考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷21（共244題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷21（共9套）（共244題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、極限A、等于B、等于C、等于e—6D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：注意到，本題為1∞型．設(shè)f(x)＝，則原極限而故原極限＝，應(yīng)選(A)．2、設(shè)f(x)在x＝a處連續(xù)，φ(x)在x＝a處間斷，又f(a)≠0，則A、φ[f(x)]在x＝a處間斷．B、f[φ(x)]在x＝a處間斷．C、[φ(x)]2在x＝a處間斷．D、在x＝a處間斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：【分析一】連續(xù)與不連續(xù)的復(fù)合可能連續(xù)，也可能間斷，故(A)，(B)不對(duì)．不連續(xù)函數(shù)的相乘可能連續(xù)，故(C)也不對(duì)，因此，選(D)．【分析二】f(x)在x＝a連續(xù)，φ(x)在x＝a處間斷，又f(a)≠在x＝a處間斷．(若不然φ(x)＝在x＝a處連續(xù)，與已知矛盾)．選(D)．3、“f(x)在點(diǎn)a連續(xù)”是｜f(x)｜在點(diǎn)a處連續(xù)的()條件．A、必要非充分B、充分非必要C、充要D、既非充分又非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x＝a連續(xù)｜f(x)｜在x＝a連續(xù)(｜｜f(x)｜—｜f(a)｜｜1≤｜f(x)一f(a)｜)．｜f(x)｜在x＝a連續(xù)f(x)在x＝a連續(xù)．如｜f(x)｜＝1，｜f(x)｜在x＝a連續(xù)，但f(x)在x＝a間斷．因此，選(B)．4、設(shè)數(shù)列xn，yn滿足＝0，則下列正確的是A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若xn無(wú)界，則yn必有界．C、若xn有界，則yn必為無(wú)窮小．D、若為無(wú)窮小，則yn必為無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：【分析一】直接考察．若為無(wú)窮小，則因此(D)成立．【分析二】舉例說(shuō)明(A)，(B)，(C)不正確．xn：0，1，0，2，0，3，……發(fā)散，yn：0，0，0，0，0，0，……收斂，＝0．(A)不正確．xn：0，1，0，2，0，3，……無(wú)界，yn：1，0，2，0，3，0，……無(wú)界，＝0．(B)不正確．xn：0，1，0，1，0，1，……有界，yn：1，0，1，0，1，0，……不是無(wú)窮小，＝0．(C)不正確．因此，選(D)．5、f(x)＝xsinxA、在(－∞，＋∞)內(nèi)有界．B、當(dāng)x→∞時(shí)為無(wú)窮大．C、在(－∞，＋∞)內(nèi)無(wú)界．D、當(dāng)x→∞時(shí)有極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取xn＝2nπ＋∈(一∞，＋∞)(n＝1，2，3，…)，則f(xn)＝(2nπ＋)sin(2nπ＋)＝2nπ＋→＋∞(n→∞)．因此f(x)在(一∞，＋∞)無(wú)界．選(C)．6、設(shè)f(x)，g(x)在x＝x0均不連續(xù)，則在x＝x0處A、f(x)＋g(x)，f(x)·g(x)均不連續(xù)．B、f(x)＋g(x)不連續(xù)，f(x)g(x)的連續(xù)性不確定．C、f(x)＋g(x)的連續(xù)性不確定，f(x)g(x)不連續(xù)．D、f(x)＋g(x)，f(x)g(x)的連續(xù)性均不確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如：在x＝0均不連續(xù)，但f(x)＋g(x)＝1，f(x)·g(x)＝0在x＝0均連續(xù)．又如：在x＝0均不連續(xù)，而f(x)＋g(x)＝f(x)·g(x)＝在x＝0均不連續(xù)．因此選(D)．7、當(dāng)n→∞時(shí)－e是的A、高階無(wú)窮小．B、低階無(wú)窮?。瓹、等價(jià)無(wú)窮?。瓺、同階但非等價(jià)無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：該題就是要計(jì)算極限（等價(jià)無(wú)窮小因子替換：t→0時(shí)ln（1＋t）~t）（轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的型函數(shù)極限，然后用洛必達(dá)法則）因此選(D)．8、設(shè)f(x)＝則下列結(jié)論(1)x＝1為可去間斷點(diǎn)．(2)x＝0為跳躍間斷點(diǎn)．(3)x＝－1為無(wú)窮間斷點(diǎn)．中正確的個(gè)數(shù)是A、0．B、1．C、2.D、3.標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：x＝0，±1是f(x)的間斷點(diǎn)，按題意，要逐一判斷這間斷點(diǎn)的類型，計(jì)算可得由于f(0＋0)與f(0—0)存在但不相等，故x＝0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．x＝1是f(x)的可去間斷點(diǎn)，又x＝一1是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，因此選(D)．9、把當(dāng)x→0＋時(shí)的無(wú)窮小量α＝tanx一x，β＝一1排列起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：【分析一】因即當(dāng)x→0＋時(shí)α是比β高階的無(wú)窮小量，α與β應(yīng)排列為β，α．故可排除(A)與(D)．又因即當(dāng)x→0＋時(shí)γ是較α高階的無(wú)窮小量，α與γ應(yīng)排列為α，γ．可排除(B)，即應(yīng)選(C)．【分析二】確定無(wú)窮小α，β，γ的階數(shù)．由可知α為x的3階無(wú)窮小．由可知β是x的2階無(wú)窮?。煽芍檬莤的4階無(wú)窮小．因此排列為β，α，γ，選(C)．10、在中，無(wú)窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題四個(gè)極限都可以化成的形式，其中n＝2，3，故只需討論極限要選擇該極限為＋∞的，僅當(dāng)n＝3并取“＋”號(hào)時(shí)，即選(D)．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)11、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：原式＝＝3＋0＝3．12、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)及(ex一1)＝0現(xiàn)利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換tanx(x→0)，e2x—1~2x(x→0)13、設(shè)K，L，δ為正的常數(shù)，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：KδL1-δ知識(shí)點(diǎn)解析：屬1∞型極限．原式，而因此，原式．14、設(shè)f(x)＝在點(diǎn)x＝0處連續(xù)，則常數(shù)a＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x＝0連續(xù)．由于因此a＝一2．15、1＋x2－ex2當(dāng)x→0時(shí)是x的______階無(wú)窮小(填數(shù)字)．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由于因此當(dāng)x→0時(shí)1＋x2一是x的4階無(wú)窮小．16、已知＝9，則a＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：17、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“∞0”型未定式．?dāng)?shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則．如用，得先轉(zhuǎn)化成連續(xù)變量的極限，利用求得，但比較麻煩．事實(shí)上，恒等變形后可轉(zhuǎn)化為直接用冪指數(shù)運(yùn)算法則的情形．即18、若＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：19、arctan(x一lnx·sinx)＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：x—lnx·sinx＝x，由于x→＋∞時(shí)，→0，sinx有界，故，x—lnx·sinx→＋∞，于是arctan(x—lnx·sinx)＝20、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“00”型未定式，利用基本極限及重要極限即得．21、＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：【分析一】當(dāng)x＞0時(shí)，，于是有，故由夾逼定理可知．【分析二】因此22、設(shè)＝4，則a＝______，b＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，1知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則可得23、函數(shù)f(x)＝的連續(xù)區(qū)間是＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(—∞，1)∪(1，＋∞)知識(shí)點(diǎn)解析：初等函數(shù)(單一表達(dá)式)沒有定義的點(diǎn)(附近有定義)是間斷點(diǎn)；對(duì)分段函數(shù)的分界點(diǎn)，要用連續(xù)的定義予以討論．對(duì)非分界點(diǎn)，就不同段而言，在各自的區(qū)間內(nèi)可以按初等函數(shù)看待．注意到x＝0為分界點(diǎn)．因?yàn)橛謋(0)＝3，因此＝f(0)，即f(x)在x＝0處連續(xù)．此外，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝1處無(wú)定義，因此x＝1為f(x)的間斷點(diǎn)．于是所給函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(—∞，1)∪(1，＋∞)．三、解答題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)24、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)xn＋1＝ln(1＋xn)，x1＞0，(I)求；(II)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)注意：x＞ln(1＋x)(x＞0)，于是xn＋1—xn＝ln(1＋xn)—xn＜0(n＝1，2，3，…)極限知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)xn=(n=1，2，…)時(shí)，極限不存在但不是∞，選(C)．2、設(shè)區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若I1=[ln(x+y)]3dxdy，I2=(x＋y)3dxdy，I3=sin3(x+y)dxdy，則()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由≤x+y≤1得[ln(x+y)]3≤0，于是I1=[ln(x+y)]3dxdy≤0；當(dāng)≤x+y≤1時(shí)，由(x+y)3≥sin3(x＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，應(yīng)選(B)．3、級(jí)數(shù)π()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：又單調(diào)減少且以零為極限，由萊布尼茨審斂法，級(jí)數(shù)收斂，而n→∞時(shí)，條件收斂，正確答案為(B)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識(shí)點(diǎn)解析：5、∫01sin2xtdt=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、=__________(其中口為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)a，b為單位向量，且兩向量的夾角為=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)z=z(x，y)由z+ez=xy2確定，則dz=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：z+ez=xy2兩邊求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得dz=．9、設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力F=｛2x—y，x+2y｝的作用下從點(diǎn)O(0，0)沿曲線L：y=到點(diǎn)A(2，0)所做的功為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4－π知識(shí)點(diǎn)解析：所做的功為W=∫L(2x—y)dx+(x+2y)dy=(2x—y)dx+(x+2y)dy而(2x—y)dx+(x+2y)dy=一dxdy=一π，(2x—y)dx+(x+2y)dy=∫022xdx=4，故W=4－π．10、yy’’=1+y’2滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=0的解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜y＋｜=±x知識(shí)點(diǎn)解析：令y’=p，則，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，則1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=±，ln｜y+｜+C2=±x，由y(0)=1得C2=0，所以特解為ln｜y＋｜=±x．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)f(x)=是連續(xù)函數(shù)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=因?yàn)閒(x)是連續(xù)函數(shù)，所以f(一1—0)=一1=f(一1)=((a—b一1)=f(一1＋0)=a—b，f(1一0)=a+b=f(1)=(a+b+1)=f(1+0)=1，解得a=0，b=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，且對(duì)任意的x，y∈(一∞，+∞)有f(x＋y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=y=0時(shí)，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．對(duì)任意的x∈(一∞，+∞)，f’(x)===2x+f’(0)=2x+1，則f(x)=x2+x+C，因?yàn)閒(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ex－1＞(1+x)ln(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=ex一1一(1+x)ln(1+x)，f(0)=0，f’(x)=ex一ln(1+x)一1，f’(0)=0；f’’(x)=ex一＞0(x＞0)，由f’’(x)＞0(x＞0)得f’(x)＞f’(0)=0(x＞0)，再由f’(x)＞0(x＞0)得f(x)＞f(0)=0(x＞0)，即ex一1＞(1+x)ln(1+x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上滿足｜f’’(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值，證明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f’(c)=0．由微分中值定理得，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，兩式取絕對(duì)值得兩式相加得｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(lnx)=，求∫f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01y(x)dx=xy(x)｜01一∫01xarctan(x－1)2dx=y(1)一∫01(x－1)arctan(x一1)arctan(x一1)2d(x－1)－∫01arctan(x一1)2dx=∫01arctan(x一1)2d(x－1)2=∫01arctantdt=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(5，一4，3)和P2(一2，1，8)及直線L：與平面π：x—y+z=0交點(diǎn)的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t得x=2+t，y=1一t，z=一3t，代入x—y+z=0中得t=1，則直線L：與平面π：x—y+z=0交點(diǎn)為M(3，0，一3)，={一50，一52，一18}，所求平面方程為一50(x一5)一52(y+4)一18(z一3)=0，即25x+26y+9z一48=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)L1：x一1=，L2：x+1=y-1=z．21、若L1⊥L2，求λ；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)L1：x一1=，L2：x+1=y－1=z垂直，則｛1，2，λ｝⊥｛1，1，1｝或1+2+λ=0，解得λ=一3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、若L1，L2共面，求λ．標(biāo)準(zhǔn)答案：s1={1，2，λ}，s2=｛1，1，1｝，s1×s2=｛1，2，λ｝×｛1，1，1｝=｛2一λ，λ—1，一1｝，M1(1，1，1)∈L1，M2(一1，1，0)∈L2，p==｛2，0，1｝，L1，L2共面的充分必要條件是(s1×s2)．．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)z=f(x，y)由方程z—y—x+xez－y－x=0確定，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)z—y—x+xez－y－x=0兩邊求微分，得dz一dy—dx+ez－y－xdx+xez－y－x(dz—dy－dx)=0，解得dz=dx+dy．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、計(jì)算z2ds，其中∑為錐面z=位于z=2下方的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面∑在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy：x2+y2≤4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、將f(x)=展開成(x一2)的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求冪級(jí)數(shù)xn的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：冪級(jí)數(shù)xn的收斂半徑為R=+∞，收斂區(qū)間為(－∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求微分方程yy’’=y’2滿足初始條件y(0)=y’(0)=1的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=p，則y’’==0，當(dāng)p=0時(shí)，y=1為原方程的解；當(dāng)p≠0時(shí)，由=0，解得p==C1y，由y(0)=y’(0)=1得C1=1，于是一y=0，解得y=C2e－∫－dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、曲線在點(diǎn)(0，1)處的切線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是()A、(－1，0)B、C、(1，0)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(x)=x2+x+6，所以f’(0)=6．故過(guò)點(diǎn)(0，1)的切線方程為y－1=6x，因此該切線與x軸的交點(diǎn)為2、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=1，f(1)=0，則在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)F(x)=xf(x)，則F(x)在[0，1]上滿足羅爾定理的條件，故存在ξ∈(0，1)，使得[xf(x)]’｜x=ξ=0，即ξf’(ξ)+f(ξ)=0，有所以選A．3、設(shè)f(x)是以T為周期的可微函數(shù)，則下列函數(shù)中以T為周期的函數(shù)是()A、∫01f(t)dtB、∫01f(t2)dtC、∫01f’(t2)dtD、∫01f(t)f’(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)g(x+T)=g(x)時(shí)，因?yàn)椤?x+TTg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫xx+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt+∫0Tg(t)dt，若∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt，則∫0Tg(t)dt=0．反之，若∫0Tg(t)dt=0，則∫0x+Tg(t)dt=∫0xg(t)dt．因?yàn)閒(x)是以T為周期的函數(shù)，所以四個(gè)選項(xiàng)中的被積函數(shù)都是以T為周期的周期函數(shù)，但是僅∫0Tf(t)f’(t)dt=[f(t)]2｜0T=[f2(T)－f2(0)]=0，因此，只有∫0xf(t)f’(t)dt是以T為周期的函數(shù)．4、已知且a與b不平行，則以O(shè)A和OB為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線OC上的一個(gè)單位向量為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由向量加法運(yùn)算的幾何意義，以a，b為鄰邊的平行四邊形對(duì)應(yīng)的對(duì)角線向量為a+b，故它的單位向量為應(yīng)選A．5、設(shè)直線L為平面π為4x－2y+z－2=0，則()A、L平行于πB、L在π上C、L垂直于πD、L與π相交但不垂直標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直線L的方向向量為s==(－28，14，－7)，平面π的法向量為n=(4，－2，1)，因此s與n平行，從而直線L與平面π垂直．故選C．6、設(shè)函數(shù)u=u(x，y)滿足及u(x，2x)=x，u1’(x，2x)=x2，u有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則u21’(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：等式u(x，2x)=x兩邊對(duì)x求導(dǎo)得u1’+2u2’=1，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得u11’’+u12’’+2u21’’+4u22’’=0，①等式u1’(x，2x)=x2兩邊對(duì)x求導(dǎo)得u12’’+2u12’’=2x，②將②式及u12’’=u21’’，u11’’=u21’’代入①式中得7、設(shè)∑是yOz平面上的圓域y2+z2≤1，則(x2+y2+z2)dS為()A、0B、πC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因∑：x=0且y2+z2≤1，故Dyz={(y，z)｜y2+z2≤1}，從而8、微分方程y’’－4y’+4y=x2+8e2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b，c，d為常數(shù))()A、ax2+bx+Ce2xB、ax2+bx+c+dx2e2xC、ax2+bx+cxe2xD、ax2+(bx2+cx)e2x標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)特征方程為r2－4r+4=0，特征根是r1，2=,2．而f1(x)=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2(x)=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2=dx2e2x．y1*+y2*就是特解，選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)則y’=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，得10、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為lnx，則f’(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，∫f(x)dx=lnx+C，11、反常積分=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)u=x2+3y+yz，則div(gradu)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)空間區(qū)域=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用柱面坐標(biāo)，三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，(2)這是“1∞”型未定式極限，可用公式來(lái)計(jì)算，事實(shí)上lnu=ln[1+(u－1)]～u－1(u→1)．故原式=(3)這是“∞—∞”型未定式極限，首先通分變成型未定式，然后使用洛必達(dá)法則求極限．或利用等價(jià)無(wú)窮小代換ex－1～x(x→0)，則(4)(5)原式=(6)當(dāng)x→0時(shí)，etanx－esinx=esinx(etanx－sinx一1)～tanx－sinx，xsin2x～x3，故根據(jù)歸結(jié)定理，取(9)當(dāng)x=0時(shí)，原式=1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求極限ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原極限=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式：f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是當(dāng)x→0時(shí)比x高階的無(wú)窮小，且f(x)在x=1處可導(dǎo)，求y=f(x)在點(diǎn)(6，f(6))處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：求切線方程的關(guān)鍵是求斜率，因f(x)的周期為5，故曲線在(6，f(6))處和點(diǎn)(1，f(1))處有相同的斜率，根據(jù)已知條件求出f’(1)．由則4f’(1)=8，f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切線方程為y=2(x=6)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求曲線y=e1上的最大曲率半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’=ex，y’’=ex得曲線y=ex上任意點(diǎn)P(x，y)處的曲率令為曲率K=K(x)的極大值點(diǎn)，亦必是最大值點(diǎn)，且其最大曲率為其中，則曲線y=ex上具有最大曲率的點(diǎn)(x0，y(x0))處的曲率圓的曲率半徑知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)有定義，且對(duì)任意x與任意y，滿足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)存在且等于a，a≠0．證明：對(duì)任意x，f’(x)存在，并求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=0代入定義式，有f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．于是=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex．所以對(duì)任意x，f’(x)存在，且f’(x)=f(x)+aex．解之，得f(x)=ex(∫aex.e－xdx+C)=ex(ax+c)．由f(0)=0，有C=0．從而f(x)=axex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)求曲線y=f(x)與直線所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求f(x)的表達(dá)式，注意到函數(shù)ex在x→+∞與x→－∞的極限，可知當(dāng)x＞0時(shí)，y=f(x)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，且顯然0＜x＜1時(shí)所以所求旋轉(zhuǎn)體體積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求函數(shù)f(x，y)=x2－xy+y2在點(diǎn)M(1，1)沿與x軸的正向組成α角的方向l上的方向?qū)?shù)，在怎樣的方向上此導(dǎo)數(shù)有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求證：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在約束條件下存在最大值和最小值，且它們是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x，y)在全平面連續(xù)，為有界閉區(qū)域，故f(x，y)在此約束條件下必存在最大值和最小值．設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)分別為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，令則(x1，y1)，(x2，y2)應(yīng)滿足方程記相應(yīng)乘子為λ1，λ2，則(x1，y1，λ1)滿足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12．同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22，即A，，A：是f(x，y)在橢圓上的最大值和最小值．又方程①和②有非零解，系數(shù)行列式為0，即化簡(jiǎn)得λ2－(Aa2+Cb2)λ+(AC－B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即題目所給方程)的根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)D為曲線y=x3與直線y=x圍成的兩塊區(qū)域，求二重積分[ex2+sin(x+y)]dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖1．6—5所示，第一象限部分記為D1，第三象限部分記為D2，于是=∫01dx∫x3xex2dy+∫－10dx∫xx3ex2dy+∫01dx∫x3xsin(x+y)dy+∫－10dx∫xx3sin(x+y)dy=∫01ex2(x－x3)dx+∫－10ex2(x3－x)dx－∫01cos(x+x)dx+∫01cos(x+x3)dx－∫－10cos(x+x3)dx+∫－10cos(x+x)dx．令x=－t，則第2個(gè)積分與第1個(gè)積分可合并，第3個(gè)積分與第6個(gè)積分相抵消，第4個(gè)積分與第5個(gè)積分相抵消．于是原式=2ex2(x－x3)dx=∫01ex2dx2－∫01ex2x2dx2=ex2｜01－∫01euudu=e－1－(euu－eu)｜01=e－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、計(jì)算曲面積分I=(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中∑為上半球面的上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記S為平面z=0(x2+y2≤a2)的下側(cè)，Ω為∑與S所圍成的空間區(qū)域，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：可見收斂半徑R=3．當(dāng)x=－3時(shí)，級(jí)數(shù)成為是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；當(dāng)x=3時(shí)，級(jí)數(shù)成為是發(fā)散級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇－3，3)．設(shè)S(x)為所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則在上式兩邊同時(shí)積分，得故所求級(jí)數(shù)的和函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求(4－x+y)dx－(2－x－y)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程化為設(shè)x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令解得h=3，k=－1，此時(shí)原方程化為積分得X2－2XY－Y2=C1．將X=x－3，Y=y+1代入上式，得到所求通解為x2－2xy－y2－8x+4y=C，其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)且y’(x)＞0，y(0)=1．過(guò)曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及到x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1－S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=y(x)上點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為Y－y=y’(x)(X=x)，它與x軸的交點(diǎn)為由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是又S2=∫0xy(t)dt，由條件2S1－S2=1，知兩邊對(duì)x求導(dǎo)得即yy’’=(y’)2．令p=y’，則上述方程可化為于是y=eC2x+C2．注意到y(tǒng)(0)=1，并由(*)式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、當(dāng)x→1時(shí)，f(x)=的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然=+∞，而不存在但不是∞，選(D)．2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0處可導(dǎo)，則()．A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)=f’(0)D、f(0)=一f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：F(0)=f(0)，F(xiàn)－’(0)==f’(0)一f(0)；F＋’(0)==f’(0)+f(0)，因?yàn)镕(x)在x=0處可導(dǎo)，所以F－’(0)=F＋’(0)，于是f(0)=0，故應(yīng)選(A)．3、設(shè)平面區(qū)域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2πrf(r)dr，選(A)．4、設(shè)k＞0，且級(jí)數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性與k的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槎际諗?，所以絕對(duì)收斂，正確答案為(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)函數(shù)y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1確定，則曲線y=y(x)在x=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x＋1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，將x=0，y=1代入得=一2，故所求法線方程為y一1=(x一0)，即y=x+1．7、∫0＋∞x7e－x2dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：∫0＋∞x7x－x2dx=∫0＋∞x6e－x2d(x2)=∫0＋∞t3e－tdt==3．8、過(guò)點(diǎn)M0(1，一1，2)且與直線L1：x+2y—z一2=0與L2：x—y—z一4=0都平行的平面為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π：x+z一3=0知識(shí)點(diǎn)解析：所求平面的法向量為n=｛1，2，一1｝×｛1，一1，一1｝=｛一3，0，一3｝=一3｛1，0，1｝，所求的平面為π：(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0，即π：x+z一3=0．9、設(shè)z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=確定的函數(shù)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，e2yz+x+y2+z=兩邊求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，將x=，y=，z=0代入得．10、設(shè)f(x，y，z)=x2一y2+2z2，則div(gradf)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：gradf==｛2x，一2y，4z｝，則div(gradf)==4．11、設(shè)y=y(x)過(guò)原點(diǎn)，在原點(diǎn)處的切線平行于直線y=2x+1，又y=y(x)滿足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，則y(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(x)=2xe3x＋x2e3x知識(shí)點(diǎn)解析：由題意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’一6y’+9y=e3x的特征方程為λ2－6λ+9=0，特征值為λ1=λ2=3，令y’’一6y’+9y=e3x的特解為y0(x)=ax2e3x，代入得a=，故通解為y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，則y(x)=2xe3x+x2e3x．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)b＞0，且=2，求b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)f(x)=討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤｜f(x)｜=｜x｜．=0=f(0)，故f(x)在x=0處連續(xù)．由=1得f－’(0)=1，再由=0得f＋’(0)=0，因?yàn)閒－’(0)≠f＋’(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1)，又｜f’’(x)｜≤M，證明：｜f’(x)｜≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)+f’(x)(0一x)+(0一x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1—x)+(1一x)2，η∈(x，1)，兩式相減得f’(x)=[f’’(ξ)x2一f’’(η)(1一x)2]，取絕對(duì)值得｜f’(x)｜≤[x2+(1一x)2]，因?yàn)閤2≤x，(1一x)2≤1一x，所以x2+(1一x)2≤1，故｜f’(x)｜≤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(t)=∫1tex2dx，求∫01t2f(t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01t2f(t)dt=∫01f(t)d(t3)=f(t)01－∫01t3et2dt，因?yàn)閒(1)=0，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求過(guò)點(diǎn)M(1，一2，2)且與直線L：垂直的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求平面的法向量為n=s1×s2=｛2，1，一1｝×｛0，1，一1｝=｛0，2，2｝，于是所求平面方程為π：2(y+2)+2(z一2)=0，即π：y+z=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)直線L：繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為∑．21、求由曲面∑及y=0，y=2所圍成的幾何體Ω的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M(x，y，z)∈∑，M所在的圓與L的交點(diǎn)為M0(x0，y，z0)，圓心為T(0，y，0)，由｜MT｜=｜M0T｜得x2+z2=x02+z02，由代入得∑：x2+z2=1+4y+5y2，所求的幾何體體積為V=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)Ω為均勻的幾何體，求該幾何體的質(zhì)心．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)質(zhì)心坐標(biāo)為，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)μ=f(x，y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy一y=0與ez一xz=0確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：，方程exy一y=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得方程ez－xz=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求I=，其中∑為x2+y2+z2=1被z=所截的頂部．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得曲面∑在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy：x2+y2≤，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求冪級(jí)數(shù)(n2+1)xn的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=1得收斂半徑為R=1，又當(dāng)x=±1時(shí)，得級(jí)數(shù)收斂，收斂域?yàn)?一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求冪級(jí)數(shù)(x+1)n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x+1=t，=1得收斂半徑為R=1，當(dāng)t=±1時(shí)，因?yàn)?±1)n≠0，所以收斂區(qū)間為一1＜t＜1，從而一2＜x＜0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、一條曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0)，且在切點(diǎn)與y軸之間的切線長(zhǎng)為2，求該曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為P(x，y)，曲線上P點(diǎn)處的切線為Y—y=y’(X—x)，令X=0，得Y=y一xy’，切線與y軸的交點(diǎn)為Q(0，y—xy’)，由題意得x2+x2y’2=4，解得y’=±，變量分離得dy=±dx，積分得y=±+C，由y(2)=0，得C=0，所求的曲線為y=±．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(一δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對(duì)任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)D、對(duì)任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)=＞0，所以由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＞0，當(dāng)x∈(一δ，0)時(shí)，f(x)＜f(0)；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f(x)＞f(0)，應(yīng)選(D)．2、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若=2，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由=2得f(0)=0，由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＞0，從而f(x)＞0=f(0)，由極值的定義得f(0)為極小值，應(yīng)選(D)．3、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、一∫02x(x－1)(2－x)dxB、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2－x)dxC、一∫01x(x－1)(2－x)dx＋∫12x(x－1)(2－x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸的三個(gè)交點(diǎn)為x=0，x=1，x=2，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y＞0，所以圍成的面積可表示為(C)的形式，選(C)．4、設(shè)f(x，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=一3，則f(x，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無(wú)法確定是否取極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?一3，所以由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，｜x｜＋y2＞0，所以當(dāng)0＜＜δ時(shí)，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處取極大值，選(A)．5、設(shè)φ1(x)，φ2(x)為一階非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?(x)，φ2(x)為方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，所以φ1(x)一φ2(x)為方程y’+P(x)y=0的一個(gè)解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解為C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)，選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)6、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、∫0xxsin(x－t)2dt=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2sinx2+2x2cosx2知識(shí)點(diǎn)解析：∫0xxsin(x一t)2dt=x∫0xsin(x一t)dtx∫x0sinμ2(—dμ)=x∫0xsinμ2dμ，原式=(x∫0xsinμ2dμ)’’=(∫0xsinμ2dμ+xsinx2)’=2sinx2+2x2cosx2．9、設(shè)z=f(x，y)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=x+1，fx’(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，則f(x，y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x，y)=(＋x)y＋x2＋sin2y知識(shí)點(diǎn)解析：由=(x+1)y+φ(x)，由fx’(x，0)=2x得φ(x)=2x，即=(x+1)y+2x，再由=(x+1)y+2x得z=(+x)y+x2+h(y)，由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故f(x，y)=(+x)y+x2+sin2y．10、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)曲線L：y=(一1≤x≤1)，則∫L(x2+2xy)ds=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、級(jí)數(shù)在一1＜x＜1內(nèi)的和函數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)知識(shí)點(diǎn)解析：，而ln(1一x2)(一1＜x＜1)，－x2=一ln(1一x2)一x2(一1＜x＜1)，=xln(1一x2)+x3一x3ln(1一x2)(一1＜x＜1)．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：(6)由ln(1+x)=x一+ο(x2)得ln(1—2x)=一2x一2x2+ο(x2)，于是arctan2x[2x+ln(1—2x)]～一2x4；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點(diǎn)并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)為初等函數(shù)，所以f(x)的間斷點(diǎn)為x=0和x=1．因?yàn)閤→0時(shí)，1一=一1，即x=0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)；因?yàn)閒(1一0)==1，所以x=1為f(x)的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)對(duì)一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f(x)=x(x2一1)，討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[一1，0]時(shí)，f(x)=(x+1)(x2+2x)，f－’(0)==1．f＋’(0)==一1，因?yàn)閒－’(0)≠f＋’(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，e－2x＞．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－2x＞等價(jià)于一2x＞ln(1一x)一ln(1+x)，令f(x)=ln(1+x)一ln(1一x)一2x，f(0)=0，f’(x)=＞0(0＜x＜1)，由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，e－2x＞．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、證明：sinnxcosnxdx=2－nsinnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0sinncosnxdx=2－n－1∫0sinn2xd(2x)=2－n－1∫0πsinnxdx=2－n∫0sinnxdx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)，判斷兩直線是否為異面直線，若是，求兩條直線之間的距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：M1(0，0，0)，s1={1，0，一1}，M2(1，0，1)，s2=｛2，一1，1｝，=｛1，0，1｝，s1×s2={一1，一3，一1}，因?yàn)椋?s1×s2)=一2≠0，所以兩直線異面．過(guò)M1作直線L2’／／L2，L1與L2’所成的平面為π：一(x－0)－3(y—0)－(z－0)=0，即π：x+3y+z=0，所求的距離為d=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、把f(x，y)dxdy寫成極坐標(biāo)的累次積分，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：D=｛(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ｝，則f(x，y)dxdy=dθ∫0secθrf(rcosθ，rsinθ)dr．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算I=(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy，其中∑為z=2一在z=0上方部分的下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∑0：z=0(x2+y2≤4)取上側(cè)，則I=(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy由高斯公式得(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy=一(1+z)dν=一∫02(1＋z)dzdxdy=－4π所以原式=8π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：令an=，因?yàn)椋?，根據(jù)比值審斂法，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、將f(x)=lnx展開成x－2的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求微分方程x3y’’’+2x2y’’一xy’+y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=et，則xy’=D，x2y’’=D(D一1)，x3y’’’=D(D—1)(D一2)，即xy’=，原方程化為+y=0，特征方程為λ3一λ2一λ+1=0，解得特征值為λ1=1，λ2=λ3=1，則方程+y=0的通解為y=C1e－t+(C2+C3t)et，原方程的通解為y=+(C2+C3lnx)x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)函數(shù)y=f(x)可微，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線y=2一x垂直，則=A、一1．B、0．C、1．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知f’(x0)=1，又△y—dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是0，故應(yīng)選B．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)2、請(qǐng)用等價(jià)、同階、低階、高階回答：設(shè)f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，則△x→0時(shí)f(x)在x=x0處的微分與△x比較是()無(wú)窮小，△y=f(x0+△x)一f(x0)與△x比較是()無(wú)窮小，△y—df(x)與△x比較是()無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：同階；同階；高階知識(shí)點(diǎn)解析：df(x)=f’(x0)≠0知這時(shí)df(x)與△x是同階無(wú)窮小量；按定義=f’(x0)≠0，故△y與△x也是同階無(wú)窮小量；按微分定義可知差△y—df(x)=o(△x)(△x→0)是比△x高階的無(wú)窮?。?、設(shè)y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，則dy=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知識(shí)點(diǎn)解析：利用一階微分形式不變性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)4、求w=．標(biāo)準(zhǔn)答案：屬型．先用等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系arctan4x～x4(x→0)化簡(jiǎn)分母后再用洛必達(dá)法則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，且滿足．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作恒等變形轉(zhuǎn)化為求型極限，然后用洛必達(dá)法則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、(Ⅰ)設(shè)f(x)，g(x)連續(xù)，且=0，求證：無(wú)窮小∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a)(Ⅱ)求w=ln(1+2sint)dt／[∫0xln(1+2sint)dt]3}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由{∫0φ(x)f(t)dt／∫0φ(x)g(t)dt}{∫0uf(t)dt／∫0ug(t)dt}=1，→∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a)．(Ⅱ)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由題(Ⅰ)→=x6，∫0xln(1+2sint)dt—∫0x2tdt=x2．因此，利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、已知+1)=2，求a，b之值．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式可改寫成=2．由于該式成立，所以必有3一=0，即a=9．將a=9代入原式，并有理化得由此得b=一12．故a=9，b=一12．知識(shí)點(diǎn)解析：像這種類型(∞一∞)的極限，已知此待定式的極限存在且等于某一常數(shù)，要確定極限式中的參數(shù)a，b，一般有下列兩種方法：方法1。直接將所給無(wú)理式有理化定出極限式中所含參數(shù)之值；方法2°先提出∞因子，將∞一∞型化為∞．0型，然后由極限存在的條件定出極限式中所含參數(shù)之值．8、確定常數(shù)a，b，c的值，使=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)x→0時(shí)對(duì)常數(shù)a，b都有ax2+bx+1一e-2x→0，又已知分式的極限不為零，所以當(dāng)x→0時(shí)必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．綜合得a=4，b=一2，c=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：作恒等變形后再作放大與縮小：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、證明cosnxdx=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：先對(duì)積分∫01cosnxdx建立估計(jì)式然后證明它的極限為零，這里可行的方法是先對(duì)原積分進(jìn)行分部積分．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求w=．標(biāo)準(zhǔn)答案：記xn=是f(x)=tanx在[0，1]區(qū)間上的一個(gè)積分和．由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，故可積，于是因此，我們對(duì)xn用適當(dāng)放大縮小法，將求xn轉(zhuǎn)化為求積分和的極限．因于是由夾逼定理得xn=一lncos1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)xn=xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：先取對(duì)數(shù)化為和式的極限lnxn=ln(n2+i2)一4lnn，然后作恒等變形(看看能否化為積分和的形式)，則它是f(x)=ln(1+x2)在[0，2]區(qū)間上的一個(gè)積分和(對(duì)[0，2]區(qū)間作2n等分，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng))，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求數(shù)列極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：先用等價(jià)無(wú)窮小因子替換：現(xiàn)把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限后再用洛必達(dá)法則即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、當(dāng)x→0時(shí)下列無(wú)窮小是x的n階無(wú)窮小，求階數(shù)n：(Ⅰ)一1；(Ⅱ)(1+tan2x)simx一1；(Ⅲ)；(Ⅳ)∫0xsin．sin(1一cost)2dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)一1～x4—2x2～一2x2(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)一1是x的2階無(wú)窮小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1一ln[(1+tan2x)sinx一1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x．x2=x3(x→0)，即當(dāng)x→0時(shí)(1+tan2x)sinx一1是x的3階無(wú)窮小，故n=3．(Ⅲ)由1一是x的4階無(wú)窮小，即當(dāng)x→0時(shí)是x的4階無(wú)窮小，故n=4．即當(dāng)x→0時(shí)∫0xsintsin(1一cost)2dt是x的6階無(wú)窮小，故n=6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)α＞0，β＞0為任意正數(shù)，當(dāng)x→+∞時(shí)將無(wú)窮小量：，e-x按從低階到高階的順序排列．標(biāo)準(zhǔn)答案：先考察因此，當(dāng)x→+∞時(shí)，按從低階到高階的順序排列為，e-x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)有定義在(一∞，+∞)上的函數(shù)：則(Ⅰ)其中在定義域上連續(xù)的函數(shù)是_________；(Ⅱ)以x=0為第二類間斷點(diǎn)的函數(shù)是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)x＞0與x＜0時(shí)上述各函數(shù)分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．從而只需再考察哪個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．注意到若f(x)=其中g(shù)(x)在(一∞，0]連續(xù)，h(x)在[0，+∞)連續(xù)．因f(x)=g(x)(x∈(一∞，0])→f(x)在x=0左連續(xù)．若又有g(shù)(0)=h(0)→f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))→f(x)在x=0右連續(xù)．因此f(x)在x=0連續(xù)．(B)中的函數(shù)g(x)滿足：sinx｜x=0=(cosx一1)｜x=0，又sinx，cosx一1均連續(xù)→g(x)在x=0連續(xù)．因此，(B)中的g(x)在(一∞，+∞)連續(xù)．應(yīng)選B．(Ⅱ)關(guān)于(A)：由→x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．關(guān)于(C)：由=e≠h(0)→x=0是h(x)的第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))．已證(B)中g(shù)(x)在x=0連續(xù)．因此選D．或直接考察(D)．由=+∞→x=0是m(x)的第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)=，討論y=f[g(x)]的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：先寫出f[g(x)]的表達(dá)式．考察g(x)的值域：(經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，x=2，5處可添加等號(hào))當(dāng)x≠1，2，5時(shí)f[g(x)]分別在不同的區(qū)間與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．當(dāng)x=2，5時(shí)，分別由左、右連續(xù)得連續(xù)．當(dāng)x=1時(shí)，x2=1，從而f[g(x)]在x=1不連續(xù)且是第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且f(0)=f(1)，證明：在[0，1]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=f(ξ+)．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證：F(x)存在零點(diǎn)．因f(x)在[0，1]連續(xù)，所以F(x)=f(x)一連續(xù)．事實(shí)上，我們要證：F(x)在[0，1一]存在零點(diǎn)(只需證F(x)在[0，1一]有兩點(diǎn)異號(hào))．考察于是F(0)，中或全為0，或至少有兩個(gè)值是異號(hào)的，于是由連續(xù)函數(shù)介值定理，，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)連續(xù)，存在極限f(x)=B．證明：(Ⅰ)設(shè)A＜B，則對(duì)ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為有界區(qū)間的情形．(Ⅰ)由f(x)=A＜μ及極限的不等式性質(zhì)可知，X1使得f(X1)＜μ．由X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]連續(xù)，f(X1)＜μ＜f(X2)，由連續(xù)函數(shù)介值定理知ξ∈(X1，X2)(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因f(x)=B，由存在極限的函數(shù)的局部有界性定理可知，X1使得當(dāng)x∈(一∞，X1)時(shí)f(x)有界；X2(＞X1)使得當(dāng)x∈(X2，+∞)時(shí)f(x)有界．又由有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(一∞，+∞)上右界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、判斷下列結(jié)論是否正確?為什么?(Ⅰ)若函數(shù)f(x)，g(x)均在x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，則f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0時(shí)f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x=x0處有相同的可導(dǎo)性；(Ⅲ)若存在x0的一個(gè)鄰域(x0一δ，x0+δ)，使得x∈(x0—δ，x0+δ)時(shí)f(x)=g(x)，則f(x)與g(x)在x0處有相同的可導(dǎo)性．若可導(dǎo)，則f’(x0)=g’(x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)不正確．函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性不僅與該點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，還與該點(diǎn)附近的函數(shù)值有關(guān)．僅有f(x0)=g(x0)不能保證f’(x0)=g’(x0)．正如曲線y=f(x)與y=g(x)可在某處相交但并不相切．(Ⅱ)不正確．例如f(x)=x2，g(x)=，顯然，當(dāng)x≠0時(shí)f(x)=g(x)，但f(x)在x=0處可導(dǎo)，而g(x)在x=0處不可導(dǎo)(因?yàn)間(x)在x=0不連續(xù))．(Ⅲ)正確．由假設(shè)可得當(dāng)xE(x0—δ，x0+δ)，x≠x0時(shí)故當(dāng)x→x0時(shí)等式左右端的極限或同時(shí)存在或同時(shí)不存在，而且若存在則相等．再由導(dǎo)數(shù)定義即可得出結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、說(shuō)明下列事實(shí)的幾何意義：(Ⅰ)函數(shù)f(x)，g(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且有=∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點(diǎn)M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切．(Ⅱ)點(diǎn)x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)．曲線y=f(x)在點(diǎn)M0(x0，f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0(見圖2．1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處存在f’+(x0)與f’—(x0)，但f’+(x0)≠f’—(x0)，說(shuō)明這一事實(shí)的幾何意義．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=x0是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)．曲線在點(diǎn)M0(x0，f(x0))處存在左、右切線，且左、右切線有一個(gè)夾角(M0是曲線y=f(x0)的尖點(diǎn))，見圖2．2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f’(x)存在，求極限，其中a，b為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成=af’(x)+bf’(x)=(a+b)f’(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x)在x=a可導(dǎo)，且f(a)=1，f’(a)=3．求數(shù)列極限w=．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是指數(shù)型數(shù)列極限，先轉(zhuǎn)化成其指數(shù)是型數(shù)列極限，用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)定義知因此w=e6．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y’：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)當(dāng)x≠0時(shí)，由求導(dǎo)法則得f’(x)=；當(dāng)x=0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)定義得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)不是無(wú)窮大，則下述結(jié)論正確的是()A、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)是無(wú)窮小，則f(x)g(x)必是無(wú)窮小B、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)不是無(wú)窮小，則f(x)g(x)必不是無(wú)窮小C、設(shè)在x→x0的某鄰域g(x)無(wú)界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必是無(wú)窮大D、設(shè)在x→x0的某鄰域g(z)有界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必不是無(wú)窮大標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)當(dāng)x→0時(shí)為無(wú)界變量，不是無(wú)窮大．令g(x)=x，當(dāng)x→0時(shí)為無(wú)窮小，可排除A．當(dāng)x→0時(shí)，令f(x)=x2，可排除B，C．對(duì)于D，由于當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)不是無(wú)窮大，故必存在以x0為極限的數(shù)列{xn}使得f(xn)為有界量，又有g(shù)(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)有界，設(shè)該鄰域?yàn)閁，{xki)={xn}∩U，故{xki}同樣以x0為極限，此時(shí)f(xki)g(xki)為有界量．故當(dāng)z→x0時(shí)，f(x)g(x)必不是無(wú)窮大．2、若在(－∞，+∞)上連續(xù)，且則()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、a≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若λ＞0，則必存在一個(gè)x使得λ－e－kx=0，即分母為0，與f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)矛盾，故λ≤0；又若k≤0，當(dāng)x→－∞時(shí)，一kx→－－∞或－kx=0，均有f(x)→∞，與題意矛盾，故k＞0．3、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且在x=0處存在二階導(dǎo)數(shù)f’’(0)．又設(shè)()A、x=0不是f(x)的駐點(diǎn)B、x=0是f(x)的駐點(diǎn)，但不是f(x)的極值點(diǎn)C、x=0是f(x)的極小值點(diǎn)D、x=0是f(x)的極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先將∫0xtf(x－t)dt變形，記F(x)=∫0xtf(x－t)dt∫0x(x－u)f(u)(－du)=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du．由洛必達(dá)法則，得若再用洛必達(dá)法則，于是有所以f’’(0)=24a＞0．選C．4、設(shè)f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，則∫a+kla+(k+1)lf(x)dx之值()A、僅與a有關(guān)B、僅與a無(wú)關(guān)C、與a及k都無(wú)關(guān)D、與a及k都有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)是以l為周期的周期函數(shù)，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此積分與a及k都無(wú)關(guān)．5、設(shè)則在區(qū)間(一1，1)上()A、f(x)與g(x)都存在原函數(shù)B、f(x)與g(x)都不存在原函數(shù)C、f(x)存在原函數(shù)，g(x)不存在原函數(shù)D、f(x)不存在原函數(shù)，g(x)存在原函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：g(x)在區(qū)間(－1，1)上連續(xù)，所以在(－1，1)上存在原函數(shù)．不選B與@(C)@．將f(x)在區(qū)間(－1，0)與(0，1)上分別積分得要使得在x=0處連續(xù)，取C2=1+C1，如此取定之后，記為容易驗(yàn)算知，F(xiàn)’－(0)=0，F(xiàn)’+(0)=1．無(wú)論C1取何值，F(xiàn)(x)在x=0處不可導(dǎo)，故f(x)在包含x=0在內(nèi)的區(qū)間上不存在原函數(shù)，不選A．故選D．6、設(shè)C為從A(0，0)到B(4，3)的直線段，則∫C(x－y)ds等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：只有選項(xiàng)B正確．7、球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2ax所圍成的立體體積等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗鶉傻牧Ⅲw關(guān)于xoy面和zOx面對(duì)稱，故所圍立體體積V=4V1，其中V1為所圍成立體在第一卦限部分的體積．V1在xOy面上的投影域?yàn)镈xy={(x，y)｜x2+y2≤2ax，y≥0}．這里V1可看作以Dxy為底，以球面x2+y2+z2=4a2為曲頂?shù)那斨w體積，由二重積分的幾何背景可知二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)8、設(shè)函數(shù)且1+bx＞0，則當(dāng)f(x)在x=0處可導(dǎo)時(shí)，f’(0)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則，由于f(x)在x=0處可導(dǎo)，則在該點(diǎn)連續(xù)，就有b=f(0)=－1，再由導(dǎo)數(shù)的定義及洛必達(dá)法則，有9、設(shè)則∫01f(x)dx=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令3x+1=t，所以10、設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)上連續(xù)，且對(duì)任意正值a與b，積分∫aabf(c)dx的值與a無(wú)關(guān)，且f(1)=1，則f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于∫aabf(x)dx與a無(wú)關(guān)，所以(∫aabf(x)dx)’a≡0，即f(ab)b－f(a)≡0．上式對(duì)任意a均成立，所以令a=1，有f(b)b－f(1)=0，可以驗(yàn)算，=lnab－lna=lnb與a無(wú)關(guān)．11、三平面x+3y+z=1，2x－y－z=0，－x+2y+2z=3的交點(diǎn)是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，－1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：只需求解三元一次方程組解得x=1，y=－1，z=3．12、過(guò)直線且和點(diǎn)(2，2，2)的距離為的平面方程是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5x－y－z－3=0或x+y－z－1=0知識(shí)點(diǎn)解析：已知直線的一般式方程為顯然平面3x－z－2=0不符合題意，可設(shè)過(guò)該直線的平面束方程為πλ：(2+3λ)x－y－λz－(1+2λ)=0，由點(diǎn)(2，2，2)到πλ的距離為得化簡(jiǎn)得λ2=1，λ=±1．當(dāng)λ=1時(shí)，對(duì)應(yīng)一個(gè)平面π1：5x－y－z－3=0；當(dāng)λ=－1時(shí)，對(duì)應(yīng)另一個(gè)平面π2：x+y－z－1=0．13、函數(shù)f(x，y)=ln(x2+y2－1)的連續(xù)區(qū)域是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：{(x，y)｜x2+y2＞1)知識(shí)點(diǎn)解析：所有多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的．14、已知曲線積分∫L[excosy+yf(x)]dx+(x3－exsiny)dy與路徑無(wú)關(guān)且f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3x2知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)P=excosy+yf(x)，Q=x3－exsiny．由∫LPdx+Ody與路徑無(wú)關(guān)，有即－exsiny+f(x)=3x2－exsiny，于是f(x)=3x2．15、設(shè)a為常數(shù)，若級(jí)數(shù)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)16、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：將已給級(jí)數(shù)每相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)得新級(jí)數(shù)因發(fā)散，由于加括號(hào)后級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)必發(fā)散．17、微分方程y’tanx=ylny的通解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程分離變量得積分得ln｜lny｜=ln｜sinx｜+lnC1，通解為lny=Csinx或y=eCsinx，其中C為任意常數(shù)．18、微分方程的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：．其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由y’’=再積分得其中C1，C2為任意常數(shù)．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)19、設(shè)f(x)對(duì)一切x1，x2滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2，并且f(x)在x=0處連續(xù)．證明：函數(shù)f(x)在任意點(diǎn)x0處連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，則f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0處連續(xù)，則有(△x)=f(0)=0，而f(x0+△x)－f(x0)=f(x0)+f(△x)－f(x0)=f(△x)，兩邊取極限得到[f(x0+△x)=f(x0)]=f(△x)=0，故函數(shù)f(x)在任意點(diǎn)x0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、證明：不等式－∞＜x＜+∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f’(x)=0，得駐點(diǎn)為x=0，由于知f’’(0)＞0，則x=0為極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)．f(x)的最小值為f(0)=0，于是，對(duì)一切x∈(－∞，+∞)，有f(x)≥0，即有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求證：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．標(biāo)準(zhǔn)答案：把函數(shù)f(x)在x=0處展開成帶拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)．在公式中取把函數(shù)f(x)在x=1處展開成泰勒公式，得f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f’’(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取①－②消去未知的函數(shù)值即得f’’(ξ1)－f’’(ξ1)=8=>｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ1)｜≥8．從而，在ξ1和ξ2中至少有一個(gè)點(diǎn)，使得f(x)在該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值不小于4，把該點(diǎn)取為ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[0，c]上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)f’(x)在開區(qū)間(0，c)內(nèi)存在且單調(diào)減少，f(0)=0．試證明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常數(shù)a，b滿足條件0≤a≤b≤a+b≤c．標(biāo)準(zhǔn)答案：用拉格朗日中值定理．當(dāng)a=0時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)a＞0時(shí)，由于f(x)在區(qū)間[0，a]及[b，a+b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得[f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]=af’(ξ2)－af’(ξ1)．因?yàn)閒’(x)在(0，c)內(nèi)單調(diào)減少，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是，[f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(x－lnx)’≠1－lnx，分子分母同時(shí)除以x2，則注意到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)有一正橢圓柱體，其底面的長(zhǎng)、短軸分別為2a，2b，用過(guò)此柱體底面的短軸且與底面成α角的平面截此柱體，得一楔形體(如圖1．3—2)，求此楔形體的體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：底面橢圓的方程為以垂直于y軸的平行平面截此楔形體所得的截面為直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為故截面積楔形體的體積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2)上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是閉區(qū)域上求最值的問(wèn)題．由于函數(shù)f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極值：又g(x，y)=(fxy’’)2－fxx’’fyy’’=－3，fxx’’＜0，得f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D內(nèi)部的極大值再求f(x，y)在閉區(qū)域D邊界上的最大值與最小值：這是條件極值問(wèn)題，邊界直線方程即為約束條件．在x軸上約束條件為y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函數(shù)為F(x，y，λ)=x+xy－x2－y2+λy，解方程組在下面邊界的端點(diǎn)(0，0)，(1，0)處f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下面邊界的最大值為，最小值為0．同理可求出：在上面邊界上的最大值為－2，最小值為－4；在左面邊界上的最大值為0，最小值為－4；在右面邊界上的最大值為，最小值為－2．比較以上各值，可知函數(shù)f(x，y)=x+xy－x2－y2在閉區(qū)域D上的最大值為，最小值為－4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在區(qū)域x2+y2+z2≤x+y+z內(nèi)的平均值．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域x2+y2+z2≤x+y+z，即作球面坐標(biāo)變換則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、(1)設(shè)函數(shù)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，D為不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域，在D內(nèi)曲線積分與路徑