自動(dòng)控制原理第2章

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

2.1線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

2.2傳遞函數(shù)

2.3結(jié)構(gòu)圖

2.4信號(hào)流圖及梅遜公式

2.5線形系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述（了解）

2.6線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)

小結(jié)為什么要建立系統(tǒng)模型？物理模型：一個(gè)理想的物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：物理模型的數(shù)學(xué)描述調(diào)查研究，抓本質(zhì)、主流;忽略非本質(zhì)和次要因數(shù)求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計(jì)算傅氏變換S=jω頻率特性建?！⑵鸨容^簡(jiǎn)單又能反映實(shí)際物理過(guò)程的模型。

建模的線性化問(wèn)題

兩種基本方法：機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法。2.1線性系統(tǒng)的時(shí)間函數(shù)描述

控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時(shí)間t的函數(shù)。給定量和擾動(dòng)量稱(chēng)為輸入量；被控量稱(chēng)作輸出量。很多常見(jiàn)的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個(gè)微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)或積分。這種微分方程又稱(chēng)為動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù)，又稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。對(duì)于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，采用下列微分方程來(lái)描述：式中，r(t)是系統(tǒng)的輸入信號(hào)，c(t)是系統(tǒng)的輸出信號(hào)；c(n)(t)為c(t)對(duì)時(shí)間t的n階導(dǎo)數(shù)；ai(i=1，2，…，n)和bj(j=0，1，…，m)是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的系數(shù)。

(2.1)c(t)=H(t)r(t)r(t):系統(tǒng)輸入c(t)：系統(tǒng)響應(yīng)H(t)：算子

commonly，列寫(xiě)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的步驟是:1）分析系統(tǒng)工作原理及各變量之間的關(guān)系，找出系統(tǒng)的輸入量和輸出量；所謂標(biāo)準(zhǔn)形式是指在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中將輸入變量及其導(dǎo)數(shù)置于等號(hào)的右邊，將輸出變量及其導(dǎo)數(shù)置于等號(hào)左邊，等號(hào)兩邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列，并且將系數(shù)規(guī)劃為反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的參數(shù)，如時(shí)間常數(shù)、阻尼系數(shù)等。2）根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的基本定律，一般從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始依次寫(xiě)出各元件的運(yùn)動(dòng)方程，在列寫(xiě)元件運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，需要考慮相接元件間的相互作用；3）由組成系統(tǒng)各元件的運(yùn)動(dòng)方程中，消去中間變量，求取只含有系統(tǒng)輸入和輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)的方程，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式。2.1.1電氣系統(tǒng)

電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路，又稱(chēng)電氣網(wǎng)絡(luò)。我們將電阻、電感和電容等本身不含有電源的器件稱(chēng)為無(wú)源器件，而將運(yùn)算放大器這樣本身包含電源的器件稱(chēng)為有源器件。僅由無(wú)源器件構(gòu)成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)；如果電氣網(wǎng)絡(luò)中含有有源器件或電源，就稱(chēng)之為有源網(wǎng)絡(luò)。

圖

2.1RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)

例2.1圖2.1是由電阻R、電感L和電容C組成的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，試列寫(xiě)以u(píng)i(t)為輸入量，以u(píng)o(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。消去中間變量i(t)，可得描述該無(wú)源網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程

(2.2)解：設(shè)回路電流為i(t)，由基爾霍夫電壓定律可寫(xiě)出回路方程為上式也可以寫(xiě)為

(2.3)其中，T1=L/R，T2=RC。方程(2.2)和(2.3)就是所求的微分方程。這是一個(gè)典型的二階線性常系數(shù)微分方程，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為二階線性定常系統(tǒng)。

例2.2

圖2.2是一個(gè)由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路，電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量，試確定這個(gè)電路的微分方程式。圖

2.2電容負(fù)反饋電路

解：理想運(yùn)算放大器正、反相輸入端電位相同，且輸入電流為零。根據(jù)基爾霍夫電流定律有？

解理想運(yùn)算放大器正、反相輸入端電位相同，且輸入電流為零。根據(jù)基爾霍夫電流定律有

整理后得

(2.4)或?yàn)?/p>

(2.5)其中，T=RC為時(shí)間常數(shù)。方程(2.4)和(2.5)就是該系統(tǒng)的微分方程，這是一個(gè)一階系統(tǒng)。

圖2.3機(jī)械阻尼器示意圖k是彈簧系數(shù)，m是運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量，μ是阻尼器的阻尼系數(shù)；外力f(t)是系統(tǒng)的輸入量，位移y(t)是系統(tǒng)的輸出量。例2.3(2.6)2.1.2機(jī)械系統(tǒng)

例2.3

試確定圖2.3系統(tǒng)的微分方程。

解根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，運(yùn)動(dòng)部件在外力作用下克服彈簧拉力ky(t)、阻尼器的阻力 ，將產(chǎn)生加速度力所以系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為或?qū)懗?/p>

(2.7)這也是一個(gè)二階線性常微分方程。比較表達(dá)式(2.7)和(2.3)可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)不同的物理系統(tǒng)具有相同形式的運(yùn)動(dòng)方程，即具有相同的數(shù)學(xué)模型。

例2.4圖2.4表示一個(gè)單擺系統(tǒng)，輸入量為零(不加外力)，輸出量為擺幅θ(t)。擺錘的質(zhì)量為M，擺桿長(zhǎng)度為l，阻尼系數(shù)為μ，重力加速度為g。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。圖2.4單擺運(yùn)動(dòng)示意圖解對(duì)于圖2.4所示的單擺系統(tǒng)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以直接推出如下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：顯然方程(2.8)是一個(gè)二階的非線性微分方程(因?yàn)楹衧inθ)，但是在擺幅較小的情況下，單擺運(yùn)動(dòng)方程可以認(rèn)為是線性的，對(duì)應(yīng)的微分方程為

(2.8)(2.9)

在工程實(shí)際中，大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的。比如，彈簧的剛度與其形變有關(guān)系，因此彈簧系數(shù)k實(shí)際上是其位移的函數(shù)，而并非常數(shù)；電阻、電容和電感等參數(shù)值與周?chē)沫h(huán)境(溫度、濕度、壓力等)及流經(jīng)它們的電流有關(guān)，也并非常值；電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線性因素會(huì)使其運(yùn)動(dòng)方程復(fù)雜化而成為非線性方程。非線性系統(tǒng)的分析一般比線性系統(tǒng)復(fù)雜。但是當(dāng)控制系統(tǒng)在圍繞平衡點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)動(dòng)作時(shí)，通常采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，可將非線性系統(tǒng)線性化為平衡點(diǎn)附近的線性系統(tǒng)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。卷積單位脈沖響應(yīng)：對(duì)輸入r(t)分解，脈沖寬度，則發(fā)生在時(shí)刻脈沖強(qiáng)度為的脈沖即可表示為則當(dāng)取為在區(qū)間內(nèi)的變量時(shí)，則輸入r(t)的近似表示為：則響應(yīng)可近似表示為：當(dāng)時(shí)，響應(yīng)為：2.2傳

遞

函

數(shù)

2.2.1拉氏變換

1.拉氏變換的定義若將實(shí)變量t的函數(shù)f(t)乘上指數(shù)函數(shù)e-st(其中s=σ+jω是一個(gè)復(fù)數(shù))，并且在［0，+∞］上對(duì)t積分，就可以得到一個(gè)新的函數(shù)F(s)，稱(chēng)F(s)為f(t)的拉氏變換，并用符號(hào)L［f(t)］表示。

(2.10)上式就是拉氏變換的定義式。從這個(gè)定義可以看出，拉氏變換將原來(lái)的實(shí)變量函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù)F(s)。

通常將F(s)稱(chēng)作f(t)的象函數(shù)，將f(t)稱(chēng)作F(s)的原函數(shù)。

2.拉氏變換的基本定理(2.11)函數(shù)放大k倍的拉氏變換等于該函數(shù)拉氏變換的k倍，即

(2.12)1)線性定理兩個(gè)函數(shù)和的拉氏變換，等于每個(gè)函數(shù)拉氏變換的和，即2)微分定理如果初始條件

成立，則有

(2.13)

3)積分定理一個(gè)函數(shù)積分后再取拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參數(shù)s，即

重復(fù)運(yùn)用式(2.14)可以推出

(2.14)(2.15)

4)初值定理函數(shù)f(t)在t=0時(shí)的函數(shù)值可以通過(guò)f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→∞時(shí)的極限而得到，即

(2.16)

5)終值定理函數(shù)f(t)在t→+∞時(shí)的函數(shù)值(即穩(wěn)定值)可以通過(guò)f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→0時(shí)的極限而得到，即

(2.17)2.2.2傳遞函數(shù)的定義和特點(diǎn)

1.傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，式中，r(t)和c(t)分別是系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)；系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下面的n階線性常微分方程描述：

c(n)(t)為c(t)對(duì)時(shí)間t的n階導(dǎo)數(shù)；ai(i=0，1，…，n)和bj(j=0，1，…，m)是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常系數(shù)。如果r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，即滿足如下的零初始條件：則根據(jù)拉氏變換的定義和性質(zhì)，對(duì)式(2.18)進(jìn)行拉氏變換，并令C(s)=L［c(t)］，R(s)=L［r(t)］，可得

由傳遞函數(shù)的定義可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式中，M(s)和N(s)分別稱(chēng)為傳遞函數(shù)G(s)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式。

例2.5

試確定圖2.1所示的RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

由例2.1可知，RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下，對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，并令Uo(s)=L［uo(t)］，

Ui(s)=L［ui(t)］，可得復(fù)頻域的代數(shù)方程

(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

例2.6

試確定如圖2.2所示的運(yùn)算放大器電路的傳遞函數(shù)。

解由例2.2可知，運(yùn)算放大器電路系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下，對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，

得

所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2.21)

例2.7

試確定如圖2.3所示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解

由例2.3可知，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，

可得

(ms2+μs+k)Y(s)=F(s)所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2.22)

2.傳遞函數(shù)的特點(diǎn)

(1)傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)系數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))完全取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)，因此，它是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，而與輸入信號(hào)的具體形式和大小無(wú)關(guān)，也不反映系統(tǒng)的任何內(nèi)部信息。因此可以用圖2.5的方塊圖來(lái)表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)。該圖說(shuō)明，系統(tǒng)輸入量和輸出量的因果關(guān)系可以用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。

圖2.5傳遞函數(shù)的圖示但是同一個(gè)系統(tǒng)若選擇不同的量作為輸入量和輸出量，所得到的傳遞函數(shù)可能不同。所以談到傳遞函數(shù)，必須指明輸入量和輸出量。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入、單輸出的情況。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了指定的輸入量以外，其它輸入量(包括常值輸入量)一概視為零；對(duì)于多輸入、多輸出線性定常系統(tǒng)，求取不同輸入和輸出之間的傳遞函數(shù)將得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。

(2)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩層含義：一是指輸入量在t≥0時(shí)才起作用；二是指輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)。

(3)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；并且理論分析和實(shí)驗(yàn)都指出，對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)和元件而言，輸入量和它所引起的響應(yīng)(輸出量)之間的傳遞函數(shù)，分子多項(xiàng)式M(s)的階次m總是小于分母多項(xiàng)式N(s)的階次n，即m＜n。這個(gè)結(jié)論可以看作是客觀物理世界的基本屬性。它反映了一個(gè)基本事實(shí)：一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不可能立即復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，只有經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，輸出量才能達(dá)到輸入量所要求的數(shù)值。對(duì)于具體的控制元件和系統(tǒng)，我們總是可以找到形成上述事實(shí)的原因。例如對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，由于物體都有質(zhì)量，物體受到外力和外力矩作用時(shí)都要產(chǎn)生形變，相互接觸并存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體之間總是存在摩擦，這些都是造成機(jī)械裝置傳遞函數(shù)分母階次高于分子階次的原因。電氣網(wǎng)絡(luò)中，由運(yùn)算放大器組成的電壓放大器，如果考慮其中潛在的電容和電感，輸出電壓和輸入電壓間的傳遞函數(shù)，分子多項(xiàng)式的階次一定低于分母多項(xiàng)式的階次。

(4)傳遞函數(shù)與線性常微分方程一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)，分別與相應(yīng)微分方程的右端及左端微分算符多項(xiàng)式系數(shù)相對(duì)應(yīng)。所以，將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便可以得到傳遞函數(shù)；反之，將傳遞函數(shù)中的復(fù)數(shù)s用算符d/dt置換便可以得到微分方程。例如，由傳遞函數(shù)

可得s的代數(shù)方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)用算符d/dt置換復(fù)數(shù)s，便得到相應(yīng)的微分方程

(5)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類(lèi)別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。例如，RLC電路和機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在適當(dāng)?shù)膮?shù)代換后可以具有相同的形式，但是兩者屬于完全不同的學(xué)科領(lǐng)域。另一方面，研究某一種傳遞函數(shù)所得到的結(jié)論，可以適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)，不管它們的學(xué)科類(lèi)別和工作機(jī)理如何不同。這就極大地提高了控制工作者的效率。

(6)傳遞函數(shù)除具有式(2.19)表示的分子、分母多項(xiàng)式形式外，還具有如下兩種常見(jiàn)形式：(2.23)(2.24)表達(dá)式(2.23)和(2.24)分別稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式和時(shí)間常數(shù)形式。式(2.23)的特點(diǎn)是每個(gè)一次因子項(xiàng)中s的系數(shù)為1。M(s)=0和N(s)=0的根zi(i=1，2，…，m)和pj(j=1，2，…，n)分別稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，k稱(chēng)為傳遞函數(shù)的增益或根軌跡增益。由于M(s)和N(s)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因此零極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。式(2.24)的特點(diǎn)是各個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)均為1，τi(i=1，2，…，m)和Tj(j=1，2，…，n)為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，K為系統(tǒng)的放大倍數(shù)。

(7)令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母等于零，所得方程稱(chēng)為特征方程，即N(s)=0。特征方程的根稱(chēng)為特征根，也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)。

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)條件：函數(shù)在給定區(qū)域內(nèi)各階導(dǎo)數(shù)存在，在給定工作點(diǎn)的鄰域內(nèi)。注意事項(xiàng)：1工作點(diǎn)；2變換范圍；3存在不連續(xù)的情況；4線性化后得到的是增量方程。2.2.3典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種。特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。

(2.25)(2.26)1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)放大環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為式中K為增益。

2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱(chēng)非周期環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為

(2.27)(2.28)式中T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)。特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入，其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。實(shí)例：直流伺服電動(dòng)機(jī)的勵(lì)磁回路。3.純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)常簡(jiǎn)稱(chēng)為微分環(huán)節(jié)，其運(yùn)動(dòng)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.29)(2.30)特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：實(shí)際中沒(méi)有純粹的微分環(huán)節(jié)，它總是與其他環(huán)節(jié)并存的。實(shí)際中可實(shí)現(xiàn)的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性，其傳遞函數(shù)如下：(2.31)4.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.32)(2.33)特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。

寫(xiě)出傳遞函數(shù)列方程：I1I2ui(t)uo(t)RC作拉氏變換得：5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.34)(2.35)式中為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比，為時(shí)間常數(shù)，ωn為系統(tǒng)的自然振蕩角頻率(無(wú)阻尼自振角頻率)，并且有

特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)，以及機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)6.純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.36)(2.37)特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但要延遲一固定的時(shí)間間隔τ。實(shí)例：管道壓力、

流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。

式中τ為該環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間。實(shí)例滯后環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)具有傳輸滯后的系統(tǒng)2.3結(jié)

構(gòu)

圖2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與繪制

1.結(jié)構(gòu)圖的組成

(1)結(jié)構(gòu)圖的每一元件用標(biāo)有傳遞函數(shù)的方框表示，方框外面帶箭頭的線段表示這個(gè)環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)(箭頭指向方框)和輸出信號(hào)(箭頭離開(kāi)方框)，其方向表示信號(hào)傳遞方向。箭頭處標(biāo)有代表信號(hào)物理量的符號(hào)字母，如圖2.6所示。

圖

2.6元件的結(jié)構(gòu)圖

(2)然后把系統(tǒng)中所有元件都用上述方框形式表示，按系統(tǒng)輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)各元件的先后次序，依次將代表各元件的方塊用連接線連接起來(lái)。顯然，前后兩方塊連接時(shí)，前面方塊輸出信號(hào)必為后面方塊的輸入信號(hào)。(3)對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，需引入兩個(gè)新符號(hào)，分別稱(chēng)為相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。需要注意的是，分支點(diǎn)無(wú)論從一條信號(hào)流線或一個(gè)分支點(diǎn)引出多少條信號(hào)流線，它們都代表一個(gè)信號(hào)，即原始大小的信號(hào)。圖

2.7結(jié)構(gòu)圖的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)

圖2.7(a)是系統(tǒng)的比較元件，表示兩個(gè)以上信號(hào)的代數(shù)運(yùn)算。箭頭指向的信號(hào)流線表示它的輸入信號(hào)，箭頭離開(kāi)它的信號(hào)流線表示它的輸出信號(hào)，附近的＋、－號(hào)表示信號(hào)之間的運(yùn)算關(guān)系是相加還是相減。在框圖中，可以從一條信號(hào)流線上引出另一條或幾條信號(hào)流線，而信號(hào)引出的位置稱(chēng)為分支點(diǎn)或引出點(diǎn)如圖2.7(b)所示。連接方式串聯(lián)前一環(huán)節(jié)的輸出作為后一環(huán)節(jié)的輸入，等效環(huán)節(jié)為各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)積。并聯(lián)各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同，輸出信號(hào)相加（或相減），等效環(huán)節(jié)為各個(gè)環(huán)節(jié)的相加。反饋連接將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端，與輸入信號(hào)進(jìn)行比較。

2.結(jié)構(gòu)圖的繪制

(1)列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程組，并求出其對(duì)應(yīng)的拉氏變換方程組。

(2)從輸出量開(kāi)始寫(xiě)，以系統(tǒng)輸出量作為第一個(gè)方程左邊的量。

(3)每個(gè)方程左邊只有一個(gè)量。從第二個(gè)方程開(kāi)始，每個(gè)方程左邊的量是前面方程右邊的中間變量。列寫(xiě)方程時(shí)盡量用已出現(xiàn)過(guò)的量。

(4)輸入量至少要在一個(gè)方程的右邊出現(xiàn)；除輸入量外，在方程右邊出現(xiàn)過(guò)的中間變量一定要在某個(gè)方程的左邊出現(xiàn)。

(5)按照上述整理后拉氏變換方程組的順序，從輸出端開(kāi)始繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

例2.8

在圖2.8(a)中，電壓u1(t)、u2(t)分別為輸入量和輸出量，繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

圖

2.8RC濾波電路結(jié)構(gòu)圖

解:

電氣網(wǎng)絡(luò)采用電路理論中“運(yùn)算阻抗”的概念和方法，不列寫(xiě)微分方程就可以方便地求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。電阻R的運(yùn)算阻抗就是電阻R本身，電感L的運(yùn)算阻抗是Ls，電容C的運(yùn)算阻抗是1/(Cs)，其中s是拉氏變換的復(fù)參量。把電路中的電阻R、電感L和電容C全換成運(yùn)算阻抗，把電流i(t)和電壓u(t)全換成相應(yīng)的拉氏變換式I(s)和U(s)，把運(yùn)算阻抗當(dāng)作普通電阻。這樣從形式上看，在零初始條件下，電路中的運(yùn)算阻抗和電流、電壓的拉氏變換式之間的關(guān)系滿足各種電路定律，如歐姆定律、基爾霍夫定律。從而采用普通的電路定律，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就可求解I(s)和U(s)及相應(yīng)的傳遞函數(shù)。采用運(yùn)算阻抗的方法又稱(chēng)運(yùn)算法，相應(yīng)的電路圖稱(chēng)為運(yùn)算電路。圖2.8(a)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路如圖2.8(b)所示。設(shè)中間變量I1(s)、I2(s)和U3(s)。從輸出量U2(s)開(kāi)始按上述步驟列寫(xiě)系統(tǒng)方程式：按照上述方程的順序，從輸出量開(kāi)始繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，其繪制結(jié)果如圖2.8(c)所示(注意這是一個(gè)還沒(méi)有經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)。值得注意的是，一個(gè)系統(tǒng)可以具有不同的結(jié)構(gòu)圖，但由結(jié)構(gòu)圖得到的輸出和輸入信號(hào)的關(guān)系都是相同的。

2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

E(s)和B(s)分別為偏差信號(hào)和反饋信號(hào)的拉氏變換，H(s)為閉環(huán)系統(tǒng)中的反饋傳遞函數(shù)。圖2.9閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

一個(gè)閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)通常用圖2.9所示的結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示。

輸出量C(s)反饋到相加點(diǎn)，并且在相加點(diǎn)與參考輸入量R(s)進(jìn)行比較。

圖中各信號(hào)之間的關(guān)系為

C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C(s)反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比，叫做開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，即

輸出量C(s)和偏差信號(hào)E(s)之比，叫做前向傳遞函數(shù)，即

如果反饋傳遞函數(shù)等于1，那么開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和前向傳遞函數(shù)相同，并稱(chēng)這時(shí)的閉環(huán)反饋系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。從圖2.9可以推出系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的關(guān)系，具體推導(dǎo)如下：C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］

所以有

(2.38)上式就是系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的傳遞函數(shù)，稱(chēng)為閉環(huán)傳遞函數(shù)。這個(gè)傳遞函數(shù)將閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與前向通道環(huán)節(jié)和反饋通道環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性聯(lián)系在一起。由方程(2.38)可得

可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量的性質(zhì)。2.3.3擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

實(shí)際的系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)受到外界擾動(dòng)的干擾，通常擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可由圖2.10表示。從圖2.10可知，這個(gè)系統(tǒng)存在兩個(gè)輸入量，即參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)。

圖

2.10擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)線性系統(tǒng)滿足疊加性原理的性質(zhì)，可以先對(duì)每一個(gè)輸入量單獨(dú)地進(jìn)行處理，然后將每個(gè)輸入量單獨(dú)作用時(shí)相應(yīng)的輸出量進(jìn)行疊加，就可得到系統(tǒng)的總輸出量。對(duì)于圖2.10所示的系統(tǒng)，研究擾動(dòng)量N(s)對(duì)系統(tǒng)的影響時(shí)，可以假設(shè)參考輸入信號(hào)R(s)=0，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得出系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的響應(yīng)CN(s)為

所以，系統(tǒng)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)ΦN(s)=CN(s)/N(s)為

(2.39)同樣在分析系統(tǒng)對(duì)參考輸入的響應(yīng)時(shí)，可以假設(shè)擾動(dòng)量N(s)=0，這時(shí)系統(tǒng)對(duì)參考輸入量R(s)的響應(yīng)CR(s)為

所以，系統(tǒng)輸出對(duì)參考輸入的傳遞函數(shù)Φ(s)=CR(s)/R(s)為

(2.40)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)(總輸出)C(s)為

2.3.4結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化和變換規(guī)則

利用結(jié)構(gòu)圖分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，常常要對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡(jiǎn)化和變換。對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡(jiǎn)化和變換的基本原則是等效原則，即對(duì)結(jié)構(gòu)圖任何部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后該部分的輸入量、輸出量及其相互之間的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化幾個(gè)環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖首尾連接，前一個(gè)結(jié)構(gòu)圖的輸出是后一個(gè)結(jié)構(gòu)圖的輸入，稱(chēng)這種結(jié)構(gòu)為串聯(lián)環(huán)節(jié)。圖2.11(a)是三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)。根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可知：以下是根據(jù)等效原則給出的幾條結(jié)構(gòu)圖的變換規(guī)則。消去中間變量X1(s)和X2(s)得

所以此系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

圖

2.11三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)

上述結(jié)論可以推廣到任意個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即n個(gè)環(huán)節(jié)(每個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gi(s)，i=1，2，…，n)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于n個(gè)傳遞函數(shù)相乘。

G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)(2.42)

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化兩個(gè)或多個(gè)環(huán)節(jié)具有同一個(gè)輸入信號(hào)，而以各自環(huán)節(jié)輸出信號(hào)的代數(shù)和作為總的輸出信號(hào)，這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為并聯(lián)環(huán)節(jié)。圖2.12(a)表示三個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可知：圖

2.12三個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)

所以，整個(gè)系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

(2.43)

3.反饋回路的簡(jiǎn)化圖

2.13基本反饋回路的簡(jiǎn)化

（b）±圖2.13(a)表示一個(gè)基本的反饋回路。根據(jù)2.3.2節(jié)的分析和得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式可以推出(2.44)所以，圖2.13(a)所表示的反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化為圖2.13(b)。

4.相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)在結(jié)構(gòu)圖的變換中經(jīng)常要求改變相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的位置。一般包括相加點(diǎn)前移、相加點(diǎn)后移、分支點(diǎn)前移和分支點(diǎn)后移四種基本情況，以及相鄰相加點(diǎn)和相鄰分支點(diǎn)之間的移動(dòng)。1)相加點(diǎn)前移圖2.14(a)和圖2.14(b)分別表示相加點(diǎn)前移變換前后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖

2.14相加點(diǎn)前移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：2)相加點(diǎn)后移

圖

2.15相加點(diǎn)后移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

3)分支點(diǎn)前移

圖

2.16分支點(diǎn)前移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

C(s)=R(s)G(s)

4)分支點(diǎn)后移圖

2.17分支點(diǎn)后移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

5)相鄰相加點(diǎn)之間的移動(dòng)D=A±B±C=A±C±B

并且，這個(gè)結(jié)論對(duì)于多個(gè)相鄰的相加點(diǎn)也適用。

如圖2.18所示，相鄰相加點(diǎn)之間可以互換位置而不改變?cè)摻Y(jié)構(gòu)輸入和輸出信號(hào)之間的關(guān)系。圖

2.18相加點(diǎn)之間的移動(dòng)

6)相鄰分支點(diǎn)之間的移動(dòng)從一個(gè)信號(hào)流線上無(wú)論分出多少條信號(hào)線，它們都代表同一個(gè)信號(hào)。所以在一條信號(hào)流線上的各分支點(diǎn)之間可以隨意改變位置，不必作任何其他改動(dòng)(如圖2.19所示)。

圖

2.19相鄰分支點(diǎn)的移動(dòng)

例2.9

試簡(jiǎn)化圖2.20系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖

2.20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解在圖2.20中，如果不移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)的位置就無(wú)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖的等效運(yùn)算。采用以下步驟簡(jiǎn)化原圖：①利用分支點(diǎn)后移規(guī)則，將G3(s)和G4(s)之間的分支點(diǎn)移到G4(s)方框的輸出端(注意不宜前移)，變換結(jié)果如圖2.21(a)所示；②將G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內(nèi)反饋回路簡(jiǎn)化(如圖2.21(b)所示)，其等效傳遞函數(shù)為③再將G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)組成的內(nèi)反饋回路簡(jiǎn)化(見(jiàn)圖2.21(c))。

其等效傳遞函數(shù)為

④將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的反饋回路簡(jiǎn)化便求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

圖

2.21系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化

應(yīng)當(dāng)指出，在結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化過(guò)程中，兩個(gè)相鄰的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)不能輕易交換?？傊?，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)(子系統(tǒng))的結(jié)構(gòu)圖和信息流向，可建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量后，經(jīng)過(guò)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化和運(yùn)算，就能求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

這是經(jīng)典控制理論中利用傳遞函數(shù)來(lái)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本方法。

圖

2.22信號(hào)流圖2.4信

號(hào)

流

圖

1.信號(hào)流圖中的術(shù)語(yǔ)下面結(jié)合圖2.23介紹信號(hào)流圖的有關(guān)術(shù)語(yǔ)。輸入節(jié)點(diǎn)(源)

僅具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如圖2.23中的x1。

圖

2.23信號(hào)流圖

前向通道回路不接觸回路輸出節(jié)點(diǎn)(阱)

僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。有時(shí)信號(hào)流圖中沒(méi)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號(hào)流圖中任一變量為輸出變量，然后從該節(jié)點(diǎn)變量引出一條增益為1的支路，即可形成一輸出節(jié)點(diǎn)，如圖2.23中的x6。

混合節(jié)點(diǎn)既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如圖2.23中的x2，x3，x4，x5。

通道沿支路箭頭方向而穿過(guò)各相連支路的途徑。如果通道與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就叫開(kāi)通道。如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就稱(chēng)作閉通道。

前向通道如果從輸入節(jié)點(diǎn)(源)到輸出節(jié)點(diǎn)(阱)的通道上，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通道叫前向通道。如

前向通道增益前向通道上各支路增益之乘積，用Pk表示。回路起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，并與其它節(jié)點(diǎn)相遇僅一次的通路，也就是閉合通道。以下是圖2.23中的一些回路：

回路增益回路中所有支路的乘積，用La表示。

不接觸回路回路之間沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，這種回路叫做不接觸回路。在信號(hào)流圖中，可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的不接觸回路。

例如：

就是不接觸回路的例子。上述定義可以類(lèi)推到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中，從而采用梅遜公式(后面將介紹)求取由結(jié)構(gòu)圖表示的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

2.信號(hào)流圖的性質(zhì)

(1)信號(hào)流圖適用于線性系統(tǒng)。

(2)支路表示一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系，信號(hào)只能沿支路上的箭頭指向傳遞。

(3)在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把相加后的信號(hào)送到所有的輸出支路。

(4)具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過(guò)增加一個(gè)具有單位增益的支路可以把它作為輸出節(jié)點(diǎn)來(lái)處理。

(5)對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的。由于描述同一個(gè)系統(tǒng)的方程可以表示為不同的形式，因此可以畫(huà)出不同的信號(hào)流程圖。信號(hào)流程圖的化簡(jiǎn)串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨e。并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?。混合?jié)點(diǎn)可以通過(guò)移動(dòng)支路的方法消去。回環(huán)可以根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路。用梅遜公式可以直接求信號(hào)流圖從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的增益，其表達(dá)式為

(2.45)

P——系統(tǒng)總增益(對(duì)于控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖而言，就是輸入到輸出的傳遞函數(shù))；

k——前向通道數(shù)目；

Pk——第k條前向通道的增益；

3.梅遜公式☆

Δ——信號(hào)流圖的特征式，它是信號(hào)流圖所表示的方程組的系數(shù)矩陣的行列式。在同一個(gè)信號(hào)流圖中不論求圖中任何一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的增益，其分母總是Δ，變化的只是其分子。它可以通過(guò)下面的表達(dá)式計(jì)算：其中，∑L(1)——所有不同回路增益乘積之和；∑L(2)——所有任意兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；∑L(3)——所有任意三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；∑L(m)——所有任意m個(gè)不接觸回路增益乘積之和；

Δk

——信號(hào)流圖中除去與第k條前向通道Pk相接觸的支路和節(jié)點(diǎn)后余下的信號(hào)流圖的特征式，稱(chēng)為Pk的余因式。

Pk

——第k條前向通道的增益；例2.10根據(jù)梅遜公式求下圖的信號(hào)流圖總輸出

解：此系統(tǒng)有六個(gè)回環(huán)，即ab、cd、ef、gh、ij和kfdb，因此：∑L1=ab+cd+

ef+gh+ij+kfdb兩個(gè)互不接觸的回環(huán)有七種組合，即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，有∑L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij三個(gè)互不接觸的回環(huán)有ab、ef和ij，有∑L3=abefij特征式：△=1-∑L1+∑L2-∑L3

從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)有兩條前向通道。一條為acegi，它與所有的回環(huán)均有接觸，因此：

P1=acegi，△1=1另一條前向通道為kgi它不與回環(huán)cd接觸，所以

P2=kgi

，△2=1-cd將以上結(jié)果代入得到總傳輸T=（P1△1+P2△2

）/（1-∑L1+∑L2-∑L3）

=[acegi+kgi（1-cd）]/[1-（ab+cd+

ef+gh+ij+kfdb）+（abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij）-abefij]

例2.11系統(tǒng)的方塊圖如圖2.24所示，試用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖2.24系統(tǒng)的方塊圖有三個(gè)獨(dú)立回路：

解

從圖中可以看出，該框圖只有一個(gè)前向通道，其增益為

沒(méi)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的互相獨(dú)立回路。所以，特征式Δ為連接輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道的余因式Δ1，可以通過(guò)除去與該通道接觸的回路的方法得到。因?yàn)橥ǖ繮1與三個(gè)回路都接觸，所以有

Δ1=1

因此，輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益或閉環(huán)傳遞函數(shù)為

例2.11

利用梅遜公式確定圖2.8(c)所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Φ(s)=U2(s)/U1(s)及ΦE(s)=E(s)/U1(s)。(自己練習(xí))

解

該圖有三個(gè)反饋回路：回路1和回路3不接觸，所以有

以U2(s)作為輸出信號(hào)時(shí)，該系統(tǒng)只有一條前向通道。

且有

該前向通道與各回路都有接觸，所以

Δ1=1故

以E(s)作為輸出信號(hào)時(shí)，該系統(tǒng)也只有一條前向通道。

且

P1=1這條前向通道與回路1相接觸，故

所以

總之，當(dāng)求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，簡(jiǎn)單的系統(tǒng)可以直接用結(jié)構(gòu)圖運(yùn)算，既清楚又方便；復(fù)雜的系統(tǒng)可以將其看作信號(hào)流圖后，再利用梅遜公式計(jì)算。

需要強(qiáng)調(diào)的是，在利用梅遜公式時(shí)，要考慮周到，不能遺漏任何應(yīng)當(dāng)計(jì)算的回路和前向通道。

2.5線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（了解）

2.5.1狀態(tài)空間描述的基本概念

狀態(tài)指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。設(shè)想有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)就是質(zhì)點(diǎn)每一個(gè)時(shí)刻的位置和速度。

狀態(tài)變量指足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量。若知道這些變量在任何初始時(shí)刻t0的值和t≥t0時(shí)系統(tǒng)所加的輸入函數(shù)，便可完全確定在任何t＞t0時(shí)刻的狀態(tài)。

一個(gè)用n階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個(gè)獨(dú)立變量，當(dāng)這n個(gè)獨(dú)立變量的時(shí)間響應(yīng)都求得時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也就完全被揭示了。因此可以說(shuō)，系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個(gè)獨(dú)立變量。需要指出，對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)，選取哪些變量作為狀態(tài)變量并不是唯一的，但這些變量必須是互相獨(dú)立的，且個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。對(duì)于一般物理系統(tǒng)，微分方程的階數(shù)唯一地取決于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。因此，系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)又可以說(shuō)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。

狀態(tài)向量如果n個(gè)狀態(tài)變量用x1(t)，

x2(t)，…，xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是向量x(t)的分量，則向量x(t)稱(chēng)為狀態(tài)向量。記為

或

狀態(tài)空間以狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的n維空間。系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)x(t)都可用狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。已知初始時(shí)刻t0的狀態(tài)x(t0)，可得到狀態(tài)空間中的一個(gè)初始點(diǎn)。隨著時(shí)間的推移，x(t)將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱(chēng)為狀態(tài)軌跡。

狀態(tài)方程描述系統(tǒng)的狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入量之間關(guān)系的一階微分方程組，稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

輸出方程描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱(chēng)為系統(tǒng)的輸出方程。

狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程與輸出方程總合起來(lái)，就構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的完整描述，稱(chēng)之為狀態(tài)空間表達(dá)式。

通常，對(duì)于單變量系統(tǒng)，狀態(tài)方程習(xí)慣寫(xiě)成如下形式：(2.46)輸出方程為

(2.47)寫(xiě)成矩陣向量形式為

(2.48)式中=x［x1，x2，…，xn］T表示n維狀態(tài)向量；A、B、C、d分別表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的系數(shù)矩陣(系統(tǒng)矩陣)、輸入對(duì)狀態(tài)作用的輸入矩陣、輸出與狀態(tài)關(guān)系的輸出矩陣、直接聯(lián)系輸入量與輸出量的直接傳遞函數(shù)(或稱(chēng)前饋系數(shù))。

推廣到p輸入、q輸出的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為

(i=1，2，…，n)(2.49)(j=1，2，…，q)(2.50)寫(xiě)成矩陣向量形式為

(2.51)式中x和A同單變量系統(tǒng)。

表示p維輸入向量；表示輸入矩陣；表示q維輸出向量；表示輸出矩陣；表示直接傳遞函數(shù)矩陣。

上述系統(tǒng)可簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)(A，B，C，D)。

圖

2.25狀態(tài)空間表達(dá)式的框圖

例2.12設(shè)有一個(gè)RLC電路(如圖2.26所示)，試確定它的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖2.26RLC電路

例2.12設(shè)有一個(gè)RLC電路(如圖2.26所示)，試確定它的狀態(tài)空間表達(dá)式。

解根據(jù)電學(xué)原理，可得

(2.52)選取u2(t)和i(t)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，可把式(2.52)表示為如下兩個(gè)一階微分方程：(2.53)取狀態(tài)變量x1=u2(t)，x2=i(t)，輸出y=u2=x1，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(2.54)(2.55)寫(xiě)成矩陣向量形式為

(2.56)(2.57)圖2.3機(jī)械阻尼器示意圖k是彈簧系數(shù)，m是運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量，μ是阻尼器的阻尼系數(shù)；外力f(t)是系統(tǒng)的輸入量，位移y(t)是系統(tǒng)的輸出量。試建立其狀態(tài)空間模型。

例2.13

對(duì)圖2.3所示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)，試建立其狀態(tài)空間模型。

解根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式(2.6)，選取狀態(tài)變量x1(t)=y(t)、x2(t)=y(t)，令輸入為系統(tǒng)所受的外力u(t)=f(t)，輸出為質(zhì)量塊的位移y(t)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

.(2.58)(2.59)可將式(2.58)和式(2.59)寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式

式中，2.5.2狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)的關(guān)系

同一系統(tǒng)的兩種不同模型(傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式)之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，并且可以互相轉(zhuǎn)化。以下是對(duì)單輸入、單輸出系統(tǒng)的討論。(2.60)該系統(tǒng)在狀態(tài)空間可表示為

設(shè)要研究的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(2.61)式中為狀態(tài)向量，u，y分別為輸入量和輸出量。在零初始條件假設(shè)下，方程

所以有

其中I為單位矩陣。用(sI-A).-1乘上式兩邊，有

(2.62)(2.63)(2.64)因此有

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義可知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間描述之間的關(guān)系為

對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，采用式(2.65)可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，用式(2.65)求出的是用于描述多變量系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)矩陣。

(2.65)

例2.14

試根據(jù)例2.13中系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解將例2.13中系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)矩陣(A，B，C，D)代入方程(2.65)可得因?yàn)?/p>

所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2.5.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式也可以由系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)來(lái)建立。(2.66)

情形一線性微分方程中不含輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，傳遞函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)?？紤]下列n階系統(tǒng)：其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(2.67)如果已知y(0)，y(0)，…，y(n.1)(0)和t≥0時(shí)的輸入量u(t)，就可以完全確定系統(tǒng)未來(lái)的行為。因此，可以將y(t)，y(t)，…，y(n.1)(t)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即

..則方程(2.66)可表示為下列微分方程組

即

(2.68)式中

輸出量可由下式確定

即

(2.69)式中，所以，當(dāng)線性微分方程中不含輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，傳遞函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的一種狀態(tài)空間表達(dá)式可由方程(2.68)和(2.69)給出。

在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程和相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(2.70)(2.71)此時(shí)，如果再取y(t)，y(t)，…，y(n-1)(t)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，則構(gòu)成的n個(gè)一階微分方程不能唯一確定系統(tǒng)的狀態(tài)，其主要原因是

.情形二線性微分方程含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，傳遞函數(shù)有零點(diǎn)。中含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。因此，狀態(tài)變量的設(shè)置，必須能消除狀態(tài)方程中u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。其中一種選取方法是構(gòu)造如下n個(gè)狀態(tài)變量(還有其他的選取方法)：從而，可以得到由如下這組狀態(tài)變量描述的系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

寫(xiě)成向量.矩陣形式，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為

式中，例

2.15

已知某控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

其中，u(t)和y(t)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出。選取狀態(tài)變量x1=y，x2=，寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

解

由已知條件容易得到

將其寫(xiě)成向量矩陣形式，并考慮到x1=y，可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

例

2.16

已知控制系統(tǒng)的微分方程為

試寫(xiě)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。

解

這是一個(gè)含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的運(yùn)動(dòng)方程，由已知條件可知

狀態(tài)變量按照情形二選取，則

于是得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

2.6線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)

1.MATLAB建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法解輸入上述傳遞函數(shù)的MATLAB程序如下：

%ex.2.17num=[12,24,12,20];%分母den=[2,4,6,2,2];%分子G=tf(num,den)%傳遞函數(shù)例2.17

若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試用MATLAB語(yǔ)句表示該傳遞函數(shù)。程序第一行是注釋語(yǔ)句，不執(zhí)行；第二、三行分別按降冪順序輸入給定傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)；第四行建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果顯示