9.5離散型隨機變量及其分布列均值與方差答案本

9.5離散型隨機變量及其分布列、均值與方差課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.理解離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性離散型隨機變量及其分布列通過求離散型隨機變量的分布列,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)2.能確定隨機變量,求出隨機變量發(fā)生的概率,正確列出分布列離散型隨機變量的均值(期望)與方差通過求離散型隨機變量的期望和方差,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)3.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念,并能根據(jù)分布列正確求出期望與方差,解決實際問題0—1(兩點)分布通過求兩點分布,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下面結(jié)論正確的是().A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量B.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的C.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和D.均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān)答案ABC2.(對接教材)設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機變量ξ表示一次試驗的成功次數(shù),則P(ξ=0)等于().A.0 B.13C.12 答案B解析設(shè)P(ξ=1)=p,則P(ξ=0)=1p.依題意知,p=2(1p),解得p=23,故P(ξ=0)=1p=13.(對接教材)已知隨機變量X的分布列如下:X101P111設(shè)Y=2X+3,則E(Y)=.

答案7解析由題意知E(X)=12+16=E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=23+3=74.(易錯自糾)已知隨機變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1pi,i=1,2.若0<p1<p2<12,則()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A解析由題意可知ξi(i=1,2)服從兩點分布,所以E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1p1),D(ξ2)=p2(1p2).又0<p1<p2<12,所以E(ξ1)<E(ξ2)把方差看作函數(shù)y=x(1x)=x-122+14,根據(jù)0<p1<p2<12知D(ξ1)5.(模擬演練)(2024·江蘇鎮(zhèn)江期初考試)已知隨機變量X的分布列如下表所示,若E(X)=13,則D(X)=()X201Pa1bA.4981 B.89 C.2327 D答案B解析因為E(X)=13,且各概率之和為1所以-2a+0×所以D(X)=19×-2-132+13×0?13離散型隨機變量分布列的性質(zhì)典例1(1)袋中裝有編號為1~6的同樣大小的6個球,先從袋中隨機取3個球,設(shè)X表示取到的3個球中的最大號碼,求X的分布列.(2)設(shè)隨機變量X的分布列為PX=k5=ak(k=1,2,3,4,①求常數(shù)a的值;②求PX≥③求P110解析(1)根據(jù)題意,隨機變量X的所有可能取值為3,4,5,6.X=3,即取出的3個球中的最大號碼為3,其他2個球的號碼為1,2,所以P(X=3)=C22CX=4,即取出的3個球中的最大號碼為4,其他2個球的號碼只能是1,2,3號碼中的2個,所以P(X=4)=C32CX=5,即取出的3個球中的最大號碼為5,其他2個球的號碼只能是1,2,3,4號碼中的2個,所以P(X=5)=C42CX=6,即取出的3個球中的最大號碼為6,其他2個球的號碼只能是1,2,3,4,5號碼中的2個,所以P(X=6)=C52C所以隨機變量X的分布列為X3456P1331(2)由題意得分布列如下:X12341Pa2a3a4a5a①由離散型隨機變量的性質(zhì)得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115②PX≥35=PX=35+PX=45+P(X=1)③因為110<X<710,所以X=15,2所以P110<X<710=PX=15+PX=25+P1.求離散型隨機變量的分布列關(guān)鍵有三點:(1)確定隨機變量的取值;(2)求每個取值所對應(yīng)的概率;(3)利用所有概率之和為1來檢驗.2.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用:(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負值;(2)若X為隨機變量,則Y=aX+b(a,b為常數(shù))仍然為隨機變量,求其分布列時可先求出相應(yīng)的隨機變量的值,再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列.訓(xùn)練1有一個公用亭,觀察使用過的人的流量,設(shè)在某一時刻,有n個人正在使用或等待使用的概率為P(n),且P(n)與時刻t無關(guān),統(tǒng)計得到P(n)=12n·P(0),1≤n≤5,0,n≥6,則A.0 B.1C.3263 D.答案C解析由題意得P(1)=12P(0),P(2)=14P(0),P(3)=18P(0),P(4)=116P(0),P(5)=132P(0),P(n≥6)=0,所以1=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(n≥6)=1+12+14+18+116+1離散型隨機變量的均值(期望)與方差典例2(1)已知隨機變量ξ的分布列如下,則D(ξ)的取值范圍是().ξ202P11214A.0,34 B.[0,3]C.34(2)(多選)若隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=13,E(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是()A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=4答案(1)D(2)AB解析(1)由分布列可知12-a+14+b+14=1,E(ξ)=2×142×14+b=D(ξ)=4×14+4×14+b4b2=4a2+4a+2=4a設(shè)f(x)=4x-122+3,則函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=12,f(x所以當a=14時,D(ξ)min=4-14-1當a=12時,D(ξ)max=412-12所以34≤D(ξ)≤3(2)因為隨機變量X服從兩點分布,P(X=0)=13,所以P(X=1)=23,故E(X)=0×13+1×23=23,D(X)=0?232×13+1?232×23=29.A中,P(X=1)=E(X)=23,故A正確;對于B,E(3X+2)=3E(X)+2=3×23+2=4,故B正確;對于C,D(3X+2)=9D(X)=9×29=2,故1.求離散型隨機變量的均值與方差的關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能取值,寫出隨機變量的分布列,正確運用均值、方差公式進行計算.2.比較期望、方差的大小,首先要弄清隨機變量取某值時對應(yīng)的隨機事件的含義并確定合理的概率計算方法,列出分布列,一般作差比較大小.訓(xùn)練2(多選)有兩盒乒乓球,每盒3個球分別標記為2,3,4,其中一盒均未使用過,另一盒3個球都已使用過.現(xiàn)從兩個盒子中各任取1個球,設(shè)球的號碼分別為a,b,若事件“點P(a,b)恰好落在直線x+y=n上”對應(yīng)的隨機變量為X,P(X=n)=pn,X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),D(X),則().A.p6=3p4 B.P(5≤X≤7)=79C.E(X)=5 D.D(X)=答案ABD解析因為a的所有可能取值為2,3,4,b的所有可能取值為2,3,4,點P(a,b)恰好落在直線x+y=n上,所以X的所有可能取值為4,5,6,7,8.從兩個盒子中分別任取1個球,共有9種情況,P(X=4)=19,P(X=5)=29,P(X=6)=39=13,P(X=7)=29,P(X=8)=19.對于A,p6=3p4,故A正確;對于B,P(5≤X≤7)=29+13+29=79,故B正確;對于C,E(X)=4×19+5×29+6×39+7×29+8×19=4+10+18+14+89=6,故C錯誤;對于D,D(X)=(46)2×19+(56)2×29+(66)2×13+(7601(兩點)分布典例3袋內(nèi)有形狀、大小都相同的10個白球,5個紅球,從中摸出2個球,記X=0,兩球全紅,1,兩球非全紅,求X的分布列解析由題設(shè)可知,X服從兩點分布,P(X=0)=C52CP(X=1)=1P(X=0)=1221=19所以X的分布列為X01P219訓(xùn)練3已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布,且P(X=0)=34P(X=1)=a,則a=().A.23 B.12 C.13 D答案C解析因為X的分布列服從兩點分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,因為P(X=0)=34P(X=1)=a,所以P(X=0)=34[1P(X=0)],P(X=0)=13,所以a=1均值、方差在決策中的應(yīng)用在決策中為了規(guī)避風(fēng)險,減少風(fēng)險,甚至利用風(fēng)險,就必須在多個可供選擇的決策中,選擇一個最優(yōu)的決策.一般情況下,人們利用期望與方差進行風(fēng)險決策.典例某機器生產(chǎn)商對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案:方案一:交納延保金6000元,在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次,超過2次每次收取維修費1500元.方案二:交納延保金7740元,在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次,超過4次每次收取維修費a元.某工廠準備一次性購買兩臺這種機器,現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案,為此搜集并整理了100臺這種機器超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)維修的次數(shù),統(tǒng)計得下表:維修次數(shù)0123機器臺數(shù)20104030用以上100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這兩臺機器超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù),該工廠選擇哪種延保方案更合算?解析(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,所以P(X=0)=15×15=P(X=1)=110×15×2=P(X=2)=110×110+15×25×P(X=3)=110×25×2+15×310×P(X=4)=25×25+310×110×P(X=5)=25×310×2=P(X=6)=310×310=所以X的分布列為X0123456P111711169(2)選擇延保方案一,所需費用Y1元的分布列為Y16000750090001050012000P111169E(Y1)=14×6000+15×7500+1150×9000+625×10500+9100×12000=8選擇延保方案二,所需費用Y2元的分布列為Y277407740+a7740+2aP6769E(Y2)=67100×7740+625×(7740+a)+9100×(7740+2a)=7740+21a所以E(Y1)E(Y2)=84021a當E(Y1)E(Y2)=84021a50>0,即0<a<2000時,當E(Y1)E(Y2)=84021a50=0,即a=2000時,當E(Y1)E(Y2)=84021a50<0,即a>2000時,利用期望與方差進行決策的方法:(1)若我們希望實際的平均水平較理想時,則先求隨機變量ξ1,ξ2的期望,當E(ξ1)=E(ξ2)時,不應(yīng)誤認為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度,偏離程度小的更好.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.(3)若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時,一般先計算期望,若相等,則由方差來確定哪一個更好.若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時,應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論,即是選擇較理想的平均水平,還是選擇較穩(wěn)定.訓(xùn)練某投資公司在2023年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇:項目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.解析若按“項目一”投資,設(shè)獲利為X1萬元,X1的所有可能取值為300,150.則X1的分布列為X1300150P72所以E(X1)=300×79+(150)×29=200(D(X1)=(300200)2×79+(150200)2×29=35若按“項目二”投資,設(shè)獲利X2萬元,X2的所有可能取值為500,300,0.則X2的分布列為X25003000P311所以E(X2)=500×35+(300)×13+0×115=200D(X2)=(500200)2×35+(300200)2×13+(0200)2×115=140所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),這說明雖然項目一、項目二獲利相等,但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述,建議該投資公司選擇項目一投資.一、單選題1.某船隊若出海后天氣好,可獲得5000元;若出海后天氣壞,將損失2000元;若不出海也要損失1000元.根據(jù)預(yù)測知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是().A.2000元 B.2200元C.2400元 D.2600元答案B解析出海的期望效益E(X)=5000×0.6+(10.6)×(2000)=3000800=2200(元).2.已知離散型隨機變量X的分布列為下表,則常數(shù)C的值為().X01P9C2C38CA.23 B.13C.23或1答案B解析由隨機變量的分布列的性質(zhì)知0≤9C2C≤1,0≤38C≤1,9C2C+38C=1,解得C=133.設(shè)ξ的分布列如下表所示,又設(shè)η=2ξ+5,則E(η)等于().ξ1234P1111A.76 B.176 C.173 答案D解析依題意可得E(ξ)=1×16+2×16+3×13+4×13=176,所以E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×174.已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布,且P(X=0)=23P(X=1)=a,則a=().A.23 B.12 C.13 答案B解析因為X的分布列服從兩點分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,因為P(X=0)=23P(X=1)=a,所以P(X=0)=23[1P(X=0)],所以P(X=0)=12,所以a=1二、多選題5.已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù)):X01234P0.10.20.40.2a則下列計算結(jié)果正確的有().A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3答案ABD解析因為0.1+0.2+0.4+0.2+a=1,解得a=0.1,故A正確;由分布列知P(X≥2)=0.4+0.2+0.1=0.7,P(X≥3)=0.2+0.1=0.3,P(X≤1)=0.1+0.2=0.3,故B,D正確,C錯誤.6.若14<p<1,隨機變量X的分布列如下表,則下列結(jié)論正確的有()X012Ppp21pp2A.P(X=2)的值最大B.P(X=0)<P(X=1)C.E(X)隨著p的增大而減小D.E(X)隨著p的增大而增大答案BD解析當p=12時,P(X=2)=14,P(X=1)=112=12>14因為14<p<1,所以pp2=p(1p)<1p,即P(X=0)<P(X=1),故B正確E(X)=(1p)+2p2=2p-14因為14<p<1,所以E(X)隨著p的增大而增大,故C錯誤,D正確三、填空題7.已知隨機變量ξ滿足P(ξ=x)=ax+b(x=1,0,1),其中a,b∈R.若E(ξ)=13,則D(ξ)=答案5解析由P(ξ=x)=ax+b(x=1,0,1),可得P(ξ=1)=ba,P(ξ=0)=b,P(ξ=1)=a+b,所以ba+b+a+b=3b=1,則b=13又E(ξ)=1×(ba)+0×b+1×(a+b)=2a=13,則a=1所以隨機變量ξ的分布列為ξ101P161312所以D(ξ)=16×-1-132+13×0?138.現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

答案1635解析從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C73種取法,其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有(C41+C21C42)種,所以P(ξ=2)=C41+C21C42C73=1635.由已知可得ξ的可能取值有1,2,3,4,P(ξ=1)=C62C73=1535,P(ξ=2)=1635,P(ξ=3)=C32C73=335四、解答題9.(2023·山東聊城統(tǒng)考三模)已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品,其中甲箱中有4件正品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.(1)現(xiàn)從甲箱中隨機抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱,再從乙箱中隨機抽取一件產(chǎn)品,求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率;(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到能將次品全部找出時檢測結(jié)束,已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用15元,設(shè)X表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)A=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品”,B=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品為一件正品,一件次品”,C=“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品”,D=“從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品”,由全概率公式,得P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)=C42C62×38+C41C(2)X的所有可能取值為30,45,60,75.則P(X=30)=A22AP(X=45)=C21CP(X=60)=A44A64P(X=75)=C21C所以X的分布列為X30456075P1248X的數(shù)學(xué)期望E(X)=30×115+45×215+60×415+75×815=6410.(2024·江蘇揚州模擬考試)政府舉辦“全民健身乒乓球比賽”,比賽規(guī)則為:每隊4人,2男(男1號,男2號),2女(女1號,女2號),比賽時第一局兩隊男1號進行單打比賽,第二局兩隊女1號進行單打比賽,第三局兩隊各派一名男女運動員參加混雙比賽,第四局兩隊男2號進行單打比賽,第五局兩隊女2號進行單打比賽,五局三勝,先勝3局的隊獲勝,比賽結(jié)束.某隊中的男甲和男乙兩名男隊員,在比賽時,甲單打獲勝的概率為23,乙單打獲勝的概率為35,若甲排1號,男女混雙獲勝的概率為23;若乙排1號,男女混雙獲勝的概率為45(1)記X表示男甲排1號時,該隊第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局數(shù),求X的分布列.(2)若要該隊第一局和男女混雙這兩局比賽獲勝局數(shù)的數(shù)學(xué)期望大,甲、乙兩人誰排1號?加以說明.解析(1)X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=1?23×1?23=19,P(X=1)=1?23×23+23×1?23=49,P(故隨機變量X的分布列為X012P144(2)由(1)知,甲排1號時,期望值為E(X)=0×19+1×49+2×49設(shè)Y表示男乙排1號時,該隊第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局數(shù),則Y的可能取值為0,1,2,則P(Y=0)=1?35×1?45=225,P(Y=1)=1?35×4P(Y=2)=35×45=故期望值為E(Y)=0×225+1×1125+2×1225因為43<75,故男乙排111.泊松分布是統(tǒng)計學(xué)里常見的離散型概率分布,由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列為P(X=k)=λkk!eλ(k=0,1,2,…),其中e為自然對數(shù)的底數(shù),λ