2024-2025學年七年級數(shù)學上學期期中考點專題05有理數(shù)的乘方含解析新人教版

PAGEPAGE1專題05有理數(shù)的乘方重點突破學問點一乘方（重點）乘方的概念：一般地，個相同的因數(shù)相乘，即a×a×a?×an個，記作，讀作的次方。求個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。讀作的次方，也可以讀作的次冪。讀作:a的n次方,或者a的n次冪負數(shù)的冪的正負的規(guī)律：（易錯）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.學問點二科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即），是正整數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學記數(shù)法。（用科學記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.）把還原成原數(shù)時，只需把的小數(shù)點往前移動位。（易錯）學問點三近似數(shù)和有效數(shù)字近似數(shù)概念：在實際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計的數(shù)都是近似數(shù)。（近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.）【識別近似數(shù)與精確數(shù)的方法】①語句中帶有“約”“左右”等詞語，里面出現(xiàn)的數(shù)據(jù)是近似數(shù)。②描述“溫度”“身高”“體重”的數(shù)據(jù)是近似數(shù)。③精確數(shù)字與實際相符有效數(shù)字概念：一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，全部的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字。精確度：表示一個近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度。一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位。（難點）考查題型考查題型一有理數(shù)冪的概念理解典例1．（2024·遵義市期中）對于(－2)4與－24，下列說法正確的是(

)A．它們的意義相同 B．它的結果相等C．它的意義不同，結果相等 D．它的意義不同，結果不等【答案】D【解析】試題提示：的底數(shù)是﹣2，指數(shù)是4，結果是16；的底數(shù)是2，指數(shù)是4，它的意思是2的四次方的相反數(shù)，結果是﹣16．故選D．變式1-1．（2024·石家莊市期中）下列對于–34，敘述正確的是（）A．讀作–3的4次冪B．底數(shù)是–3，指數(shù)是4C．表示4個3相乘的積的相反數(shù)D．表示4個–3相乘的積【答案】C【提示】依據(jù)有理數(shù)的乘方的含義，以及各部分的名稱，逐一推斷即可．【詳解】因為–34讀作：負的3的4次冪，所以選項A不正確；因為–34的底數(shù)是3，指數(shù)是4，所以選項B不正確；因為–34表示4個3相乘的積的相反數(shù)，所以選項C正確；因為–34表示4個3相乘的積的相反數(shù)，所以選項D不正確．故選C．【名師點撥】此題主要考查了有理數(shù)的乘方的含義，以及各部分的名稱，要嫻熟駕馭，解答此題的關鍵是要明確：乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．an讀作a的n次方．變式1-2．（2024·惠來縣期中）下列說法正確的是（）A．23表示2×3B．﹣32與（﹣3）2互為相反數(shù)C．（﹣4）2中﹣4是底數(shù)，2是冪D．a3=（﹣a）3【答案】B【提示】依據(jù)有理數(shù)的乘方的定義對各選項提示推斷后利用解除法求解．【詳解】A、23表示2×2×2，故本選項錯誤；B、-32=-9，（-3）2=9，-9與9互為相反數(shù)，故本選項正確；C、（-4）2中-4是底數(shù)，2是指數(shù)，故本選項錯誤；D、a3=-（-a）3，故本選項錯誤．故選B．【名師點撥】本題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．變式1-3．（2024·寶雞市期中）若與互為相反數(shù)，則的倒數(shù)是（）A． B． C． D．沒有倒數(shù)【答案】D【提示】依據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0列出方程，再依據(jù)非負數(shù)的性質列方程求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】∵與|b-2|互為相反數(shù)，∴+|b-2|=0，∴=0，b-2=0，解得a=0，b=2，則沒有倒數(shù)．故選D．【名師點撥】此題考查非負數(shù)的性質，解題關鍵在于幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．考查題型二有理數(shù)乘方運算典例2．（2024·贛州市期中）13世紀數(shù)學家斐波那契的《計算書》中有這樣一個問題：“在羅馬有7位老婦人，每人趕著7頭毛驢，每頭驢馱著7只口袋，每只口袋里裝著7個面包，每個面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，則刀鞘數(shù)為()A．42 B．49 C．76 D．77【答案】C【解析】試題提示：有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方．依此即可求解．依題意有，刀鞘數(shù)為76．變式2-1．（2024·馬鞍山市期中）下列各組的兩個數(shù)中，運算后結果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．和【答案】B【解析】A選項中，因為，所以A中兩個數(shù)運算結果不等；B選項中，因為，所以B中兩個數(shù)的運算結果相等；C選項中，因為，所以C中兩個數(shù)的運算結果不相等；D選項中，因為，所以D中兩個數(shù)的運算結果不相等；故選B.變式2-2．（2024·赤峰市·）計算()2024×(﹣0.6)2024的結果是()A．﹣ B． C．﹣0.6 D．0.6【答案】D【提示】逆用積的乘方解答即可．【詳解】，=，=，=，=-1，=.故選D.【名師點撥】此題冪的乘方與積的乘方，關鍵是依據(jù)積的乘方的逆運算解答．考查題型三乘方運算的符號規(guī)律典例3．（2024·興仁市期中）在（﹣1）5、（﹣1）4、﹣23，（﹣3）2這四個數(shù)中，負數(shù)有幾個（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【提示】依據(jù)有理數(shù)的乘方：“負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)”即可解答.【詳解】（﹣1）5=-5，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)；（﹣1）4=4，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；﹣23=-8，表示2的3次方的相反數(shù)；（﹣3）2=9，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；故負數(shù)有2個，故選C.【名師點撥】本題考查了有理數(shù)的乘方，留意“負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)”.變式3-1．（2024·馬鞍山期末）計算(-1)2016A．0B．-1C．-2D．2【答案】A【解析】（-1）2024+（-1）2024=1+（-1）=0，故選A.變式3-2．（2024·大慶市期末）a，b互為相反數(shù)，下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的一組為（）A．a2與b2 B．a3與b5C．a2n與b2n（n為正整數(shù)） D．a2n+1與b2n+1（n為正整數(shù)）【答案】D【提示】依據(jù)相反數(shù)的定義以及有理數(shù)的乘方法則進行推斷即可．【詳解】解：A選項：a，b互為相反數(shù)，則a2=b2，故A錯誤；B選項：a，b互為相反數(shù)，則a3=-b3，故a3與b5不是互為相反數(shù)，故B錯誤；C選項：a，b互為相反數(shù)，則a2n=b2n，故C錯誤；D選項：a，b互為相反數(shù)，由于2n+1是奇數(shù)，則a2n+1與b2n+1互為相反數(shù)，故D正確；故選D．【名師點撥】考查了相反數(shù)和乘方的意義，明確只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，還要嫻熟駕馭互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶數(shù)次方相等，奇次方還是互為相反數(shù)．考查題型四乘方的應用典例4．（2024·衡水市期中）一根1米長的繩子，第一次剪去一半，其次次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的繩子長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【提示】依據(jù)乘方的意義和題意可知：第2次后剩下的繩子的長度為()2米，那么依此類推得到第六次后剩下的繩子的長度為()6米．【詳解】∵1-=，∴第2次后剩下的繩子的長度為()2米；依此類推第六次后剩下的繩子的長度為()6米．故選C．【名師點撥】此題主要考查了乘方的意義．其中解題是正確理解題意是解題的關鍵，能夠依據(jù)題意列出代數(shù)式是解題主要步驟．變式4-1．（2024·張家口市期末）某種細菌在培育過程中，每半小時分裂一次（由一個分裂成兩個），若這種細菌由1個分裂為64個，則這個過程要經過（）A．1小時 B．2小時 C．3小時 D．4小時【答案】C【提示】依據(jù)已知可知1個細胞從第1次到第3次所分裂的細胞個數(shù)分別為21個,22個,23個,從而得出第n次細胞分裂后的細胞個數(shù).【詳解】解:依據(jù)已知可知：一個細胞第一次分裂成21個，其次次分裂成22個，第三次分裂成23個，由上述規(guī)律可知，第n次時細胞分裂的個數(shù)為2n個，設第x次分裂成64個，由題意得2x=64，解得x=6，即第6次分裂細菌分裂成64個，答:由每半小時分裂一次，此細菌由1個分裂成64個，共花費了3個小時.故答案選C.【名師點撥】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是嫻熟的駕馭有理數(shù)的乘方的相關學問點.變式4-2．（2024·鄭州市期末）遠古時期，人們通過在繩子上打結來的記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”，如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自誕生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自誕生后的天數(shù)是（）A．336 B．510 C．1326 D．3603【答案】B【提示】類比于現(xiàn)在我們的十進制“滿十進一”，可以表示滿七進一的數(shù)為：千位上的數(shù)×73+百位上的數(shù)×72+十位上的數(shù)×7+個位上的數(shù)．【詳解】解：孩子自誕生后的天數(shù)是1×73+3×72+2×7+6=510.故選B.【名師點撥】本題是以古代“結繩計數(shù)”為背景，按滿七進一計算自孩子誕生后的天數(shù)，運用了類比的方法，依據(jù)圖中的數(shù)學列式計算；本題題型新奇，一方面讓學生了解了古代的數(shù)學學問，另一方面也考查了學生的思維實力．考查題型五含乘方的有理數(shù)加減乘除混合運算典例5．（2024·烏海市期中）計算:（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）-25；（3）【解析】試題提示：(1)易知在本小題式子最終的乘方運算得1，整個算式轉化為有理數(shù)的加減混合運算.運算時，可以將分母相同的分數(shù)結合在一起運算，也可以將符號不同的數(shù)結合在一起運算，不難得到最終結果.(2)先處理乘方運算和肯定值，再依據(jù)有理數(shù)的四則運算法則進行運算.(3)先將小數(shù)形式化為分數(shù)形式并將除法轉化為相應的乘法運算，然后依據(jù)有理數(shù)的四則運算法則進行運算.試題解析：(1)======(2)==-25(3)======變式5-1．（2024·武漢市期中）計算（1）﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）（2）﹣32﹣．【答案】（1）﹣16；（2）﹣8．【提示】（1）先算乘方，再算乘除，最終算加減即可；（2）先算乘方和肯定值，再算乘除，最終算加減即即可.【詳解】解：（1）﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）=﹣（﹣2）+9×（﹣2）=2+（﹣18）=﹣16；（2）﹣32﹣．=﹣9﹣（﹣）×﹣=﹣9+﹣=﹣8．【名師點撥】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是運算依次、乘方、肯定值化簡.考查題型六用科學記數(shù)法表示肯定值大于1的數(shù)典例6．（2024·黃石市期末）我國提倡的“一帶一路”建設將促進我國與世界一些國家的互利合作，依據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總人口為4400000000人，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為A．4.4×108 B．4.40×108 C．4.4×109 D．4.4×1010【答案】C【提示】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的肯定值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)肯定值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的肯定值＜1時，n是負數(shù)．【詳解】解：4400000000=4.4×109，故選C．變式6-1．（2024·鶴壁市期末）今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進出口總額達214.7億元，數(shù)據(jù)“214.7億”用科學記數(shù)法表示為（）A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011【答案】C【解析】提示：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的肯定值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)肯定值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的肯定值＜1時，n是負數(shù)．詳解：214.7億，用科學記數(shù)法表示為2.147×1010，故選C．變式6-2．（2024·周口市期末）一個整數(shù)815550…0用科學記數(shù)法表示為8.1555×1010，則原數(shù)中“0”的個數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．10【答案】B【提示】把8.1555×1010寫成不用科學記數(shù)法表示的原數(shù)的形式即可得．【詳解】∵8.1555×1010表示的原數(shù)為81555000000，∴原數(shù)中“0”的個數(shù)為6，故選B．【名師點撥】本題考查了把科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)，科學記數(shù)法的表示的數(shù)a×10n還成成原數(shù)時，n＞0時，小數(shù)點就向右移動n位得到原數(shù)；n<0時，小數(shù)點則向左移動|n|位得到原數(shù).考查題型七將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)典例7．（2024·周口市期中）“十三五”以來，我國啟動實施了農村飲水平安鞏固提升工程．截止去年9月底，各地已累計完成投資元．數(shù)據(jù)可以表示為（）A．10.02億 B．100.2億 C．1002億 D．10020億【答案】C【提示】科學記數(shù)法的標準形式為a×10n(1≤|a|＜10，n為整數(shù))，本題數(shù)據(jù)“1.002×1011”中的a=1.002，指數(shù)n等于11，所以，須要把1.002的小數(shù)點向右移動11位，得到原數(shù)，繼而依據(jù)數(shù)位進行表示即可．【詳解】1.002×1011=1.002×100000000000=100200000000=1002億，故選C．【名師點撥】本題考查寫出用科學記數(shù)法表示的原數(shù)．將科學記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a的小數(shù)點向右移動n位所得到的數(shù)．把一個數(shù)表示成科學記數(shù)法的形式及把科學記數(shù)法還原是兩個互逆的過程，這也可以作為檢查用科學記數(shù)法表示一個數(shù)是否正確的方法．變式7-1．（2024·朝陽區(qū)期中）長江三峽工程電站的總裝機容量用科學記數(shù)法表示為千瓦，把它寫成原數(shù)是（）A．182000千瓦 B．182000000千瓦C．18200000千瓦 D．1820000千瓦【答案】C【提示】把數(shù)據(jù)1.82×107寫成原數(shù)，就是把1.82的小數(shù)點向右移動7位．【詳解】把數(shù)據(jù)1.82×107中1.82的小數(shù)點向右移動7位就可以得到，為18200000．故選C．【名師點撥】用科學記數(shù)法a×10n表示的數(shù)還原成原數(shù)時，n是幾，小數(shù)點就向后移幾位．變式7-2．（2024·保定市期末）用科學記數(shù)法表示的數(shù)3.61×108．它的原數(shù)是（）A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000【答案】C【提示】科學記數(shù)法的標準形式為a×10n（1≤|a|＜10，n為整數(shù)）．本題把數(shù)據(jù)“3.61×108中3.61的小數(shù)點向左移動8位就可以得到．【詳解】解：3.61×108=3.61×100000000=361000000，故選C【名師點撥】本題考查了科學記數(shù)法，用科學記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)時，n＞0時，n是幾，小數(shù)點就向右移幾位．考查題型八求一個數(shù)的近似數(shù)典例8．（2024·嘉峪關市期末）用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.05（精確到千分位） D．0.0502（精確到0.0001）【答案】C【提示】一個近似數(shù)的有效數(shù)字是從左邊第一個不為0的數(shù)字起，后面全部的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字，精確到哪位，就是對它后邊一位進行四舍五入.【詳解】A：0.05019精確到0.1是0.1，正確；B：0.05019精確到百分位是0.05