考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷15（共242題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷15（共9套）（共242題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)當x→0時，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，則()．A、a=1／3，b=1，c=0B、a=－1／3，b=1，c=0C、a=1／3，b=－1，c=0D、a=0，b=2，c=0標準答案：D知識點解析：因為x→0時，ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，得a=0，b=2，選(D)．2、函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：(A)不對，如存在，但f(x)在x=1處不連續(xù)，所以也不可導(dǎo)；(B)不對，因為存在只能保證f(x)在x=1處右導(dǎo)數(shù)存在；不一定存在，于是f(x)在x=1處不一定右可導(dǎo)，也不一定可導(dǎo)；存在，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．所以選(D)．3、若由曲線y=2，曲線上某點處的切線以及x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：曲線y=2)處的切線方程為由于切線位于曲線y=2的上方，所以由曲線y=2，切線及x=1，x=3圍成的面積為當t∈(0，2)時，S’(t)＜0；當t∈(2，3)時，S’(t)＞0，則當t=2時，S(t)取最小值，此時切線方程為選(A)．4、設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)恒有條件=0，則()．A、f(x，y)的最大值點和最小值點都在D內(nèi)B、f(x，y)的最大值點和最小值點都在D的邊界上C、f(x，y)的最小值點在D內(nèi)，最大值點在D的邊界上D、Lf(x，y)的最大值點在D內(nèi)，最小值點在D的邊界上標準答案：B知識點解析：若f(x，y)的最大點在D內(nèi)，不妨設(shè)其為M0，則有=0，因為M0為最大值點，所以AC－B2非負，而在D內(nèi)有即AC－B2＜0，所以最大值點不可能在D內(nèi)，同理最小值點也不可能在D內(nèi)，正確答案為(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上可導(dǎo)，[f(x)－f(x－1)]，則a=_______．標準答案：1知識點解析：由f(x)－f(x－1)=f’(ξ)，其中ξ介于x－1與x之間，令x→∞，由[f(x)－f(x－1)]=f’(ξ)=e2，即e2a=e2，所以a=1．6、設(shè)f(x)滿足等式xf’(x)－f(x)=，且f(1)=4，則∫01f(x)dx=_______．標準答案：知識點解析：∫01f(z)dz=xf(x)|01－∫01xf’(x)dx=f(1)－∫01[f(x)+]dx于是∫01f(x)dx=2－7、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(0，1)的某鄰域內(nèi)可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，則曲面∑：z=f(x，y)在點(0，1)的切平面方程為_______·標準答案：π：2x+3y－z－2=0知識點解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)得f(x，y)在點(0，1)處可微，且而曲面∑：z=f(x，y)在點(0，1，1)的法向量為n=(，－1)0，1，1=(2，3，－1)，所以切平面方程為π：2(x－0)+3(y－1)－(z－1)=0，即π：2x+3y－z－2=0．8、設(shè)a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整個平面，則I=f(x)g(y－x)dxdy=_______．標準答案：a2知識點解析：得I=f(x)g(y－x)dxdy=a2∫01dx∫xx+1dy=a2．9、∫L|y|ds=_______，其中L：(x2+y2)2=a2(x2=－y2)(a＞0)．標準答案：2a2(2－)知識點解析：L的極坐標形式為L：r2=a2cos2θ，ds=dθ10、設(shè)y=y(x)滿足△y=△x+o(△x)，且有y(1)=1，則∫02y(x)dx=_______．標準答案：π／2知識點解析：由△y=△x+o(△x)得函數(shù)y=y(x)可微且y’=，積分得因為y(1)=1，所以C=0，三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)11、確定a，b，使得x－(a+bcosx)sinx當x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼藴蚀鸢福毫顈=x－(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x－(a+bcosx)cosx，y"=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y"’=acosx+4bcos2x，顯然y(0)=0，y"(0)=0，所以令y’(0)=y"’(0)=0得，解得a=4／3，b=－1／3，故當a=4／3，b=－1／3時，x－(a+bcosx)sinx為階數(shù)盡可能高的無窮小．知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．標準答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，即m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)=求f(x)的極值．標準答案：因為f’－(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．令f’(x)=0得x=－1，x=1／e．當x＜－1時，f’(x)＜0；當－1＜x＜0時，f’(x)＞0；當0＜x＜1／e時，f’(x)＜0；當x＞1／e時，f’(x)＞0，故x=－1為極小值點，極小值為f(－1)=1－；x=0為極大值點，極大值為f(0)=1；x=1／e為極小值點．極小值為f(1／e)=(1／e)2／e．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且=0，又f(2)=2∫13／2f(x)dx，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f"(ξ)=0．標準答案：由積分中值定理得f(2)=2∫13／2f(x)dx=f(c)，其中c∈[1，1／2]，由羅爾定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，則φ(1)=φ(x0)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(0)=－2，f’(0)=1，f"(x)≥0．證明：f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)有目僅有一個根．標準答案：因為f"(x)≥0，所以f’(x)單調(diào)不減，當x＞0時，f’(x)≥f’(0)=1．當x＞0時，f(x)－f(0)=f’(ξ)x，從而f(x)≥f(0)+x，因為[f(0)+x]=+∞，所以f(x)=+∞．由f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)=－2＜0，f(x)=+∞，則f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)至少有一個根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[0，2]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=5／3．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．標準答案：方法一先作一個函數(shù)P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=f(2)=5／3，P(1)=f(1)．令g(x)=f(x)－P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導(dǎo)，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)－2，所以f"’(ξ)=2．方法二由泰勒公式，得兩式相減，得2／3=，而f"’(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=2．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標準答案：∫0πf(x)cos=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx|0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx|0π=0=e－1－e．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)且f"(x)≥0．證明：(b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．標準答案：由泰勒公式得其中ξ介于x與之間，因為f"(x)≥0，所以有兩邊積分得令φ(x)=[f(x)+f(a)]－∫axf(t)dt，且φ(a)=0，=1／2(x－a)[f’(x)－f’(η)]，其中a≤η≤x，因為f"(x)≥0，所以f’(x)單調(diào)不減，于是φ’(x)≥0(a≤x≤b)，故(b－a)f()≤∫abf(x)dx≤[f(a)+f(b)]．知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)直線L：及π：x－y+2z－1=0．21、求直線L在平面π上的投影直線L0；標準答案：方法一令=t，即x=1+t，y=t，z=1－t，將x=1+t，y=t，z=1－t代入平面x－y+2z－1=0，解得t=1，從而直線L與平面π的交點為M1(2，1，0)．過直線L且垂直于平面π的平面法向量為s1={1，1，－1}×{1，－1，2}={1，－3，－2}，平面方程為π1：1×(x－2)－3×(y－1)－2×z=0，即π1：x－3y－2z+1=0從而直線L在平面π上的投影直線一般式方程為方法二直線L轉(zhuǎn)化成一般式方程為過直線L的平面束為(x－y－1)+λ(y+z－1)=0，即x+(λ－1)y+λz－(λ+1)=0，當{1，λ－1，λ}上{1，－1，2}，即λ=－2時，過直線L的平面與平面π垂直，把λ=－2代入平面束方程，則與π垂直的平面方程為π1：x－3y－2z+1=0，直線L在平面π上的投影直線為方法三設(shè)過直線L且與平面π垂直的平面方程為π1：A(x－1)+By+C(z－1)=0，則有{A，B，C}⊥{1，－1，2}，{A，B，C}⊥{1，1，－1}，即解得A=－C／2，B=3C／2，平面π1：－C／2(x－1)+y+C(z－1)=0，即π1：x－3－2z+1=0從而L在平面π的投影直線為知識點解析：暫無解析22、求L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程．標準答案：設(shè)M(x，y，z)為所求旋轉(zhuǎn)曲面∑上任意一點，過該點作垂直于y軸的平面，該平面與∑相交于一個圓，且該平面與直線L及y軸的交點分別為M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由|M2T|=IMT|，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即=y／1=(z0－1)／－1，于是將其代入上式得∑：x2+z2=(y+1)2+(1－y)2，即∑：x2－2y2+z2=2．知識點解析：暫無解析23、計算dxdy，其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析24、計∮Lyzdx+3xzdy－xydz，其中L：，從z軸正向看，L是逆時針方向．標準答案：設(shè)由L所圍成的平面為∑，按右手準則，∑取上側(cè)．n={0，－3，1}，cosα=0，cosβ=－，由斯托克斯公式得因為ds=dxdy，Dxy：x2+y2≤4y，所以∮Lyzdx+3xzdy－xydz=2dxdy=8π．知識點解析：暫無解析25、討論級數(shù)dx的斂散性．標準答案：令un=∫01／ndx，n=1，2，3，…由正項級數(shù)的比較審斂法得dx收斂．知識點解析：暫無解析26、設(shè)y=y(x)滿足y’=x+y，且滿足y(0)=1，討論級數(shù)的斂散性．標準答案：由y’=x+y得y"=1+y’，再由y(0)=1得y’(0)=1，y"(0)=2，根據(jù)麥克勞林公式，有知識點解析：暫無解析27、設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)將x=x(y)所滿足的微分方程+(y+sinx)(dx／dy)3。變換為y=y(x)所滿足的微分方程，(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=3／2的解．標準答案：代入原方程得y"－y=sinx，特征方程為r3－1=0，特征根為r1，2=±1，因為i不是特征值，所以設(shè)特解為y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=－1／2，故y*=－1／2sinx，于是方程的通解為y=C1ex+C2e－x－sinx，由初始條件得C1=1，C2=－1，滿足初始條件的特解為y=ex－e－x－sinx．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf'(x)－2f(x)=－x，且由曲線y=f(x)，x=1及x軸(x≥0)所圍成的平面圖形為D．若D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小，求：28、曲線y=f(x)；標準答案：由xf’(x)－2f(x)=－xf’(x)－f(x)=－1f(x)=x+cx2．設(shè)平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，則V(c)=π∫01(x+cx2)2dx因為V"(c)=2π／5＞0，所以c=－5／4為V(c)的最小值點，且曲線方程為f(x)=x－x2．知識點解析：暫無解析29、曲線在原點處的切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形的面積．標準答案：f’(x)=1－x，f’(0)=1，曲線f(x)=x－x2在原點處的切線方程為y=x，則A=∫01[x－(x－x2)]dx=5／12．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、當x→0時，f(x)=x-sinax與g(x)=x2ln(1-bx)是等價無窮小量，則()A、a=1，b=B、a=1，b=C、a=-1，b=D、a=-1，b=標準答案：A知識點解析：因為當x→0時，f(x)與g(x)是等價無窮小量，所以于是(1-acosax)=1-a=0，故a=1．從而2、曲線f(x)=x2+6x+1上點(0，1)處的切線與x軸交點的坐標為()A、B、(-1，0)．C、D、(1，0)．標準答案：A知識點解析：由f’(x)=x2+x+6，得f’(0)=6，所以曲線在(0，1)處的切線方程為y-1=6x．令y=0，得x=，故切線與x軸交點的坐標為3、設(shè)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，且f’(x0)≠0，△x是自變量x在x0處的增量，△y與dy是對應(yīng)函數(shù)的增量與微分，則()A、等于0．B、等于1.C、不存在．D、不一定存在．標準答案：A知識點解析：因為f(x)在點x0處可導(dǎo)f(x)在點x0處可微，而由可微的定義，△y=dy+o(△x)，所以dy-△y=-o(△x)，于是故應(yīng)選A．4、設(shè)ξ為函數(shù)f(x)=arcsinx在區(qū)間[0，b]上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，則極限等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：f’(x)=，f(x)在[0，b]上用拉格朗日中值定理得5、設(shè)f(x)是(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)的奇函數(shù)，則下述4個結(jié)論：其中正確的個數(shù)為()A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：B知識點解析：①如果，錯誤．②因為f(x)+是[-l，l]上連續(xù)的奇函數(shù)，所以正確．對于③、④，因為當發(fā)散時，③中的等式與④中不等式都沒有意義，錯誤．6、曲線x=y(y-1)(2-y)與y軸所圍成的圖形的面積等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：曲線x=y(y-1)(2-y)的圖形如圖11所示，取y為積分變量，則所求平面圖形的面積為故應(yīng)選C．7、如果函數(shù)f(x，y)=在點(0，0)處連續(xù)，則應(yīng)定義f(0，0)等于()A、B、C、4．D、-4．標準答案：B知識點解析：因為所以補充定義f(0，0)=，則f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．8、曲面z=F(x，y，z)的一個法向量為()A、(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z-1)．B、(F’x-1，F(xiàn)’y-1，F(xiàn)’z-1)．C、(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z)．D、(-F’x，-F’y，-1)．標準答案：A知識點解析：曲面方程z=F(x，y，z)可以寫成F(x，y，z)-z=0，由曲面的法向量計算公式，其一個法向量為(F’x，F(xiàn)’y，F(xiàn)’z-1)．9、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≥1，x2+y2≤2x，y≥0}，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由及y≥0得兩條曲線的交點為．由于積分區(qū)域的特點，如圖26所示，選用極坐標計算二重積分．在極坐標下，D={(r，θ)｜0≤θ≤，1≤r≤2cosθ}，所以10、設(shè)曲線г：從z軸正向往負向看為逆時針方向，則ydx+zdy+xdz=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：這是一個空間封閉曲線上的第二類曲線積分的計算問題．由于空間曲線г是以一般式方程給出，且不易建立其參數(shù)方程，故考慮用斯托克斯公式．取∑為平面X+y+z=0包含在球面x2+y2+z2=R2內(nèi)的部分，其法向量按右手定則，由斯托克斯公式，有其中cosα，cosβ，cosγ是平面x+y+z=0上任意一點法向量的方向余弦，cosα=cosα=cosγ=于是∮гydx+zdy+xdz=11、若冪級數(shù)an(x+1)n在x=1點處發(fā)散，則此冪級數(shù)在=點處()A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標準答案：D知識點解析：本題主要考查阿貝爾定理的條件與結(jié)論．因為冪級數(shù)an(x+1)n在x=1點處發(fā)散，由阿貝爾定理，該冪級數(shù)在適合｜x+1｜＞｜1+1｜=2的范圍內(nèi)，即x∈(-∞，-3)∪(1，+∞)時發(fā)散，但x=(-∞，-3)∪(1，+∞)，所以該冪級數(shù)在x=點處的斂散性不能確定．故應(yīng)選D．12、函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個微分方程是()A、y’’-y’-2y=3xex．B、y’’-y’-2y=3ex．C、y’’+y’-2y=3xex．D、y’’+y’-2y=3ex．標準答案：D知識點解析：本題主要考查二階線性常系數(shù)齊次與非齊次微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)．由y=C1ex+C2e-2x+xex是某二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的通解知，r1=1，r2=-2是相應(yīng)的齊次微分方程的特征方程的根，從而特征方程為r2+r-2=0，于是齊次微分方程為y’’+y’-2y=0．排除A、B．在C與D選項中，因為1是特征單根，所以方程y’’+y’-2y=3exy’’+y’-2y=3ex具有y*=Axex形式的特解，故應(yīng)選D．事實上，y*=xex是二階線性非齊次微分方程y’’+y’-2y=f(x)的特解．由于y*’=(x+1)ex，y*’’=(x+2)ex，從而f(x)=(x+2)ex+(x+1)ex-2xex=3ex，故所求微分方程為y’’+y’-2y=3ex．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、設(shè)f(x)=則f[f(x)]=______．標準答案：x知識點解析：因為而f(x)≥0x≥0，f(x)＜0x＜0，所以故f[f(x)]=x．14、=_____.標準答案：知識點解析：15、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2cos(xy)=x+y所確定，則dy｜x=0=_______．標準答案：-dx知識點解析：這是一個隱函數(shù)的求導(dǎo)(微分)運算問題．當x=0時，由已知方程得y=2．方程兩邊對x求導(dǎo)得取x=0，y=2得，所以16、函數(shù)的極大值是_____，極小值是_______．標準答案：知識點解析：令y’=0，得駐點x1=，當x=0時，y’不存在．列表9：由極值的第一充分條件知，x=0是極大值點，x=是極小值點；17、設(shè)f’(x)的一個原函數(shù)為ln(x+)，則∫xf’’(x)dx=________.標準答案：知識點解析：因為f’(x)的一個原函數(shù)為，所以18、=_______.標準答案：知識點解析：由于被積函數(shù)4cos4θ在積分區(qū)間上是偶函數(shù)，則19、用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板1cm，如果鐵錘每次錘擊鐵釘所作的功相等，則錘擊第三次時，鐵釘又擊入________cm．標準答案：知識點解析：這是一個變力沿直線做功問題，主要考查定積分在物理上的應(yīng)用．由題設(shè)，木板對鐵釘?shù)淖枇(x)=kx，其中k是比例系數(shù)，x是鐵釘擊入木板的深度，則擊第一次時，鐵錘所做的功為設(shè)擊第二次時，鐵釘?shù)纳疃葹閤2cm，由于每次錘擊鐵釘所做的功相等，所以解得x2=cm，故第二次擊入的深度為cm．設(shè)擊第三次時，鐵釘?shù)纳疃葹閤3cm，同理解得x3=cm，故第三次又擊入的深度為20、已知，其中φ(u)可微，則x2+y2=_____．標準答案：0知識點解析：這是一個二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計算問題，對x(或y)求偏導(dǎo)數(shù)時把y(或x)看成常數(shù)即可．因為21、設(shè)，且D={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}，則=______.標準答案：0知識點解析：由于二重積分的被積函數(shù)僅是x的函數(shù)，所以將二重積分化為先對y后對x的二次積分，再代入已知條件進行計算．22、設(shè)L為橢圓，其周長為l，則曲線積分∮L(b2x2+a2y2+2xy)ds=______．標準答案：la2b2知識點解析：本題考查第一類曲線積分的計算．因為曲線L關(guān)于x(y)軸對稱，而函數(shù)2xy關(guān)于y(x)為奇函數(shù)，所以∮L2xyds=0，而曲線L可寫成b2x2+a2y2=a2b2，故∮L(b2x2+a2y2+2xy)ds=∮L(b2x2+a2y2)ds+∮L2xyds=∮La2b2ds=a2b2∮Lds=la2b2．23、已知=_______.標準答案：知識點解析：因為24、設(shè)2+｜x｜=ancosnx(-π≤x≤π)，則a2=______．標準答案：0知識點解析：因為2+｜x｜是偶函數(shù)，且是余弦級數(shù)，所以25、微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解為_________．標準答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1知識點解析：這是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程求通解問題．首先求y’’-2y’+2y=0的通解．y’’-2y’+2y=0的特征方程為r2-2r+2=0，特征根為r1,2=1±i，所以其通解為Y=ex(C1cosx+C2sinx)．其次求y’’-2y’+2y=ex+2x的一個特解．設(shè)y1*=Aex是y’’-2y’+2y=ex的一個特解，則y1*’=y2*’’=Aex，將其代入到y(tǒng)’’-2y’+2y=ex并化簡，得A=1，所以y1=ex．設(shè)y2*=ax+b是y’’-2y’+2y=2x的一個特解，則y2*’=a，y2*’’=0，將其代入到y(tǒng)’’-2y’+2y=2x并化簡，比較等式兩邊x同次冪的系數(shù)，得a=1，b=1，所以y2=x+1．故y*=y1*+y2*=ex+x+1是y’’-2y’+2y=ex+2x的一個特解．最后寫出y’’-2y’+2y=ex+2x的通解，為y=Y+y*=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)=則下列結(jié)論(1)x=1為可去間斷點．(2)x=0為跳躍間斷點．(3)x=－1為無窮間斷點．中正確的個數(shù)是A、0．B、1．C、2．D、3．標準答案：D知識點解析：f(x)=，x=0，±1是f(x)的間斷點，按題意，要逐一判斷這些間斷點的類型．計算可得由于f(0+0)與f(0－0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳躍間斷點．x=1是f(x)的可去間斷點，x=－1是f(x)的無窮間斷點，因此選(D)．2、設(shè)f(x)=在x=0處可導(dǎo)，則a，b滿足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a為常數(shù)，b=0．D、a為常數(shù)，b=1．標準答案：A知識點解析：首先，f(x)在x=0連續(xù)f(x)=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可導(dǎo)f’+(0)=f’－(0)．由求導(dǎo)法則知f’－(0)=(ax)’|x=0=a．由f’+(0)=f’－(0)得a=0．因此選(A)．3、積分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A(chǔ)、與a有關(guān)．B、是與a無關(guān)的負數(shù)．C、是與a無關(guān)的正數(shù)．D、為零．標準答案：C知識點解析：由于被積函數(shù)ln(2+cosx)．cosx是以2π為周期的偶函數(shù)，因此原式=∫02πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=∫－ππl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx)|0π－∫0πsinxdln(2+cosx)]=2∫0πdx．又因為在[0，π]上，被積函數(shù)連續(xù)，非負，不恒為零，因此該積分是與a無關(guān)的正數(shù)．故選(C)?4、若級數(shù)an(x－1)n在x=－1處收斂，則此級數(shù)在x=2處A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標準答案：B知識點解析：antn，t=x－1，在t=－2處收斂R≥2，x=2時t=1∈(－R，R)antn在t=1即an(n－1)n在x=2處絕對收斂．選(B)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間是_______．標準答案：(－∞，1)∪(1，+∞)知識點解析：初等函數(shù)(單一表達式)沒有定義的點(附近有定義)是間斷點；對分段函數(shù)的分界點，要用連續(xù)的定義予以討論．對非分界點，就不同段而言，在各自的區(qū)間內(nèi)可以按初等函數(shù)看待．注意到x=0為分界點．因為又f(0)=3，因此f(x)=f(0)，即f(x)在x=0處連續(xù)．此外，由于函數(shù)f(x)在點x=1處無定義，因此x=1為f(x)的間斷點．于是所給函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(－∞，1)∪(1，+∞)．6、∫02πsinnxcosmxdx(自然數(shù)n或m為奇數(shù))=_______．標準答案：0知識點解析：由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得In，m=∫02πsinnxcosmx=∫－ππsinnxcosmxdx．當n為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故In，m=0．當m為奇數(shù)(設(shè)m=2k+1，k=0，1，2，…)時In，m=∫－ππsinnx(1－sin2x)kdsinx=R(sinx)|－ππ=0，其中R(u)為u的某個多項式(不含常數(shù)項)．因此In，m=0．7、已知(x－1)y"－xy’+y=0的一個解是y1=x，又知=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的解，則此方程的通解是y=_______．標準答案：C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：由非齊次方程(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的兩個特解與y*可得它的相應(yīng)齊次方程的另一特解－y*=ex－x，事實上y2=(ex－x)+x=ex也是該齊次方程的解，又ex與x線性無關(guān)，因此該非齊次方程的通解是y=C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2為任意常數(shù)．8、過曲面z=4－x2－y2上點P處的切平面于2x+2y+z－1=0，則P點的坐標為_______.標準答案：(1，1，2)知識點解析：P(x，y，z)處一個法向量n={2x，2y，1}，平面2x+2y+z－1=0的法向量n0={2，2，1}，由n=λn0x=λ，y=λ，λ=1x=1，y=1，z=4－1－1=2，因此P點是(1，1，2)．9、設(shè)I1=2x2y2dσ，則這三個積分的大小順序是_______＜_______＜_______·標準答案：I3；I1；I2知識點解析：比較I1與I2，被積函數(shù)是相同的連續(xù)非負函數(shù)，積分區(qū)域圓域(x2+y2≤1)包含在正方形區(qū)域(|x|≤1，|y|≤1)中I1＜I2．比較I1與I3，積分區(qū)域相同，被積函數(shù)均是連續(xù)的，比較它們知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)設(shè)xn+1=ln(1+xn)，x1＞0，10、求xn；標準答案：注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1－xn=ln(1+xn)－xn＜0(n=1，2，3，…)極限a=ln(1+a)．又a＞0時a＞ln(1+a)，故a=0．知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：利用定積分的分段積分法與推廣的牛頓—萊布尼茲公式得知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)為非負連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在[0，π／2]上的平均值．標準答案：令x－t=u，則∫0xf(x－t)dt=∫0xf(u)du．于是f(x)∫0xf(u)du=sin4x，d[∫0xf(u)du]2=2sin4xdx．兩邊積分(∫0π／2)得[∫0π／2f(u)du]2=2∫0π／2sin4xdx故f(x)在[0，π／2]上的平均值為知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且對任意x，y∈[0，1]均有|f(x)－f(y)|≤M|x－y|，M為正的常數(shù)，求證：|∫01f(x)dx－f(k／n)|≤M／2n．標準答案：將∫01f(x)dx與1／nf(k／n)分別表示成∫01f(x)dx代入不等式左端，然后利用定積分性質(zhì)與已知條件得知識點解析：暫無解析15、求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，極值點，凹凸性區(qū)間與拐點．標準答案：定義域：x≠1．單調(diào)增區(qū)間(0，1)；單調(diào)減區(qū)間(－∞，0)∪(1，+∞)；極小值點x=0．知識點解析：暫無解析16、設(shè)b＞a≥0，f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)≠f(b)，求證：存在ξ，η∈(a，b)使得f’(ξ)=f’(η)．標準答案：因為f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理條件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，ヨ∈η(a，b)，使將②式入①式，即得知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，證明：ヨξ∈(a，b)使得f(b)－2f()+f(a)=1／4(b－a)2f"(ξ)．標準答案：在x=處展開成由導(dǎo)函數(shù)的中間值定理ヨξ在η1，η2之間(ξ∈(a，b))，使得=1／4(b－a)2f"(ξ)．知識點解析：暫無解析18、設(shè)p(x)在(a，b)連續(xù)，∫p(x)dx表示p(x)的某個原函數(shù)，C為任意常數(shù)，證明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．標準答案：因為對任意常數(shù)C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解，又設(shè)y是原方程的任意一個解，則[ye∫p(x)dx]’=e∫p(x)dx[y’+p(x)y]=0，即存在常數(shù)C，使得ye∫p(x)dx=C，即y=Ce－∫p(x)dx．知識點解析：暫無解析直線L1：x－1=，L2：x+1=y－1=z，19、若L1⊥L2，求λ；標準答案：{1，2，λ}．{1，1，1}=01+2+λ=0=λ=－3．知識點解析：暫無解析20、若L1與L2相交，求λ．標準答案：L1通過點(1，1，1)，以(1，2，λ)為方向向量，L2通過點(－1，1，0)，以(1，1，1)為方向向量，則L1與L2共面=2．(λ－2)+1．(2－1)=2λ－3=0，此時L1與L2不平行．因此，λ=3／2．知識點解析：暫無解析21、求曲線在yOz平面上的投影方程．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求z=2x+y在區(qū)域D：x2+≤1上的最大值與最小值．標準答案：令F(x，y，λ)=2x+y+λ(x2+－1)，解方程組由①，②得y=2x，代入③得x=因為z在D存在最大、最小值z在D的最大值為2，最小值為－2知識點解析：暫無解析求下列二重積分23、計算I=(x+y)2dxdy，其中D：|x|+|y|≤1；標準答案：D關(guān)于x，y軸均對稱，它在第一象限部分記為D1，如圖9．8．=8∫01x2dx∫01－xx2dy=8∫02x2(1－x)dx知識點解析：暫無解析24、計算I=dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1：標準答案：極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ．D：0≤θ≤π／2，0≤r≤于是知識點解析：暫無解析25、設(shè)a＞0為常數(shù)，求積分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．標準答案：D是圓域(如圖9．10)：(x－)2+y2≤(a／2)2．作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ，并由D關(guān)于x軸對稱，x軸上方部分為D1：0≤θ≤π／2，0≤r≤acosθ．于是I=2xy2dxdy=2∫0π／2dθ∫0acosθrcosθr2sin2θrdr=2∫0π／2sin2θcosθdθ∫0acosθr4dr=2／5∫0π／2sin2θcosθa5cos5θdθ=2／5a5∫0π／2(1－cos2θ)cos6θdθ知識點解析：暫無解析26、設(shè)曲面S是上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0，a＞0)被柱面x2+y2=ax所割下部分，求S的面積．標準答案：S：z=，(x，y)∈Dxy：(x－)2+y2≤(a／2)2，如圖9．31．知識點解析：暫無解析求下列空間中的曲線積分27、I=∫Lyzdx+3zxdy－xydx，其中L是曲線且順著x軸的正向看是沿逆時針方向．標準答案：寫出L的參數(shù)方程后代人公式直接計算．L為則其參數(shù)方程為x=2cost，y=2+2sint，z=7+6sint，其中t從0到2π．于是直接計算即得I=∫Lyzdx+zxdy+xydz+2(zxdy－xydz)=∫02πd(x(t)y(t)z(t))+2∫02π[2cost(7+6sint)(2cost)－2cost(2+2sint)6cost]dt=x(t)y(t)z(t)|02π+2∫02π(28－24)cos2tdt=∫02π8cos2tdt=8π．其中∫02πsintcos2tdt=0，∫02πcos2tdt=π．知識點解析：暫無解析28、I=∫Г(x2－yz)dx+(y2－xz)dy+(z2－xy)dz，其中f是沿螺旋線x=acosθ，y=asinθ，z=h／2πθ．從A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲線．標準答案：易求得(x2－yx)dx+(y2－xz)dy+(x2－xy)dz=d(z3)－(yzdx+xzdy+xydz)=d[1／3(x3+y3+z3)－xyz]．因此，得I=∫Гd[1／3(x3+y3+z3)－xyz]=[1／3(x3+y3+z3)－xyz]|(a，0，0)(a，0，h)=1／3h3．知識點解析：暫無解析29、已知anxn的收斂半徑R=R0＞0，求證：級數(shù)an／n!xn的收斂域為(－∞，+∞)．標準答案：即證，冪級數(shù)an／n!xn均收斂．任取|x0|＜R0，x0≠0，考察|an／n!xn|與|anx0n|的關(guān)系并利用比較判別法．有界，即1／n!|x／x0|n≤M(n=0，1，2，…)，M＞0為某常數(shù)，于是|an／n!xn|≤M|anx0n|．由冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂|anx0n|收斂．因此，原冪級數(shù)的收斂域為(－∞，+∞)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、若極限＝A，則函數(shù)f(x)在x＝a處A、不一定可導(dǎo)．B、不一定可導(dǎo)，但f’＋(a)＝A．C、不一定可導(dǎo)，但f’－(a)＝A．D、可導(dǎo)，且f’＋(a)＝A．標準答案：A知識點解析：只有極限存在并不能保證極限都存在，因此兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不一定存在，應(yīng)選(A)．請讀者試舉一例．2、設(shè)有多項式P(x)＝x4＋＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，又設(shè)x＝x0是它的最大實根，則P’(x0)滿足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．標準答案：D知識點解析：注意P(z)在(一∞，＋∞)連續(xù)，又P(x)＝＋∞x＞x0時P(x)＞0選(D)．3、設(shè)f(x)＝3x2＋x2｜x｜，則使fn(0)存在的最高階數(shù)n＝A、0．B、1．C、2D、3標準答案：C知識點解析：實質(zhì)上就是討論g(x)＝x2｜x｜＝時，g(n)(0)的最高階數(shù)n．由于｜x｜在x＝0處不可導(dǎo)，因此n＝2．選(C)．4、設(shè)f(x)＝在x＝0處可導(dǎo)，則a，b滿足A、a＝0，b＝0．B、a＝1．b＝1．C、a為常數(shù)，b＝0．D、a為常數(shù)，b＝1．標準答案：A知識點解析：首先，f(x)在x＝0連續(xù)＝f(0)，即b＝0．然后，f(x)在x＝0可導(dǎo)f’＋(0)＝f’—(0)．當b＝0時，按定義求出．由求導(dǎo)法則知．由f’＋(0)＝f’—(0)得a＝0．因此選(A)．5、設(shè)f’(a)＞0，則δ＞0，有A、f(x)≥f(a)(x∈(a一δ，a＋δ))．B、f(x)≤f(a)(x∈(a一δ，a＋δ))．C、f(x)>＞f(a)(x∈(a，a＋δ)，f(x)＜f(a)(x∈(a一δ，a))．D、f(x)＜f(a)(x∈(a，a＋δ)，f(x)＞f(a)(x∈(a一δ，a))．標準答案：C知識點解析：直接由定義出發(fā)f’(a)＝由極限的保序性δ＞0，當x∈(a一δ，a＋δ)．x≠a時．f(x)＞f(a)(x∈(a，a＋δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a—δ，a))．因此選(C)．6、設(shè)f(x)＝則A、f(x)在x＝0處不連續(xù)．B、f’(0)存在．C、f’(0)不，曲線y＝f(x)在點(0，0)處不切線．D、f’(0)不，曲線y＝f(x)在點(0，0)處處有切線．標準答案：D知識點解析：顯然f(x)＝0＝f(0)．又y＝f(x)的圖形見圖2．1．因此，f’(0)不，y＝f(x)在(0，0)切線x＝0．選(D)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)7、設(shè)f(x)＝，則f’(1)＝______．標準答案：知識點解析：f(x)是2014個因式的乘積，如果直接使用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)或者先求導(dǎo)再代值，都比較麻煩.其實，當把x＝1代入每個因式后，只有第一項—1＝0，而其余所有項都不等于0．記g(x)＝8、若函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)存在，則極限＝______．標準答案：9f’(1)知識點解析：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)．9、設(shè)f’(0)＝1，f(0)＝0，則＝______．標準答案：知識點解析：10、設(shè)k為常數(shù)，則＝______．標準答案：k知識點解析：【分析一】【分析二】利用等價無窮小因子替換：t→0時，(1＋t)k一1～kt，有原式＝11、設(shè)y＝且f’(x)＝arctanx2，則＝______．標準答案：知識點解析：y＝f(u)，12、設(shè)y＝sinx2，則＝______．標準答案：知識點解析：【分析一】設(shè)u＝x3，則，于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即得【分析二】用微分之商來求．13、設(shè)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)＝f3(x)，則f(n)(x)＝______．標準答案：(2n-1)!!f2n＋1(x)知識點解析：f(2)(x)＝3f2(x)f’(x)＝3f5(x)，f(3)(x)＝3·5f4(x)f’(x)＝3·5f7，可歸納證明f(n)(x)＝(2n—1)!!f2n＋1(x)．14、設(shè)y＝ln(1＋x2)，則y(5)(0)＝______．標準答案：0知識點解析：y為偶函數(shù)y5(x)為奇函數(shù)y(5)(0)＝0．15、設(shè)則＝______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、設(shè)a＞0為常數(shù)，xn＝，求·標準答案：當0＜a＜1時0＜xn＜an，＝0;當a＝1時；知識點解析：暫無解析17、設(shè)(x-3sin3x＋ax-2＋b)＝0，試確定常數(shù)a，b的值．標準答案：由題設(shè)知知識點解析：暫無解析18、討論下列函數(shù)的連續(xù)性并判斷間斷點的類型：(Ⅰ)y＝(1＋x)arctan；(Ⅱ)y＝；(Ⅲ)y＝；(Ⅳ)f(x)＝(1＋x)，x∈(0，2π)；(Ⅴ)y＝f[g(x)]，其中f(x)＝標準答案：(Ⅰ)這是初等函數(shù)，它在定義域(x2≠1)上聯(lián)系．因此，x≠±1時均連續(xù)．x＝±1時，故x＝1是第一類間斷點(跳躍的).又故x＝—1也是第一類間斷點(可去)．(Ⅱ)先求極限函數(shù)．注意x≠±1時，｜x｜＜1與｜x｜＞1分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．x＝±1時均是第一類間斷點（跳躍間斷點）．因左、右極限均，不相等．(Ⅲ)在區(qū)間(0，＋∞)，[—1，0)上函數(shù)y分別與某初等函數(shù)相同，因為連續(xù)．在x＝0處無定義，(Ⅳ)f(x)＝是初等函數(shù)，在(0，2π)內(nèi)f(x)有定義處均連續(xù)，僅在無定義處及處f(x)不連續(xù)．(Ⅴ)方法1先求f[g(x)]表達式當x＞1，x＜1時，f[g(x)]分別與某初等函數(shù)相同，因為連續(xù)，當x＝1時，分別求左、右極限故x＝1為第一類間斷點(跳躍間斷點)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)0＜x0，xn+1＝xn(2一xn)，求證：｛xn｜收斂并求．標準答案：令f(x)＝x(2一x)，則xn＋1＝f(xn)．易知f’(x)＝2(1一x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1＝x0(2一x0)＝1一(x0—1)2∈(0，1)．若xn∈(O，1)xn＋1＝xn(2一xn)∈(0，1)．又x1一x0＝x0(1一x0)＞0｛xn｝單調(diào)上升且有界極限由遞歸方程得a＝a(2一a)．顯然a＞0a＝1．因此＝1．知識點解析：暫無解析20、證明：．標準答案：取對數(shù)化乘積為和差知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)＝g(x)＝0，f*(x)＝(x)＝0，且f(x)～f*(x)，g(x)～g*(x)(x→a).(I)當x→a時無窮小f(x)與g(x)可比較，不等價(＝r≠1，或＝∞)，求證：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；(II)當0＜｜x一a｜＜δ時f(x)與f*(x)均為正值，求證：f(x)g(x)＝f*(x)g*(x)(其中一端極限存在，則另端極限也存在且相等)．標準答案：(Ⅰ)考察極限知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在(a，b)連續(xù)，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn為任意n個正數(shù)，求證：ξ∈(a，b)，使得．標準答案：依題設(shè)n個函數(shù)值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨設(shè)min｛f(x1)，…，f(xn)｝＝f(x1)，max｛f(x1)，…，f(xn)｝＝f(xn)，則記，若η＝f(x1)，則ξ＝x1∈(a，b)，f(ξ)＝η；若η＝f(xn)，則ξ＝xn∈(a，b)，f(ξ)＝η．若f(x1)＜η＜f(xn)，由【定理1．18】，ξ在x1與xn之間，即ν∈(a，b)，f(ξ)＝η．知識點解析：只需證明：是f(x)在(a，b)內(nèi)某兩個函數(shù)值的中間值．23、設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，且x∈[a，b]，總y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．試證：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．標準答案：反證法．若在[a，b]上f(x)處處不為零，則f(x)在[a，b]上或恒正或恒負．不失一般性，設(shè)f(x)＞0，x∈[a，b]，則x0∈[a，b]，f(x0)＝f(x)＞0．由題設(shè)，對此x0，y∈[a，b]，使得f(y)＝｜f(y)｜≤｜f(x0)｜＝f(x0)＜f(x0)，與f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，＋∞)連續(xù)，f(x)＝A＞0，求證：f(t)dt＝＋∞．標準答案：因，由極限的不等式性質(zhì)可知，Х，當x＞Х時f(x)＞，則x＞Х時有知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，＋∞)連續(xù)，f(x)＝A≠0，證明：f(nx)dx＝A．標準答案：先作變量替換：這是型數(shù)列極限．將它轉(zhuǎn)化為型函數(shù)極限，便可用洛必達法則求之，即知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、填空題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、設(shè)f’’(x)連續(xù)，f’(x)≠0，則＝______．標準答案：知識點解析：于是原式＝2、＝______．標準答案：2知識點解析：原式＝[x2＋2x＋(1—x2)]dx＝＝2．(注意：——奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分為零)3、＝______．標準答案：2e2＋2知識點解析：原式＝4e2—2e2＋2＝2e2＋2．4、＝______．標準答案：知識點解析：原式＝5、xarcsinxdx＝______．標準答案：知識點解析：原式其中是單位圓的面積即6、(n≠0)＝______．標準答案：知識點解析：原式＝7、sinxcosxdx（自然數(shù)n或m為奇數(shù)）＝______．標準答案：0知識點解析：由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得當n為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故In，m＝0．當m為奇數(shù)(設(shè)m＝2k＋1，k＝0，1，2，…)時其中R(u)為u的某個多項式(不含常數(shù)項)．因此，In，m＝0．8、(a＞0)＝______．標準答案：知識點解析：【分析一】利用分部積分法【分析二】令t＝arctan，則cos2t＝，x＝acos2t．于是原式＝td(acos2t)＝atcos2tcos2tdt＝acos2tdt＝9、設(shè)y＝f(x)滿足△y＝△x＋o(△x)，且f(0)＝0，則f(x)dx＝______．標準答案：知識點解析：由題設(shè)可知，從而由f(0)＝0可得C＝0．于是f(x)＝由定積分幾何意義得10、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，f(a)＝f(b)＝0，且f2(x)dx＝l，則xf(x)f’(x)dx＝______．標準答案：知識點解析：因＝f(x)f’(x)，所以11、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且F(x)＝(x2－t2)f’(t)dt，若當x→0時F’(x)與x2為等價無窮小，則f’(0)＝______．標準答案：知識點解析：由于F(x)＝(x2—t2)f’(t)dt＝x2f’(t)dt—t2f’(t)dt，所以F’(x)＝2xf’(t)dt＋x2f’(x)—x2f’(x)＝2xf’(t)dt．又依題設(shè)，當x→0時F’(x)與x2為等價無窮小，從而＝2f’(0)＝1，故f’(0)＝12、求．標準答案：知識點解析：這是求型的極限．用洛必達法則時就要求變限積分的導(dǎo)數(shù)．這里被積函數(shù)f(x)＝還是變限積分．注意到這一點就容易求得13、已知f(x)＝，則＝______．標準答案：知識點解析：用分部積分法．由于f’(x)＝(x2)’＝2x，故[注]*處由于f(x)＝，故f(1)＝0，所以．14、＝______．標準答案：3知識點解析：【分析一】令x2＝t，則【分析二】令x2＝t，則原式＝，令∫t3e—tdt＝e—t(at3＋bt2＋dt＋e)＋C，兩邊求導(dǎo)得t3e—t＝e—t[—at3＋(3a—b)t2＋(2a—d)t＋d—e]，比較兩邊t的同次冪項的系數(shù)得a＝一1，b＝一3，d＝一6，e＝一6．于是，原式＝15、＝______．標準答案：知識點解析：16、＝______．標準答案：知識點解析：因(xex)’＝ex(x＋1)，令xex＝t，則dt＝ex(x＋1)dx，于是17、曲線x＝a(cost＋tsint)，y＝a(sint一tcost)(0≤t≤2π)的長度L＝______．標準答案：2π2a知識點解析：曲線由參數(shù)方程表示出，直接代入弧長公式得18、曲線y2＝2x在任意點處的曲率為______．標準答案：知識點解析：用曲率計算公式K＝由y2＝2x2yy’＝2，二、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)19、已知是f(x)的一個原函數(shù)，求．標準答案：按題意：f(x)＝∫x3f’(x)dx∫x3df(x)＝x3f(x)—3∫x2f(x)dx＝x2cosx—xsinx—3∫(xcosx—sinx)dx＝x2cosx—xsinx—3∫xdsinx—3consx＝x2cosx—xsinx—(3xsinx＋3cosx)—3cosx＋C＝x2cosx—4xsinx—6cosx＋C知識點解析：暫無解析20、求．標準答案：注意分解1＋x6＝1＋(x2)3＝(1＋x2)(1一x2＋x4)．原式＝＝arctanx＋＝arctanx＋arctanx3＋C知識點解析：暫無解析21、求．標準答案：先作恒等變形，然后湊微分即得知識點解析：暫無解析22、求．標準答案：【解法一】記則【解法二】作變量替換x＝tant，則知識點解析：暫無解析23、求．標準答案：令x＝asint(｜t｜＜)，則知識點解析：暫無解析24、求．標準答案：知識點解析：暫無解析25、求．標準答案：利用定積分的分段積分法與推廣的牛頓一萊布尼茲公式得知識點解析：先用湊微分法求或用變量替換．令t＝tanx，則x＝arctant，dx＝．于是現(xiàn)用牛頓．萊布尼茨公式即得注意所得的積分值為負，無疑是錯誤的，但錯在哪里呢?這是因為由函數(shù)∈在整個積分區(qū)間[0，]上的原函數(shù)，它在積分區(qū)間[0，]上也不連續(xù)，故不符合牛頓一萊布尼茨公式及其推廣的條件．用換元法．令t＝tanx，則α＝tan0＝0，β＝tan＝一1．于是這當然也是錯的，錯在哪里呢?因為當t∈[一1，0]時，x＝arctant之值不落在原積分區(qū)間[0，]上．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)=b，其中a，b為常數(shù)，則()·A、a=1，b=1B、a=1，b=一1C、a=一1，b=1D、a=一1，b=一1標準答案：B知識點解析：2、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(x)為其原函數(shù)，則()．A、若f(x)是周期函數(shù)，則F(x)也是周期函數(shù)B、若f(x)是單調(diào)函數(shù)，則F(x)也是單調(diào)函數(shù)C、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)D、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)標準答案：D知識點解析：令f(x)=cosx－2，F(xiàn)(x)=sinx一2x+C，顯然f(x)為周期函數(shù)，但F(x)為非周期函數(shù)，(A)不對；令f(x)=2x，F(xiàn)(x)=x2+C，顯然f(x)為單調(diào)增函數(shù)，但F(x)為非單調(diào)函數(shù)，(B)不對；令f(x)=x2，F(xiàn)(x)=x3+2，顯然f(x)為偶函數(shù)，但F(x)為非奇非偶函數(shù)，(C)不對；若f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=∫axf(t)dt，因為F(-x)=∫a－xf(t)dt∫－axf(-μ)(一dμ)=∫－axf(μ)dμ=∫－aaf(μ)dμ+∫axf(μ)dμ=∫axf(μ)dμ=F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)，選(D)．3、設(shè)μ=f(x＋y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=()．A、f2’+xf11’’+(x+z)f12’’+xzf22’’22B、xf12’’+xzf22’’C、f2’+xf12’’+xzf22’’D、xzf22’’標準答案：C知識點解析：=xf12’’+f2’+xz22’’，選(C)．4、設(shè)D：x2+y2≤16，則｜x2+y2一4｜dxdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π標準答案：B知識點解析：｜x2+y2一4｜dxdy=∫02πdθ｜r2一4｜rdr=2π｜r2一4｜rdr=2π[∫02(4一r2)rdr+∫24(r2—4)rdr]=80π，應(yīng)選(B)．5、設(shè)曲面∑是z=x2+y2介于z=0與z=4之間的部分，則ds等于()A、2πe4B、π(e4一1)C、2π(e4一1)D、πe4標準答案：B知識點解析：6、設(shè)ξ為f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，則為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：7、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’一2y’一3y=(2x+1)e－x的特解形式為()．A、(ax+b)e－xB、x2e－xC、x2(ax+b)e－xD、x(ax+b)e－x標準答案：D知識點解析：方程y’’一2y’一3y=(2x+1)e－x的特征方程為λ2一2λ一3=0，特征值為λ1=－1，λ2=3，故方程y’’一2y’一3y=(2x+1)e－x的特解形式為x(ax+b)e－x，選(D)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、=________．標準答案：知識點解析：9、設(shè)L：，則t=0對應(yīng)的曲線上點處的法線為_________．標準答案：y=一2x知識點解析：t=0對應(yīng)的曲線上點為(0，0)，故法線方程為y－0=一2(x一0)，即y=一2x．10、曲面x2+2y2+3z2=21在點(1，一2，2)處的法線方程為_________．標準答案：知識點解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法線方程為．11、級數(shù)在一1＜x＜1內(nèi)的和函數(shù)為_________．標準答案：知識點解析：12、微分方程2y’’=3y2滿足初始條件y(－2)=1，y’(一2)=1的特解為_______．標準答案：知識點解析：令y’=p，則=3y2，解得p2=y3+C1，由y(一2)=1，y’(－2)=1，得C1=0，所以=x+C2．再由y(一2)=1，得C2=0，所求特解為x=．13、∫max｛x+2，x2｝dx=_________．標準答案：知識點解析：14、設(shè)z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分別二階連續(xù)可導(dǎo)和二階連續(xù)可偏導(dǎo)，則=_________．標準答案：f’+xf’’+xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy＋1lnxg21’’+4xyg22’’．知識點解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g1’(xy，x2+y2)+2xg2’(xy，x2+y2)=f’+xf’’+xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy＋1lnxg21’’+4xyg22’’15、=_________．標準答案：2(1-ln2)知識點解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)16、求．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)y=y(x)是由exy—x+y一2=0確定的隱函數(shù)，求y’’(0)．標準答案：當x=0時，y=1，exy－x+y一2=0兩邊對x求導(dǎo)得exy(y+xy’)一1+y’=0，解得y’(0)=0；exy(y+xy’)一1+y’=0兩邊對x求導(dǎo)得exy(y+xy’)2+exy(2y’+xy’’)+y’’=0，解得y’’(0)=一1．知識點解析：暫無解析18、證明：當x＞0時，arctanx+．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求∫01x4dx．標準答案：知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)單位質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線運動，初速度ν｜t=0=ν0，已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時此質(zhì)點的速度為?并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程．標準答案：設(shè)t時刻質(zhì)點運動的速度為ν(t)，阻力解此微分方程得ν(t)=ν0e－t，由ν0e－t=得t=ln3，從開始到t=ln3的時間內(nèi)質(zhì)點所經(jīng)過的路程為S=∫0ln3ν0e－tdt=ν0．知識點解析：暫無解析23、求．標準答案：知識點解析：暫無解析42．設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1．證明：24、(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1—2c；標準答案：令φ(x)=f(x)一1＋2x，φ(0)=一1，φ(1)=2，因為φ(0)φ(1)＜0，所以存在｜｜c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1—2c．知識點解析：暫無解析25、(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．標準答案：因為f(x)∈C[0，2]，所以F(X)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得=f(ξ)，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得．標準答案：因為f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)有界，且f’(x)連續(xù)，對任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．證明：｜f(x)｜≤1．標準答案：令φ(x)=exf(x)，則φ’(x)=ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，則φ(x)=φ(x)一φ(－∞)=∫－∞xφ’(x)dx，兩邊取絕對值得ex｜f(x)｜≤∫－∞x｜φ’(x)｜dx≤∫－∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．知識點解析：暫無解析28、計算．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、中，無窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標準答案：D知識點解析：本題四個極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選擇該極限為+∞的，僅當n=3并取“+”號時，即選(D)．2、設(shè)f(x)=則A、f(x)在x=0處不連續(xù)．B、f’(0)存在．C、f’(0)不ヨ，曲線y=f(x)在點(0，0)處不ヨ切線．D、f’(0)不ヨ，曲線y=f(x)在點(0，0)處有切線．標準答案：D知識點解析：顯然f(x)=0=f(0)．又y=f(x)的圖形見圖2．1．因此，f’(0)不ヨ，y=f(x)在(0，0)ヨ切線x=0．選(D)．3、下列反常積分中發(fā)散的是A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：直接驗證(D)發(fā)散．因x=0是瑕點，從而∫－11dx／sinx由于∫01dx／sinx=ln|tanx||01=+∞，即∫01dx／sinx發(fā)散，故反常積分∫－11dx／sinx也發(fā)散．應(yīng)選(D)．4、設(shè)z=f(x，y)=，則f(x，y)在點(0，0)處A、可微．B、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微．C、連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在．D、偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)．標準答案：B知識點解析：設(shè)△z=f(x，y)－f(0，0)，則可知△z=這表明f(x，y)=在點(0，0)處連續(xù)．因f(x，0)=0(x)，所以f’x(0，0)=d／dxf(x，0)|x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z－f’x(0，0)△x－f’y(0，0)△y=當(△x，△y)沿y=x趨于點(0，0)時即α不是ρ的高階無窮小，因此f(x，y)在點(0，0)處不可微，故選(B)．5、設(shè)有級數(shù)an，Sn=an，則Sn有界是級數(shù)an收斂的A、充分條件．B、必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分條件也非必要條件．標準答案：B知識點解析：由級數(shù)收斂性概念知an收斂，即部分和數(shù)列{Sn}收斂．由數(shù)列收斂性與有界性的關(guān)系知，{Sn}收斂{Sn}有界，因此選(B)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)6、設(shè)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f3(x)，則f(n)(x)=_______．標準答案：(2n－1)!!f2n+1(x)知識點解析：f(2)(x)=3f2(x)f’(x)=3f5(x)，f(3)(x)=3．5f4(x)f’(x)=3．5f7(x)，可歸納證明f(n)(x)=(2n－1)!!f2n+1(x)．7、設(shè)y=f(x)滿足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，則∫01f(x)dx=_______．標準答案：π／4知識點解析：由題設(shè)可知dy／dx=，從而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定積分幾何意義得∫01f(x)dx=∫01dx=π／48、微分方程y"+6y’+9y=0的通解y=_______．標準答案：(C1+C2x)e－3x，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：特征方程λ2+6λ+9=0，即(λ+3)2=0．通解為y=(C1+C2x)e－3x，其中C1，C2為任意常數(shù)．9、設(shè)L是乒方形邊界：|x|+|y|=a(a，＞0)，則I=∫Lxyds=_______，J=∫L|x|ds=_______．標準答案：0；2a2知識點解析：L如圖9．4，它關(guān)于x(或y)軸對稱，f(x，y)=xy對y(或x)為奇函數(shù)I=∫Lxyds=0．L關(guān)于直線y=x對稱(變量的輪換對稱性)I=∫L|x|ds=∫L|y|ds三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、設(shè)0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求證：{xn}收斂并求xn．標準答案：令f(x)=x(2－x)，則xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1－x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2－x0)=1－(x0－1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2－xn)∈(0，1)．又x1－x0=x0(1－x0)＞0{xn}單調(diào)上升且有界ヨ極限xn=a．由遞歸方程得a=a(2－a)．顯然a＞0a=1．因此xn=1．知識點解析：暫無解析11、證明：=4／e．標準答案：取對數(shù)化乘積為和差知識點解析：暫無解析設(shè)g*(x)=0，且f(x)－f*(x)，g(x)－g*(x)(x→a).12、當x→a時無窮小f(x)與g(x)可比較，不等價(=∞)，求證：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；標準答案：考察極限因此，f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)．知識點解析：暫無解析13、當0＜“|x－a|＜ε時f(x)與f*(x)均為正值，求證：(其中一端極限存在，則另端極限也存在且相等).標準答案：知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)滿足f(x)=f(x－π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求∫π3πf(x)dx．標準答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x－π)+sinx]dx=∫π3πf(x－π)dx∫02πf(t)dt+∫π2π(t)dt=∫0πtdt+∫π2π[f(t－π)+sint]dt=－2+∫π2πf(t－π)dt－2+∫0πf(u)du=π2－2．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求證：|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx．標準答案：可設(shè)|f(x)|=|f(x0)|，即證(b－a)|f(x0)|≤|∫abf(x)dx|+(b－a)∫ab|f’(x)|dx，即證|∫abf(x0)dx|－|∫abf(x)dx|≤6(b－a)∫ab|f’(x)|dx．注意|∫abf(x0)dx|－|∫abf(x)dx|≤|∫ab[f(x0)－f(x)]dx|=|∫ab[f’(t)dt]dx|≤∫ab[∫ab|f’(t)|dt]dx=(b－a)∫ab|f’(x)|dx．故得證．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，g(x)≠0且=0(x∈(a，b))．證明：存在常數(shù)c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．標準答案：因為所以存在常數(shù)c，使得f(x)／g(x)=c(x∈(a，b))，即f(x)=cg(x)(x∈(a，b))．知識點解析：暫無解析17、證明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0為常數(shù))至少有一個正根不超過a+b．標準答案：考察f(x)=x－asinx－b，即證它在(0，a+b]有零點．顯然，f(x)在[0，a+b]連續(xù)，且f(0)=－b＜0，f(a+b)=a[1－sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，則該方程有正根x=a+b．若f(a+b)＞0，則由連續(xù)函數(shù)零點存在性定理ヨc∈(0，a+b)，使得f(c)=0．知識點解析：暫無解析18、(Ⅰ)設(shè)f(x)在[x0，x0+δ)((x0－δ，x0])連續(xù)，在(x0，x0+δ)(x0－δ，x0)可導(dǎo)，又f’(x)=A(f’(x)=A)，求證：f’+(x0)=A(f’－(x0)=A)．(Ⅱ)設(shè)f(x)在(x0－δ，x0+δ)連續(xù)，在(x0－δ，x0+