考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷16（共257題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷16（共9套）（共257題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、若f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)有界，則f(x)在(a，b)內(nèi)間斷點(diǎn)的類型只能是()A、第一類間斷點(diǎn)B、第二類間斷點(diǎn)C、既有第一類間斷點(diǎn)也有第二類間斷點(diǎn)D、結(jié)論不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：不妨設(shè)f(x)單調(diào)增加，且存在M＞0使得任意x∈(a，b)有｜f(x)｜≤M，x對任意一點(diǎn)x0∈(a，b)，當(dāng)x→x0－時，f(x)隨著x增加而增加且有上界，故存在；當(dāng)x→x0+時，f(x)隨著x減小而減小且有下界，故存在，故x0只能是第一類間斷點(diǎn)．2、兩曲線與y=ax2+b在點(diǎn)處相切，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因兩曲線相切于點(diǎn)故相交于該點(diǎn)．將x=2，代入y=ax2+b中得又因?yàn)閮汕€相切于該點(diǎn)，故在該點(diǎn)切線斜率相等，即導(dǎo)數(shù)相等，所以將x=2代入得故選A．3、拋物線y2=2x與直線y=x－4所圍成的圖形的面積為()A、B、18C、D、8標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：選積分變量為y，如圖1．3－1所示，兩條曲線的交點(diǎn)4、設(shè)Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1，2，3)，則有A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I2＜I1＜I3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：首先，由I2=I1+∫π2πex2sinxdx及∫π2πex2sinxdx＜0可得I2＞I1．其次，I3=I1+∫π3πex2sinxdx.其中∫π3πex2sinxdx=∫π2πex2sinxdx+∫2π3πex2sinxdx=∫π2πex2sinxdx+∫π2πe(y+π)2sin(y+π)dy=∫π2π[ex2－e(x+π)2]sinxdx＞0，故I3＞I1，從而I2＜I1＜I3，故選D．5、設(shè)曲線積分∫L[f(x)－ex]sinydx一f(x)cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)等于()A、(e－x－ex)B、(ex－e－x)C、(ex+e－x)－1D、1－(ex+e－x)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：g=[f(x)－ex]siny，Q=－f(x)cosy．積分與路徑無關(guān)，則即[f(x)－ex]cosy=－f’(x)cosy．又由f(0)=0解得6、設(shè)Ω：x2+y2+z2≤1則三重積分z2dv等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因積分區(qū)域的邊界曲面含有球面x2+－y2+z2=1，故采用球面坐標(biāo)系．Ω的邊界曲面方程用球面坐標(biāo)表示為：r=1，則Ω為：0≤r≤1，0≤θ≤2π．故7、設(shè)正項級數(shù)發(fā)散，則中結(jié)論正確的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個D、4個標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：③正項級數(shù)所以當(dāng)n足夠大時，有an2≤an，必收斂．可見只有③正確．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)8、設(shè)則α=______，β=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：所以α=5，9、設(shè)x1=r∈(0，1)，xn+1=xn－xn2(n=1，2，3，…)．則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0；r－r2知識點(diǎn)解析：xn+1－xn=－xn2＜0，所以數(shù)列{xn}單調(diào)減少．x1=r∈(0，1)，x2=x1－x12＞0，并且x2＜x1，所以0＜x2＜x1＜1．由數(shù)學(xué)歸納法易知數(shù)列{xn}undefinedundefined10、如果f(x)在[a，b]上連續(xù)，無零點(diǎn)，但有使f(x)取正值的點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上的符號為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：正知識點(diǎn)解析：利用反證法，假設(shè)存在點(diǎn)x1∈[a，b]，使得f(x1)＜0．又由題意知存在點(diǎn)x2∈[a，b]，x2≠x1，使得f(x2)＞0．由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ介于x1和x2之間，使得f(ξ)=0，顯然ξ∈[a，b]，這與已知條件矛盾．11、設(shè)是f(x)的一個原函數(shù)，則∫1exf’(x)dx=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫1exf’(x)dx=∫1exd[f(x)]=xf(x)｜1e－∫1ef(x)dx．由于12、設(shè)a，b，C的模｜a｜=｜b｜=｜c(diǎn)｜=2，且滿足a+b+c=0，則a.b+b.c+c.a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-6知識點(diǎn)解析：(a+b+c).(a+b+c)=｜a｜2+｜b｜2+｜c(diǎn)｜2+2a.b+2b.c+2a.c，因?yàn)閍+b+c=0，故有｜a｜2+｜b｜2+｜c(diǎn)｜2+2(a.b+b.c+c．a(chǎn))=0，則13、函數(shù)u=ex一z+xy在點(diǎn)(2，1，0)處沿曲面ex=z+xy=3的法線方向的方向?qū)?shù)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：曲面ez－z+xy=3的法線方向?yàn)閚=±(y，x，ez－1)｜(2，1，0)=±(1，2，0)，則單位法向量為故方向?qū)?shù)為14、若函數(shù)z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c在點(diǎn)(－2，3)處取得極小值－3，則常數(shù)a，b，c之積abc=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：30知識點(diǎn)解析：由極值的必要條件知在點(diǎn)(－2，3)處，zx’=0，zy’=0，又z(－2，3)=－3，從而可求出a，b，c分別為－1，－6，5，故abc=30．15、設(shè)∑是平面在第一卦限部分的下側(cè)，則I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy化成對面積的曲面積分為I=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∑指定側(cè)的法向量n的方向余弦為由兩類曲面積分的聯(lián)系，有16、設(shè)f(x)=πx+x2，－π≤x＜π，且周期為T=2π．當(dāng)f(x)在[－π，π)上的傅里葉級數(shù)為(ancosnx+bnsinnx)，則b3=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：17、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，3)知識點(diǎn)解析：令y=x－2，則為收斂的交錯級數(shù)．因此的收斂域?yàn)閇－1，1)，又－1≤x－2＜1，即1≤x＜13，故原級數(shù)的收斂域?yàn)閇1，3)．18、微分方程(1－x2)y－xy’=0滿足初值條件y(1)=1的特解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：原方程化為由初值y(1)=1解出得特解．19、已知∫01f(tx)dt=f(x)+1，則f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cx+2，其中C為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：將所給方程兩邊同乘以x，得x∫01f(tx)dt=xf(x)+x．令u=tx，則上式變?yōu)椤?1f(u)du=xf(x)+x，兩邊對x求導(dǎo)得用一階非齊次線性微分方程通解公式計算得f(x)=Cx+2，其中C為任意常數(shù)．三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)20、討論方程axex+b=0(a＞0)實(shí)根的情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=axex+b，因?yàn)?，故?yīng)求函數(shù)f(x)=axex+b的極值，并討論極值的符號及參數(shù)b的值．由f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，知駐點(diǎn)為x=－1，又f’’(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f’’(－1)＞0，所以x=－1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為當(dāng)時，函數(shù)f(x)無零點(diǎn)，即方程無實(shí)根；當(dāng)時，函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn)，即方程有一個實(shí)根；當(dāng)時，函數(shù)f(x)有兩個不同的零點(diǎn)，即方程有兩個不同的實(shí)根；當(dāng)b≤0時，函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn)，即方程有一個實(shí)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)(a，b＞0)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．證明：在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：令它們在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且G’(x)=滿足柯西中值定理的三個條件．于是在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：當(dāng)成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)而coxs＜0，所以不等式成立．上式中，當(dāng)?shù)牵?xcosx－2sinx+x3的符號無法直接確定．為此，令g(x)=2xcosx－2sinx+x3，則g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x－sinx)＞0，所以，當(dāng)x∈時，g(x)=2xcosx－2sinx+x3＞0．從而，當(dāng)x∈時，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，以T為周期，試證明：(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a為任意實(shí)數(shù))；(2)∫0xf(t)dt以T為周期<=>∫0Tf(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全體原函數(shù))周期為T<=>∫0Tf(x)dx=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫aa+Tf(x)d=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫TT+af(x)dx，其中∫TT+af(x)dx=∫TT+af(x－T)dx∫0af(s)ds=∫0af(x)dx．代入上式得∫aa+Tf(x)=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0af(x)dx=∫0Tf(x)dx．(2)∫0xf(t)dt以T為周期<=>∫0x+Tf(t)dt－∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt∫0Tf(t)dt=0．(3)只需注意∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，∫0xf(t)dt是f(x)的一個原函數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、(1)證明(2)設(shè)α是滿足標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求內(nèi)接于橢球面的長方體的最大體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)該內(nèi)接長方體體積為v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是長方體的一個頂點(diǎn)，且位于橢球面上，由于橢球面關(guān)于三個坐標(biāo)平面對稱，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且滿足條件因此需要求出v=8xyz在約束條件下的極大值．由題意知，內(nèi)接于橢球面的長方體的體積沒有最小值，而存在最大值，因而以點(diǎn)為頂點(diǎn)所作對稱于坐標(biāo)平面的長方體即為所求的體積最大長方體，最大體積為知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x，y)為具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二次齊次函數(shù)，即對任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．(1)證明(2)設(shè)D是由L：x2+y2=4正向一周所圍成的閉區(qū)域，證明：∮Lf(x，y)ds=div[gradf(x，y)]dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)方程f(tx，ty)=t2f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x．y)．再對t求導(dǎo)得，x[xf21]](tx，ty)+yf12’’(tx，ty)]+y[xf21’’(tx，ty)+yf22’’(tx，ty)]=2f(x，y)．于是tx[txf11’’(tx，ty)+ty12’’(tx，ty)]+ty[txf21’’(tx，ty)+tyf22’’(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得x2fxx’’(x，y)+2xyfxy’’(x，y)+y2fyy’’(x，y)=2f(x，y)，即結(jié)論成立．(2)由xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x，y)得txf1’(tx，ty)+tyf2’(tx，ty)=2t2f(x，y)，即xfx’(x，y)+yfy’(x，y)=2f(x，y)，又(其中n0為點(diǎn)(x，y)處的單位切向量)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x，y)在全平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面與路徑無關(guān)，且∫(0，0)(t，t2)f(x，y)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：①∫L(x，y)dx+xcosydy在全平面與路徑無關(guān)積分得f(x，y)=siny+C(x)．②求f(x，y)轉(zhuǎn)化為求C(x)．因f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx=sinydx+xdsiny+=d[xsiny+∫0xC(s)ds]，則有[xsiny+∫0xC(s)ds]｜(0，0)(t，t2)=t2，即tsint2+∫0tC(s)ds=t2=>sint2+2t2cost2+C(t)=2t，因此f(x，y)=siny+2x－sinx2－2x2cosx2．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是y’’=f(y，y’)型的可降階二階方程，按典型步驟去做即可．以下進(jìn)行討論．Y≡0顯然是原方程的一個解．以下設(shè)y≠0，于是式①可改寫為當(dāng)C1＞0時，由式②得當(dāng)C1=0時，由式②得±x+C2=－y－1；當(dāng)C1＜0時，由式②得綜上所述即得原方程的通解．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若f(一x)=一f(x)，且在(0，+∞)內(nèi)f’(x)＞0，f’’(x)＞0，則在(一∞，0)內(nèi)()．A、f’(x)＜0，f’’(x)＜0B、f’(x)＜0，f’’(x)＞0C、f’(x)＞0，f’’(x)＜0D、f’(x)＞0，f’’(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，故在(一∞，0)內(nèi)有f’(x)＞0，因?yàn)閒’’(x)為奇函數(shù)，所以在(一∞，0)內(nèi)f’’(x)＜0，選(C)．2、若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=1，則下列正確的是()．A、x=0是f(x)的零點(diǎn)B、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)C、x=0是f(x)的極大點(diǎn)D、x=0是f(x)的極小點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由=1得f’(0)=0，由1==f’’(0)得x=0為極小點(diǎn)，應(yīng)選(D)．3、矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米，垂直放在水中，上邊與水面相齊，閘門壓力為()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：取[x，x＋dx][0，h]，dF=ρg×x×a×dx=ρgaxdx，則F=ρg∫0haxdx=ρg∫0hahdh，選(A)．4、設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()．A、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零B、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)大于零C、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)小于零D、f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則有fx’(x0，y0)=0，fy’(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零，選(A)．5、微分方程y’’一4y=x+2的通解為()．A、(C1+C2x)e2x一B、(C1+C2x)e－2x一C、C1e－2x+C2e2x一D、C1e－2x+C2e2x一標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：微分方程y’’一4y=0的特征方程為λ2－4=0，特征值為一2，2，則方程y’’一4y=0的通解為C1e－2x+C2e2x，顯然方程y’’一4x=x+2有特解，選(D)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、設(shè)f(x)=，則f’(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)f(x)=ln(1+x)，當(dāng)x＞0時，f(x)=f’(θx)x，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：f’(x)=，f(x)=f’(θx)x，得ln(1＋x)=．故．9、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：extan＋C知識點(diǎn)解析：10、∫02πx｜sinx｜dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識點(diǎn)解析：∫02πx｜sinx｜dx=∫0π｜sinx｜dx＋∫π2πx｜sinx｜dx，而∫0πx｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=∫0πsinxdx=π，∫π2πx｜sinx｜dx∫0π(π＋t)｜sinx｜dx=π∫0πsintdt＋∫0πtsintdx=2π＋π=3π，故∫02πx｜sinx｜dx=4π．11、過原點(diǎn)及點(diǎn)(6，一3，2)且與平面4x—y+2z=8垂直的平面方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x+2y一3z=0知識點(diǎn)解析：設(shè)所求平面為π：Ax+By+Cz＋D=0，因?yàn)棣薪?jīng)過原點(diǎn)，所以D=0，即π：Ax＋By一Cz=0，又因?yàn)棣薪?jīng)過點(diǎn)(6，一3，2)且與4x—y+2z=8垂直，所以，所求平面為π：2x+2y一3z=0．12、∫02dy∫y2x2ex2dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫02dy∫y2x2ex2dx=∫02dx∫0xx2ex2dy=∫02x3ex2dx=∫02x2ex2d(x2)=∫04xexdx=．13、x2ydx+xy2dy=________，其中L：｜x｜+｜y｜=1，方向取逆時針方向．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：令L1：y=1－x(起點(diǎn)x=1，終點(diǎn)x=0)，L2：y=1+x(起點(diǎn)x=0，終點(diǎn)x=一1)．L3：y=－1－x(起點(diǎn)x=一1，終點(diǎn)x=0)，L4：y=一1+x(起點(diǎn)x=0，終點(diǎn)x=1)．則x2ydx＋xy2dy=∫L1+∫L2+∫L3+∫L4=∫10[x2(1－x)一x(1－x)2]dx+∫0－1[x2(1+x)+x(1+x)2]dx+∫－10[－x2(1+x)－x(1+x)2]dx+∫01[x2(x－1)+x(x—1)2]dx=0．14、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)連續(xù)，且=e3，且f’(0)存在，求f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=e3得f(0)=0，知識點(diǎn)解析：暫無解析17、證明方程lnx=dx在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個根．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0π=0，得x=e，因?yàn)閒’’(e)=＞0為f(x)的最大值，又因?yàn)?一∞，所以f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個實(shí)根．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，顯然φ(x)在[a，b]上可導(dǎo)，又φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt＋g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知識點(diǎn)解析：由f(x)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x)∫axf(t)dt+f(x)∫bxg(t)dt=0即∫axf(t)dt∫bxg(t)dt=0，則輔助函數(shù)為φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt．20、設(shè)z=f(exsiny，xy)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：=exsiny．f1’+y．f2’，=excosy．f1’+exsiny．(excosy．f11’’+xf12’’)+f2’+y(excosy．f21’’+xf22’’)=excosy．f1’+e2xsinycosy．f11’’+ex(xsiny+ycosy)f12’’+f2’+xyf22’’．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)D是由點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形區(qū)域，計算xdxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：將區(qū)域向x軸投影，令D1=｛(x，y)｜0≤x≤1，≤y≤2x｝，D2=｛(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤3一x｝，知識點(diǎn)解析：暫無解析22、計算曲面積分(x2+y2)dzdx+zdxdy，其中S為錐面z=(0≤z≤1)第一卦限的部分，方向取下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將曲面S向xOz面投影得Dxz={(x，y)｜0≤x≤1，x≤z≤1}．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槭諗浚R點(diǎn)解析：暫無解析24、將f(x)=展開成傅里葉級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)在[－π，π]上滿足狄里克萊充分條件，將f(x)進(jìn)行周期延拓，a0=∫0πf(x)dx=，a0=(n=1，2，…)，bn=0(n=1，2，…)，x=±時，傅里葉級數(shù)收斂于，則f(x)=．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均數(shù)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得，則有∫0xf(t)dt=，兩邊求導(dǎo)得f(x)=，知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在|x－x0|＜δ內(nèi)連續(xù)B、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則存在δ＞0，使得f(x)在|x－x0|＜δ內(nèi)可導(dǎo)C、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且f’(x0)=f’(x)D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且f’(x)不存在，則f(x)在x0處不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)f(x)=顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對任意的x0≠0，因?yàn)閒(x)不存在，所以f(x)在x0處不連續(xù)，(A)不對；同理f(x)在x=0處可導(dǎo)，對任意的x0≠0，因?yàn)閒(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導(dǎo)，(B)不對；因?yàn)?f’(ξ)，其中ξ介于x0與x之間，且f’(x)存在，所以f’(ξ)也存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)且f’(x0)=f’(x)，選(C)；不存在，(D)不對．2、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()·A、∫0xt[f(t)－f(－t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(－t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫02f2(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閠f(t)－f(－t)]為偶函數(shù)，所以∫0xt[f(t)－f(－t)]dt為奇函數(shù)，(A)不對；因?yàn)閒(t2)為偶函數(shù)，所以∫0xf(t2)dt為奇函數(shù)，(C)不對；因?yàn)椴淮_定f2(t)的奇偶性，所以(D)不對；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(－t)]dt，F(xiàn)(－x)=∫0－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫0x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x)，選(B)．3、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、連續(xù)但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)但不連續(xù)C、可微D、一階連續(xù)可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，y)=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)處連續(xù)；所以f’x(0，0)=0，根據(jù)對稱性，f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)；得f(x，y)在(0，0)處可微；不存在，所以f’x(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)，同理f’y(x，y)在點(diǎn)(0，0)處也不連續(xù)，選(C)．4、設(shè)冪級數(shù)an(x－2)n在x=6處條件收斂，則冪級數(shù)(x－2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閍n(x－2)n在x=6處條件收斂，所以級數(shù)anxn的收斂半徑為R=4，又因?yàn)榧墧?shù)anxn有相同的收斂半徑，所以xn的收斂半徑為R=4，于是(x－2)n的收斂半徑為R=2，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且=－1，則曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y－=1／2(x－2)知識點(diǎn)解析：由=－1得f(2)=3／2，且f’(2)=1／2，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－=1／2(x－2)．6、設(shè)f(x)=在x=1處可微，則a=_______，b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，－1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=1處可微，所以f(x)在x=1處連續(xù)，于是f(1－0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1處可微得a=2，所以a=2，b=－1．7、標(biāo)準(zhǔn)答案：17／6知識點(diǎn)解析：所以∫02()dx=∫01xdx+∫12x2dx==17／68、設(shè)直線在平面x+y+z=0上的投影為直線L，則點(diǎn)(1，2，1)到直線L的距離等于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：過直線的平面束為(x+2y－z－2)+k(2x－y+z－3)=0，即(1+2k)x+(2－k)y+(k－1)z－2－3k=0，由{1+2k，2－k，k－1}．{1，1，1}=0，得k=－1，則投影直線為s={1，1，1}×{1，－3，2}={5，－1，－4}，對稱式方程為L：令M0，M1的坐標(biāo)分別為(－1，0，1)，(1，2，1)，9、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識點(diǎn)解析：由t→0時，t－ln(1+t)=t－[t－+o(t2)～1／2t2(t→0)，由積分中值定理得f(x，y)da、dy=f(ξ，η)．πt2，其中(ξ．η)∈D．=2πf(0．0)=8π．10、設(shè)L為從點(diǎn)A(0，－1，1)到點(diǎn)B(1，0，2)的直線段，則∫L(x+y+z)ds=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：故n=3，c=－4／3．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln(1+x)－(ax+bx2)=x－+o(x2)－(ax+bx2)=(1－a)x－(b+)x2+o(x2)，故a=1，b=－2．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)且0≤f’(x)≤(k＞0)，對任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，證明：xn存在且滿足方程f(x)=x．標(biāo)準(zhǔn)答案：xn+1－xn=－f(xn)－f(xn－1)=f’(ξn)(xn－xn－1)，因?yàn)閒’(x)≥0，所以xn+1－xn與xn－xn－1同號，故{xn}單調(diào)．|xn|=|f(xn－1)|=|f(x1)+f’(x)dx|≤|f(x1)|+|f’(x)dx|≤|f(x1)|+∫－∞+∞dx=|f(x1)|+πk，即{xn}有界，于是xn存在，根據(jù)f(x)的可導(dǎo)性得f(x)處處連續(xù)，等式xn+1=f(xn)兩邊令n→∞，得xn)，原命題得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)x=x(t)由sint－∫1x－tdu=0確定，求d2x／dt2|t=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：將t=0代入sint－∫1x－tdu=0得∫1tdu=0，再由＞0得x=1，sint－∫1x－tdu=0兩邊對t求導(dǎo)得cost－－1)=0，從而dx／dt|t=0=e+1，cost－－1)=0兩邊再對t求導(dǎo)得將t=0，x=1，dx／dt|t=0=e+1代入得d2x／dt2|t=0=2e2．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，=2，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：得f(0)=f’(0)=0，則y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的曲率為K==2．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．證明：方程f"(x)－f(x)=0在(0，1)內(nèi)有根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e－x[f(x)+f’(x)]．因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，而φ’(x)=e－x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以方程f"(c)－f(c)=0在(0，1)內(nèi)有根．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f’(0)=0，f"(x)＞0．曲線y=f(x)上任一點(diǎn)(x，f(x))(x≠0)處作切線，此切線在x軸上的截距為u，求xf(u)／uf(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的切線方程為Y－f(x)=f’(x)(X－x)，令Y=0得u=x－，由泰勒公式得f(u)=1／2f"(ξ1)u2，其中ξ1介于0與u之間，f(x)=1／2f"(ξ2)x2，其中ξ2介于0與x之間，知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f’(lnx)=，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則f’(t)=，當(dāng)t≤0時，f(t)=t+C1；當(dāng)t＞0時，f(t)=et+C2．顯然f’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，故知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，證明：|f(x)|≤|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，所以|f(x)|在[a，b]上連續(xù)，令|f(c)|=|f(x)|．根據(jù)積分中值定理，∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由積分基本定理，f(c)=f(ξ)+∫ξcf’(x)dx，取絕對值得|f(c)|≤|f(ξ)|+|∫ξcf’(x)dx|≤|f(ξ)|+∫ab|f’(x)|dx，即知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求曲線y=3－|x2－1|與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù)，只研究曲線的右半部分繞y=3旋轉(zhuǎn)所成的體積．當(dāng)x≥0時，對[x，x+dx][0，1]，dV1=π{32－[3－(x2+2)]2}dx=π(2x2－x4+8)dx，V1=∫01dV1=π∫01(2x2－x4+8)dx=127π／15；對[x，x+dx][1，2]，dV2=π{(32－[3－(4－x2)]2}dx=π(2x2－x4+)dx，V2=∫12dV2=π∫12(2x2－x4+8)dx=97π／15，則V=2(V1+V2)=448π／15．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)點(diǎn)A(1，0，0)，B(0，1，1)，線段AB繞z軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面為S．21、求旋轉(zhuǎn)曲面的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：={－1，1，1}，直線AB的方程為=y／1=z／1。設(shè)對任意的M(x，y，z)∈S，過M垂直于z軸的截口為圓，其與直線AB及z軸的交點(diǎn)為M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|，得x2+y2=x02+y02，因?yàn)镸0在直線AB上，所以有=y0／1=z／1，代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程為S：x2+y2=(1－z)2+z2，即S：x2+y2=2z2－2z+1．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求曲面S界于平面z=0與z=1之間的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的z∈[0，1]，垂直于z軸的截口圓面積為A(z)=π(x2+y2)=π(2z2－2z+1)，于是V=∫01A(z)dx=2π／3．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計算I=xydxdy，其中D由y=－x，y=圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：將D分成兩部分D1，D2，其中D1={(x，y)}0≤x≤1，知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計算曲面積分(x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中∑是曲線(|x|≤1)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面，取外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面∑：z=1－x2－y2(z≥0)，補(bǔ)充曲面∑0：z=0(x2+y2≤1)，取下側(cè)，由高斯公式得=3∫02πdθ∫01r3(1－r3)dr=π／2．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(x)／x=1．證明：(－1)nf(1／n)收斂，而f(1／n)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)=f’(0)=1，所以存在δ＞0，當(dāng)|x|＜δ時，f’(x)＞0，于是存在N＞0，當(dāng)n＞N時，1／n＜δ，由萊布尼茲審斂法知(－1)nf(1／n)收斂，因?yàn)閚→∞時，f(1／n)=f’(ξ)1／n～1／n且1／n發(fā)散，所以f(1／n)發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)an=∫0π／4tannxdx，對任意的參數(shù)λ，討論級數(shù)an／nλ的斂散性，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an+an+2=∫0π／4sec2xtannxdx=，an+an－2=∫0π／4sec2xtann－2xdx=，得(1)當(dāng)λ＞0時，因?yàn)榧墧?shù)an／nλ收斂；(2)當(dāng)λ≤0時，因?yàn)榧墧?shù)an／λ發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，則有解得a=－3，b=2，c=－1，原方程為y"－3y’+2y=－ex．原方程的特征方程為λ2－3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，則y"－3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解為y=C1ex+C2e2x+exx．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=1，且f'(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0．28、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)=∫0xf(t)dt=0，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得(x+1)f"(x)=－(x+2)f’(x)再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=－1，所以C=－1，于是f’(x)=－知識點(diǎn)解析：暫無解析29、證明：當(dāng)x≥0時，e－x≤f(x)≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時，因?yàn)閒’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)－e－x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=e－x≥0，f(x)≥e－x(x≥0)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在x=a的鄰域內(nèi)有定義，且f’+(a)與f’－(a)都存在，則()．A、f(x)在x=a處不連續(xù)B、f(x)在x=a處連續(xù)C、f(x)在x=a處可導(dǎo)D、f(x)在x=a處連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒’+(a)存在，所以f(x)=f(a)，即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，選(B)．2、設(shè)f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()·A、∫axf(t)dtB、∫－xaf(t)dtfdtC、∫－x0f(t)dt－∫x0f(t)dtD、∫－xxtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：設(shè)φ(x)=∫－xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt+2∫0xtf(t)dt≠φ(x)，選(D)．3、設(shè)un=(－1)nln(1+)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：顯然因?yàn)閚→∞時，ln2(1+)～1／n2，而1／n2收斂，所以un2收斂，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時，有1－cosax～a／2x2，則1－～1／4(2x)2=x2，1－cos～1／2，5、設(shè)函數(shù)y=y(x)由確定，則y=y(x)在x=ln2處的法線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=－1／π(x－ln2)知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=ln2時，t=±1；當(dāng)t=±1時，y=0．(1)當(dāng)t=－1時，由dx／dt=得dx／dt|t=－1=－1，則dy／dt|t=－1=－π，dy／dx|x=ln2=π，則法線方程為y=－1／π(x－ln2)；(2)當(dāng)t=1時，由dx／dt=2t／(1+t2)得dx／dt|t=1=1．則dy／dt|t=1=π，dy／dx|x=ln2=π，法線方程為y=－1／π(x－ln2)，即法線方程為y=－1／π(x－ln2)．6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、設(shè)直線l過點(diǎn)M(1，－2，0)且與兩條直線l1：垂直，則l的參數(shù)方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：直線l1的方向向量為s1={2，0，1}×{1，－1，3}={1，－5，－2}，直線l2的方向向量為s2={1，－4，0}，則直線l的方向向量為s=s1×s2={－8，－2，1}，直線l的方程為8、函數(shù)u=x2－2yz在點(diǎn)(1，－2，2)處的方向?qū)?shù)最大值為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點(diǎn)解析：函數(shù)u=x2－2yz在點(diǎn)(1，－2，2)處的方向?qū)?shù)的最大值即為函數(shù)u=x2－2yz在點(diǎn)(1，－2，2)處的梯度的模，而gradu|(1，－2，2)={2x，－2z，－2y}|(1，－2，2)={2，－4，4}，方向?qū)?shù)的最大值為=6．9、設(shè)f(u)連續(xù)，則d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－xf(x2－1)知識點(diǎn)解析：∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)f(t)dt，則d／dx∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2d／dx∫0xduf(t)dt，d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dr=－xf(x2－1)．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f"(0)=6，且標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)／x=0得f(0)=0，f’(0)=0，知識點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：由夾逼定理得知識點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)|x|＜1時，y’=－π／2sinπ／2x；當(dāng)x＞1時，y’=1；當(dāng)x＜－1時，y’=－1；得y在x=－1處不連續(xù)，故y’(－1)不存在；因?yàn)閥’－(1)≠y’+(1)，所以y在x=1處不可導(dǎo)，知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足|f(x)－2ex|≤|(x－1)2，研究函數(shù)f(x)在x=1處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．當(dāng)x≠1時，不等式兩邊同除以|x－1|，得知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求由方程x2+y3－xy=0確定的函數(shù)在x＞0內(nèi)的極值，并指出是極大值還是極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法，得y’=令y’==0，得y=2x，再將y=2x代入原方程得x=1／8，函數(shù)值為y=1／4．將x=1／8，y=1／4，y’=0代入y"得y"|x=1／8=－32＜0，所以x=1／8為函數(shù)的極大值點(diǎn)，且極大值為y=1／4．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[－1，1]上可導(dǎo)，f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f’(0)=0，f"(0)=4．求標(biāo)準(zhǔn)答案：對x＞0，有l(wèi)n(1+x)＜ξ＜x所以原式=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊積分得F2(x)=∫dx，解得F2(x)=+C，由F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，得知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0．證明：|f(x)|≤1／2∫ab|f’(x)|dx(a＜x＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍襢(a)=f(b)=0，所以兩式相加得|f(x)|≤1／2∫ab|f’(x)|dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．證明積分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(t)=lnt(t＞0)，g"(t)=－1／t2＜0，再令x0=∫01f(x)dx，則有g(shù)(t)≤g(x0)+g’(x0)(t－x0)g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)－x0]，兩邊積分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01ff(x)dx．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1．19、確定a，使S1+S2達(dá)到最小，并求出最小值；標(biāo)準(zhǔn)答案：直線y=ax與拋物線y=x2的交點(diǎn)為(0，0)，(a，a2)．當(dāng)0＜a＜1時，S=S1+S2=∫0a(ax－x2)dx+∫a1(x2－ax)dx當(dāng)a≤0時，S=∫a0(ax－x2)dx+∫01(x2－ax)dx因?yàn)镾’=－1／2(a2+1)＜0，所以S(a)單調(diào)減少，故a=0時S1+S2取最小值，而S(0)=1／3，因?yàn)镾1+S2最?。R點(diǎn)解析：暫無解析20、求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：旋轉(zhuǎn)體的體積為知識點(diǎn)解析：暫無解析21、計算，2(x2+y2)}dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：用二重積分證明∫0+∞標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S={(x，y)|0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)|x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)S：x2+y2+z2=a2，計算(x2+4y2+9z2)dS．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且|f’(x)|≤q＜1，令un=f(un－1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)(un+1－un)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由|un+1－un|=|f(un)－f(un－1)|=|f’(ξ1)||un－un－1|≤q|un－un－1|≤q2|un－1－un－2|≤…≤qn|u1－u0|且|un+1－un|收斂，于是(un+1－un)絕對收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)級數(shù)(an－an－1)收斂，且bn絕對收斂．證明：anbn絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn=(a1－a0)+(a2－a1)+…+(an－an－1)，則Sn=an－a0．因?yàn)榧墧?shù)(an－an－1)收斂，所以an存在，于是存在M＞0，對一切的自然數(shù)n有|an|≤M．因?yàn)閨bn|收斂，又0≤|anbn|≤M|bn|，再由M|bn|收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法得|anbn|收斂，即級數(shù)anbn絕對收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)．26、求初值問題的解，其中a＞0；標(biāo)準(zhǔn)答案：y’+ay=f(x)的通解為y=[∫0xf(t)eatdt+C]e－ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e－ax∫0xf(t)eatdt．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、若|f(x)|≤k，證明：當(dāng)x≥0時，有|y(x)|≤k／a(eax－1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時，|y|=e－ax|∫0xf(t)eatdt|≤e－ax∫0x|f(t)|eatdt≤ke－ax∫0xeatdt=k／ae－ax(eax－1)，因?yàn)閑－ax≤1，所以|y|≤k／a(e－ax－1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f’(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(t－x)dt=－∫0xf(t－x)d(x－t)－∫x0f(－u)du=∫0xf(u)du，則有f’(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)是奇函數(shù)，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．將f’(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得f"(x)+2f’(x)－3f(x)=－3，其通解為f(x)=C1ex+C2e－3x+1，將初始條件代入得f(x)=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、飛機(jī)在機(jī)場開始滑行著陸，在著陸時刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m／s)，飛機(jī)與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機(jī)運(yùn)動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg．s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg．s2／m2)．設(shè)飛機(jī)的質(zhì)量為m(kg)，求飛機(jī)從著陸到停止所需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxv2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2，摩擦力為W=μ(mg－Ry)，由牛頓第二定律，有記A=(kx－μky)／m，B=μg，顯然A＞0，故有知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)可導(dǎo)，恒正，且0＜a＜x＜b時恒有f(x)＜xf’(x)，則A、bf(a)＞af(b)．B、abf(x)＞x2f(b)．C、af(a)＜xf(x)．D、abf(x)＜x2f(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：(A)，(B)，(D)分別改寫為因此要考f(x)／x的單調(diào)性．因?yàn)?A)，(B)，(D)均不對．選(C)．或由正值函數(shù)f(x)／x在[a，b]單調(diào)上升xf(x)=f(x)／x．x2在[a，b]單調(diào)上升(C)對．選(C)．2、方程y"－2y’+3y=exsin(x)的特解的形式為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：關(guān)鍵是求特征根：由λ22λ+3=0非齊次項f(x)=eαxsinβx，α±iβ=1±i是特征根．選(B)．3、設(shè)u(x，y)在M0取極大值，且ヨ．則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把二元函數(shù)的極值轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值．由一元函數(shù)的極大值的必要條件可得相應(yīng)結(jié)論．令f(x)=u(x，y0)x=x0是f(x)的極大值點(diǎn)(若＞0，則x=髫x0是f(x)的極小值點(diǎn)，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x0，y)y=y0是g(y)的極大值點(diǎn)g"(y0)=d2／dy2u(x0，y)≤0．因此，選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則常數(shù)a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：f(x)在x=0連續(xù)f(x)=f(0)．由于因此a=－2．5、設(shè)k為常數(shù)，則)k－1]=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k知識點(diǎn)解析：=(xk)|x=1=k．6、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x－1知識點(diǎn)解析：與直線x+y=1垂直的直線族為y=x+c，其中c是任意常數(shù)，又因y=lnx上點(diǎn)(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)處的切線方程是y=lnx0+x+lnx0－1，從而，切線與x+y=1垂直的充分必要條件是1／x0=1x0=1，即該切線為y=x－1．7、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、已知f(x)=dt，則∫01xf(x)dx=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：1／4(e－1－1)知識點(diǎn)解析：用分部積分法．由于f’(x)=(x2)’=2x，故∫01xf(x)dx=1／2∫01f(x)dx2=1／2x2f(x)|01－∫01x2f’(x)dx=1／4(e－1－1)[注]*處由于f(x)=dt，故f(1)=0，所以1／2x2f(x)|01=0．9、設(shè)級數(shù)un的部分和Sn=(un+un+1+un+2)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1／6知識點(diǎn)解析：因?yàn)镾==1／2，所以級數(shù)un收斂，那么由級數(shù)的基本性質(zhì)有(un+un+1+un+2)=S+(S－u1)+(S－u1－u2)=3S－2u1－u2．由于u1=S1=1，u2=S2－u1=－1=－1／3，則(un+un+1+un+2)=3×－2×1－(－1／3)=－1／6．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)10、設(shè)a＞0，f(x)在(－∞，+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求極限1／4a2∫－aa[f(t+a)－f(t－a))]dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：記I(a)=1／14a2∫－aa[f(t+a)－f(t－a)]dt，由積分中值定理可得I(a)=1／4a2[f(ξ+a)－f(ξ－a)]．2a=1／2a[f(ξ+a)－f(ξ－a)]，－a＜ξ＜a．因?yàn)閒(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理可得I(a)=1／2af’(η)．2a=f’(η)，ξ－a＜η＜ξ+a．于是知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，令11、試求A的值，使F(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由變上限積分性質(zhì)知F(x)在x≠0時連續(xù)．為使其在x=0處連續(xù)，只要F(x)=A．而故令A(yù)=0即可．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求F’(x)并討論其連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時F’(x)=－∫0xtf(t)dt+xf(x)=1／xf(x)－∫0xtf(t)dt．在x=0處，由導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則可得故F’(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)g(x)在[a，b]連續(xù)，f(x)在[a，b]二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且對x(a≤x≤b)滿f"(x)+g(x)f’(x)－f(x)=0．求證：f(x)≡0(x∈[a，b])．標(biāo)準(zhǔn)答案：若f(x)在[a，b]上不恒為零，則f(x)在[a，b]取正的最大值或負(fù)的最小值．不妨設(shè)f(x0)=f(x)＞0，則x0∈(a，b)f’(x0)=0，f"(x0)≤0f"(x0)+g(x0)f’(x0)－f(x0)＜0與已知條件矛盾．同理，若f(x1)=f(x)＜0，同樣得矛盾．因此f(x)≡0(x∈[a，b])．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時按求導(dǎo)法則得當(dāng)x=0時按導(dǎo)數(shù)定義得知識點(diǎn)解析：暫無解析15、證明：x=0是f(x)的極大值點(diǎn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)－f(0)=－x2(2+sin)＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由極值的定義可知x=0是f(x)的極大值點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、令xn=1／nπ，考察f’(xn)是正的還是負(fù)的，n為非零整數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令xn=1／nπ(n=±1，±2，±3，…)，則sin=(－1)n，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析17、證明：對δ＞0，f(x)在(－δ，0]上不單調(diào)上升，在[0，δ]上不單調(diào)下降．標(biāo)準(zhǔn)答案：對δ＞0，當(dāng)n為負(fù)奇數(shù)且|n|充分大時xn∈(－δ，0)，f’(x0)＜0f(x)在(－δ，0)不單調(diào)上升；當(dāng)n為正偶數(shù)且n充分大時xn∈(0，δ)，f’(xn)＞0f(x)在(0，δ)不單調(diào)下降．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)有一彈性輕繩(即繩本身的重量忽略不計)，上端固定，下端懸掛一質(zhì)量為3克的物體，已知此繩受1克重量的外力作用時伸長1／24厘米，如果物體在繩子拉直但并未伸長時放下，問此物體向下運(yùn)動到什么地方又開始上升?標(biāo)準(zhǔn)答案：取物體剛放下時所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，位移s，向下為正．s=?時，移(速度)=0．(Ⅰ)受力分析．彈性恢復(fù)力f=ks，由條件知g=k．1／24k=24gf=24gs，g為重力加速度．重力mg=3g．(Ⅱ)加速度表示．由題目的需要，加速度(Ⅲ)列方程與初始條件．由牛頓第二定律得初始條件：t=0時s(0)=0，ds／dt|t=0=0v(s)|s=0=0．(Ⅳ)求解初值問題分離變量得vdv=(g－8gs)ds1／2v2=gs－4gs2+C．由v(0)=01／2v2=1／2v2=gs－4gs2．(Ⅴ)當(dāng)物體開始向下運(yùn)動到它再開始向上運(yùn)動時，此時v=0．解gs－4gs2=0得s=0，s=1／4．因此，s=1／4為所求．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、若α，β，γ是單位向量且滿足α+β+γ=0，求以α，β為邊的平行四邊形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：記＜α，β＞=0，則面積S=|α×β|=|α||β|sinθ下求α．β：由α+β+γ=0知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)x=1／xf(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：先求由于f(xy)是一元函數(shù)f(u)與二元函數(shù)u=xy的復(fù)合，u是中間變量，φ(x+y)是一元函數(shù)φ(v)與二元函數(shù)v=x+y的復(fù)合，v是中間變量．由題設(shè)知方便，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得=f’(xy)+φ(x+y)+yφ’(x+y)，=yf"(xy)+φ’(x+y)+yφ"(x+y)．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求函數(shù)u=xy+yz+zx在M0(2，1，3)處沿與各坐標(biāo)軸成等角方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求出所設(shè)方向的方向余弦．設(shè)所求方向與各坐標(biāo)軸的夾角為口，由方向余弦的性質(zhì)得cos2α+cos2α+cos2α=1知識點(diǎn)解析：暫無解析改變二重積分的累次積分的順序22、f(x，y)dy(t＞0)；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．13所示．當(dāng)x∈[0，t2]時，≤t(t＞0)，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析23、極坐標(biāo)系下的累次積分∫0π／2dθf(rcosθ，rsinθ)rdr．標(biāo)準(zhǔn)答案：在直角坐標(biāo)系Oθr中畫出D’的草圖(如圖9．14)．當(dāng)0≤θ≤π／4時θ=1／2arcsinr2；當(dāng)π／4≤θ≤π／2時0≤π－2θ≤π／2，r2=sin2θ=sin(π－2θ)．于是π－2θ=arcsinr2，θ=arcsinr2．因此原積分=∫01drf(rcosθ，rsinθ)rdθ．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、考慮柱坐標(biāo)系下的三重累次積分I=∫02πdθ3rdz．(Ⅰ)將I用直角坐標(biāo)(Oxyz)化為累次積分；(Ⅱ)將I用球坐標(biāo)化為累次積分；(Ⅲ)求I的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)積分區(qū)域Ω：，(x，y)∈Dxy，其中Dxy={(x，y)|x2+y2≤2}．于是(Ⅱ)Ω是由錐面z=(球坐標(biāo)方程為φ=π／4)與上半球面z=(球坐標(biāo)方程是ρ=2)圍成．Ω的球坐標(biāo)表示是：0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4／－，0≤ρ≤2，于是I=∫02πdθ∫0π／4dφ∫023ρ2sinφdρ．(Ⅲ)用球坐標(biāo)最為方便．I=2π∫0π／4sinφdφ∫023ρ2dρ=2π(－cosφ)|0π／4．ρ3|02=8(2－)π．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求一段均勻圓柱面S：x2+y2=R2(0≤z≤h)對原點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)的引力．假設(shè)該圓柱面的面密度為1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)引力F={Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z}，由對稱性知，F(xiàn)x=0，F(xiàn)y=0．因此只需求F沿z軸的分量Fz．如圖9．34．(Ⅱ)在圓柱面上任一點(diǎn)(x，y，z)處取一小塊曲面元dS，記r={x，y，z}，r=|r|=．則曲面元對原點(diǎn)處單位質(zhì)點(diǎn)的引力，它沿z軸的分量為dFz=kz／r3dS．(Ⅲ)圓柱面對原點(diǎn)單位質(zhì)點(diǎn)的引力的z分量(Ⅳ)計算曲面積分．要投影到y(tǒng)z平面(或zx平面)來計算．圓柱面S在yz平面的投影區(qū)域?yàn)镈yz={(y，z)|0≤z≤h，－R≤y≤R}，曲面S的方程為x=±，曲面微元dS=dydz，出，記S1為前半圓柱面，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)有兩條拋物線y=nx2+和y=(n+1)x2+，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為an．(I)求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；(Ⅱ)求級數(shù)Sn／an的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由y=nx2+又因?yàn)閮蓷l拋物線所圍圖形關(guān)于y軸對稱，所以(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)果知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)=27、求f(x)以2π為周期的傅氏級數(shù)，并指出其和函數(shù)S(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：其中b’2n=0，b’2n－1該傅氏級數(shù)的和函數(shù)其中S(0)=1／2[f(0+0)+f(0－0)J，S(±π)=1／2[f(－π+0)+f(π－0)]．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：由S(0)=0=－π2／12．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(x)=sinax，－π≤x≤π，a＞0，將其展開為以2π為周期的傅里葉級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)為奇函數(shù)，所以其展開式應(yīng)為正弦級數(shù)．如果a不是自然數(shù)，則bn=π／2∫0πsinaxsinnxdx=1／π∫0πcos(n－a)x－cos(n+a)x]dx－π＜x＜π，在x=±π時，右端為0，即其傅里葉級數(shù)收斂于1／2[sinaπ+sin(－aπ)]=0．當(dāng)a為自然數(shù)時，根據(jù)三角函數(shù)系的正交性有f(x)=sinax=sinnx，n=a，－π≤x≤π．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、下列關(guān)于反常積分∫－∞＋∞f(χ)dχ命題中真命題的個數(shù)是①設(shè)f(χ)是(－∞，＋∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，則f－∞＋∞(χ)dχ必收斂，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0；②設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，且∫-RRf(χ)dχ存在，則∫－∞＋∞f(χ)dχ必收斂，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫-RRf(χ)dχ；③若∫－∞＋∞f(χ)dχ與∫－∞＋∞g(χ)dχ都發(fā)散，則∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ未必發(fā)散；④若∫－∞0f(χ)dχ與∫0＋∞f(χ)dχ都發(fā)散，則∫－∞＋∞f(χ)dχ未必發(fā)散．A、1個．B、2個．C、3個．D、4個．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：反常積分∫－∞＋∞f(χ)dχ收斂的充分必要條件是存在常數(shù)a，使兩個反常積分∫－∞af(χ)dχ和∫a＋∞f(χ)dχ都收斂．這時定義∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫－∞af(χ)dχ＋∫a＋∞f(χ)dχ這是判斷題目中四個命題是否是真命題的依據(jù)．設(shè)f(χ)＝χ，則f(χ)是(－∞，＋∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，且∫-RRf(χ)dχ＝0．但是∫－∞0f(χ)dχ＝∫－∞0χdχ＝∞，∫0＋∞f(χ)dχ＝∫0＋∞χdχ＝∞，故∫－∞＋∞f(χ)dχ發(fā)散，這表明命題①，②，④都不是真命題．設(shè)f(χ)＝χ，g(χ)＝－χ，由上面討論可知∫－∞＋∞f(χ)dχ與∫－∞＋∞g(χ)dχ都發(fā)散，但∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ收斂，這表明命題③是真命題．故應(yīng)選A．2、微分方程y〞－4y′＝2cos22χ的特解可設(shè)為A、Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．B、A＋B1cos4χ＋B2sin4χ．C、B1cos22χ＋B2sin22χ．D、B1cos4χ＋B2sin4χ．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：原方程右端的非齊次項f(χ)＝1＋cos4χ，原方程相應(yīng)齊次方程的特征方程是λ2－4λ＝0，特征根λ1＝0，λ2＝4．利用解的疊加原理：相應(yīng)于非齊次項f1(χ)＝1，有形式為y1*(χ)＝Aχ(λ1＝0為單特征根)的特解，A為待定常數(shù)；相應(yīng)于非齊次項f2(χ)＝cos4χ，有形式為y2*(χ)＝B1cos4χ＋B2sin4χ的特解，B1，B2為待定常數(shù)．因此，原方程的特解可設(shè)為Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．應(yīng)選A．3、下列函數(shù)z=＝f(χ，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微的是A、f(χ，y)＝｜χy｜．B、f(χ，y)＝．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：這四個函數(shù)的共同點(diǎn)是：f(0，0)＝0，因?yàn)?，對選項A，B，C都有對于選項D：在①式條件下，f(χ，y)在點(diǎn)(0，0)處可微f(△χ，△y)＝o(ρ)(ρ→0)無窮小量(ρ→0)，其中ρ＝．考察選項，由(χ．y)在點(diǎn)(0．0)處不可微．故應(yīng)選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、設(shè)f(χ)＝則∫01f(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin1知識點(diǎn)解析：由題設(shè)可知f(χ)在點(diǎn)χ＝0處不連續(xù)，但顯然函數(shù)F(χ)＝是f(χ)的一個原函數(shù)．因?yàn)閒(χ)在[0，1]上是只有一個間斷點(diǎn)χ＝0的有界函數(shù)，所以在[0，1]上可積，從而∫01f(χ)dχ＝F(χ)｜01sin1．5、若在f(χ)＝的原函數(shù)F(χ)的表達(dá)式中不包含對數(shù)函數(shù)，則常數(shù)a和b必須滿足條件_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a任意且b＝1．知識點(diǎn)解析：按真分式的分解公式，有其中A，B，C，D為待定常數(shù)．從而F(χ)＝Aln｜1＋χ｜－ln(1+＋χ2)＋Darctanχ＋α，上式中α為任意常數(shù)．由此可見，要使F(χ)的表達(dá)式不包含對數(shù)函數(shù)，其充分必要條件為即χ2＋aχ＋b＝B(1＋χ2)＋D(1＋χ)2＝(B＋D)χ2＋2Dχ＋BχD1＝B＋D，a＝2D，b＝B＋D2D，b＝1，即a任意且b＝1．6、∫(－χπ(χ＋cosχ)3dχ_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－12π知識點(diǎn)解析：利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)定積分的簡化計算公式知∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝∫－ππ(χ3＋3χ2cosχ＋3χcos2χ＋cos3χ)dχ＝6∫0πχ2cosχdχ＋2∫0πcosχ2dχ，分別利用分部積分法和換元積分法，可得∫0πχ2cosχdχ＝∫0πχ2d(sinχ)＝χ2sinχ｜0π－∫0πsinχd(χ2)＝－2∫0πχsinχdχ＝2∫0πχd(sosχ)＝2(χcosχ｜0π－∫0πcosχdχ)＝－2(π＋sinχ｜0π)＝－2π，綜合即得∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝－12π．7、｜tanχ｜arctaneχdχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識點(diǎn)解析：利用被積函數(shù)的結(jié)合：設(shè)f(χ)在[－a，a]可積，則I＝f-aaf(χ)dχ∫-aaf(－t)dt＝∫-aaf(－χ)dχ兩者結(jié)合起來得2I＝∫-aa[f(χ)＋f(－χ)]χ若f(χ)＋f(－χ)簡單，可求得積分值I．本題中f(χ)＝｜tanχ｜arctaneχ．于是有｜tanχ｜arctaneχdχ＝[｜tanχ｜arctaneχ＋｜tan(－χ)｜arctane－χ]dχ＝｜tanχ｜(arctaneχ＋actane－χ)dχ8、設(shè)n是正整數(shù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：利用余角關(guān)系sin(－χ)＝cosχ，cos(－χ)＝sinχ可得三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)9、(Ⅰ)設(shè)Ф(χ)在[a，b]二階可導(dǎo)，Ф〞(χ)≤0，在[a，b]的子區(qū)間上Ф〞(χ)≠0，又Ф(a)＝Ф(b)＝0，求證Ф(χ)＞0(χ∈(a，b))．(Ⅱ)設(shè)f(χ)在[0，1]上可導(dǎo)，且f(χ)≥0，f′(χ)＜0．求證：函數(shù)F(χ)＝∫0χf(t)dt滿足χF(1)＜F(χ)＜2∫01F(t)dt，χ∈(0，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由羅爾定理知，c∈(a，b)，Ф′(c)＝0．由Ф′(χ)在[a，b]↘，(χ)在[a，c]↗，在[c，b]↘，Ф(χ)＞Ф(a)＝0(a＜χ≤c)，Ф(χ)＞Ф(b)＝0(c≤χ＜b)因此，Ф(χ)＞0(a＜χ＜b)．(Ⅱ)令Ф(χ)＝F(χ)－χF(1)，則Ф(χ)在[0，1]二階可導(dǎo)，在[0，1]區(qū)間Ф′(χ)＝f(χ)－F(1)，Ф〞(χ)＝f′(χ)＜0且Ф(0)＝F(0)＝0，Ф(1)＝F(1)－F(1)＝0．由題(Ⅰ)得Ф(χ)＞0(χ∈(0，1))即F(χ)＞χF(1)(χ∈(0，1))將上式兩邊在[0，1]積分得∫01F(χ)dχ＞∫01χdχ.F(1)＝F(1)．由F(χ)在[0，1]單調(diào)上升，F(xiàn)(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))2∫01F(χ)dχ＞F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，且χ，t∈(－∞，＋∞)滿足∫01f(χt)dt＝f(χ)＋χcosχ．試求f(χ)在(－∞，＋∞)上的導(dǎo)函數(shù)f′(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ≠0時，令χt＝u，可得，∫01f(χt)dt＝f(u)du．于是，當(dāng)χ≠0時f(u)du＝f(χ)＋χcosχ，即∫0χf(u)du＝χf(χ)＋χ2cosχ≠0．由f(χ)的連續(xù)性知∫0χf(u)du可導(dǎo)，從而f(χ)可導(dǎo)，于是f(χ)當(dāng)χ≠0時可導(dǎo)，且f(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)＋2χcosχ－χ2sinχ，χ≠0．由此可得f′(χ)＝－2cosχ＋χsinχ，χ≠0．由于f(χ)在χ＝0連續(xù)，又(－2cosχ＋χsinχ)＝－2f’′(0)＝－2．故f′(χ)＝χsinχ－2cosχ，χ∈(－∞，＋∞)．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、求∫f(χ)dχ，其中f(χ)＝標(biāo)準(zhǔn)答案：首先由于f(χ)連續(xù)，可利用變上限定積分∫0χf(t)dt求出f(χ)一個原函數(shù)，即當(dāng)χ≤0時，∫0χf(t)dt＝－∫0χsintdt＝－cost｜0χ＝1－cosχ；當(dāng)χ＞0時，∫0χf(t)dt＝∫0χfln(1＋t)dt＝∫0χln(1＋t)d(1＋t)＝(1＋t)ln(1＋t)｜0χ－∫0χdt＝(1＋χ)ln(1＋χ)－χ．其次，利用原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，可得∫f(χ)dχ＝∫0χf(t)dt＋C＝知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求下列積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅱ)令χ＝sint，｜t｜≤，則＝cost，dχ＝costdt，代入即得令cost＝A(sint＋cost)＋B(sint＋cost)′＝A(sint＋cost)＋B(cost－sint)＝(A－B)sint＋(A＋B)cost，于是A－B＝0，A＋B＝1A＝B，從而(Ⅲ)令χ＝，則＝tant，χ：1→2t：0→，且dχ＝，代入即得知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求I＝∫eaχcosbχdχ，J＝∫eaχsinbχdχ，其中常數(shù)a和b滿足ab≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：用分部積分法可得I＝eaχcosbχdχ＝∫eaχd(sinbχ)＝[eaχsinbχ－∫sinbχd(eaχ)]＝(eaχsinbχ－a∫eaχsinbχdχ)＝eaχsinbχ－J類似用分部積分法又可得J＝代入上式，即I＝(acosbχ＋bsinbχ)－，解出得I＝(acosbχ＋bsinbχ)＋C，J＝(asinbχ－bcosbχ)＋C．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、計算定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定積分的有限可加性．將積分區(qū)間拆開，并用推廣的牛頓一萊布尼茨公式，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析15、計算下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：兩式相加得因此I＝作