為銳角，故公式中符號(hào)應(yīng)取“+”號(hào)；在∑2上法向量與z軸正方向的夾角為鈍角，故應(yīng)取“一”號(hào)．∑1，∑2在xOy平面上的投影域均為D：x=0，x≥0，y≥0，x2+y2≤1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤x+y+z+(x+y+z)dxdydz．標(biāo)準(zhǔn)答案：將Ω改寫成其中Ω’={(u，v，w)｜u2+v2+w2≤1}．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、變換下將f(x，y)dσ化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于兩個(gè)圓在極坐標(biāo)下的表達(dá)式分別為：r=2acosθ與r=2asinθ，交點(diǎn)P處的極坐標(biāo)是，于是連接OP將區(qū)域D分成兩部分(見圖9．16)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求積分I=，其中D由y=x與y=x4圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：D的圖形如圖9．17所示，雖然D的邊界不是圓弧，但被積函數(shù)是r=，選用極坐標(biāo)變換方便．在極坐標(biāo)變換下，D的邊界方程是θ=，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、利用柱坐標(biāo)變換求三重積分：I=zdxdydz，Ω：x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域Ω的邊界面分別是旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=z與球面x2+y2+z2=2，見圖9．18，兩曲面的交線是作柱坐標(biāo)變換：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，則邊界面的方程是：z=r2，z=．又Ω在xOy平面上投影區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：D={(r，θ)｜0≤r≤1，0≤θ≤2π}，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、利用球坐標(biāo)變換求三重積分I=，其中Ω：x2+y2+z2≤2z．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ω是球體：x2+y2+(z一1)2≤1，在球坐標(biāo)變換：x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ下，Ω={(θ，φ，ρ)｜0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2cosφ}(圖9．22)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求I=，y=x及x=0所圍成區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖9．23．被積函數(shù)只含y，先對(duì)x積分，雖然積分區(qū)域要分塊，但計(jì)算較簡(jiǎn)單．若先對(duì)y積分，則求積分要費(fèi)點(diǎn)功夫．選擇先對(duì)x積分，將D分塊：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求I=dxdy，其中D是由拋物線y2=x，直線x=0，y=1所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故積不出來，因此選先x后Y的順序．積分區(qū)域D如圖9．24，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求I=xydV，其中Ω由z=xy，z=0，x+y=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域Ω的圖形不好畫(可不必畫出)，但易求出Ω在xOy平面上的投影區(qū)域D(見圖9．25)，D的邊界線是：x+y=1，x=0，y=0．因而易寫出Ω的不等式表示Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，(x，y)∈D}．于是選擇先一(先z)后二(后x，y)的積分順序：I=x2y2dxdy．再將二重積分化為定積分(先x后y或先y后x均可)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求I==1(0≤y≤b)及y=0圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域Ω由右半橢球面及zx平面圍成的右半橢球體(如圖9．26所示)．它在zx平面的投影區(qū)域Dzx是：≤1，于是Ω={(x，y，z)｜0≤，(z，x)∈Dzx}．另一方面，過y軸上任意點(diǎn)y∈[0，b]作垂直y軸的平面與Ω相交成區(qū)域D(y)，則D(y)：，0≤y≤b，它的面積S(y)=πac(1一)，于是Ω={(x，y，z)｜0≤y≤b，(z，x)∈D(y)}．由于被積函數(shù)僅與y有關(guān)，而D(y)面積已知，我們選擇先二后一(先zx后y)的積分順序得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求I=∫L｜x｜ds，其中L為｜x｜+｜y｜=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：L為正方形的邊界如圖9．29．因?yàn)長(zhǎng)關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，被積函數(shù)｜x｜關(guān)于y與x均為偶函數(shù)，于是其中L1是L在第一象限部分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算曲面積分I=(ax+by+cz+γ)2ds，其中∑是球面：x2+y2+z2=R2．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=(ax+by+cz+y)2dS=[(ax)2+(by)2+(cz)2+γ2+2abxy+2aczx+2bcyz+2aγx+2bγy+2cγz]dS．根據(jù)積分曲面的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性可知又由坐標(biāo)的輪換對(duì)稱性知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)=在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且f(x)=0，則()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)=在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以a≥0，又因?yàn)閒(x)=0，所以b＜0．選(C)．2、設(shè)ξ為f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，則ξ2／a2為()．A、1B、1／2C、1／3D、1／4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令f(a)－f(0)=f’(ξ)a，即arctana=a，或者ξ2=－1，選(C)．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，=2／3，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：則存在δ＞0，當(dāng)0＜|x－2|＜δ時(shí)，有f’(x)／(x－2)3＞0，即當(dāng)x∈(2－δ，2)時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x∈(2，2+δ)時(shí)，f’(x)＞0，于是x=2為f(x)的極小值點(diǎn)，選(A)．4、A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：三條直線的方向向量為s1={－2，－5，3}，s2={3，3，7}，s3={1，3，－1}×(2，1，－1}={－2，－1，－5}，因?yàn)閟1．s2=0，所以L1⊥L2，選(D)．5、設(shè)D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，則sinxsiny．max{x，y}dσ等于()．A、πB、5π／2C、5π／3D、5π／4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)對(duì)稱性，令D1={(x，y)|10≤x≤π，0≤y≤x}，=2∫0πxsinxdx∫0xsinydy=2∫0πxsinx(1－cosx)dx=2∫0πxsinxdx－2∫0πxsinxcosxdx=π∫0πsinxdx－∫0πdx－∫0πxd(sin2x)=5π／2，選(B)．6、設(shè)場(chǎng)A={x3+2y，y3+2z，z3+2x}，曲面S：x2+y2+z2=2z內(nèi)側(cè)，則場(chǎng)A穿過曲面指定側(cè)的通量為()．A、32πB、－32πC、32π／5D、－32π／5標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：Ф=(x3+2y)dydz+(y3+2z)dzdx+(z3+2x)dxdy二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤→0時(shí)，－1～x／2，于是原式=2×(－1／12)×(－3)=1／2．8、設(shè)f(x)=x2，則f’(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x(1+4x)e8x知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)=x2e8x，得f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x．9、設(shè)∫xf(x)dx=arcsinx+c，則∫dx／f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1／3(1－x2)3／2+C知識(shí)點(diǎn)解析：由∫xf(x)dx=arcsinx+C得=－1／2∫(1－x2)1／2d(1－x2)=－1／3(1－x2)3／2+C10、設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(－x)=1，則∫－π／2π／2=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：11、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)為特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"’－3y"+4y’－2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程為(λ－1)(λ－1+i)(λ－1－i)=0，即λ3－3λ2+4λ－2=0，所求方程為y"’－3y"+4y’－2y=0．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求f(x)的間斷點(diǎn)并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=k(k=0，－1，－2，…)及x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．因?yàn)閒(0－0)≠f(0+0)，所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)；=－2／π得x=－2為可去間斷點(diǎn)；當(dāng)x=k(k=－1，－3，－4，…)時(shí)，由f(x)=∞得x=k(k=－1，－3，－4，…)為第二類間斷點(diǎn)；由f(x)=∞得x=1為第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、一質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間t=0開始直線運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)了單位距離使用了單位時(shí)間，且初速度和末速度都為零．證明：在運(yùn)動(dòng)過程中存在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)，其加速度絕對(duì)值不小于4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S=S(t)，顯然S(0)=0，S’(0)=0，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式S(1／2)=S(0)+．1／4，S(1／2)=S(1)+．1／4，ξ1∈(0，1／2)，ξ2∈(1／2，1)兩式相減，得S"(ξ2)－S"(ξ1)=－8|S"(ξ1)|+|S"(ξ2)|≥8．當(dāng)|S"(ξ1)|≥|S"(ξ2)|時(shí)，|S"(ξ1)|≥4；當(dāng)|S"(ξ1)|＜|S"(ξ2)|時(shí)，|S"(ξ2)|≥4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b都是非負(fù)常數(shù)，c為(0，1)內(nèi)任意一點(diǎn)．15、寫出f(x)在x=c處帶拉格朗日型余項(xiàng)的一階泰勒公式；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+(x－c)2，其中ξ介于c與x之間．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、證明：|f’(c)|≤2a+標(biāo)準(zhǔn)答案：分別令x=0，x=1，得f(0)=f(c)－f’(c)c+c2，ξ1∈(0，c)，f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+(1－c)2，ξ2∈(c，1)，兩式相減，得f’(c)=f(1)－f(0)+(1－c)2，利用已知條件，得|f’(c)|≤2a+[c2+(1－c)2]，因?yàn)閏2+(1－c)2≤1，所以|f’(c)|≤2a+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0，且f"(x)＞0．證明：對(duì)任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得兩式相減得f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ2)－f’(ξ1)a．因?yàn)閒"(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ2)－f’(ξ1)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)／1－ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x－1)2f’(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導(dǎo)．由f(0)=f(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x－1)f’(x)+(x－1)2f"(x)，所以2(ξ－1)f’(ξ)+(ξ－1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對(duì)任意的x∈[0，1]，證明：(∫01dx／f(x))(∫01f(x)dx)≤(m+M)2／4mM．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?＜m≤f(x)≤M，所以f(x)－m≥0，f(x)－M≤0，從而兩邊積分得∫01f(x)dx+Mm∫011／f(x)dx≤M+m，因?yàn)椤?1f(x)dx+Mm∫011／f(x)dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f"(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且∫abφ(x)dx=1．證明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)．取x0=∫abxφ(z)dx，因?yàn)棣?x)≥0，所以aφ(z)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，上述不等式兩邊再在區(qū)間[口，6]上積分，得∫abf(z)φ(x)dx≥f[∫ab≥xφ(x)dx]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)u=u(x，y，z)連續(xù)可偏導(dǎo)，令22、若x=0，證明：u僅為θ與φ的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以u(píng)是不含r的函數(shù)，即u僅為θ與φ的函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、若，證明：u僅為r的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：從而=t(r2cos2θcosφsinqg)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(－r2sinqφcosφ)=0．故u僅是r的函數(shù)，即u不含θ與φ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt確定u為x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)連續(xù)，且φ’(u)≠1，求P(y)標(biāo)準(zhǔn)答案：z=f(u)兩邊對(duì)x及y求偏導(dǎo)，得方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt兩邊對(duì)x及y求偏導(dǎo)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M．又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)積分得由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)L是不經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，(－2，0)的分段光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，就L的不同情形計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：=I1+I2顯然曲線積分I1，I2都滿足柯西一黎曼條件．(1)當(dāng)(2，0)，(－2．0)都在L所圍成的區(qū)域之外時(shí)，I1=I2=0．因此I=0；(2)當(dāng)(2，0)，(－2，0)都在L所圍成的區(qū)域之內(nèi)時(shí)，分別以這兩個(gè)點(diǎn)為中心以r1，r2為半徑的圓C1，C2，使它們都在L內(nèi)，則同理I2=－2π，因此I=－4π；(3)N(2，0)，(－2，0)有一個(gè)點(diǎn)在L圍成的區(qū)域內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在L圍成的區(qū)域外時(shí)，I=－2π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)an收斂，舉例說明級(jí)數(shù)an2不一定收斂；若an是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)，證明an2一定收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令an=由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨審斂法，級(jí)數(shù)收斂，取ε0=1，存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，|an－0|＜1，從而0≤an＜1，當(dāng)n＞N時(shí)，有0≤an2＜an＜1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[－1，1]，=－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)則S(x)=x+(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．當(dāng)x=1時(shí)，S(1)==1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、在t=0時(shí)，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時(shí)刻t＞0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在任意時(shí)刻t＞0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時(shí)間[t，t+at]內(nèi)有dm1=－=0，且滿足初始條件m1(0)=150，解得m1(t)=150e－t／5；在時(shí)間[t，t+dt]內(nèi)有且滿足初始條件m2(0)=150．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)是不恒為零的奇函數(shù)，且f’(0)存在，則g(x)=()．A、在x=0處無極限B、x=0為其可去間斷點(diǎn)C、x=0為其跳躍間斷點(diǎn)D、x=0為其第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)存在，所以f(x)在x=0處連續(xù)，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0，顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，因?yàn)?f’(0)，所以x=0為g(x)的可去間斷點(diǎn)，選(B)．2、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，f(0)=1，且=0，則f(x)在x=0處()．A、可導(dǎo)，且f’(0)=0B、可導(dǎo)，且f’(0)=一1C、可導(dǎo)，且f’(0)=2D、不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=2，則()．A、x=1為f(x)的極大點(diǎn)B、x=1為f(x)的極小點(diǎn)C、(1，f(1))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=1不是f(x)的極值點(diǎn)，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由=2及f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)得f’’(1)=0，因?yàn)?2＞0，所以由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x—l｜＜δ時(shí)，＞0，從而當(dāng)x∈(1一δ，1)時(shí)，f’’(x)＞0；當(dāng)x∈(1，1+δ)時(shí)，f’’(x)＜0，則(1，f(1))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，應(yīng)選(C)．4、設(shè)M=cos2xdx，N=(sin3x+cos4x)dx，P=(x2sin3x—cos4x)dx，則有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P＜M＜N，選(D)．5、設(shè)f(x)=則以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在x=π處收斂于()．A、1+π2B、－1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=π處收斂于，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)z=(x2+y2)xy，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x2＋y2)xy．[yln(x2＋y2)＋知識(shí)點(diǎn)解析：9、曲線L：繞y軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)(0，一1，2)處指向外側(cè)的單位法向量為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：曲線L：繞y軸一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為4x2+9y2+4z2=25，n=｛8x，18y，8z｝(0，－1，2)={0，一18，16}，所求的單位法向量為e=．10、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：(一1)n－1an=8．11、以y=C1e－2x+C2ex+cosx為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’+y’一2y=一sinx一3cosx知識(shí)點(diǎn)解析：特征值為λ1=一2，λ2=1，特征方程為λ2+λ一2=0，設(shè)所求的微分方程為y’’+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=－sinx一3cosx，所求微分方程為y’’+y’一2y=一sinx一3cosx．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)a1=1，a2=2，3n＋2—4an＋1+an=0，n=1，2，…，求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：由3an＋2—4an＋1+an=0，得3(an＋2一an＋1)=an＋1一an(n=1，2，…)．令bn=an＋1一an，則bn＋1／bn=1／3(n=1，2，…)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)連續(xù)，且g(x)=∫0xx2f(x—t)dt，求g’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：g(x)=一x2∫0xf(x—t)d(x—t)一x2∫x0f(μ)dμ=x2∫0xf(μ)dμ，g’(x)=2x∫0xf(μ)dμ+x2f(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求y=∫0x(1一t)arctantdt的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=(1一x)arctanx=0，得x=0或x=1，y’’=一arctanx+，因?yàn)閥’’(0)=1＞0，y’’(1)=一＜0，所以x=0為極小值點(diǎn)，極小值為y=0；x=1為極大值點(diǎn)，極大值為y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt=tarctant｜01－∫01=(1一ln2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算∫3＋∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、一直線位于π：x+y+z+1=0內(nèi)、與直線L：垂直、經(jīng)過直線L與平面π的交點(diǎn)，求該曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：由的交點(diǎn)為(0，一1，0)；直線L的方向向量為｛1，0，2｝×｛0，1，1｝=｛一2，一1，1｝，所求直線的方向向量為s=｛一2，一1，1｝×｛1，1，1｝=｛一2，3，一1｝，所求直線為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)變換=0，求常數(shù)a．標(biāo)準(zhǔn)答案：將μ，ν作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z=f(μ，ν)，則有將上述式子代入方程=0，根據(jù)題意得解得a=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、改變積分次序并計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算(0≤z≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由奇偶性得I=x2zdS，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑為z=和z=0圍成區(qū)域的表面外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由高斯公式得xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy=(x2＋y2＋z2)dν=∫02πdθ∫0dφ∫0ar4sinφdr=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)a1=2，an＋1=(n=1，2，…)．證明：24、存在；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閍n＋1=≤0，所以｛an｝n=1∞單調(diào)減少，而an≥0，即｛an｝n=1∞是單調(diào)減少有下界的數(shù)列，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則，an存在．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上問得0≤≤an一an＋1，對(duì)級(jí)數(shù)(an一an＋1)，Sn=(a1一a2)+(a2一a3)+…＋(an一an＋1)=2一an＋1，因?yàn)?an一an＋1)收斂，根據(jù)比較審斂法，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求冪級(jí)數(shù)1+的和函數(shù)S(x)及其極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)=1+，令S’(x)=一=0，得唯一駐點(diǎn)x=0，當(dāng)x＜0時(shí)，S’(x)＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，S’(x)＜0，則x=0為S(x)的極大值點(diǎn)，極大值為S(0)=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求微分方程y’’＋2y’一3y=(2x＋1)ex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+2λ一3=0，特征值為λ1=1，λ2=一3，則y’’+2y’一3y=0的通解為y=C1ex+C2e－3x．令原方程的特解為y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解為y=C1ex+C2e3x+(2x2+x)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)=，則f(x)()．A、無間斷點(diǎn)B、有間斷點(diǎn)x=1C、有間斷點(diǎn)x=一1D、有間斷點(diǎn)x=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，f(x)=1+x；當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x=一1時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1，于是f(x)=顯然x=1為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，選(B)．2、設(shè)函數(shù)f(x)在｜x｜＜δ內(nèi)有定義且｜f(x)｜≤x2，則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然f(0)=0，且=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)．又由｜f(x)｜≤x2得0≤｜｜≤｜x｜，根據(jù)夾逼定理得=0，即f’(0)=0，選(C)．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f’(0)=0，且=一1，則()．A、x=0為f(x)的極大點(diǎn)B、x=0為f(x)的極小點(diǎn)C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?一1＜0，所以由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＜0，注意到x3=ο(x)，所以當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，f’’(x)＜0，從而f’(x)在(一δ，δ)內(nèi)單調(diào)遞減，再由f’(0)=0得故x=0為f(x)的極大點(diǎn)，應(yīng)選(A)．4、設(shè)f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫0xt2dt=；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt+∫1x(2－t)dt=，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，6、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)f二階可導(dǎo)，且z==_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(xy)＋y2f’’(xy)知識(shí)點(diǎn)解析：8、曲面z=1一x2一y2上與平面x+y—z+3=0平行的切平面為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π：2x+2y一2z+3=0知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0，1一x02－y02)，則n=±｛2x0，2y0，1｝／／｛1，1，一1｝，解得切點(diǎn)坐標(biāo)為，切平面方程為π：－=0，即π：2x+2y一2z+3=0．9、級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開________，和函數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[－2，2)；S(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：由，得收斂半徑為R=2，當(dāng)x=一2時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一2，2)，令S(x)=，則S(x)=(一2≤x＜2)．10、設(shè)y’’一3y’+ay=一5e－x的特解形式為Axe－x，則其通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e－x+C2e4x+xe－x知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉匠逃刑亟釧xe－x，所以一1為特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0a=－4，所以特征方程為λ2一3λ一4=0λ1=一1，λ2=4，齊次方程y’’一3y’+ay=0的通解為y=C1e－x+C2e4x，再把Axe－x代入原方程得A=1，原方程的通解為y=C1e－x+C2e4x+xe－x．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=∫0x2ln(1+t)df～g(x)=xa(ebx一1)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤≤lnn(1+x)≤xn，積分得，由夾逼定理得=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、證明曲線上任一點(diǎn)的切線的橫截距與縱截距之和為2．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得，切線方程為Y—y=一(X—x)，令Y=0得X=x＋，則X+Y=x+=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)PQ為拋物線y=的弦，且PQ在此拋物線過P點(diǎn)的法線上，求PQ長(zhǎng)度的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令關(guān)于y軸對(duì)稱，不妨設(shè)a＞0．y’(a)=，過P點(diǎn)的法線方程為y一(x—a)，設(shè)Q(b，)，因?yàn)镼在法線上，所以．PQ的長(zhǎng)度的平方為L(zhǎng)(a)=(b一a)2＋，由L’(a)=為唯一駐點(diǎn)，從而為最小點(diǎn)，故PQ的最小距離為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求∫－11(2+sinx)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求直線L：在平面π：x—y—z一1=0上的投影直線．標(biāo)準(zhǔn)答案：過直線L的平面束為L(zhǎng)’：x—y+z－2+λ(x+y—z)=0，即L’：(λ+1)x+(λ－1)y+(1－λ)z－2=0，由｛λ+1，λ－1，1－λ｝．｛1，一1，一1｝=0得λ=一1，投影直線為L(zhǎng)0：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、(1)求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．(2)求函數(shù)f(x，y)=(x2+2x+y)ey的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)二元函數(shù)f(x，y)的定義域?yàn)镈={(x，y)｜y＞0}，因?yàn)锳C—B2＞0且A＞0，所以為f(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為．(2)由AC—B2=2＞0及A=2＞0得(x，y)=(一1，0)為f(x，y)的極小值點(diǎn)．極小值為f(一1，0)=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1=｛(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x｝，D2=｛(x，y)｜2≤x≤4，≤y≤2｝，D1+D2=D=｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤y2｝，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算(x2+y2)dS，其中∑：z=x2+y2(0≤z≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面∑在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈：x2＋y2≤1，zx’=2x，zy’=2y，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)dS，其中S：x2+y2+z2=R2，取外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由兩類曲面積分之間的關(guān)系得(x3cosα+y3cosβ+z2cosγ)dS=x3dydz+y3dzdx+z3dxdy，而x3dydz+y3dzdx+z3dxdy=(x2+y2+z2)dν=3∫02πdθ∫0πdφ∫0Rr4sinφdr=．所以(x3cosx+y3cosβ+z3cosγ)dS=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)=S0=∫02f(x)e－xdx，S1=∫24f(x－2)e－xdx，…，Sn=∫2n2n＋2f(x－2n)e－xdx，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：S0=∫02f(x)e－xdx=∫01xe－xdx+∫12(2一x)e－xdx=(1一)2，令t=x一2，則S1=e－2∫02f(t)e－tdt=e－2S0，令t=x一2n則Sn=e－2n∫02f(t)e－tdt=e－2nS0，S=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析若正項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，證明下列級(jí)數(shù)收斂：24、；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、(1)驗(yàn)證y=x+滿足微分方程(1一x)y’+y=1+x；(2)求級(jí)數(shù)y=x+的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然級(jí)數(shù)y=x+的收斂域?yàn)閇一1，1]．即級(jí)數(shù)y=x+滿足微分方程(1一x)y’+y=1+x(一1≤x≤1)．(2)由(1一x)y’+y=1+x得，解得＋ln(1一x)+C，或y=2+(1一x)ln(1一x)+C(1一x)，由y(0)=0得C=一2，故y=2x+(1一x)ln(1－x)(一1≤x＜1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求y’’一2y’一e2x=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為y’’一2y’=e2x，特征方程為λ2一2λ=0，特征值為λ1=0，λ2=2，y’’一2y’=0的通解為y=C1+C2e2x，設(shè)方程y’’一2y’=e2x的特解為y0=Axe2x，代入原方程得A=，從而原方程的通解為y=C1+(C2+)e2x．由y(0)=1，y’(0)=1得，故所求的特解為y=e2x