第六章平面向量及其應(yīng)用單元檢測(cè)卷（知識(shí)達(dá)標(biāo)）（含解析）高一數(shù)學(xué)下學(xué)期課堂（單元復(fù)習(xí)篇人教A版2019必修第二冊(cè)）

第六章平面向量及其應(yīng)用

（知識(shí)達(dá)標(biāo)卷）

一、單選題

1.已知向量a=(-3,2),^=(4,-22),若(a+3Z?)〃,則實(shí)數(shù)X的值為（）

274

A.—B.—C.一D.-

3435

2

2.在△ABC中，角4B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,足q<7=4,b=3,sinA=],則g=()

兀71兀-5兀D.不

6366

3.已知向量￡=（-3,4）,則與[方向相反的單位向量是（)

A-B.[一；，j仁GT

D-

4.已知正方形/BCD的邊長為2,九W是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN

的長度最大時(shí)，麗■?兩的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,A/2]

C.[1,2]D.[-1,1]

5.在AA5c中，A=p。是2C上一點(diǎn)，S.BD=3DC,AD=3,則AABC面積的最大值是（）

A.373B.4省C.873D.當(dāng)8

3

6.已知等邊AABC的邊長為3,若麗'=-2的，則由7.枇=（）

JT_____,__,y

7.如圖，平面四邊形48co中，AB1BC,AB=BC,ADLAC,NAOC=-,AC=xAB+yAD,則上=

8.如圖，在梯形ABC。中，AB//DC且AB=2￡）C,BE=3EC,AF=2FD^AE與所交于點(diǎn)。，則Jd=（）

3—?4—?4—?3—?

A.-AB+-BCB.-AB+-BC

7777

4—?3—?2__k3__?

C.-AB+-BCD.-AB+-BC

5577

二、多選題

9.（多選）下列說法中正確的是（）

A,單位向量都相等

B.任一向量與它的相反向量不相等

C.四邊形A3Q）是平行四邊形的充要條件通=反

D.模為0是一個(gè)向量的方向是任意的充要條件

10.在AMC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知8=60。力=4,則下列判斷中正確的是（）

A.若°=百，則該三角形有兩解B.若。==,則該三角形有兩解

C.AABC周長有最大值12D.AABC面積有最小值4班

11.如圖，在等腰梯形/3CD中，AB=2AD=2CD=2BC,E是3c的中點(diǎn)，連接NE,8。相交于點(diǎn)尸，連

接C6則下列說法正確的是（）

f3f1一

A.AE=-AB+-AD

42

-1—2f-1-3-

C.BF=一一AB+-ADD.CF=—AB——AD

55105

12.AABC中，A=—,AB=2,AC=1,。為線段BC上的點(diǎn)，BI)=ABC,則()

B.%=g時(shí)，西卜;

A.ABAC=-1

C.若而_L及，則彳D.|BC|=V3

三、填空題

13.已知非零向量￡,b，滿足鏟=4/且￡，（2￡+加，則向量￡與石的夾角為.

14.已知向量￡=（1,2）,坂=（0,1）,若"4+疝，則2=.

15.《后漢書?張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以

篆龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī).外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蛛，張口承之.其牙機(jī)巧制，皆

隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動(dòng)，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蛛銜之.振聲激揚(yáng)，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)

機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在.驗(yàn)之以事，合契若神.”如圖，為張衡地動(dòng)儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在

相距200km的43兩地各放置一個(gè)地動(dòng)儀，2在/的東偏北60。方向，若/地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，

B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東km.

16.已知平面向量6,5忑滿足：卜-可=無5+1,同=同=1,則卜乙-5+目的最小值為.

四、解答題

17.如圖，已知點(diǎn)。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（4,3）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（一1,6）,作

垂足為點(diǎn)D.

(1)求|OA|,\OB\,\AB\.

⑵求cosZAOB；

(3)求SQB.

18.已知向量：="),S=(O,-2),在下列條件下分別求左的值:

(Da+B與后平行；

(2)a+B與ka-b的夾角為三.

19.如圖，長江某地南北兩岸平行，江面的寬度d=lkm,一艘游船從南岸碼頭/出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游

船在靜水中的航行速度7的大小為網(wǎng)=10km/h,水流速度W的大小為同=4km/h,設(shè)4和B的夾角為。,

北岸A在n的正北方向.

⑴當(dāng)6=120?時(shí)，判斷游船航行到北岸時(shí)的位置是在圖中A，的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由.

(2)當(dāng)cos。多大時(shí)，游船能到達(dá)H處？需航行多長時(shí)間？

20.如圖，四邊形N8CO中，AB=應(yīng),AC=g,cosZABC=-^-.

3

(1)求sin/BAC的值；

⑵若/54D=90。，BD=CD,求CD的長.

21.已知￡=(一2,-1),方=(2,4),求：

⑴|￡+同，\a-l\；

(2)￡與B的夾角的余弦值.

22.如圖所示，zxABC中，AB=a,AC=b,2AE=AB，3通=蔗.線段3RCE相交于點(diǎn)尸.

A

F

⑴用向量a與B表小BF及CE；

⑵若Q=x〃+yZ,試求實(shí)數(shù)工，>的值.

參考答案:

1.C

【解析】

【分析】

直接利用平面向量共線的性質(zhì)求解即可..

【詳解】

由已知得°+31=(9,2-62),a-&=(-7,2+22),

(a+3。)//(a—b^,

4

.?.9(2+2⑷-(-7)(2-62)=0,解得2=§,

故選：C.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

2

由題意可得=則吟或2得.

a42

因?yàn)閎<〃，所以5vA,所以3=

o

故選：A

3.C

【解析】

【分析】

ifia

求出H，計(jì)算一1即得.

【詳解】

【解析】

【分析】

作出圖形，考慮尸是線段A3上的任意一點(diǎn)，可得出西以及閑=所+麗，PN=PO-OM,

然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得市.麗的取值范圍.

【詳解】

如下圖所示：

考慮尸是線段43上的任意一點(diǎn)，PM^PO+OM，PN=PO+ON=PO-OM，

圓0的半徑長為1,由于P是線段48上的任意一點(diǎn)，則而卜[1,逝],

所以，W-P2V=（PO+W）.（PO-W）=PO2-OM2e[O,l].

故選：A.

5.B

【解析】

【分析】

設(shè)CD=尤，則在^ABD^ACD,^ABC分別利用余弦定理可得6,c的關(guān)系,再利用基本不等式可得面積的最大

值.

【詳解】

設(shè)CD=x,BD=3x,AADB=d,由余弦定理可得

/=9+/+6xcos6,c?=9+9x2—18%cos8,

消去cos。得%2+°2=36+12f,

又匕2+。2一床二驍爐,

聯(lián)立消去x得144=9b2+c2+3bc>6bc+3bc=9bc

所以6cW16,當(dāng)且僅當(dāng)6=生8,C=46時(shí)等號(hào)成立，

3

因止匕Smax=-X16X^=4A/3.

max22

故選：B.

6.A

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化原式為說?瑟=(通+兩')?就=福?南+而?/，利用數(shù)量積的定義即得解

【詳解】

由題意，CM=-2BM，故點(diǎn)”為線段8C上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)

故麗|=1

W-BC=(AB+W)BC=|AB||SC|cosl20+|W||BC|cosO°=3x3x(-1)+lx3xl=-|

故選：A

7.B

【解析】

【分析】

法一：構(gòu)建以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，45所在直線為x軸，垂直于的直線為丁軸的直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)表示

AC,AB,AD,結(jié)合平面向量基本定理求x、y即可求值；

法二：過C作CE//AT＞交48的延長線于￡,作C///AB交4D的延長線于尸，利用向量加法的平行四邊形

法則可得*=2通+代而求x、y,進(jìn)而求值;

法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律次?通=(x荏+y而)?通、ACAD=(xAB+yAD)AD

及已知條件構(gòu)建方程求x、y即可.

【詳解】

法一：以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，垂直于的直線為了軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)|A8|=1,則通=(1,0),由ABL3C,\AB\=\BC\,則|AC|=應(yīng)且前=(1,1),

法二：如圖，過C作CE〃AD交48的延長線于E,作CP//AB交4D的延長線于產(chǎn)，

AC=AE+AF.

由ABL3C,AB=BC及CE!IAD,易知：8是線段NE的中點(diǎn)，于是說=2麗.

由ADJLAC,ZADC=~,得立&c,易知AC=CE,CE=AF,

33

AAF^AC,則4/=也49,故而亞，于是/=2荏+g而，又就=x^+y而,

y=6'即鴻，

法三：設(shè)AS=1,由AS_L3C,AB=BC,得AC=&，AC-AB=y/2x^~=1,

由AD_LAC,得/.而=0，又NADC=g,則人。=如

33

A/6(A/2、

又衣?福=(x福+yXE)?麗=x+-----x--------v也

32J

、2

、A/32

ACAD=(xAB+yAD)AD=0力x+y=----x+—y,

3233

Jk7

x-----y=1

3x=2

'?L，于是,故2

V32y=6X-T

-----x+—y=0

I33

故選：B.

8.B

【解析】

【分析】

UL1UUUUUUUUL1UuumUULULULUUIU________ULUUULHU

以AB,BC為基底，設(shè)AO=XAE，F(xiàn)O=/uFB，用向量A8BC分別表示出向量AO，AF,FO，由

UUIUUUULULHU

Ab=AO—R9建乂萬程，解出義即可.

【詳解】

uunuunuuruun3uunuumuunuun3uumUUD32uun

AE=AB+BE=AB+-BC,設(shè)AO=4AE=4[Afi+zBCj=；lAB+^BC

44

uumumUUDuunuunuuniuunuuniurn

又AQuAB+BC+COuAB+BC——AB=BC+-AB

22

uum2uum2uuniUUDuuruunuunoUUD2UUD

5LAF=-AD=-BC+-AB,FB=AB-AF=-AB——BC

33333

uunuur2〃"?2〃umuumuuuuuu

設(shè)/O=〃M=mAB—mBC,由AF=A0_BO

1um7uuu(uunuun、<7,,uun7,,uun>

即(AB+”C=NAB+半BC卜羊"_羊叼

101

即(1AuBm+(28uuCn=卜(一2段〃、AuuiBi+因<3;+號(hào)2”、3C

L2〃1

X------=—uum4uun3uum

：解得<7

所以■3所以AO=-AB+-3C

322〃_2577

-U.=一

TT3r14

故選：B

9.CD

【解析】

【分析】

A.由單位向量的定義判斷；B.由零向量的定義判斷；C.由相等向量的定義判斷；D.由零向量的定義判斷.

【詳解】

A.單位向量的模均相等且為1,但方向并不一定相同，故錯(cuò)誤；

B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，故錯(cuò)誤；

C.若四邊形ABCD是平行四邊形，則一組對(duì)邊平行且相等，有荏=配，

若麗=反，則AB=OC,AB//OC,則四邊形ABCD是平行四邊形，故正確;

D.由零向量的規(guī)定，知正確.

故選：CD

10.BC

【解析】

【分析】

根據(jù)A、B選項(xiàng)給出的條件，利用正弦定理解出sinC和sinA,結(jié)合角度大小進(jìn)行判斷；C,。選項(xiàng)，根據(jù)

余弦定理結(jié)合均值不等式即可判斷.

【詳解】

b得氐in60°_3

解：對(duì)于A,由sin7

sinBsinC4-8

由于c<b,所以C<3,故C為銳角，所以只有一組解，A錯(cuò)誤;

可得樂sinA=*i'

對(duì)于3,同理，由一三=—

sinAsmB

由于。>>，所以A>3,A有兩個(gè)解，則相應(yīng)的C有兩個(gè)解，B正確;

對(duì)于C,由Z?2=一2QCCOSB，

23212

16=儲(chǔ)+c2—ac=(a+c)2—3〃c..(a+c)—(tz+c)=—(a+c).

44

故。+c,,8,當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形周長最大，最大值為12,此時(shí)三角形為等邊三角形，故C

正確；

對(duì)于D,由C推導(dǎo)過程知得16=/+。2_ac2ac_ac=aCf

即生,16,當(dāng)且僅當(dāng)〃二c時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形ABC面積最大，最大值為

=-?csinB=-xl6x^=4^,故。錯(cuò)誤，

△ABC222

故選：BC.

11.ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算并結(jié)合平面向量共線定理即可判斷答案.

【詳解】

->f->->1->1A->->->

對(duì)于A選項(xiàng),AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-1-AB+AD+DC

-1(——3f

=AB+--AB+AD+-AB\^-AB+-AD,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?,F,。三點(diǎn)共線，設(shè)卷=五凝+(1_到/1力，由嘉〃港，所以存在唯一實(shí)數(shù)幾，使

得=2/，結(jié)合A可知，xAB+(1-x)AD=X\^AB+^AD\^^x-^nAB=^-\+x\AD,因?yàn)?/p>

x--A=O°、-

4333f2f

xka力不共線，所以＜'=>尤=彳，所以4/=/48+不4￡>,故B選項(xiàng)正確;

-/l-l+x=O555

[2

-'->~>2->2—>

對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合B,BF=AF—AB=——AB+—AD,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

—>-?—>—>1—>-37271—>3~>

對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合B,CF=CD+DA+AF=一一AB-AD+-AB+-AD=—AB一一AD,故D選項(xiàng)正確.

255105

故選：ABD.

12.AC

【解析】

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量的模，可判斷BD選項(xiàng)的正誤;

由平面向量垂直的數(shù)量積表示可判斷C選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，由平面向量數(shù)量積的定義可得麗?恁=研|近陣夸=-1,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng);l=g時(shí)，AD=AB+BD=AB+^BC^AB+^（AC-AB）=^（AB+ACy

此時(shí)|AD|=1^（AB+AC）2=1YIAB2+2AB-AC+AC2=與，B錯(cuò);

對(duì)于c選項(xiàng)，若詬_LZ，則而灰=（而+麗）?灰?=麗灰?+4^2

=AB^AC-AB）+A（^AC-AB）=AB-AC-AB+2AC+AB-2ABAC

=72-5=0,解得彳=。，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，|就卜^AC-AB^2=^AC+AB-2ABAC=幣,D錯(cuò).

故選：AC.

13.萬##180°

【解析】

【分析】

根據(jù)垂直向量的運(yùn)算可得￡出=_2片，結(jié)合題意和平面向量數(shù)量積的夾角表示可得cos0=-l,進(jìn)而得出結(jié)

果.

【詳解】

a±(2a+b),

:.a-(2a+b)=2a+a-b=0?

一一一2

:.a'b--2a?

又因?yàn)槠?4了，所以I笳=2畝,

設(shè)￡與B的夾角為凡6w[0,7],

貝Ucose=，t=3y=-1,

\a\\b\2|a|2

：.0=7l.

故答案為：71

14.--##-2.5

2

【解析】

【分析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)橄蛄縕=(l,2),B=(0,l),所以￡+/B=(l,2)+九(0,1)=(1,彳+2),

又。_1心+點(diǎn))，所以7Q+4)=(l,2)-(l,/l+2)=lxl+2(；l+2)=0,解得a=一：,

故答案為:

15.100(73+1)

【解析】

【分析】

依題意畫出圖象，即可得到A=60。,8=75。,C=45。，AB=200,再利用正弦定理計(jì)算可得;

【詳解】

解：如圖，設(shè)震源在C處，則AB=20（Km,則由題意可得A=60。,8=75。,C=45。，根據(jù)正弦定理可得

^=焉，又sin7T=sin（45+30。）=5布45。儂3。。+345。$也30。=1**+**「嚀旦所以

200x-----------

…200sin75°4

AC二---------------------=100(73+1),

sin45°

2

所以震源在力地正東100（若+1）6處.

故答案為：100（正+1）

16.2應(yīng)-1##-1+2應(yīng)

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)礪=￡=(1,0),OB=b=(x,y),求出8的軌跡方程，再根據(jù)忻-3+4的幾何意義

求其最小值.

【詳解】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)Q4=a=(l,0),OB=b=[x,y),則/(I,0),B(x,y),

貝!]/_B=(xTy),"一5卜6-5+]nJ(尤一I)?+y2=x+l^>y2=4x,

即B的軌跡為拋物線：/=4%.

設(shè)A，(3,O),則3￡=兩，3萬一5=朗,

設(shè)三五，V=1,故C的軌跡是以A，為圓心，半徑為1的圓,

A\ia-b+^=\BC\,可看作拋物線上任意點(diǎn)3到以4(3,0)為圓心，半徑為1的圓上任一點(diǎn)C的距離,

22

貝忸。2忸A(yù)[_]=J(元一3)2+/_1=iy(%-3)+4x-l=7(x-l)+8-l>2V2-1,當(dāng)X=]時(shí)取等號(hào).

故卜￡-%4的最小值為2&-1.

故答案為：2忘-L

17.⑴=5,\OB\=y/31,|明=后:

￡

185

27

⑶萬.

【解析】

【分析】

(1)利用向量坐標(biāo)模長公式進(jìn)行求解；(2)利用向量坐標(biāo)夾角公式求解；(3)根據(jù)第二問求出8,再使

用勾股定理求出3。，求出面積.

(1)

IUUTI-----------lUimi「

3=OA=J16+9=5,\OB\=\OB\=^^36=^7,由于通=(-1,6)-(4,3)=(-5,3),所以

網(wǎng)=網(wǎng)=125+9=??；

⑵

__...._OA?OB1414V37

O4.(9B=(4,3)-(-l,6)=^+18=14,故cosNAOB=網(wǎng),網(wǎng)=

5.V37185

⑶

由(2)得：cos/AOB="歷,所以O(shè)D=O2.cos/AOB=V^7x此短=丑，由勾股定理得:

1851855

BD=4OB2-OD：如戈=3,所以%

\NDD乙乙J乙

18.(1)-1

(2)-1±6

【解析】

【分析】

(1)首先求出Z+B與防-%再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；

⑵首先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出他+勾?(依-可，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義得到方程，解得即

可；

(1)

解：因?yàn)椤?。，1),=(0,—2),所以@+5=(1,-1),ka-b=(k,k+2),又4+6與妨一5平行，所以-左=左+2,

解得k=-l；

(2)

解：因?yàn)?+0=(1.—1),ka—b=(k,k+2),所以+6)=lx&+(—1)x(左+2)=—2,

因?yàn)?+5與標(biāo)—5夾角為耳，所以(<?+5).(妨-5)=k+同1-同cosg,

即-2=-阻x+(左+2)-x—,解得k=—}+y/3.

19.(1)左側(cè)，理由見解析；

⑵cos，=-2,時(shí)間為YUh.

542

【解析】

【分析】

(1)6=120?時(shí)，游船水平方向的速度大小為同cos(180。-。)-同然后確定方向即可.

(2)若游船能到A，處，則有同=^cos(180。-。)，求出cos。，然后求出時(shí)間f即可；

(1)

6=120?時(shí)，游船水平方向的速度大小為同cos(180。-。)-同=1km/h,方向水平向左，故最終到達(dá)北岸時(shí)游

船在H點(diǎn)的左側(cè);

A'

(2)

若游船能到A處,則有同=降收180。-。),

v2

貝U有cos。=-cos(180°-e)=—2=——，

Vj5

此時(shí)游船垂直江岸方向的速度\=同411。=2傷km/h,

d國

時(shí)間'=口=石r

A'

【解析】

【分析】

(1)由余弦定理求得BC=g,在AABC中應(yīng)用正弦定理即可求sin/BAC.

(2)過C作CEJ_A。于E,ZBAC=6,可得=CE2=AC2-AE2,令BD=CD=,結(jié)合勾股定理

即可求CD的長.

(1)

由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=3,貝13BC2