高中數(shù)學(xué) 數(shù)列的概念及其簡(jiǎn)單表示法

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十八）數(shù)列的概念及其簡(jiǎn)單表示法一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2018·南通期末)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前4項(xiàng)為1，－eq\f(1,4)，eq\f(1,9)，－eq\f(1,16)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________．解析：根據(jù)題意，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前4項(xiàng)為1，－eq\f(1,4)，eq\f(1,9)，－eq\f(1,16)，則a1＝(－1)1＋1×eq\f(1,12)＝1，a2＝(－1)2＋1×eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)，a3＝(－1)3＋1×eq\f(1,32)＝eq\f(1,9)，a4＝(－1)4＋1·eq\f(1,42)＝－eq\f(1,16)，以此類推可得：an＝(－1)n＋1·eq\f(1,n2).答案：an＝(－1)n＋1·eq\f(1,n2)2．(2018·鹽城二模)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________________.解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn－1，∴an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，即an＋1＝3an，∵a2＝2a1＝2，∴an＝2·3n－2，n≥2.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2))3．(2018·蘇州期中)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝5n＋1，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通項(xiàng)公式為bn＝n2，若將數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))中相同的項(xiàng)按從小到大的順序排列后看作數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))，則c6的值為_(kāi)_______．解析：∵數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式為an＝5n＋1，∴數(shù)列中數(shù)據(jù)符合平方的數(shù)有：16,36,81,121,196,256.∵數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通項(xiàng)公式為bn＝n2，當(dāng)n＝4,6,9,11,14,16時(shí)符合上面各個(gè)數(shù)．∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))中相同的項(xiàng)按從小到大的順序排列后看作數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))，c6的值為256.答案：2564．(2019·南通第一中學(xué)測(cè)試)已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*，滿足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，則a10＝________.解析：a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30.答案：305．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)镾n＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－16．(2018·無(wú)錫期末)對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝________.解析：因?yàn)閎3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.答案：8二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，則通項(xiàng)公式an＝________.解析：因?yàn)閍n＋an＋1＝eq\f(1,2)，a2＝2，所以a1＝－eq\f(3,2)，a3＝－eq\f(3,2)，a4＝2，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n為奇數(shù)，,2，n為偶數(shù).))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n為奇數(shù)，,2，n為偶數(shù)))2．(2018·啟東中學(xué)調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則連乘積a1a2a3…a2017a2018＝________.解析：因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，所以a2＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，所以數(shù)列{an}的周期為4，且a1a2a3a4＝1，所以a1a2a3…a2017a2018＝a2017·a2018＝a1·a2＝－6.答案：－63．(2019·蘇州模擬)在數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a4＝1，a12＝5，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是15，則a2018＝________.解析：∵任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是15，∴an＋an＋1＋an＋2＝15，同時(shí)an＋1＋an＋2＋an＋3＝15，則an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，即an＋3＝an，即數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，則由a4＝1，a12＝5，得a4＝a1＝1，a12＝a9＝a6＝a3＝5，則由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝9，∴a2018＝a672×3＋2＝a2＝9.答案：94．(2018·常州期中)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n,n2＋36)，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中的最大項(xiàng)的值是________．解析：an＝eq\f(n,n2＋36)＝eq\f(1,n＋\f(36,n))≤eq\f(1,2\r(n·\f(36,n)))＝eq\f(1,12)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)取等號(hào)，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中的最大項(xiàng)的值為eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．a(chǎn)1a2a3a4a5a6……解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝eq\f(9×10,2)＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為97.答案：976．(2018·常州第一中學(xué)檢測(cè))已知{an}滿足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，則eq\f(an,n)的最小值為_(kāi)_______．解析：由已知條件可知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，又n＝1時(shí)，a1＝33滿足此式．所以an＝n2－n＋33，n∈N*，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1.令f(n)＝n＋eq\f(33,n)－1，則f(n)在[1,5]上為減函數(shù)，在[6，＋∞)上為增函數(shù)，又f(5)＝eq\f(53,5)，f(6)＝eq\f(21,2)，則f(5)＞f(6)，故f(n)＝eq\f(an,n)的最小值為eq\f(21,2).答案：eq\f(21,2)7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n2,n2－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則an＝________.解析：由題意知eq\f(an,an－1)＝eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2,n－1n＋1)，所以an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(22,22－1)×eq\f(32,32－1)×…×eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,2－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n－1×n＋1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,1×3×2×4×3×5×…×n－1×n＋1)＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)8．?dāng)?shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a，n為偶數(shù)，,\f(1,an－1)，n為奇數(shù)，))若an＝eq\f(1,4)，則n＝________.解析：因?yàn)閍1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋a2＝3，a5＝eq\f(1,a4)＝eq\f(1,3)，a6＝1＋a3＝eq\f(3,2)，a7＝eq\f(1,a6)＝eq\f(2,3)，a8＝1＋a4＝4，a9＝eq\f(1,a8)＝eq\f(1,4)，所以n＝9.答案：99．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an， ①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1， ②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.10．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，在數(shù)列{bn}中，bn＝eq\f(1＋an,an).(1)求公差d的值；(2)若a1＝－eq\f(5,2)，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(3)若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍．解：(1)因?yàn)镾4＝2S2＋4，所以4a1＋eq\f(3×4,2)d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.(2)因?yàn)閍1＝－eq\f(5,2)，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－eq\f(5,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(7,2)，所以bn＝eq\f(1＋an,an)＝1＋eq\f(1,an)＝1＋eq\f(1,n－\f(7,2)).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1＋eq\f(1,x－\f(7,2))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上分別是單調(diào)減函數(shù)，所以b3＜b2＜b1＜1，當(dāng)n≥4時(shí)，1＜bn≤b4，所以數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)是b4＝3，最小項(xiàng)是b3＝－1.(3)由bn＝1＋eq\f(1,an)，得bn＝1＋eq\f(1,n＋a1－1).又函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,x＋a1－1)在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分別是單調(diào)減函數(shù)，且x＜1－a1時(shí)，y＜1；當(dāng)x＞1－a1時(shí)，y＞1.因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8，所以7＜1－a1＜8，所以－7＜a1＜－6，所以a1的取值范圍是(－7，－6)．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2018·通州期末)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，卷下第二十六題是：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？滿足題意的答案可以用數(shù)列表示，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an＝________.解析：本題的意思是一個(gè)數(shù)用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2，而用21除余2的數(shù)我們首先就會(huì)想到23，而23恰好被5除余3，即最小的一個(gè)數(shù)為23，同時(shí)這個(gè)數(shù)相差又是3,5,7的最小公倍數(shù)，即3×5×7＝105，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an＝105n＋23.答案：105n＋232．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋eq\f(b,n)，若對(duì)任意的n∈N*都有an≥a5，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_______．解析：由題意可得b＞0，因?yàn)閷?duì)所有n∈N*，不等式an≥a5恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4≥a5，,a6≥a5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋\f(b,4)≥5＋\f(b