新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練7.1 空間幾何中的平行（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.1空間幾何中的平行（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一三角形中位線【例1】（2022·浙江）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面是菱形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·廣東珠海）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析；【解析】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為三棱柱，則SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，故在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·山東）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)O，則O為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接OM，因?yàn)辄c(diǎn)M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；3．（2022·山東濱州）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面EAC【答案】證明見解析【解析】證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連接EO.顯然，O為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0面EAC，SKIPIF1<0面EAC，所以SKIPIF1<0平面EAC；考點(diǎn)二構(gòu)造平行四邊形【例2】（2022·重慶巴蜀中學(xué)）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是一個(gè)矩形，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：在直三棱柱SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2．（2022·河北保定）如圖，已知多面體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·遼寧營口）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0中點(diǎn)，F(xiàn)為SKIPIF1<0中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：取BC中點(diǎn)為D,連接ED,AD,因?yàn)镋為SKIPIF1<0中點(diǎn),故SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,F為SKIPIF1<0中點(diǎn),故SKIPIF1<0,所以四邊形EDAF為平行四邊形，故SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；考點(diǎn)三等比例【例3】（2022·云南·彌勒市一中）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，證明：若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】在SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·廣東）如圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面外的一點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的重心，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的重心，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2（2022·江蘇宿遷）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】見解析【解析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．（2022·湖南·長沙一中）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G為AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段A1C1，AC上，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0平面BB1F【答案】證明見解析【解析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，①又SKIPIF1<0，結(jié)合長方體的對(duì)稱性知SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，結(jié)合①②知，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.考點(diǎn)四線面平行的性質(zhì)【例4】（2022·北京海淀）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，H，G分別是棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0【答案】證明見解析；【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)，過SKIPIF1<0作截面交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0；【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，在直三棱錐SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·遼寧葫蘆島）如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的平面交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合）.求證：SKIPIF1<0；【答案】證明見解析【解析】證明：在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考點(diǎn)五面面平行的性質(zhì)【例5】（2022·甘肅酒泉）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】如圖，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為中位線，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中M，N，P，D分別為SKIPIF1<0，BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】∵P，D分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵D，N分別為SKIPIF1<0，BC的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面PDN，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，F(xiàn)，M，N分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)G，連接SKIPIF1<0，則由M，G分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)易得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0同理：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0考點(diǎn)六線面垂直的性質(zhì)【例6】（2022·新疆·三模（文））多面體ABDEC中，△BCD與△ABC均為邊長為2的等邊三角形，△CDE為腰長為SKIPIF1<0的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面ECD【答案】證明見解析【解析】證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG∵△CDE為腰長為SKIPIF1<0的等腰三角形，∴SKIPIF1<0又∵平面CDE⊥平面BCD，SKIPIF1<0平面ECD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0平面ECD，SKIPIF1<0平面CDE，∴SKIPIF1<0平面CDE【一隅三反】1．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因?yàn)镻A∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以AE⊥DC．因?yàn)锳E⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因?yàn)閘⊥平面PCD，所以l∥AE．2．（2022·山西臨汾）如圖（1），在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上有一點(diǎn)E，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，現(xiàn)將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】因SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接FO，如圖，因四邊形ABCD為菱形，則O為AC中點(diǎn)，而F為AB1中點(diǎn)，于是得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.7.1空間幾何中的平行（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一三角形中位線1．（2022·云南麗江）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)O，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：∵四邊形SKIPIF1<0為正方形，∴O為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∵E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2（2022·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長為1，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面ABC【答案】證明見解析；【解析】如圖，連接AE，因F是正方形ABED對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·浙江·瑞安市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0．4．（2022·河北唐山）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在直三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．（2022·吉林·長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，D為AB中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析；【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，連SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，如圖，則O為SKIPIF1<0中點(diǎn)，而D為AB中點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.題組二題組二構(gòu)造平行四邊形1．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）四棱錐SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析；【解析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖所示，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·遼寧朝陽）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·吉林·長春市第五中學(xué)）如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0的底面是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；4．（2022·遼寧撫順·高一期末）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn).求證：(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn).又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．（2022·遼寧撫順·高一期末）直四棱柱SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是平行四邊SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】見解析【解析】證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．（2022·湖南衡陽）如圖，四棱柱SKIPIF1<0的底面ABCD為正方形，O為BD的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，求證：平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)樗睦庵鵖KIPIF1<0的底面ABCD為正方形，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0．7．（2022·福建·廈門市湖濱中學(xué)）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.題組三等比例題組三等比例1．（2022·江西南昌）兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，過M作SKIPIF1<0于H，求證：(1)平面SKIPIF1<0平面BCE；(2)SKIPIF1<0平面BCE.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）由（1）知：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．（2022·安徽安慶市）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，且SKIPIF1<0，點(diǎn)M在棱SKIPIF1<0上，若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【答案】（1）1∶2；【解析】連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)N，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3．（2021·全國高三）如圖，三棱柱SKIPIF1<0在圓柱中，等腰直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為上、下底面的內(nèi)接三角形，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值【答案】SKIPIF1<0【解析】過SKIPIF1<0點(diǎn)作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0確定一個(gè)平面．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<