模型09、平拋-斜面模型（解析版）

模型09、平拋——斜面模型【模型解題】斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是一種常見(jiàn)的題型,在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)除要運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的位移和速度規(guī)律，還要充分運(yùn)用斜面傾角,找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關(guān)系，從而使問(wèn)題得到順當(dāng)解決。方法內(nèi)容實(shí)例總結(jié)斜面求小球平拋時(shí)間分解速度水平豎直合速度如圖，，故分解速度，構(gòu)建速度三角形分解位移水平豎直合位移如圖，而聯(lián)立得分解位移，構(gòu)建位移三角形常見(jiàn)平拋運(yùn)動(dòng)模型運(yùn)動(dòng)時(shí)間得計(jì)算方法在水平地面上正上方h處平拋：由知，即t由高度h打算在半圓內(nèi)得平拋運(yùn)動(dòng)（如圖1），由半徑和幾何關(guān)系制約時(shí)間t:,聯(lián)立兩方程可求t斜面上的平拋問(wèn)題順著斜面平拋（如圖2）方法：分解位移，，，可求得B、對(duì)著斜面平拋（如圖3）方法：分解速度，，可求得對(duì)著豎直墻壁平拋（如圖4）水平初速度不同時(shí)，雖然落點(diǎn)不同，但水平位移d相同，常見(jiàn)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)模型的分析方法1.

類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)

物體所受的合外力為恒力，且與初速度的方向垂直.

2.類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

在初速度方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度

3.類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的求解方法

(1)常規(guī)分解法:將類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，兩分運(yùn)動(dòng)彼此獨(dú)立，互不影響，且與合運(yùn)動(dòng).具有等時(shí)性.

(2)特殊分解法:對(duì)于有些問(wèn)題，可以過(guò)拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將加速度分解為、,

初速度分解為、,

然后分別在x、y方向列方程求解?！灸Ｐ陀?xùn)練】【例1】如圖所示為跳臺(tái)滑雪的簡(jiǎn)易示意圖，運(yùn)動(dòng)員（可視為質(zhì)點(diǎn)）從雪坡上某位置由靜止滑下，到達(dá)О點(diǎn)后分別以大小不同的速度水平飛出。在兩次訓(xùn)練中分別落在平臺(tái)下方的斜面上的A、B兩點(diǎn)，OA=AB。則兩次訓(xùn)練在空中的時(shí)間之比（）A．1：1 B．1： C．1： D．1∶2【答案】B【詳解】由題意可知物體做平拋運(yùn)動(dòng)，且位移大小之比為1∶2，方向相同，由運(yùn)動(dòng)的分解可知，豎直高度之比為1∶2，由運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為1∶。故選B。變式1.1如圖所示，在滑雪競(jìng)賽中，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員先后從雪坡滑下，水平飛出后均落到斜坡上。已知甲運(yùn)動(dòng)員水平飛出時(shí)的速度大小為v0，甲運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為乙運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的倍，運(yùn)動(dòng)員均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。乙運(yùn)動(dòng)員水平飛出時(shí)的速度大小為（）A． B． C．v0 D．2v0【答案】B【詳解】設(shè)斜坡的傾角為θ，運(yùn)動(dòng)員在斜坡上的位移為L(zhǎng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的學(xué)問(wèn)可得聯(lián)立可得甲運(yùn)動(dòng)員水平飛出時(shí)的速度大小為v0，甲運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為乙運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的倍，則運(yùn)動(dòng)員乙水平飛出時(shí)的速度大小為故選B。變式1.22022年冬奧會(huì)由北京和張家口承辦，滑雪是冬奧會(huì)的競(jìng)賽項(xiàng)目之一。如圖所示，跳臺(tái)的斜坡與水平面的夾角，滑雪運(yùn)動(dòng)員從斜坡的起點(diǎn)A點(diǎn)沿水平方向飛出，經(jīng)過(guò)落到斜坡上的B點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度取，則（）A．A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為；運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的速度大小為B．A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為；運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的速度大小為C．A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為；運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的速度大小為D．A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為；運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的速度大小為【答案】A【詳解】運(yùn)動(dòng)員在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為，有得設(shè)運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的速度為，運(yùn)動(dòng)員在水平方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，有得故選A?！纠?】如圖所示，以v0=10m/s的速度水平拋出的小球，飛行一段時(shí)間垂直地撞在傾角θ=30°的斜面上，按g=10m/s2考慮，以下結(jié)論中不正確的是（）A．速度偏轉(zhuǎn)角為60°B．物體撞擊斜面時(shí)的速度大小為20m/sC．物體飛行的時(shí)間是6sD．物體下降的距離是15m【答案】C【詳解】AC．小球撞在斜面上時(shí)速度與斜面垂直，則速度與豎直方向的夾角為30°，則依據(jù)速度的分解可得豎直方向的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)間故A正確，C錯(cuò)誤；B．物體撞擊斜面時(shí)的速度大小故B正確；D．物體下落的豎直距離故D正確。故選C。變式2.1在某次演習(xí)中，轟炸機(jī)沿水平方向投放了一枚炸彈，炸彈正好垂直擊中山坡上的目標(biāo)，山坡的傾角為，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，則（）A．僅轉(zhuǎn)變炸彈的水平初速度，炸彈仍可能垂直擊中山坡B．僅轉(zhuǎn)變炸彈投放高度，炸彈仍可能垂直擊中山坡C．可求出炸彈水平方向通過(guò)的距離D．可求出炸彈豎直方向下落的距離與水平方向通過(guò)的距離之比【答案】D【詳解】AB．炸彈正好垂直擊中山坡上的目標(biāo)，設(shè)水平初速度為，豎直分速度為，則有又僅轉(zhuǎn)變炸彈的水平初速度，由于保持不變，則炸彈不行能垂直擊中山坡；僅轉(zhuǎn)變炸彈投放高度，則發(fā)生轉(zhuǎn)變，但水平初速度為不變，則炸彈不行能垂直擊中山坡，故AB錯(cuò)誤；C．由于炸彈投放高度不知道，無(wú)法知道下落時(shí)間，無(wú)法求出炸彈水平方向通過(guò)的距離，故C錯(cuò)誤；D．炸彈豎直方向下落的距離與水平方向通過(guò)的距離之比為故D正確。故選D。變式2.2如圖所示，A、D分別是斜面的頂端、底端，B、C是斜面上的兩個(gè)點(diǎn)，，E點(diǎn)在D點(diǎn)的正上方，與A等高，從E點(diǎn)水平拋出質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，球1落在B點(diǎn)，球2落在C點(diǎn)，關(guān)于球1和球2從拋出到落在斜面上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是（

）A．球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：1B．球1和球2速度增加量之比為1：3C．球1和球2拋出時(shí)初速度之比為D．球1和球2運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度之比為1：2【答案】C【詳解】A．由于AC=2AB，則AC的高度差是AB高度差的2倍，依據(jù)得解得球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比為，故A錯(cuò)誤；BD．平拋運(yùn)動(dòng)的物體只受重力，加速度為g，兩球的加速度相同，可知球1和球2均在水平方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，依據(jù)可得球1和球2速度增加量之比等于球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比，也為，故BD錯(cuò)誤；C．AC在水平方向上的位移是AB在水平方向位移的2倍，結(jié)合解得初速度之比為，故C正確；故選C?！纠?】如圖所示，兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平拋出。已知半圓軌道的半徑為與斜面豎直高度相等，斜面底邊長(zhǎng)為其豎直高度的2倍。若小球能落到半圓軌道上，小球能落到斜面上，均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度取,則下列說(shuō)法正確的是（

）A．假如球落在半圓軌道最低點(diǎn)，則其速度方向豎直向下B．球落在斜面上時(shí)，其速度方向與水平面夾角的正切值為0.5C．調(diào)整球初速度的大小，能使球垂直落在半圓軌道上D．兩球假猶如時(shí)落在半圓軌道和斜面上，則其初速度【答案】D【詳解】A．平拋運(yùn)動(dòng)的末速度不行能豎直向下，A錯(cuò)誤；B．設(shè)斜面傾角為，則速度方向與水平面夾角的正切值為B錯(cuò)誤；C．平拋運(yùn)動(dòng)末速度的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于水平位移的中點(diǎn)，若球垂直落在半圓軌道上，則反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)圓心，不是中點(diǎn)，不符合實(shí)際狀況，C錯(cuò)誤；D．兩球假猶如時(shí)落在半圓軌道和斜面上，則下落高度相同，且位移偏轉(zhuǎn)角均等于斜面傾角，則，而得D正確。故選D。變式3.1如圖所示，質(zhì)量相等的a、b兩小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度v0同時(shí)水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等，斜面底邊長(zhǎng)是其豎直高度的2倍，若小球a能落到半圓軌道上，小球b能落到斜面上。則下列說(shuō)法不正確的是（）A．a(chǎn)球可能垂直打在半圓軌道B．a(chǎn)、b兩球的速度偏轉(zhuǎn)角可能相同C．a(chǎn)、b兩球在空中時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)速度變化量相等D．b球以?huà)伋雠c以?huà)伋雎湓谛泵嫔蠒r(shí)速度偏轉(zhuǎn)角肯定相等【答案】A【詳解】A．球假如能垂直打在半圓軌道上，則速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)圓心，故A選項(xiàng)是不正確的。B．a(chǎn)、b兩球可能落在等高且距離拋出點(diǎn)水平位移相等的位移處，時(shí)間相等，速度偏轉(zhuǎn)角相同，選項(xiàng)B正確；C．a(chǎn)、b兩球加速度相同，單位時(shí)間內(nèi)速度變化量相等，選項(xiàng)C正確；D．b球落在斜面上，依據(jù)則速度偏轉(zhuǎn)角也相同，選項(xiàng)D正確。此題選擇不正確的，故選A。變式3.2（多選）如圖所示，a、b兩小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等且在同一豎直面內(nèi)，斜面底邊長(zhǎng)是其豎直高度的2倍，若小球b能落到斜面上，下列說(shuō)法正確的是（）A．可能同時(shí)分別落在半圓軌道和斜面上B．a(chǎn)球肯定先落在半圓軌道上C．a(chǎn)球可能先落在半圓軌道上D．b球肯定先落在斜面上【答案】AC【詳解】將圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖甲所示，交點(diǎn)為A，初速度合適，可知小球做平拋運(yùn)動(dòng)落在A點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，即同時(shí)落在半圓軌道和斜面上；若初速度不適中，由圖可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圓軌道上。故AC正確，BD錯(cuò)誤。故選AC。【例4】如圖所示，在傾角分別為37°和53°斜面頂端，分別向左、向右沿水平方向拋出A、B兩個(gè)小球，兩小球第一次落在斜面上時(shí)正好在同一水平線(xiàn)上，若不計(jì)空氣阻力，則A、B兩球初速度大小之比為（，）（）A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9∶16【答案】C【詳解】?jī)尚∏虻谝淮温湓谛泵嫔蠒r(shí)正好在同一水平線(xiàn)上，說(shuō)明兩小球豎直位移相等，設(shè)為h，由得兩小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，由圖中幾何關(guān)系可知，依據(jù)水平位移與速度成正比可得故選C。變式4.1如圖所示，一固定斜面傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，小球擊中了斜面上的P點(diǎn)；將小球B從空中某點(diǎn)以相同速率v0水平向左拋出，小球恰好垂直斜面擊中Q點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，小球A、B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為（）A．2：1 B．：1C．1：2 D．1：【答案】A【詳解】設(shè)小球A在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，對(duì)小球A，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得對(duì)小球B，結(jié)合幾何學(xué)問(wèn)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得聯(lián)合可得故選A。變式4.2（多選）如圖所示，一傾角為的斜面固定在地面上，將小球A從斜面頂端以速度水平向右拋出，小球擊中了斜面上的點(diǎn)，將小球B從空中與小球A等高的某點(diǎn)，以速度水平向左拋出，小球恰好垂直斜面擊中點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，斜面足夠長(zhǎng)，重力加速度為，下列說(shuō)法中正確的是（）A．小球A在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為B．小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為C．若將小球B以大小相等的初速度，從該點(diǎn)向各個(gè)方向拋出，則豎直下拋，落到斜面上所用時(shí)間最短D．若將小球B以大小相等的初速度，從該點(diǎn)向各個(gè)方向拋出，則垂直斜面對(duì)上拋出，落到斜面上所用時(shí)間最長(zhǎng)【答案】AD【詳解】A．設(shè)小球A在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，則解得故A正確；B．設(shè)小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，則解得故B錯(cuò)誤；CD．依據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，小球B落到斜面上所用時(shí)間取決于其在垂直于斜面方向的分運(yùn)動(dòng)的狀況，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度始終為gcosθ，則當(dāng)小球B以垂直于斜面對(duì)下的初速度拋出時(shí)，其落到斜面上所用時(shí)間最短，當(dāng)小球B以垂直于斜面對(duì)上的初速度拋出時(shí)，其落到斜面上所用的時(shí)間最長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤，D正確。故選AD?！纠?】如圖所示，水平地面上有一高的豎直墻，現(xiàn)將一小球以的速度垂直于墻面水平拋出，已知拋出點(diǎn)A與墻面的水平距離s＝3.6m，離地面高H＝5.0m，不計(jì)空氣阻力，不計(jì)墻的厚度。重力加速度g取10m/s2。（1）小球碰墻點(diǎn)B離地面的高度；（2）碰墻時(shí)小球的速度大小；（3）若仍將小球從原位置往原方向拋出，為使小球能越過(guò)豎直墻（忽視墻厚），小球拋出時(shí)的初速度大小至少是多大?【答案】（1）3.2m；（2）；（3）9.0m/s【詳解】（1）小球在遇到墻前做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球碰墻前運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依據(jù)可知，小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間依據(jù)可得（2）平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向上的分速度依據(jù)平行四邊形定則知，小球碰墻前瞬間速度（3）忽視墻厚，豎直方向水平方向解得變式5.1如圖所示，水平地面上有一高h(yuǎn)=4.2m的豎直墻，現(xiàn)將一小球以v0=6.0m/s的速度垂直于墻面水平拋出，已知拋出點(diǎn)與墻面的水平距離s=3.6m、離地面高H=5.0m，不計(jì)空氣阻力，不計(jì)墻的厚度。重力加速度g取10m/s2。（1）求小球碰墻點(diǎn)離地面的高度h1；（2）若仍將小球從原位置沿原方向拋出，為使小球能越過(guò)豎直墻，小球拋出時(shí)的初速度v的大小應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？【答案】（1）3.2m；（2）初速度v9.0m/s?！驹斀狻浚?）小球在遇到墻前做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球碰墻前運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：水平方向上：s=v0t①豎直方向上：②由①②式并代入數(shù)據(jù)可得：h1=3.2m（2）設(shè)小球以v1的初速度拋出時(shí)，小球恰好沿墻的上沿越過(guò)墻，小球從拋出至運(yùn)動(dòng)到墻的上沿歷時(shí)t1，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有水平方向上：s=